3986.net
小网站 大容量 大智慧
相关标签
当前位置:首页 >> 数学 >>

专题二:三角函数,三角恒等变换,平面向量,解三角形2015.1.9


专题二:三角函数,三角恒等变换,平面向量,解 三角形

菁优网

www.jyeoo.com

专题二:三角函数,三角恒等变换,平面向量,解 三角形 2015.1.9
一.选择题(共 11 小题) 1. (2014?河南)在函数① y=cos 丨 2x 丨,② y=丨 cosx 丨,③ y=cos(2x+ 小正周期为 π 的所有函数为( ) ② ③ ③ ④ A.① B.① ④ C. ② )+cos(2x+ 对称 对称 对称 对称 )④ y=tan(2x﹣ ③ D.① ) ,则( ) )中,最

2. (2014?包头一模)设函数,则 f(x)=sin(2x+ A.y=f(x)在(0, B. y=f(x)在(0, C. y=f(x)在(0, D.y=f(x)在(0,

)单调递增,其图象关于直线 x= )单调递增,其图象关于直线 x= )单调递减,其图象关于直线 x= )单调递减,其图象关于直线 x=

3. (2014?福建)已知函数 f(x)= A.f(x)是偶函数 B.f(x)是增函数

,则下列结论正确的是( C.f(x)是周期函数

) D.f(x)的值域为[﹣1, +∞)

4. (2014?广西)设 a=sin33°,b=cos55°,c=tan35°,则( ) A.a>b>c B.b>c>a C.c>b>a

D.c>a>b

5. (2015?重庆一模)函数 y=sin3x 的图象可以由函数 y=cos3x 的图象( ) A.向右平移 个单位得到 B. 向左平移 个单位得到 C. 向右平移 个单位得到 D.向左平移 个单位得到

6. (2015?惠州模拟)函数 f(x)= ω,φ 的值分别是( )

sin(ωx+φ) (x∈R,ω>0,|φ|<

)的部分图象如图所示,则

?2010-2015 菁优网

菁优网

www.jyeoo.com

A.2,﹣

B.2,﹣

C.4,﹣

D.4,

7. (2014?辽宁) 将函数 y=3sin(2x+ A.在区间[ C. 在区间[﹣ , , ]上单调递减 ]上单调递减

) 的图象向右平移

个单位长度,所得图象对应的函数( , , ]上单调递增 ]上单调递增



B. 在区间[ D.在区间[﹣

8. (2014?博白县模拟)已知 sinα+cos(α﹣ A. ﹣ B.

)= ,则 cos(α﹣ C. ﹣

)的值等于( D.



9. (2014?江西二模)已知 A. B.

, C. 或

,则 cosα=( D.



10. (2014?重庆)已知向量 =(k,3) , =(1,4) , =(2,1)且(2 ﹣3 )⊥ ,则实数 k=( A.﹣ B.0 C. 3 D.



11. (2014?江西)在△ ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c,若 c2=(a﹣b)2+6,C= 则△ ABC 的面积是( A. ) B. C. D.3



二.填空题(共 9 小题) 12. (2014?福建)在△ ABC 中,A=60°,AC=4,BC=2 13. (2014?福建)在△ ABC 中,A=60°,AC=2,BC= 14. (2014?江西)已知单位向量 _________ . 与

,则△ ABC 的面积等于 ,则 AB 等于

_________ . ,则| |=



_________ ﹣2

的夹角为 α,且 cosα= ,若向量 =3

15. (2014?广安一模) 设向量 则 λ= _________ . 16. (2014?山东)函数 y=

, 若向量

与向量

共线,

sin2x+cos2x 的最小正周期为

_________



?2010-2015 菁优网

菁优网

www.jyeoo.com

17. (2012?江苏)设 a 为锐角,若 cos(a+

)= ,则 sin(2a+

)的值为

_________



18. (2014?重庆)将函数 f(x)=sin(ωx+φ) (ω>0,﹣ 原来的一半, 纵坐标不变, 再向右平移

≤φ<

)图象上每一点的横坐标缩短为 ) = _________ .

个单位长度得到 y=sinx 的图象,则 f (

19. (2014?安徽)若将函数 f(x)=sin(2x+ 则 φ 的最小正值是 _________ .

)的图象向右平移 φ 个单位,所得图象关于 y 轴对称,

20. (2014?广西)函数 y=cos2x+2sinx 的最大值为 三.解答题(共 6 小题)

_________



21. (2014?山东)△ ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c.已知 a=3,cosA= (Ⅰ )求 b 的值; (Ⅱ )求△ ABC 的面积. 22. (2014?天津) 在△ ABC 中, 内角 A, B, C 所对的边分别为 a,b, c,已知 a﹣c= (Ⅰ )求 cosA 的值; (Ⅱ )求 cos(2A﹣ )的值.

