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浙江省台州中学2016届高三数学上学期期中试题 文


台州中学 2015 学年第一学期期中试题 高三
参考公式: 球的表面积公式 S ? 4? R 2
4 球的体积公式 V ? ? R3 3

数学(文科)
棱柱的体积公式 V ? Sh 其中 S 表示棱柱的底面积, h 表示棱柱的 棱台的体积公式 V ? h ? S1 ? S1S2 ? S2 ?
1 3

高 其中 R 表示球的半径 棱锥的体积公式 V ? Sh
1 3

其中 S1 , S2 分别表示棱台的上底、下底面

积, 其中 S 表示棱锥的底面积, h 表示棱锥的高 h 表示棱台的高 一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的) 1.已知集合 A ? ?x ? N | 0 ? x ? 5? , C A B ? ? 1,3,5?,则集合 B ? ( A. ?2,4? B. ?0,2,4? C. ?0,1,3? 2.若 ab ? 0 ,且 a ? b ? 0 ,则以下不等式中正确的是( )
2



D. ?2,3,4? D. | a |?| b | )

1 1 A. ? ? 0 a b

B. a ?

?b

C. a ? b
2

3. A 为三角形 ABC 的一个内角,若 sin A+ cos A= A.锐角三角形 4. 函数 f ( x) ? 要
x

2 ,则这个三角形的形状为( 3
C.钝角三角形

B.直角三角形

D.无法确定 条件. ( )

1 ? a( x ? 0) , 则 “f (1)=1” 是 “函数 f ( x ) 为奇函数” 的 3 ?1
B.必要不充分 C.充要

A.充分不必要

D.既非充分又非必

5.已知函数 f ( x) ? sin ? x ? 3 cos ? x(? ? 0) 的图象与 x 轴的两个相邻交点的距离等于 若将函数 y ? f ( x) 的图象向左平移 函数的区间为 ( )

? 个单位得到函数 y ? g ( x) 的图象,则 y ? g ( x) 是减 6

? , 2

? ? ? ? ? ? A. ( , ) B. ( ? , ) C. (0, ) D. ( ? , 0) 4 4 3 4 3 3 ? ? ? ? ? ? ? 0 6.设向量 a , b 满足 a ? 1 , a 与 a ? b 的夹角为 150 ,则 b 的取值范围是( )
1) A. [ ,
7. 函数 y ?
2

1 2

+?) B. [ ,

1 2

C. [

3 , +?) 2

, +?) D. (1


x 的大致图象如图所示,则 a 的取值范围是( x ?a

, 0) A. a ? (?1
C. a ? (??,1)

1) B. a ? (0, ,+?) D. a ? (1

-1-

8.定义在 (??),0) ? (0, ??) 上的函数 f(x) ,如果对于任意给定的等比数列 ?an ? ,? f (an )? , 仍是等比数列,则称 f ( x ) 为“等比函数”.现有定义在 (??),0) ? (0, ??) 上的如下函数: ① f ( x) ? 3x , ② f ( x ) ?

2 , ③ f ( x) ? x3 , ④ f ( x) ? log2 x , 则其中是“等比函数”的 x

. A. ①②③④ B.①④ C. ①②④ D. ②③ 非选择题部分(共 110 分) 二、填空题(本大题共 7 小题,9—12 题:每空格 3 分,13—15 题:每小题 4 分,共 36 分) 9. 已知 ? ? R,sin ? ? 3cos ? ? 5 ,则 tan 2? 的值是 的公比 q ? __ 10.已知首项为 1,公差不为 0 的等差数列 ? a n ? 的第 2,4,9 项成等比数列,则这个等比数列 ;等差数列 ? a n ? 的通项公式 a n ? . 和为 S n ,则 S n = __ .

f ( x) 的序号为

;设数列 ? a n ? 的前 n 项

11. 设二次函数 f ? x ? ? ax2 ? 4x ? c( x ? R) 的值域为[0, +∞) , 则 若 ax ﹣4x+c<0 的解集为 (-1,2),则 a ? c =
2

1 9 ? 的最小值为 c a





12. 已知函数 f ( x) ?

5 ? x ? 4x 5 ? x ? 4 ,则 f ( x) 的递增区间为________, 函数 ? 2 2 g ( x) ? f ( x) ? 5 的零点个数为_______个.
x

13.已知集合 A ?

?? x, y ? x ? 1, y ? 1? ,若存在 ? x, y ? ? A ,使不等式 x ? 2 y ? m ? 0 成立,


??? ? ??? ? ??? ? ???? ???? ? ??? ? ??? ? 14. 已知 AB ? AC , AB ? AC ? 2 ,点 M 是线段 BC 上的一点,且 AM ? ( AB ? AC) ? 1 , ???? ? 则 AM 的取值范围是 .
15. 已知函数 ft ( x) ? ( x ? t )2 ? t (t ? R), 设 a ? b , f ( x) ? ?

