3986.net
小网站 大容量 大智慧
当前位置:首页 >> 数学 >>

选修1-1第三章导数及其应用答案


第三章
3.1.1
一、基础过关 1.函数 y=1 在[2,2+Δx]上的平均变化率是 A.0 B.1 C.2

导数及其应用
变化率问题
( A )

D.Δx f(x0+Δ x)-f(x0) 2.函数 y=f(x)在 x0 到 x0+Δ x 之间的平均变化率 中,Δ x 不可能是( C). Δx

A.大于 0

B.小于 0

C.等于 0

D.大于 0 或小于 0

3.如果质点 M 按规律 s=3+t2 运动,则在一小段时间[2,2.1]中相应的平均速度是 ( B). A.4 解析 B.4.1 C.0.41 D.3

(3+2.12)-(3+22) = =4.1. 0.1 ( C ).

4.函数 y=x2+x 在 x=1 到 x=1+Δ x 之间的平均变化率为 A.Δ x+2 解析
5.

B.2Δ x+(Δ x)2

C.Δ x+3

D.3Δ x+(Δ x)2

Δy f(1+Δx)-f(1) (1+Δx)2+(1+Δx)-(12+1) = = =Δx+3. Δx Δx Δx

函数 f(x)=5-3x2 在区间[1,2]上的平均变化率为__-9________.

1 1 6.已知函数 y=2+ ,当 x 由 1 变到 2 时,函数的增量Δ y=____- x 2 解析 1? 1 ? Δy=?2+2?-(2+1)=-2. ? ?

7.一个作直线运动的物体,其位移 s 与时间 t 的关系是 s=3t-t2,则物体在 t=0 到 t=2 之间的平 均速度为___ 1_____. 解析 物体在 t=0 到 t=2 之间的平均速度为 (3×2-22)-0 =1. 2-0
-8-2Δx

8.求函数 y=-2x2+5 在区间[2,2+Δx]内的平均变化率.

3.1.2

导数的概念

1.设函数 f(x)可导,则 lim → A.f′(1)

f?1+Δx?-f?1? 等于 3Δx 1 B.3f′(1) C. f′(1) D.f′(3) 3
Δx 0

( C

)

2.函数 y=3x2 在 x=1 处的导数为

( B

)

A.12 B.6 C.3 D.2 3.如果某物体的运动方程为 s=2(1-t2)(s 的单位为 m,t 的单位为 s),那么其在 1.2 s 末的瞬时速度为( A).

A.-4.8 m/s

B.-0.88 m/s

C.0.88 m/s D.4.8 m/s

解析 物体运动在 1.2 s 末的瞬时速度即为 s 在 1.2 处的导数,利用导数的定义即可求得. 4.已知 f(x)=x -3x,则 f′(0)=( C). A.Δ x-3 B.(Δ x) -3Δ x 解析 f′(0)=错误!未指定书签。
2 2

C.-3

D.0 (Δ x) -3Δ x =错 Δx
2

f(0+Δ x)-f(0) =错误!未指定书签。 Δx

误!未指定书签。

(Δ x-3)=-3.

5.已知函数 f(x)在 x=1 处可导,且 f′(1)=1,则错误!未指定书签。 解析 根据导数的定义,

f(1+x)-f(1) =___1. x

错误!未指定书签。

f(1+x)-f(1) =f′(1)=1. x

1 6.利用导数的定义,求函数 y= 2+2 在点 x=1 处的导数.

x



∵Δ y=?

1 ? ? ? 1 ? -2xΔ x-(Δ x) ,∴Δ y= -2x-Δ x , 2+2?-? 2+2?= 2 2 Δ x (x+Δ x) ·x ?(x+Δ x) ? ?x ? (x+Δ x)2·x2 Δy =错误!未指定书签。 Δx -2x-Δ x 2 2 2=- 3,∴y′|x=1=-2. (x+Δ x) ·x x 16 1

2

∴y′=错误!未指定书签。
2

7.求函数 y=f(x)=2x +4x 在 x=3 处的导数. 8.若函数 f(x)=ax +c,且 f′(1)=2,求 a 的值.
2

3.1.3

导数的几何意义
B). D.165°

3? 1 2 ? 1.已知曲线 y= x -2 上一点 P?1,- ?,则过点 P 的切线的倾斜角为( 2? 2 ? A.30° B.45° C.135°

1 2 解析 ∵y= x -2,∴y′= 2

1 ?1 2 ? 2 (x+Δ x) -2-? x -2? 2 ?2 ? 错误!未指定书签。 Δx



1 2 (Δ x) +x·Δ x 2 错误!未指定书签。 =错误!未指定书签。 Δx

?x+1Δ x?=x.∴y′| =1. ? 2 ? x=1 ? ?

则切线的倾斜角为 45°. π 2 2.在曲线 y=x 上切线倾斜角为 的点是 4 A.(0,0)
2

( 1 1 C.( , ) 4 16 1 1 D.( , ) 2 4

D )

B.(2,4)

3.设曲线 y=ax 在点(1,a)处的切线与直线 2x-y-6=0 平行,则 a 等于 1 1 A.1 B. C.- D.-1 2 2 1 4.曲线 y=- 在点(1,-1)处的切线方程为

(

A )

x

(

A )

A.y=x-2

B.y=x

C.y=x+2

D.y=-x-2

1 5.已知函数 y=f(x)的图象在点 M(1,f(1))处的切线方程是 y= x+2,则 f(1)+f′(1)=___3_____. 2 6.若曲线 y=2x -4x+P 与直线 y=1 相切,则 P=__3______. 解析 设切点为(x0,1),f′(x0)=4x0-4,由题意知,4x0-4=0,x0=1,即切点为(1,1),所以 1=2-4+p, ∴p=3. 7.求过点 P(-1,2)且与曲线 y=3x -4x+2 在点 M(1,1)处的切线平行的直线. 解 先求曲线 y=3x -4x+2 在点 M(1,1)处的斜率, 3(1+Δ x) -4(1+Δ x)+2-3+4-2 错误!未指定书签。 = Δx
2 2 2 2

k=y′(1)=
(3Δ x+2)=2.