,B=A+



b,sinB=

sinC,

23. (2014?浙江)在△ ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c.已知 a≠b,c= 2 cos B= sinAcosA﹣ sinBcosB. (Ⅰ )求角 C 的大小; (Ⅱ )若 sinA= ,求△ ABC 的面积.

,cos2A﹣

24. (2014?福建)已知函数 f(x)=cosx(sinx+cosx)﹣ . (1)若 0<α< ,且 sinα= ,求 f(α)的值;

(2)求函数 f(x)的最小正周期及单调递增区间. 25. (2015?河南二模)已知向量 =(cosA,﹣sinA) , =(cosB,sinB) , ? =cos2C,其中 A、B、 C 为△ ABC 的内角. (Ⅰ )求角 C 的大小; (Ⅱ )若 AB=6,且 ,求 AC、BC 的长.

26. (2014?重庆)已知函数 f(x)=

sin(ωx+φ) (ω>0,﹣

≤φ<

)的图象关于直线 x=

对称,

且图象上相邻两个最高点的距离为 π.
?2010-2015 菁优网

菁优网

www.jyeoo.com

(Ⅰ )求 ω 和 φ 的值; (Ⅱ )若 f( )= ( <α< ) ,求 cos(α+ )的值.

?2010-2015 菁优网

菁优网

www.jyeoo.com

专题二:三角函数,三角恒等变换,平面向量,解 三角形
参考答案与试题解析
一.选择题(共 11 小题) 1. (2014?河南)在函数① y=cos 丨 2x 丨,② y=丨 cosx 丨,③ y=cos(2x+ 的所有函数为( ② ③ A .① ) ③ ④ B.① ④ C .② ③ D.① )④ y=tan(2x﹣ )中,最小正周期为 π

考点: 三角函数的周期性及其求法. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: 根据三角函数的周期性,求出各个函数的最小正周期,从而得出结论. 解答: 解:∵ 函数① y=cos 丨 2x 丨=cos2x,它的最小正周期为 =π,
菁优网版权所有

② y=丨 cosx 丨的最小正周期为 ③ y=cos(2x+ ④ y=tan(2x﹣ )的最小正周期为 )的最小正周期为

=π, =π, ,

故选:A. 点评: 本题主要考查三角函数的周期性及求法,属于基础题.

2. (2014?包头一模)设函数,则 f(x)=sin(2x+ A. y=f(x)在(0, B. C. y=f(x)在(0, y=f(x)在(0,

)+cos(2x+ 对称 对称 对称 对称

) ,则(



)单调递增,其图象关于直线 x= )单调递增,其图象关于直线 x= )单调递减,其图象关于直线 x= )单调递减,其图象关于直线 x=

D. y=f(x)在(0,

考点: 正弦函数的对称性;正弦函数的单调性. 专题: 计算题;压轴题. 分析: 利用辅助角公式(两角和的正弦函数)化简函数 f(x)=sin(2x+
菁优网版权所有

)+cos(2x+

) ,然后求出对称轴方

程,判断 y=f(x)在(0, 解答: 解:因为 f(x)=sin(2x+

)单调性,即可得到答案. )+cos(2x+ )= sin(2x+ )= cos2x.

?2010-2015 菁优网

菁优网

www.jyeoo.com 它的对称轴方程可以是:x= ;所以 A,C 错误;函数 y=f(x)在(0, )单调递减,所以 B 错误;D

正确. 故选 D 点评: 本题是基础题,考查三角函数的化简,三角函数的性质:对称性、单调性,考查计算能力,常考题型.

3. (2014?福建)已知函数 f(x)= A.f(x)是偶函数 考点: 专题: 分析: 解答: B.f(x)是增函数

,则下列结论正确的是( C.f(x)是周期函数

) D.f (x) 的值域为[﹣1, +∞)

余弦函数的单调性. 函数的性质及应用. 由三角函数和二次函数的性质,分别对各个选项判断即可. 解:由解析式可知当 x≤0 时,f(x)=cosx 为周期函数, 2 当 x>0 时,f(x)=x +1,为二次函数的一部分, 故 f(x)不是单调函数,不是周期函数,也不具备奇偶性, 故可排除 A、B、C, 对于 D,当 x≤0 时,函数的值域为[﹣1,1], 当 x>0 时,函数的值域为值域为(1,+∞) , 故函数 f(x)的值域为[﹣1,+∞) ,故正确. 故选:D 点评: 本题考查分段函数的性质,涉及三角函数的性质,属基础题.
菁优网版权所有

4. (2014?广西)设 a=sin33°,b=cos55°,c=tan35°,则( ) A.a>b>c B.b>c>a C.c>b>a 考点: 正切函数的单调性. 专题: 三角函数的求值. 分析: 可得 b=sin35°,易得 b>a,c=tan35°=
菁优网版权所有

D.c>a>b

>sin35°,综合可得.