则实数 m 最小值是

? f a ( x), f a ( x) ? fb ( x) , 若函数 ? fb ( x), f a ( x) ? fb ( x)


y ? f ( x) ? x ? a ? b 有三个零点,则 b ? a 的值为

三、解答题(本大题共 5 个小题,共 74 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 16 . ( 本 题 满 分 15 分 ) 设 ?ABC 的 内 角 A, B, C 所 对 应 的 边 分 别 为 a , b, c , 已 知

-2-

a?b a?c . ? sin ? A ? B ? sin A ? sin B (Ⅰ)求角 B ; 6 (Ⅱ)若 b ? 3, cos A ? ,求 ?ABC 的面积. 3

17.(本小题满分 15 分)已知数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,且满足 Sn + an =2. (Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)求满足不等式 a1 ? a 2 ? ? ? a n ?

63 的 n 的取值范围. 32

18. (本小题满分 15 分)如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 是平行四边形,PA ? 平 面 ABCD ,点 M , N 分别为 BC, PA 的中点,且 PA ? AD ? 2, AB ? 1, AC ? 3 . (Ⅰ)证明: MN ? 平面PCD ; (Ⅱ)求直线 MN 与 平面PAD 所成角的正切值.

19. (本小题满分 15 分)如图,在平面直角坐标系 xOy 中,点

A(8, ?4) , P(2, t )(t ? 0) 在抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 上.
(1)求 p,t 的值;

-3-

(2)过点 P 作 PM 垂直于 x 轴,M 为垂足,直线 AM 与抛物线的另一交点为 B,点 C 在直线 AM 上.若 PA,PB,PC 的斜率分别为 k 1 , k 2 , k 3 ,且 k 1 ?k 2 ? 2k 3 ,求点 C 的坐标.

20. (本题满分 14 分)已知函数 f ( x) ? ? x2 ? 2bx ? c ,设函数 g ( x) ? f ( x) 在区间 ? ?11 ,? 上 的最大值为 M . (Ⅰ)若 b ? 2 ,试求出 M ; (Ⅱ)若 M ? k 对任意的 b、c 恒成立,试求 k 的最大值.

台州中学 2015 学年第一学期期中参考答案 高三 数学(文科) 一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B A C C A D B D 非选择题部分(共 110 分)

-4-

二、填空题(本大题共 7 小题,9—12 题:每空格 3 分,13—15 题:每小题 4 分,共 36 分) 9. 个 13.﹣3 14. ( ,1]

4 3

10.

3n 2 ? n 5 , 3n ? 2 , 2 2
1 2
15. 2+

11. 3,-12

12.

?? ?,1? ;2

三、解答题(本大题共 5 个小题,共 74 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 16. (本题满分 15 分)

a?b a?c a?b a?c ? ? 所以 , sin( A ? B ) sin A ? sin B , c a ?b 2 2 2 所以 a ? b ? ac ? c ,?????????????????????????3 分
【解析】(Ⅰ)因为

a 2 ? c 2 ? b2 ac 1 ? ? ? , 又因为 0 ? B ? ? ,所以 B ? 。???7 分 2ac 2ac 2 3 6 3 (Ⅱ)由 b ? 3, cos A ? 可得 sin A ? ,????????????????9 分 3 3 a b ? 由 可得 a ? 2 , ???????????????????12 分 sin A sin B 3 ?3 2 而 sin C ? sin ? A ? B ? ? sin A cos B ? cos Asin B ? 6 1 3 ?3 2 所以 ?ABC 的面积 S ? ab sin C ? ????????????15 分 2 2
所以 cos B ? 17.(本小题满分 15 分) 【解析】(Ⅰ)n=1 时 a1 ? 1 , ∵ S n ?an ? 2 当 n ? 2 时 S n?1 ?an?1 ? 2 ∵ a1 ? 1 ? 0 ∴ an ? ( ) ∴ Sn ? an ? Sn?1 ? an?1 ? 0 ? 2an ? an?1

1 n ?1 ???????????????????7 分 2 1 1 1 2 1 n ?1 63 (Ⅱ) 1 ? ( ) ? ( ) ? ? ? ( ) ? 2 2 2 32 1 n ?1 63 1 1 ? ( ) n ?1 ? ∴2?( ) ? 2 32 2 32 ? ∴ n ? 6, n ? N ????????????????????????????15 分
18. (本小题满分 15 分) 【分析】 (Ⅰ)取 PD 中点 E,连结 NE,CE,可证 MNEC 为平行四边形,由 MN∥CE 即可判定 MN∥ 平面 PCD.(其它证法酌情给分) (Ⅱ) 方法一: 可证平面 PAD⊥平面 ABCD, 过 M 作 MF⊥AD, 则 MF⊥平面 PAD, 连结 NF. 则∠MNF 为直线 MN 与平面 PAD 所成的角,解三角形可得解; 方法二:PA⊥AB,PA⊥AC,又可证 AB⊥AC,分别以 AB,AC,AP 为 x 轴,y 轴,z 轴,建立空 间直角坐标系 A﹣xyz,设平面 PAD 的一个法向量为 ,则设 MN 与平面 PAD 所 成的角为 θ ,则由夹角公式即可求得 MN 与平面 PAD 所成角的正切值. 【解析】 (Ⅰ)证明:取 PD 中点 E,连结 NE,CE.∵N 为 PA 中点,∴NE 又 M 为 BC 中点,底面 ABCD 为平行四边形,∴MC ∴NE . ,