错误!未指定书签。

设过点 P(-1,2)且斜率为 2 的直线为 l,则由点斜式:y-2=2(x+1),化为一般式:2x-y+4=0. 所以,所求直线方程为 2x-y+4=0. 8.已知抛物线 y=x +4 与直线 y=x+10.求: (1)它们的交点; (2)抛物线在交点处的切线方程. 2 ?y=x +4, ?x=-2 ?x=3 ? ? ? 解 (1)由? 解得? 或? .∴抛物线与直线的交点坐标为(-2,8)或(3,13). ? ? ? ?y=x+10, ?y=8 ?y=13 (2)∵y=x +4,∴y′=Δ lim x→0
2 2

? x+Δ x?

2

+4-? x +4? ? =Δ lim x → 0 Δx

2

Δ x?

+2x·Δ x =Δ lim (Δ x+2x)=2x. x→0 Δx

2

∴y′|x=-2=-4,y′|x=3=6,即在点(-2,8)处的切线斜率为-4,在点(3,13)处的切线斜率为 6. ∴在点(-2,8)处的切线方程为 4x+y=0; 在点(3,13)处的切线方程为 6x-y-5=0. 2 9.曲线 y=x -3x 上的点 P 处的切线平行于 x 轴,求点 P 的坐标. 解 设 P(x0,y0),Δ y=(x+Δ x) -3(x+Δ x)-(x -3x)=2x·Δ x+(Δ x) -3Δ x, Δ y 2x·Δ x+(Δ x) -3Δ x = =2x+Δ x-3. Δx Δx
2 2 2 2

Δy = Δx

(2x+Δ x-3)=2x-3,

9? 3 9 ?3 ∴y′|x=x0=2x0-3,令 2x0-3=0 得 x0= ,代入曲线方程得 y0=- ,∴P? ,- ?. 4? 2 4 ?2

3.2.2
一、基础过关

基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(一)

1.已知 f(x)=x2,则 f′(3)=( C). A.0 B.2x C.6 D.9 解析 ∵f(x)=x2,∴f′(x)=2x,∴f′(3)=6.

2.函数 f(x)=0 的导数为( A ). A.0 B.1 C.不存在 D.不确定 解析 常数函数导数为 0.

3.曲线 y=xn 在 x=2 处的导数为 12,则 n 等于( C). A.1 B.2 C.3 解析 D.4

对 y=xn 进行求导,得 nxn-1=12,代入验证可得 n=3.

4.下列结论中正确的个数为 ( D ) 1 1 2 1 ①y=ln 2,则 y′= ②y= 2,则 y′|x=3=- ③y=2x,则 y′=2xln 2 ④y=log2x,则 y′= 2 x 27 xln 2 A.0 B.1 C.2 D.3

1 5.过曲线 y= 上一点 P 的切线的斜率为-4,则点 P 的坐标为 x 1 1 ? ? 1 1 ? ? ? A.? B.? C.? ?2,2? ?2,2?或?-2,-2? ?-2,-2? 6.已知 f(x)=x ,若 f′(-1)=-4,则 a 的值等于 A.4 B.-4
x

( B 1 ? D.? ?2,-2?

)

a

( A )

C.5

D.-5

7.已知直线 y=kx 是曲线 y=e 的切线,则实数 k 的值为( D ) 1 1 A. B.- C.-e D.e e e

3 _1 3 3 8.曲线 y= x3在点 Q(16,8)处的切线的斜率是___8_____.∵y=x4,∴y′=4x 4 ,∴y′|x=16=8.
4 9 9.曲线 y= 在点 M(3,3)处的切线方程是___x+y-6=0_____. x

3

9 ∵y′=-x2,∴y′|x=3=-1,∴过点(3,3)的斜率为-1 的切线方程为:y-3=-(x-3)即 x+y-6= 0.
10.若 y=10x,则 y′|x=1=___10ln 10_____. 1 3 11.曲线 y= 在 x=1 处的切线的倾斜角的正切值为__- ____. 4 4 3 x 12.设函数 y=f(x)是一次函数,已知 f(0)=1,f(1)=-3,则 f′(x)=___-4_____. 解析 ∵f(x)=ax+b,由 f(0)=1,f(1)=-3,可知 a=-4,b=1,∴f(x)=-4x+1,∴f′(x)=-4. 13.函数 f(x)=

x x x的导数是________.

解析 答案 7 · 8

14.求下列函数的导数: x 1 x 5 1-2cos2 ?. (1)y=x x;(2)y= 4;(3)y= x3; (4)y=log2x2-log2x; (5) y=-2sin ? 4? x 2? 3 4 3 1 .解 (1)y′= x (2)y′=- 5 (3)y′= (4)y′= (5)y′=cos x 2 x x· ln 2 5 2 5 x 3 15 求与曲线 y= x2在点 P(8,4)处的切线垂直于点 P 的直线方程. 3x+y-28=0 16.在曲线 y=x3+x-1 上求一点 P,使过 P 点的切线与直线 y=4x-7 平行. 解 ∵y′=3x2+1.∴3x2 1.当 x0=1 时,y0=1,此时切线为 y-1=4(x-1) 0+1=4,∴x0=±

即 y=4x-3 与 y=4x-7 平行.∴点为 P(1,1),当 x0=-1 时,y0=-3, 此时切线 y=4x+1 也满足条件.∴点也可为 P(-1,-3), 综上可知点 P 坐标为(1,1)或(-1,-3). 17.已知抛物线 y=x2,直线 x-y-2=0,求抛物线上的点到直线的最短距离. 根据题意可知与直线 x-y-2=0 平行的抛物线 y=x2 的切线,对应的切点到直线 x-y-2=0 的距离最短,设切 1 ?1 1? 点坐标为(x0,x2 0),则 y′|x=x0=2x0=1,所以 x0= ,所以切点坐标为 2,4 ,切点到直线 x-y-2=0 的距离 ? ? 2

d=

?1-1-2? ?2 4 ? 7 2
2 = 8

7 2 ,所以抛物线上的点到直线 x-y-2=0 的最短距离为 . 8

3.2.2
一、基础过关 1.下列结论不正确的是 A.若 y=3,则 y′=0

基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(二)