解答: 解:由诱导公式可得 b=cos55°=cos(90°﹣35°)=sin35°, 由正弦函数的单调性可知 b>a, 而 c=tan35°= >sin35°=b,

∴ c>b>a 故选:C 点评: 本题考查三角函数值大小的比较,涉及诱导公式和三角函数的单调性,属基础题. 5. (2015?重庆一模)函数 y=sin3x 的图象可以由函数 y=cos3x 的图象( ) A. B. 向右平移 个单位得到 向左平移 个单位得到 C. 向右平移 个单位得到 D. 向左平移 个单位得到

考点: 函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换. 专题: 计算题.

菁优网版权所有

?2010-2015 菁优网

菁优网

www.jyeoo.com 分析: 由于函数 y=sin3x=cos3(x﹣ 解答:

) ,故把函数 y=cos3x 的图象向右平移 )=cos(3x﹣ )=cos3(x﹣

个单位,即可达到目标. ) , )=sin3x 的图象,

解:由于函数 y=sin3x=cos(3x+ 故把函数 y=cos3x 的图象向右平移

个单位,即可得到 y=cos3(x﹣

故选 A. 点评: 本题主要考查函数 y=Asin(ωx+?)的图象平移变换,属于中档题. 6. (2015?惠州模拟)函数 f(x)= 别是( ) sin(ωx+φ) (x∈R,ω>0,|φ|< )的部分图象如图所示,则 ω,φ 的值分

A.

2,﹣

B.

2,﹣

C.

4,﹣

D. 4,

考点: 由 y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: 由函数的图象可得 ,代入周期公式求得 ω 的值,再由五点作图的第二点列式求得 φ 的值.
菁优网版权所有

解答:

解:由图知 ∴ T=π,即 =π,解得:ω=2. +φ=



由五点作图的第二点可知,2× ∴ ω,φ 的值分别是 2,﹣ .

,即 φ=﹣

,满足|φ|<



故选:A. 点评: 本题考查由 y=Asin(ωx+φ)的部分图象求解函数解析式,解答的关键是由五点作图的某一点列式求解 φ 的 值,是基础题.

7. (2014?辽宁)将函数 y=3sin(2x+ A. C. 在区间[ 在区间[﹣ , , ]上单调递减 ]上单调递减

)的图象向右平移 B.

个单位长度,所得图象对应的函数( 在区间[ , , ]上单调递增 ]上单调递增



D. 在区间[﹣

考点: 函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: 直接由函数的图象平移得到平移后的图象所对应的函数解析式,然后利用复合函数的单调性的求法求出函
菁优网版权所有

?2010-2015 菁优网

菁优网

www.jyeoo.com 数的增区间,取 k=0 即可得到函数在区间[ 解答: 解:把函数 y=3sin(2x+ , ]上单调递增,则答案可求. 个单位长度, )+ ].

)的图象向右平移

得到的图象所对应的函数解析式为:y=3sin[2(x﹣ 即 y=3sin(2x﹣ 由 取 k=0,得 . , ]上单调递增. ) . ,得



∴ 所得图象对应的函数在区间[

故选:B. 点评: 本题考查了函数图象的平移,考查了复合函数单调性的求法,复合函数的单调性满足“同增异减”原则,是中 档题.

8. (2014?博白县模拟)已知 sinα+cos(α﹣ A. ﹣ B.

)= ,则 cos(α﹣ C. ﹣

)的值等于(

) D.

考点: 两角和与差的余弦函数. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: 首先,根据 sinα+cos(α﹣
菁优网版权所有

)= ,借助于两角差的余弦公式展开,然后,借助于辅助角公式,化简后,

得到结果. 解答: 解:∵ sinα+cos(α﹣ ∴ sinα+cosαcos ∴ sinα+ ∴ ( )= , = ,

+sinαsin

cosα= , sinα+ cosα)= , )= , ,

∴ cos(α﹣ ∴ cos(α﹣

)=

故选:B. 点评: 本题属于中档题,重点考查了三角恒等变换公式,注意公式的应用是解题的关键.

9. (2014?江西二模)已知 A. B.

, C.

,则 cosα=( 或

) D.