MC,即 MNEC 为平行四边形,??????????????????4 分
-5-

∴MN∥CE∵EC? 平面 PCD,且 MN?平面 PCD,∴MN∥平面 PCD.???? 7 分 (其它证法酌情给分) (Ⅱ)方法一:∵PA⊥平面 ABCD,PA? 平面 ABCD,∴平面 PAD⊥平面 ABCD, 过 M 作 MF⊥AD,则 MF⊥平面 PAD,连结 NF. 则∠MNF 为直线 MN 与平面 PAD 所成的角,???????????????10 分 由 AB=1, ,AD=2,得 AC⊥CD, , .

由 AC?CD=AD?MF,得

在 Rt△AMN 中,AM=AN=1,得

在 Rt△MNF 中,

,∴



直线 MN 与平面 PAD 所成角的正切值为

. ??????????????15 分

方法二:∵PA⊥平面 ABCD,PA⊥AB,PA⊥AC, 2 2 2 又∵AB=1, ,BC=AD=2,∴AB +AC =BC ,AB⊥AC.???????9 分 ) 如图,分别以 AB,AC,AP 为 x 轴,y 轴,z 轴, 建立空间直角坐标系 A﹣xyz, 则 ∴ , 设平面 PAD 的一个法向量为 由 ,令 y=1 得 , N ( 0 , 0 , 1 ), P ( 0 , 0 , 2 ), , ,???????????????11 分 ,则 ,??????? 13 分 ,

设 MN 与平面 PAD 所成的角为 θ , 则 与平面 PAD 所成角的正切值为

, ∴MN .????????????????????15 分

19. (本小题满分 15 分)
-6-

【解析】 (1)将点 A(8,﹣4)代入 y =2px,得 p=1,???????????????4 分 2 将点 P(2,t)代入 y =2x,得 t=±2,因为 t<0,所以 t=﹣2.????????????7 分 (2)依题意,M 的坐标为(2,0) ,直线 AM 的方程为 y=﹣ x+ ,?????9 分 联立抛物线方程 y =2x,并解得 B( ,1) , 所以 k1=﹣ ,k2=﹣2,????????????????????????????12 分 代入 k1+k2=2k3 得,k3=﹣ , 从而直线 PC 的方程为 y=﹣ x+ , 联立直线 AM:y=﹣ x+ , 并解得 C(﹣2, ) .?????????????????????????????15 分 20. (本题满分 14 分) 【解析】 (Ⅰ)当 b ? 2 时 f ( x) ? ? x ? 2bx ? c 在区间 ? ?11 , ? 上是增函数,
2
2

2

则 M 是 g (?1) 和 g (1) 中较大的一个, 又 g (?1) ? ? 5 ? c , g (1) ? 3 ? c ,则 M ? ?
2 2 (Ⅱ) g ( x) ? f ( x) ? ? ( x ? b) ? b ? c

?| ?5 ? c |, c ? 1 ?| 3 ? c |, c ? 1

?????????5 分

(i)当 b ? 1时, y ? g ( x) 在区间 ? ?11 , ? 上是单调函数,则 M ? max?g (?1), g (1)? 而 g (?1) ? ? 1 ? 2b ? c , g (1) ? ? 1 ? 2b ? c , 则 2 M ? g (?1) ? g (1) ? f (?1) ? f (1) ? 4 b ? 4 ,可知 M ? 2 分 (ii)当 b ? 1 时,函数 y ? g ( x) 的对称轴 x ? b 位于区间 [ ?1,1] 之内,
2 此时 M ? max ?g (?1), g (1), g (b)? ,又 g (b) ? b ? c ,

?????????? 8

① 当 ?1 ? b ? 0 时,有 f (1) ? f (?1) ? f (b) , 则 M ? max?g (b), g (1)? ? 分 ② 当 0 ? b ? 1 时,有 f (?1) ? f (1) ? f (b) ,

1 1 1 1 ( g (b) ? g (1)) ? f (b) ? f (1) ? (b ? 1) 2 ? ???? 10 2 2 2 2

1 1 1 1 ( g (b) ? g (?1)) ? f (b) ? f (?1) ? (b ? 1) 2 ? ???12 2 2 2 2 1 1 1 c ? 时, g ( x) ? ? x 2 ? 在区间 [ ?1,1] 分综上可知, 对任意的 b 、 c 都有 M ? [而当 b ? 0 , 2 2 2 1 上的最大值 M ? , 2 1 故 M ? k 对任意的 b 、 c 恒成立的 k 的最大值为 . ????????????????14 2
则 M ? max?g (b), g (?1)? ? 分

-7-


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