( D ) B.若 f(x)=3x+1,则 f′(1)=3 +1 2 x 1 D.若 y=sin x+cos x,则 y′=cos x+sin x ( B )

C.若 y=- x+x,则 y′=-

2.若函数 f(x)=ax4+bx2+c 满足 f′(1)=2,则 f′(-1)等于 B.-2 C.2 D.0 x+1 3.设曲线 y= 在点(3,2)处的切线与直线 ax+y+1=0 垂直,则 a 等于 x-1 1 1 A.2 B. C.- D.-2 2 2 的斜率为 A.4 1 B.- 4 C.2 ( A ) 1 D.- 2 A.-1

( D )

4.设函数 f(x)=g(x)+x2,曲线 y=g(x)在点(1,g(1))处的切线方程为 y=2x+1,则曲线 y=f(x)在点(1,f(1))处切线

cos x 5.函数 y= 的导数是( 1-x A. -sin x+xsin x (1-x)2 B.

C). cos x-sin x+xsin x C. (1-x)2 D. cos x-sin x+xsin x 1-x

xsin x-sin x-cos x (1-x)2

解析

(-sin x)(1-x)-cos x·(-1) cos x-sin x+xsin x ?cos x? y′=? 1-x ?′= = . (1-x)2 (1-x)2 ? ?

6.已知 f(x)=ax3+3x2+2,若 f′(-1)=4,则 a 的值为(B). 19 A. 3 解析 10 B. 3 13 C. 3 16 D. 3

10 ∵f′(x)=3ax2+6x,∴f′(-1)=3a-6=4,∴a= 3 .

1 7.已知 a 为实数,f(x)=(x2-4)(x-a),且 f′(-1)=0,则 a=___ _____. 2 8.若某物体做 s=(1-t)2 的直线运动,则其在 t=1.2 s 时的瞬时速度为___0.4 m/s_____.

9.已知函数 f(x)=x4+ax2-bx,且 f′(0)=-13,f′(-1)=-27,则 a+b 等于_____18___. 解析 ?f′(0)=-13, ?-b=-13, ?a=5, ∵f′(x)=4x3+2ax-b,由? ?? ∴? ?f′(-1)=-27 ?-4-2a-b=-27. ?b=13.

∴a+b=5+13=18.
3 10.函数 f(x)=x3+4x+5 的图象在 x=1 处的切线在 x 轴上的截距为__- 7

解析

3 f′(x)=3x2+4,f′(1)=7,f(1)=10,∴y-10=7(x-1),当 y=0 时,x=-7.

11.求下列函数的导数: (1)y=(2x2+3)(3x-1); (1)y′=18x2-4x+9 (2)y=( x-2)2; 1 (2)y′=1-2x- 2 x x (3)y=x-sin cos . 2 2 1 (3)y′=1- cos x 2

3.3.1
一、基础过关

函数的单调性与导数

1.命题甲:对任意 x∈(a,b),有 f′(x)>0;命题乙:f(x)在(a,b)内是单调递增的.则甲是乙的 A.充分不必要条件
3 2

( A ) ( A ) ( B ) )

B.必要不充分条件 B.减函数 B.y=xe2 C.常数

C.充要条件
2

D.既不充分也不必要条件

2.函数 f(x)=x +ax +bx+c,其中 a,b,c 为实数,当 a -3b<0 时,f(x)是 A.增函数 A.y=sin x D.既不是增函数也不是减函数 D.y=ln x-x 3.下列函数中,在(0,+∞)内为增函数的是 C.y=x3-x 4.如果函数 f(x)的图象如图,那么导函数 y=f′(x)的图象可能是

( A

5.已知函数 f(x)的导函数 f′(x)=ax2+bx+c 的图象如图所示,则 f(x)的图象可能是

( D ).

解析 当 x<0 时, 由导函数 f′(x)=ax2+bx+c<0, 知相应的函数 f(x)在该区间上单调递减; 当 x>0 时, 由导函数 f′(x) =ax2+bx+c 的图象可知,导数在区间(0,x1)内的值是大于 0 的,则在此区间内函数 f(x)单调递增. 6.在下列结论中,正确的有 (1)单调增函数的导数也是单调增函数; (3)单调函数的导数也是单调函数; A.0 个 B.2 个 C.3 个 (2)单调减函数的导数也是单调减函数; (4)导函数是单调的,则原函数也是单调的. D.4 个 举反例:(1)y=ln x. 1 (2)y= (x>0).(3)y=2x. (4)y=x2 x ( A. ). C.(-∞,1) D.(-∞,+∞) ( A ).

1 7.函数 y= x2-ln x 的单调减区间是 2 A.(0,1) B.(0,1)∪(-∞,-1)

1 1 1 ∵y= x2-ln x 的定义域为(0,+∞),∴y′=x- ,令 y′<0,即 x- <0,解得:0<x<1 或 x<-1.又∵x>0,∴0<x<1, 2 x x 8.若函数 f(x)=x3-ax2-x+6 在(0,1)内单调递减,则实数 a 的取值范围是 A.a≥1 B.a=1 C.a≤1 D.0<a<1 ( A ).

解析 ∵f′(x)=3x2-2ax-1,又 f(x)在(0,1)内单调递减,∴不等式 3x2-2ax-1<0 在(0,1)内恒成立,∴f′(0)≤0, 且 f′(1)≤0,∴a≥1. 9.函数 y=ax3-x 在 R 上是减函数,则 a 的取值范围为__.a≤0______. 1 ? 10.函数 f(x)=xln x(x>0)的单调递增区间是__? ?e,+∞?______. 1 1 1 ? 解析 由 f′(x)=ln x+x·=ln x+1>0,解得 x> .故 f(x)的单调增区间是? ?e,+∞?. x e 11.若三次函数 f(x)=ax3+x 在区间(-∞,+∞)内是增函数,则 a 的取值范围是__(0,+∞)______. 解析 f′(x)=3ax2+1,∴f(x)在 R 上为增函数,∴3ax2+1≥0 在 R 上恒成立.又 a≠0,∴a>0.