?2010-2015 菁优网

菁优网

www.jyeoo.com 考点: 两角和与差的余弦函数. 专题: 计算题;三角函数的求值. 分析: 根据同角三角函数的关系,算出
菁优网版权所有

,再进行配角:α=(

)﹣

,利用两角差的

余弦公式加以计算,即可求出 cosα 的值. 解答: 解:∵ 由此可得 ∴ cosα=cos[( = 故选:A 点评: 本题给出钝角 α,在已知 的情况下求 cosα 的值,着重考查了任意角的三角函数、同角三 )﹣ = ]= . + ,∴ , ,

角函数的基本关系、两角和与差的余弦公式等知识,属于基础题.

10. (2014?重庆)已知向量 =(k,3) , =(1,4) , =(2,1)且(2 ﹣3 )⊥ ,则实数 k=( A. ﹣ B.0 C .3 D.



考点: 平面向量的坐标运算. 专题: 平面向量及应用. 分析: 根据两个向量的坐标,写出两个向量的数乘与和的运算结果,根据两个向量的垂直关系,写出两个向量的 数量积等于 0,得到关于 k 的方程,解方程即可. 解答: 解:∵ =(k,3) , =(1,4) , =(2,1)
菁优网版权所有

∴ 2 ﹣3 =(2k﹣3,﹣6) , ∵ (2 ﹣3 )⊥ , ∴ (2 ﹣3 )? =0' ∴ 2(2k﹣3)+1×(﹣6)=0, 解得,k=3. 故选:C. 点评: 本题考查数量积的坐标表达式,是一个基础题,题目主要考查数量积的坐标形式,注意数字的运算不要出 错. 11. (2014?江西)在△ ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c,若 c =(a﹣b) +6,C= 积是( A. ) B. C. D.3
2 2

,则△ ABC 的面

考点: 余弦定理.

菁优网版权所有

?2010-2015 菁优网

菁优网

www.jyeoo.com 专题: 解三角形. 2 2 2 2 2 分析: 将“c =(a﹣b) +6”展开,另一方面,由余弦定理得到 c =a +b ﹣2abcosC,比较两式,得到 ab 的值,计算 其面积. 解答: 解:由题意得,c2=a2+b2﹣2ab+6, 又由余弦定理可知,c =a +b ﹣2abcosC=a +b ﹣ab, ∴ ﹣2ab+6=﹣ab,即 ab=6. ∴ S△ABC= = .
2 2 2 2 2

故选:C. 点评: 本题是余弦定理的考查,在高中范围内,正弦定理和余弦定理是应用最为广泛,也是最方便的定理之一, 高考中对这部分知识的考查一般不会太难,有时也会和三角函数,向量,不等式等放在一起综合考查. 二.填空题(共 9 小题) 12. (2014?福建)在△ ABC 中,A=60°,AC=4,BC=2 考点: 专题: 分析: 解答:

,则△ ABC 的面积等于 2



正弦定理. 解三角形. 利用三角形中的正弦定理求出角 B,再利用三角形的面积公式求出△ ABC 的面积. 解:∵ △ ABC 中,A=60°,AC=4,BC=2 ,
菁优网版权所有

由正弦定理得: ∴ 解得 sinB=1, ∴ B=90°,C=30°, ∴ △ ABC 的面积= ,





故答案为: . 点评: 本题着重考查了给出三角形的两边和其中一边的对角,求它的面积.正余弦定理、解直角三角形、三角形 的面积公式等知识,属于基础题. 13. (2014?福建)在△ ABC 中,A=60°,AC=2,BC= 考点: 专题: 分析: 解答: ,则 AB 等于 1 .

余弦定理;正弦定理. 三角函数的求值. 利用余弦定理列出关系式,将 AC,BC,以及 cosA 的值代入即可求出 AB 的长. 解:∵ 在△ ABC 中,A=60°,AC=b=2,BC=a= , 2 2 2 2 ∴ 由余弦定理得:a =b +c ﹣2bccosA,即 3=4+c ﹣2c, 解得:c=1, 则 AB=c=1, 故答案为:1 点评: 此题考查了余弦定理,以及特殊角的三角函数值,熟练掌握定理是解本题的关键.
菁优网版权所有

14. (2014?江西)已知单位向量



的夹角为 α,且 cosα= ,若向量 =3

﹣2

,则| |=

3 .

考点: 向量的模. 专题: 平面向量及应用.
菁优网版权所有

?2010-2015 菁优网

菁优网

www.jyeoo.com 分析: 由条件利用两个向量的数量积的定义求出 解答: 解: ∴ | |=3, =9

的值,从而得到| |的值. =9,

故答案为:3. 点评: 本题主要考查两个向量的数量积的定义,求向量的模的方法,属于基础题.

15. (2014?广安一模)设向量 2 .

,若向量

与向量

共线,则 λ=

考点: 平行向量与共线向量. 分析: 用向量共线的充要条件:它们的坐标交叉相乘相等列方程解. 解答: 解:∵ a=(1,2) ,b=(2,3) , ∴ λa+b=(λ,2λ)+(2,3)=(λ+2,2λ+3) . ∵ 向量 λa+b 与向量 c=(﹣4,﹣7)共线, ∴ ﹣7(λ+2)+4(2λ+3)=0, ∴ λ=2. 故答案为 2 点评: 考查两向量共线的充要条件.
菁优网版权所有

16. (2014?山东)函数 y=

sin2x+cos x 的最小正周期为 π .

2

考点: 二倍角的余弦;两角和与差的正弦函数;三角函数的周期性及其求法. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: 利用两角和的正弦公式、二倍角的余弦公式化简函数的解析式为 f(x)=sin(2x+
菁优网版权所有

) ,从而求得函数的最

小正周期 解答: 解:∵ 函数 y= sin2x+cos x=
2

sin2x+ = π,

=sin(2x+

)+ ,

故函数的最小正周期的最小正周期为

故答案为:π. 点评: 本题主要考查两角和的正弦公式、二倍角的余弦公式,正弦函数的周期性,属于基础题.

17. (2012?江苏)设 a 为锐角,若 cos(a+

)= ,则 sin(2a+

)的值为



考点: 三角函数中的恒等变换应用;两角和与差的余弦函数;两角和与差的正弦函数;二倍角的正弦. 专题: 计算题;压轴题. 分析: 根据 a 为锐角,cos(a+ )= 为正数,可得 a+ 也是锐角,利用平方关系可得 sin(a+ )= .接下来
菁优网版权所有

配角,得到 cosa=

,sina=

,再用二倍角公式可得 sin2a=

,cos2a=

,最后

?2010-2015 菁优网

菁优网

www.jyeoo.com 用两角和的正弦公式得到 sin(2a+ 解答: 解:∵ a 为锐角,cos(a+ ∴ a+ )= , )= + sin ﹣ sin = =
2 2

)=sin2acos

+cosasin

=



也是锐角,且 sin(a+ )﹣ )﹣

=

∴ cosa=cos[(a+ sina=sin[(a+

]= cos ]= cos

由此可得 sin2a=2sinacosa= 又∵ sin =sin( )=sin2acos )= +cosasin

,cos2a=cos a﹣sin a= ,cos = =cos( ? + )= ? =

∴ sin(2a+ 故答案为: 点评:

本题要我们在已知锐角 a+

的余弦值的情况下,求 2a+

的正弦值,着重考查了两角和与差的正弦、余弦

公式和二倍角的正弦、余弦等公式,考查了三角函数中的恒等变换应用,属于中档题.

18. (2014?重庆)将函数 f(x)=sin(ωx+φ) (ω>0,﹣ 纵坐标不变,再向右平移

≤φ<

)图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半, )= .

个单位长度得到 y=sinx 的图象,则 f(

考点: 函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: 哟条件根据函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律,可得 sin(2ωx+φ﹣
菁优网版权所有

ω)=sinx,可得 2ω=1,且 φ﹣ )的值.

ω=2kπ,k∈z,由此求得 ω、φ 的值,可得 f(x)的解析式,从而求得 f( 解答: 解:函数 f(x)=sin(ωx+φ) (ω>0,﹣ 变,可得函数 y=sin(2ωx+φ)的图象. 再把所得图象再向右平移 =sin(2ωx+φ﹣ ∴ 2ω=1,且 φ﹣ ∴ ω= ,φ= ∴ f( 个单位长度得到函数 y=sin[2ω(x﹣ )+φ)] ≤φ<

)图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半,纵坐标不

ω)=sinx 的图象, ω=2kπ,k∈z, ) , .

,∴ f(x)=sin( x+ + )=sin =

)=sin( .

故答案为:

?2010-2015 菁优网

菁优网

www.jyeoo.com 点评: 本题主要考查函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律,属于中档题. 19. (2014?安徽)若将函数 f(x)=sin(2x+ 正值是 . )的图象向右平移 φ 个单位,所得图象关于 y 轴对称,则 φ 的最小

考点: 函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: 根据函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律,可得所得图象对应的函数解析式为 y=sin(2x+
菁优网版权所有

﹣2φ) ,再根

据所得图象关于 y 轴对称可得 解答: 解:将函数 f(x)=sin(2x+

﹣2φ=kπ+

,k∈z,由此求得 φ 的最小正值.