12.使 y=sin x+ax 为 R 上的增函数的 a 的范围是__ (1,+∞)_____. 解析 ∵y′=cos x+a>0,∴a>-cos x 对 x∈R 恒成立.∴a>1. 13.已知 f(x)=x2+2xf′(1),则 f′(0)=____-4____. ∵f(x)=x2+2xf′(1)∴f′(x)=2x+2f′(1)∴f′(1)=2×1+2f′(1),∴f′(1)=-2.∴f′(0)=2×0+2f′(1)=2×(-2)=-4. 3 ? 14.函数 y=f(x)在其定义域? 其图象如图所示, 记 y=f(x)的导函数为 y=f′(x), 则不等式 f′(x)≤0 ?-2,3?内可导, 1 ? 的解集为_____? ?-3,1?∪[2,3)_____________.

π 5π? 15.函数 y=x-2sin x 在(0,2π)内的单调递增区间为___? ?3, 3 ?_____. 16.已知函数 y=f(x)的导函数 f′(x)的图象如图所示,试画出函数 y=f(x)的大致图象. 由 y=f′(x)的图象可以得到以下信息: x<-2 或 x>2 时, f′(x)<0, -2<x<2 时, f′(x)>0,

f′(-2)=0,f′(2)=0.故原函数 y=f(x)的图象大致如下: 17.已知函数 f(x)=x3+ax+8 的单调递减区间为(-5,5),求函数 f(x)的递增区间. f′(x)=3x2+a.∵(-5,5)是函数 y=f(x)的单调递减区间,则-5,5 是方程 3x2+a=0 的根,∴a=-75.此时 f′(x) =3x2-75,令 f′(x)>0,则 3x2-75>0,解得 x>5 或 x<-5∴函数 y=f(x)的单调递增区间为(-∞,-5)和(5,+∞). 18.求下列函数的单调区间: (1)y=x-ln x; 1 (2)y= . 2x

(1)函数 y=x-ln x 的单调增区间为(1,+∞),单调减区间为(0,1) 1 (2)函数 y= 的单调减区间为(-∞,0),(0,+∞),没有单调增区间 2x 19.已知函数 f(x)=x3+bx2+cx+d 的图象经过点 P(0,2),且在点 M(-1,f(-1))处的切线方程为 6x-y+7=0. (1)求函数 y=f(x)的解析式; 解 (2)求函数 y=f(x)的单调区间. (1)由 y=f(x)的图象经过点 P(0,2),知 d=2,∴f(x)=x3+bx2+cx+2,f′(x)=3x2+2bx+c. 由在点 M(-1,f(-1))处的切线方程为 6x-y+7=0,知-6-f(-1)+7=0,即 f(-1)=1,f′(-1)=6. ?3-2b+c=6 ?2b-c=-3 ? ? ∴? ,即? 解得 b=c=-3.故所求的解析式是 f(x)=x3-3x2-3x+2. ? ? - 1 + b - c + 2 = 1 b - c = 0 ? ? (2)f′(x)=3x2-6x-3.令 f′(x)>0,得 x<1- 2或 x>1+ 2;令 f′(x)<0,得 1- 2<x<1+ 2.

故 f(x)=x3-3x2-3x+2 的单调递增区间为(-∞,1- 2)和(1+ 2,+∞),单调递减区间为(1- 2,1+ 2).

3.3.2

函数的极值与导数

一、基础过关 1.函数 y=f(x)的定义域为(a,b),y=f′(x)的图象如图,则函数 y=f(x)在 开区间(a,b)内取得极小值的点有 A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 2.函数 f(x)的定义域为 R,导函数 f′(x)的图象如图所示,则函数 f(x) A.无极大值点,有四个极小值点 C.有两个极大值点,两个极小值点 ( A ) ( C ).

B.有三个极大值点,两个极小值点 D.有四个极大值点,无极小值点

f′(x)的符号由正变负,则 f(x0)是极大值,f′(x)的符号由负变正,则 f(x0)是极小值, 易知有两个极大值点, 两个极小值点. 3.下列关于函数的极值的说法正确的是 A.导数值为 0 的点一定是函数的极值点 C.函数在定义域内有一个极大值和一个极小值 A.2 B.3 3 5.函数 y=1+3x-x 有 B.函数的极小值一定小于它的极大值 D.若 f(x)在(a,b)内有极值,那么 f(x)在(a,b)内不是单调函数 ( D ) ( D. ). C.极小值-2,极大值 2 D.极小值-1,极大值 3 C.6 D.9 (D )

4.若 a>0,b>0,且函数 f(x)=4x3-ax2-2bx+2 在 x=1 处有极值,则 ab 的最大值等于

A.极小值-1,极大值 1 B.极小值-2,极大值 3

f′(x)=-3x2+3,由 f′(x)=0 可得 x1=1,x2=-1.由极值的判定方法知 f(x)的极大值为 f(1)=3,极小值为 f(-1) =1-3+1=-1 6.函数 y=x3-3x2-9x(-2<x<2)有 A.极大值 5,极小值-27 ( C B.极大值 5,极小值-11 ) B.当 x∈(-∞, 1)时,f′(x)>0;当 x∈(1, C.极大值 5,无极小值 7.已知函数 f(x),x∈R,且在 x=1 处,f(x)存在极小值,则 A.当 x∈(-∞, 1)时,f′(x)>0;当 x∈(1, +∞)时,f′(x)<0 +∞)时,f′(x)>0 C.当 x∈(-∞, 1)时,f′(x)<0;当 x∈(1, +∞)时,f′(x)>0 D.当 x∈(-∞, 1)时,f′(x)<0;当 x∈(1, +∞)时,f′(x)<0 8.若函数 y=x3-3ax+a 在(1,2)内有极小值,则实数 a 的取值范围是 A.1<a<2 B.1<a<4 9.下列函数存在极值的是 1 A.y= x B.y=x-ex C.2<a<4 D.a>4 或 a<1 ( B ) ( C ) D.极小值-27,无极大值

( B.
C.y=x3+x2+2x-3 D.y=x3

).

1 A 中 f′(x)=- 2,令 f′(x)=0 无解,且 f(x)为双曲函数,∴A 中函数无极值.B 中 f′(x)=1-ex,令 f′(x)=0 可得 x x =0.当 x<0 时,f′(x)>0;当 x>0 时,f′(x)<0.∴y=f(x)在 x=0 处取极大值,f(0)=-1.C 中 f′(x)=3x2+2x+2,Δ=4 -24=-20<0.∴y=f(x)无极值,D 也无极值.故选 10.三次函数当 x=1 时有极大值 4,当 x=3 时有极小值 0,且函数过原点,则此函数是 A.y=x3+6x2+9x B.y=x3-6x2+9x C.y=x3-6x2-9x D.y=x3+6x2-9x ( B).

?f′(1)=3+2b+c=0, ? 解析 三次函数过原点,可设 f(x)=x3+bx2+cx,则 f′(x)=3x2+2bx+c.由题设有? 解 ?f′(3)=27+6b+c=0, ?

得 b=-6,c=9.∴f(x)=x3-6x2+9x,f′(x)=3x2-12x+9=3(x-1)· (x-3).当 x=1 时,函数 f(x)取得极大值 4, 当 x=3 时,函数取得极小值 0,满足条件. 11.函数 f(x)=2x3-6x2-18x+7 A.在 x=-1 处取得极大值 17,在 x=3 处取得极小值-47 B.在 x=-1 处取得极小值 17,在 x=3 处取得极大值-47 C.在 x=-1 处取得极小值-17,在 x=3 处取得极大值 47 解析 D.以上都不对 ( A).

f′(x)=6x2-12x-18,令 f′(x)=0,解得 x1=-1,x2=3.当 x 变化时,f′(x),f(x)的变化情况如 x f′(x) f(x) (-∞,-1) + ? -1 0 极大值 (-1,3) - 3 0 极小值 (3,+∞) + ?

∴当 x=-1 时,f(x)取得极大值,f(-1)=17;当 x=3 时,f(x)取得极小值,f(3)=-47. 12.函数 f(x)=x3+3ax2+3(a+2)x+3 既有极大值又有极小值,则实数 a 的取值范围是__(-∞,-1)∪(2,+∞) 解析 ∵f′(x)=3x2+6ax+3(a+2),令 3x2+6ax+3(a+2)=0,即 x2+2ax+a+2=0,∵函数 f(x)有极大值和极小 值,∴方程 x2+2ax+a+2=0 有两个不相等的实数根,即Δ=4a2-4a-8>0,解得 a>2 或 a<-1. 13.设函数 f(x)=6x3+3(a+2)x2+2ax.若 f(x)的两个极值点为 x1,x2,且 x1x2=1,则实数 a 的值为____9____. 14.如果函数 y=f(x)的导函数的图象如图所示,给出下列判断: 1? ? 1 ? ①函数 y=f(x)在区间? ?-3,-2?内单调递增; ②函数 y=f(x)在区间?-2,3?内单调递减; ③函数 y=f(x)在区间(4,5)内单调递增; 1 ⑤当 x=- 时,函数 y=f(x)有极大值. 2 ④当 x=2 时,函数 y=f(x)有极小值; 则上述判断正确的是__③______.(填序号)

x2 15. 已知函数 y= , 当 x=___0_____时取得极大值___0_____; 当 x=__ 2______时取得极小值___ 4_____. x-1 (x2)′(x-1)-x2(x-1)′ x2-2x x2 解析 y′=( )′= = .y′>0?x>2, 或 x<0, y′<0?0<x<2, 且 x≠1, 2 x-1 (x-1) (x-1)2 x2 ∴y= 在 x=0 处取得极大值 0,在 x=2 处取得极小值 4. x-1 16.函数 y=x3-6x+a 的极大值为__a+4 2______,极小值为__a-4 2______. ∵y′=3x2-6,令 y′=0,得 x=± 2,当 x<- 2或 x> 2时,y′>0;当- 2<x< 2时,y′<0,∴函数在 x =- 2时取得极大值 a+4 2,在 x= 2时取得极小值 a-4 2. 17.已知函数 y=ax3+bx2,当 x=1 时函数有极大值 3, (1)求 a,b 的值; 解 (2)求函数 y 的极小值.

? ? ?3a+2b=0, ?a=-6, (1)y′=3ax2+2bx,当 x=1 时,y′=3a+2b=0,又 y=a+b=3,即? 解得? 经检验,x= ?a+b=3, ?b=9. ? ?

1 是极大值点,符合题意,故 a,b 的值分别为-6,9. (2)y=-6x3+9x2,y′=-18x2+18x,令 y′=0,得 x=0 或 x=1.∴当 x=0 时,函数 y 取得极小值 0. 18.求下列函数的极值:

x3-2 (1)f(x)= ; 2?x-1?2

(2)f(x)=x2e x.