)的图象向右平移 φ 个单位, ]=sin(2x+ ﹣2φ)关于 y 轴对称, ,

所得图象对应的函数解析式为 y=sin[2(x﹣φ)+ 则 ﹣2φ=kπ+ . ,k∈z,即 φ=﹣ ﹣

,故 φ 的最小正值为

故答案为:

点评: 本题主要考查函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律,余弦函数的图象的对称性,属于中档题. 20. (2014?广西)函数 y=cos2x+2sinx 的最大值为 .

考点: 正弦函数的定义域和值域;二次函数在闭区间上的最值. 专题: 三角函数的求值. 分析: 利用二倍角的余弦公式化简函数的解析式为 y=﹣2 的性质求得函数的最大值. 解答: 解:∵ 函数 y=cos2x+2sinx=﹣2sin x+2sinx+1=﹣2 ∴ 当 sinx= 时,函数 y 取得最大值为 , 故答案为: .
2

菁优网版权所有

+ ,再根据正弦函数的值域、二次函数

+ ,

点评: 本题主要考查二倍角的余弦公式,二次函数的性质应用,正弦函数的值域,属于基础题. 三.解答题(共 6 小题) 21. (2014?山东)△ ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c.已知 a=3,cosA= (Ⅰ )求 b 的值; (Ⅱ )求△ ABC 的面积. 考点: 正弦定理. 专题: 解三角形. 分析: (Ⅰ )利用 cosA 求得 sinA,进而利用 A 和 B 的关系求得 sinB,最后利用正弦定理求得 b 的值.
菁优网版权所有

,B=A+



?2010-2015 菁优网

菁优网

www.jyeoo.com (Ⅱ )利用 sinB,求得 cosB 的值,进而根两角和公式求得 sinC 的值,最后利用三角形面积公式求得答案. 解答: 解: (Ⅰ )∵ cosA= , ∴ sinA= ∵ B=A+ . )=cosA= = × =3 , . , = ,

∴ sinB=sin(A+ 由正弦定理知 ∴ b= ?sinB=

(Ⅱ )∵ sinB= ∴ cosB=﹣

,B=A+ =﹣ ,



sinC=sin(π﹣A﹣B)=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB= ∴ S= a?b?sinC= ×3×3 × = .

×(﹣

)+

×

= ,

点评: 本题主要考查了正弦定理的应用.解题过程中结合了同角三角函数关系,三角函数恒等变换的应用,注重 了基础知识的综合运用.

22. (2014?天津)在△ ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,已知 a﹣c= (Ⅰ )求 cosA 的值; (Ⅱ )求 cos(2A﹣ )的值.

b,sinB=

sinC,

考点: 正弦定理;两角和与差的余弦函数. 专题: 三角函数的求值. 分析: (Ⅰ )已知第二个等式利用正弦定理化简,代入第一个等式表示出 a,利用余弦定理表示出 cosA,将表示出 的 a,b 代入计算,即可求出 cosA 的值; (Ⅱ )由 cosA 的值,利用同角三角函数间的基本关系求出 sinA 的值,进而利用二倍角的正弦、余弦函数公 式求出 sin2A 与 cos2A 的值,原式利用两角和与差的余弦函数公式及特殊角的三角函数值化简,将各自的 值代入计算即可求出值. 解答: 解: (Ⅰ )将 sinB= sinC,利用正弦定理化简得:b= c,
菁优网版权所有

代入 a﹣c=

b,得:a﹣c=c,即 a=2c,

∴ cosA=

=

=



(Ⅱ )∵ cosA= ∴ sinA=

,A 为三角形内角, = ,

?2010-2015 菁优网

菁优网

www.jyeoo.com ∴ cos2A=2cos A﹣1=﹣ ,sin2A=2sinAcosA= 则 cos(2A﹣ )=cos2Acos +sin2Asin
2

, + × = .

=﹣ ×

点评: 此题考查了正弦、余弦定理,同角三角函数间的基本关系,二倍角的正弦、余弦函数公式,以及两角和与 差的余弦函数公式,熟练掌握定理及公式是解本题的关键. 23. (2014?浙江) 在△ ABC 中, 内角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c. 已知 a≠b, c= ﹣ sinBcosB. (Ⅰ )求角 C 的大小; (Ⅱ )若 sinA= ,求△ ABC 的面积. , cos A﹣cos B=
2 2

sinAcosA

考点: 正弦定理;二倍角的正弦;二倍角的余弦. 专题: 解三角形. 分析: (Ⅰ )△ ABC 中,由条件利用二倍角公式化简可得﹣2sin(A+B)sin(A﹣B)=2 求得 tan(A+B)的值,可得 A+B 的值,从而求得 C 的值.
菁优网版权所有

?cos(A+B)sin(A﹣B) .