3 1)当 x=-1 时,函数有极大值,并且极大值为 f(-1)=- 8 (2)当 x=0 时,函数有极小值,且为 f(0)=0;当 x=2 时,函数有极大值,且为 f(2)=4e 19.设 a 为实数,函数 f(x)=x3-x2-x+a. 解
2
-2

求 f(x)的极值; 1 (1)f′(x)=3x -2x-1.令 f′(x)=0,则 x=- 或 x=1.当 x 变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表: 3 1 1 1 (-∞,- ) - (- ,1) (1,+∞) x 1 3 3 3 f′(x) f(x) + 0 - ↘ 0 极小值 + ↗

↗ 极大值 1 5 所以 f(x)的极大值是 f(- )= +a,极小值是 f(1)=a-1. 3 27

3.3.3
一、基础过关

函数的最大(小)值与导数

1.函数 f(x)=-x2+4x+7,在 x∈[3,5]上的最大值和最小值分别是 A.f(2),f(3)
3 2

(B D.f(5),f(3) ( C

) )

B.f(3),f(5) C.2

C.f(2),f(5) D.4

2.f(x)=x -3x +2 在区间[-1,1]上的最大值是 B.0 ln x 3.函数 y= 的最大值为 x A.e
-1

A.-2

( A ) C.e2 10 D. 3 ( C D.无最值 ( C ) )

B.e

4x 4.函数 y= 2 在定义域内 x +1 A.有最大值 2,无最小值
2

B.无最大值,有最小值-2 C.有最大值 2,最小值-2 15 5.已知函数 y=-x -2x+3 在区间[a,2]上的最大值为 ,则 a 等于 4 3 1 1 1 3 A.- B. C.- D. 或- 2 2 2 2 2 2 6.函数 y=x(1-x )在[0,1]上的最大值为 2 A. 3 9 2 B. 2 9 4 C. 2 9 3 D. 8

( A ).

3 3 3 3 2 解析 y′=1-3x2=0,∴x=± .当 0<x< 时,y′>0;当 <x<1 时,y′<0.所以当 x= 时,y 极大值= 3;当 x= 3 3 3 3 9 0 时,y=0;当 x=1 时,y=0.所以当 x= 3 2 时,ymax= 3. 3 9 ( B ). 1 D.0<a< 2

7.函数 f(x)=x3-3ax-a 在(0,1)内有最小值,则 a 的取值范围为 A.0≤a<1 B.0<a<1 C.-1<a<1

∵f′(x)=3x2-3a,令 f ′(x)=0,可得 a=x2,又∵x∈(0,1),∴0<a<1 8.设 f(x)=x(ax2+bx+c)(a≠0)在 x=1 和 x=-1 处均有极值,则下列点中一定在 x 轴上的是 ( A ). A.(a,b) B.(a,c) C.(b,c) D.(a+b,c)

2b f′(x)=3ax2+2bx+c,由题意知-1,1 是方程 3ax2+2bx+c=0 的两根,由根与系数的关系知 1-1=- ,b=0, 3a

x3 9.函数 y= +x2-3x-4 在[0,2]上的最小值是 3 17 A.- 3 10 B.- 3 C.-4 64 D.- 3

( A. ).

解析 y′=x2+2x-3(x∈[0,2]),令 x2+2x-3=0,知 x=-3 或 x=1 为极值点.当 x=1 时,ymin=-

17 , 3

10. 已知函数 f(x)=2x3-6x2+m(m 为常数)在[-2, 2]上有最大值 3, 那么此函数在[-2, 2]上的最小值为( A ). A.-37 B.-29 C.-5 D.-11

解析 ∵f′(x)=6x2-12x=6x(x-2),由 f′(x)=0 得 x=0 或 2.∵f(0)=m,f(2)=-8+m,f(-2)=-40+m,显然 f(0)>f(2)>f(-2),∴m=3,最小值为 f(-2)=-37. 11.已知 f(x)=-x2+mx+1 在区间[-2, -1]上最大值就是函数 f(x)的极大值, 则 m 的取值范围是__[-4, -2]_____. π π 12.函数 y=x+2cos x 在区间?0, ?上的最大值是__ + 3___ 6 2? ? π π π π y′=1-2sin x=0,x= ,比较 0, , 处的函数值,得 ymax= + 3. 6 6 2 6 π π 13.函数 f(x)=sin x+cos x 在 x∈?- , ?的最大、最小值分别是____ 2 ? 2 2? -1___.f′(x)=cos x-sin x=0,即

π π π π π π π π tan x=1,x=kπ+ ,(k∈Z),而 x∈?- , ?,当- <x< 时,f′(x)>0;当 <x< 时,f′(x)<0,∴f? ? 4 2 4 4 2 ? 2 2? ?4? π π π π π 是极大值.又 f? ?= 2,f?- ?=-1,f? ?=1,∴函数最大值为 f? ?= 2,最小值为 f?- ?=-1. 4 2 2 4 ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2? 4(x2+1)-2x· 4x -4x2+4 4x 14. 函数 f(x)= 2 , x∈[-2, 2]的最大值是____2____, 最小值是__-2___∵y′= = 2 , x +1 (x2+1)2 (x +1)2 8 8 令 y′=0 可得 x=1 或-1.又∵f(1)=2,f(-1)=-2,f(2)= ,f(-2)=- ,∴最大值为 2,最小值为-2. 5 5 3 1 15.如果函数 f(x)=x3- x2+a 在[-1,1]上的最大值是 2,那么 f(x)在[-1,1]上的最小值是__- ______. 2 2 5 1 f′(x)=3x2-3x,令 f′(x)=0 得 x=0,或 x=1.∵f(0)=a,f(-1)=- +a,f(1)=- +a,∴f(x)max=a=2.∴f(x)min 2 2 5 1 =- +a=- . 2 2 16 不等式 x 3 — 3x 2 + 2 — a < 0 在区间 x∈[﹣1,1]上恒成立,则实数 a 的取值范围(2,+∞) . 解:原不等式等价于 x ﹣3x +2<a 区间 x∈[﹣1,1]上恒成立设函数 f(x)=x ﹣3x +2,x∈[﹣1,1]求出导 数:f (x)=3x ﹣6x,由 f (x)=0 得 x=0 或 2 可得在区间(﹣1,0)上 f (x)>0,函数为增函数,在区 间(0,1)上 f (x)<0,函数为减函数,因此函数在闭区间[﹣1,1]上在 x=0 处取得极大值 f(0)=2, 并且这个极大值也是最大值,所以实数 a>2 故答案为: (2,+∞) 17 若关于 x 的不等式 x +1≥kx 在[1,2]上恒成立,则实数 k 的取值范围是(﹣∞,2] . 1 2 解:∵关于 x 的不等式 x +1≥kx 在[1,2]上恒成立,∴k≤x+ ,∵ 在[1,2]上的最小值是当 x=2 时的 x 函数值 2,∴k≤2,∴k 的取值范围是(﹣∞,2]故答案为: (﹣∞,2]. 18.f(x)=ax ﹣3x(a>0)对于 x∈[0,1]总有 f(x)≥﹣1 成立,则 a 的范围为 [4,+∞] . 解:∵x∈[0,1]总有 f(x)≥﹣1 成立,即 ax ﹣3x+1≥0,x∈[0,1]恒成立 当 x=0 时,要使不等式恒成立则有 a∈(0,+∞)当 x∈(0,1]时,ax ﹣3x+1≥0 恒成立, 即有: 由 在 x∈(0,1]上恒成立,令 >0 得, =4, ,必须且只需 a≥[g(x)]max
3 3 3 2 / / 2 / / 3 2 3 2

所以函数 g (x) 在 (0, ]上是增函数, 在[ , 1]上是减函数, 所以

即 a≥4 综合以上可得:a≥4.答案为:[4,+∞) . 19.求函数 f(x)=x5+5x4+5x3+1 在区间[-1,4]上的最大值与最小值. 解 f′(x)=5x4+20x3+15x2=5x2(x+3)(x+1),由 f′(x)=0 得 x=0 或 x=-1 或 x=-3(舍),列表: x f′(x) f(x) -1 0 0 (-1,0) + ? 0 0 1 (0,4) + ? 2 625 4

又 f(0)=1,f(-1)=0,右端点处 f(4)=2 625, ∴函数 y=x5+5x4+5x3+1 在区间[-1,4]上的最大值为 2 625,最小值为 0. 20.已知函数 f(x)=-x3+3x2+9x+a. (1)求 f(x)的单调递减区间;(2)若 f(x)在区间[-2,2]上的最大值为 20,求它在该区间上的最小值. (1)∵f′(x)=-3x2+6x+9.令 f′(x)<0,解得 x<-1 或 x>3,∴函数 f(x)的单调递减区间为(-∞,-1),(3,+∞). (2)∵f(-2)=8+12-18+a=2+a,f(2)=-8+12+18+a=22+a,∴f(2)>f(-2)于是有 22+a=20,∴a=-2. ∴f(x)=-x3+3x2+9x-2.∵在(-1,3)上 f′(x)>0∴f(x)在[-1,2]上单调递增.又由于 f(x)在[-2,-1]上单调递 减∴f(2)和 f(-1)分别是 f(x)在区间[-2,2]上的最大值和最小值∴f(-1)=1+3-9-2=-7,即 f(x)最小值为-7. 21.已知函数 f(x)=2x3-6x2+a 在[-2,2]上有最小值-37,求 a 的值及 f(x)在[-2,2]上的最大值. 解 f′(x)=6x2-12x=6x(x-2),令 f′(x)=0,得 x=0 或 x=2,当 x 变化时,f′(x),f(x)变化情况如下表: x f′(x) f(x) -40+a -2 (-2,0) + ↗ 0 0 极大值 a (0,2) - ↘ 2 0 -8+a

∴当 x=-2 时,f(x)min=-40+a=-37,得 a=3.当 x=0 时,f(x)最大值为 3. 22.已知函数 f(x)=x3-ax2+bx+c(a,b,c∈R).若函数 f(x)在 x=-1 和 x=3 处取得极值,试求 a,b 的值; 解 (1)f′(x)=3x2-2ax+b,∵函数 f(x)在 x=-1 和 x=3 处取得极值,∴-1,3 是方程 3x2-2ax+b=0 的两根. 2 -1+3= a ? 3 ?a=3 ∴ ,∴? . b ?b=-9 ? -1×3= 3

? ? ?

23.函数 f(x)=x3+ax2+b 的图象在点 P(1,0)处的切线与直线 3x+y=0 平行. (1)求 a,b;(2)求函数 f(x)在[0,t] (t>0)内的最大值和最小值. ?f?1?=0 ?a+b+1=0 ?a=-3 ? ? ? 解 (1)f′(x)=3x2+2ax,由已知条件? 即? ,解得? . ? ? ? ?f′?1?=-3 ?2a+3=-3 ?b=2 (2)由(1)知 f(x)=x3-3x2+2,f′(x)=3x2-6x=3x(x-2).f′(x)与 f(x)随 x 变化情况如下: x f′(x) f(x) (-∞,0) + ?↗ 0 0 2 (0,2) - ↘ 2 0 -2 (2,+∞) + ↗

由 f(x)=f(0),解得 x=0,或 x=3.因此根据 f(x)图象,当 0<t≤2 时,f(x)的最大值为 f(0)=2,最小值为 f(t)=t3- 3t2+2;当 2<t≤3 时,f(x)的最大值为 f(0)=2,最小值为 f(2)=-2;当 t>3 时,f(x)的最大值为 f(t)=t3-3t2+2, 最小值为 f(2)=-2. 3 2 2 24.设函数 f(x)=2x -9x +12x+8c,若对任意的 x∈[0,3],都有 f(x)<c 成立,求 c 的取值范围. (Ⅰ)f '(x)=6x2+6ax+3b,因为函数 f(x)在 x=1 及 x=2 取得极值,则有 f'(1)=0,f'(2)=0. 即 6+6a+3b=0 24+12a+3b=0 解得 a=-3,b=4. (Ⅱ)由(Ⅰ)可知,f(x)=2x3-9x2+12x+8c,f'(x)=6x2-18x+12=6(x-1) (x-2) .

当 x∈(0,1)时,f'(x)>0;当 x∈(1,2)时,f'(x)<0;当 x∈(2,3)时,f'(x)>0. 所以,当 x=1 时,f(x)取得极大值 f(1)=5+8c,又 f(0)=8c,f(3)=9+8c. 则当 x∈[0,3]时,f(x)的最大值为 f(3)=9+8c. 因为对于任意的 x∈[0,3],有 f(x)<c2 恒成立,所以 9+8c<c2,解得 c<-1 或 c>9,因此 c 的取值范围为 (-∞,-1)∪(9,+∞) .