(Ⅱ ) 由 sinA= 的面积为

求得 cosA 的值. 再由正弦定理求得 a, 再求得 sinB=sin[ (A+B) ﹣A]的值, 从而求得△ ABC 的值. ,cos A﹣cos B= sin2B, ?cos(A+B)sin(A﹣B) .
2 2

解答: 解: (Ⅰ )∵ △ ABC 中,a≠b,c= ∴ ﹣ =

sinAcosA﹣

sinBcosB,

sin2A﹣

即 cos2A﹣cos2B= sin2A﹣ sin2B,即﹣2sin(A+B)sin(A﹣B)=2 ∵ a≠b,∴ A≠B,sin(A﹣B)≠0, ∴ tan(A+B)=﹣ (Ⅱ )∵ sinA= < 由正弦定理可得, ,∴ A+B= ,C= = ,∴ C= . (舍去) ,∴ cosA=

,∴ A< ,即

,或 A> =

= .

,∴ a= .

∴ sinB=sin[(A+B)﹣A]=sin(A+B)cosA﹣cos(A+B)sinA= ∴ △ ABC 的面积为 = × = .

﹣(﹣ )× =



点评: 本题主要考查二倍角公式、两角和差的三角公式、正弦定理的应用,属于中档题.

24. (2014?福建)已知函数 f(x)=cosx(sinx+cosx)﹣ . (1)若 0<α< ,且 sinα= ,求 f(α)的值;

(2)求函数 f(x)的最小正周期及单调递增区间. 考点: 三角函数中的恒等变换应用;三角函数的周期性及其求法. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: (1)利用同角三角函数关系求得 cosα 的值,分别代入函数解析式即可求得 f(α)的值.
菁优网版权所有

?2010-2015 菁优网

菁优网

www.jyeoo.com (2)利用两角和公式和二倍角公式对函数解析式进行恒等变换,进而利用三角函数性质和周期公式求得函 数最小正周期和单调增区间. 解答: 解: (1)∵ 0<α< ,且 sinα= , ∴ cosα= ,

∴ f(α)=cosα(sinα+cosα)﹣ , = ×( + )﹣

= . (2)f(x)=cosx(sinx+cosx)﹣ . =sinxcosx+cos x﹣ = sin2x+ cos2x = ∴ T= sin(2x+ =π, ≤2x+ ≤2kπ+ ,k∈Z,得 kπ﹣ ,kπ+ ≤x≤kπ+ ],k∈Z. ,k∈Z, ) ,
2

由 2kπ﹣

∴ f(x)的单调递增区间为[kπ﹣

点评: 本题主要考查了三角函数恒等变换的应用.考查了学生对基础知识的综合运用.

25. (2015?河南二模)已知向量 =(cosA,﹣sinA) , =(cosB,sinB) , ? =cos2C,其中 A、B、C 为△ ABC 的 内角. (Ⅰ )求角 C 的大小; (Ⅱ )若 AB=6,且 ,求 AC、BC 的长.

考点: 数量积的坐标表达式;三角函数中的恒等变换应用. 专题: 计算题;平面向量及应用. 分析: 2 (I) ? =cos2C,由向量数量积公式,结合二倍角的余弦公式化简得 2cos C+cosC﹣1=0,解出 cosC= ,
菁优网版权所有

结合 C∈(0,π)可得角 C 的大小; (II)由 利用向量的数量积公式算出 ? =36,根据余弦定理 AB =AC +BC ﹣
2 2 2

2AC?BCcosC=36,化简得 AC+BC=12,两式联解即可算出 AC、BC 的长. 解答: 解: (Ⅰ )∵ =(cosA,﹣sinA) , =(cosB,sinB) , ∴ ? =cos2C,即 cosAcosB﹣sinAsinB=cos(A+B)=﹣cosC=cos2C,…(2 分) 化简得:2cos C+cosC﹣1=0,…(4 分)
?2010-2015 菁优网
2

菁优网

www.jyeoo.com 故 cosC= (cosC=﹣1 舍去) ∵ C∈(0,π) ,∴ C= (Ⅱ )∵
2

. ,∴
2

…(7 分) ?
2

cos

=36,即

?

=36. ① …(9 分)

由余弦定理得 AB =AC +BC ﹣2AC?BCcos60°=36, 化简得:AC+BC=12 ② …(12 分) 联解① ② ,可得 AC=BC=6. …(14 分) 点评: 本题给出向量含有三角函数的坐标, 在已知数量积的情况下解三角形 ABC. 着重考查了向量的数量积公式、 解三角形等知识,属于中档题.

26. (2014?重庆)已知函数 f(x)= 相邻两个最高点的距离为 π. (Ⅰ )求 ω 和 φ 的值; (Ⅱ )若 f( )= ( <α<

sin(ωx+φ) (ω>0,﹣

≤φ<

)的图象关于直线 x=

对称,且图象上

) ,求 cos(α+

)的值.

考点: 函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换;运用诱导公式化简求值. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: (Ⅰ )由题意可得函数 f(x)的最小正周期为 π 求得 ω=2.再根据图象关于直线 x=
菁优网版权所有

对称,结合﹣

≤φ



可得 φ 的值. )= .再根据 α﹣ 的范围求得 cos(α﹣ )的值,再根据 cos(α+ )

(Ⅱ )由条件求得 sin(α﹣ =sinα=sin[(α﹣ 解答: )+

],利用两角和的正弦公式计算求得结果. =π,∴ ω=2. ,k∈z.

解: (Ⅰ )由题意可得函数 f(x)的最小正周期为 π,∴ 再根据图象关于直线 x= 结合﹣ ≤φ< )= )= < 对称,可得 2× . ) , )= . +φ=kπ+

可得 φ=﹣ ( <α<

(Ⅱ )∵ f(

∴ sin(α﹣ 再根据 0<α﹣ ∴ cos(α﹣ ∴ cos(α+ = +

,∴ sin(α﹣ ,

)= )=sinα=sin[(α﹣ = . )+

=

, )cos +cos(α﹣ )sin

]=sin(α﹣

点评: 本题主要考查由函数 y=Asin(ωx+φ)的部分图象求函数的解析式,两角和差的三角公式、的应用,属于中
?2010-2015 菁优网

菁优网

www.jyeoo.com 档题.

?2010-2015 菁优网


推荐相关:

专题二:三角函数,三角恒等变换,平面向量,解三角形2015.1.9

专题二:三角函数,三角恒等变换,平面向量,解 三角形 菁优网 www.jyeoo.com 专题二:三角函数,三角恒等变换,平面向量,解 三角形 2015.1.9 一.选择题(共 11 ...


专题二 三角函数、平面向量与解三角形

专题二 三角函数平面向量解三角形 第 6 讲 三角恒等变换三角函数 题型(频率) 考例(难度) 选择(5) 2012 辽宁卷 7(A),2012 广东卷 16(B),2012 考点...


专题二三角函数、解三角形、平面向量

专题二三角函数解三角形平面向量_高一数学_数学...1)对三角恒等变换公式掌握不牢,化简方向不明确.(2...(α+β)的值; 2 2 9 2 3 1 1 (2)已知 ...


【新步步高】2016高考数学二轮专题突破 专题二 三角函数、解三角形与平面向量 第2讲 三角变换与解三角形 理

【新步步高】2016高考数学二轮专题突破 专题二 三角函数解三角形平面向量 第...热点 三角恒等变换 1.三角求值“三大类型” “给角求值”、“给值求值”、...


高考数学三轮复习试题 专题三角函数、解三角形、平面向量 第2讲 三角变换与解三角形(B卷)理(含解析)

专题3 三角函数解三角形平面向量第 2 讲 三角...(每题 5 分,共 45 分) 1.(2015·黑龙江省...【答案】A 【命题立意】三角恒等变换,余弦定理,考...


2014-2015高中数学第二轮复习 专题二 三角函数与平面向量 专题二 第二讲 三角变换与解三角形

2014-2015高中数学第二轮复习 专题二 三角函数平面向量 专题二 第二讲 三角变换解三角形_高三数学_数学_高中教育_教育专区。专题二 第二讲 三角变换与解三角...


专题二 三角函数与平面向量解析版

专题二 、考点分析与知识网络 三角函数平面向量...平面向量解三角形, 复习这三部分内容应牢牢把握三...,三角恒等变换,三角函 数性质和图像的平移变换, ...


2013年高考数学(课标版)原创预测题(理科):专题二 三角函数、三角变换、解三角形、平面向量、复数

专题二:三角函数三角变换解三角形平面向量、复数(新课标 理科)一、 选择题 1、若 sin ? +2icos ? =2i,则 ? 的取值为( k? ) , k ? Z} ? ...


专题三三角函数、三角变换、解三角形、平面向量第二讲三角变换与解三角形

专题三角函数三角变换解三角形平面向量第二讲三角变换解三角形_数学_...2tan α (3)tan 2α= . 1-tan2α 3. 三角恒等变换的基本思路 (1)“...


2016高考数学二轮复习 专题2 三角函数、三角变换、解三角形、平面向量 专题综合检测二 文

2016高考数学二轮复习 专题2 三角函数三角变换解三角形平面向量 专题综合...2 8 2 8 → 6.(2015?新课标Ⅰ卷)已知点 A(0,1) ,B(3,2) ,向量AC...

网站首页 | 网站地图
3986 3986.net
文档资料库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@qq.com