§ 3.4

生活中的优化问题举例

1.如果圆柱轴截面的周长 l 为定值,则体积的最大值为( A). l ?3 A.? ?6? π l ?3 B.? ?3? π l ?3 C.? ?4? π 1 l ?3 D. ? π 4?4?

l-4r l l 设圆柱的底面半径为 r 高为 h 体积为 V,则 4r+2h=l∴h= ,V=πr2h= πr2-2πr3 0<r<4 .则 V′=lπr- 2 2

(

)

l l l l 6πr2,令 V′=0,得 r=0 或 r= ,而 r>0∴r= 是其唯一的极值点.∴当 r= 时,V 取得最大值,最大值为 6 6 6 6
3

()

π. 2.若一球的半径为 r,作内接于球的圆柱,则其侧面积最大为 A.2π r2 B.π r2 C.4π r 1 D. π r2 2 (A )

设内接圆柱的高为 h 底面半径为 x,则由组合体的知识得 h2+(2x)2=(2r)2 又圆柱的侧面积 S=2πxh,∴S2=16π
2

(r2x2-x4),(S2)′=16π2(2r2x-4x3),令(S2)′=0 得 x=

2 r(x=0 舍去),∴Smax=2πr2 2

3.某公司生产一种产品, 固定成本为 20 000 元,每生产一单位的产品,成本增加 100 元,若总收入 R 与年产 x ? ?-900+400x,0≤x≤390, 量 x 的关系是 R(x)=? 则当总利润最大时,每年生产产品的单位数是( D). ? ?90 090,x>390, A.150 B.200 C.250
3 3

D.300

x ? ?-900+300x-20 000,0≤x≤390, 解析 由题意得,总利润 P(x)=? 令 P′(x)=0,得 x=300 ?70 090-100x,x>390, ? 4.设底为正三角形的直棱柱的体积为 V,那么其表面积最小时,底面边长为( C). 3 A. V 3 B. 2V 3 C. 4V 3 D.2 V

1 4V 解析 设底面边长为 x,侧棱长为 l,则 V= x2·sin 60°·l,∴l= ,∴S 表=2S 底+3S 侧=x2·sin 60°+3· x·l 2 3x2 = 3 2 4 3V 4 3V 3 ? 3 ? 3 x+ , S′表= 3x- 2 .令 S′表=0, ∴x3=4V, 即 x= 4V.又当 x∈? S′表<0; 当 x∈? ?0, 4V?时, ? 4V,V?, 2 x x

3 S′表>0,∴当 x= 4V时,表面积最小. 5. 把长为 12 cm 的细铁丝截成两段, 各自摆成一个正三角形, 那么这两个正三角形的面积之和的最小值是(D 3 A. 3 cm2 2 B.4 cm2 C.3 2 cm2 D.2 3 cm2 ).

解析 设一个正三角形的边长为 x cm,则另一个正三角形的边长为(4-x)cm,则这两个正三角形的面积之和为 S = 3 2 3 3 x + (4-x)2= [(x-2)2+4]≥2 3(cm2) 4 4 2

6.有矩形铁板,其长为 6,宽为 4,现从四个角上剪掉边长为 x 的四个小正方形,将剩余部分折成一个无盖的长 方体盒子,要使容积最大,则 x=___ 5- 7 ____.可列出 V=(6-2x)(4-2x)· x,求导求出 x 的最大值. 3

7.如图所示,某厂需要围建一个面积为 512 平方米的矩形堆料场,一边可以利用原有的墙壁,其他三边需要砌 新的墙壁,当砌壁所用的材料最省时,堆料场的长和宽分别为__32;16______.

512 解析 要求材料最省就是要求新砌的墙壁总长度最短,设场地宽为 x 米,则长为 米, x 因此新墙壁总长度 L=2x+ 512 512 (x>0),则 L′=2- 2 .令 L′=0,得 x=± 16.∵x>0,∴x=16. x x

512 当 x=16 时,Lmin=64,此时堆料场的长为 =32(米). 16 8.做一个无盖的圆柱形水桶,若要使其体积是 27π ,且用料最省,则圆柱的底面半径为___ 3_____. 27 解析 设圆柱的底面半径为 R,母线长为 L,则 V=πR2L=27π,∴L= 2,要使用料最省,只须使圆柱表面积 R 54π 27 最小,由题意,S 表=πR2+2πRL=πR2+2π· ,∴S′(R)=2πR- 2 =0,∴R=3,则当 R=3 时,S 表最小. R R 9.如图所示,已知矩形的两个顶点位于 x 轴上,另两个顶点位于抛物线 y=4-x2 在 x 轴上方的曲线上,求这个 矩形面积最大时的边长.



设矩形边长 AD=2x,则|AB|=y=4-x2,则矩形面积为 S=2x(4-x2)(0<x<2),即 S=8x-2x3,S′=8-6x2, 2 2 2 2 ,x2=- (舍去).当 0<x< 时,S′>0;当 x> 时,S′<0, 3 3 3 3

令 S′=0,解得 x1= 所以当 x=

2 32 3 4 3 8 时,S 取得最大值,此时,S 最大值= .即矩形的边长分别为 , 时,矩形的面积最大. 9 3 3 3


推荐相关:

选修1-1导数及其应用章末... 8页 1下载券 《选修2-2 第一章 导数及......(x)=3x . 答案:C D.3x2+1 例 2: 曲线 y=f(x)在点(x0,f(x0) ...


数学选修 1-1 第三章导数及其应用测试题答案一、选择题 1.A 2.C f ' ( x) ? sin x, f ' (? ) ? sin ? y ' = 3x2 + 1 > 0 对于任何实数...


第三章导数及其应用第三章导数及其应用》单元测试题、 的导数是( 1.函数 f ( x ) = (2πx ) 的导数是( 2 选择题( 小题, 只有答案...


高三数学选修1-1第三章导数及其应用专项练习(带答案)_从业资格考试_资格考试/认证_教育专区。导数的考察一般都伴随着函数,以下是第三章导数及其应用专项练习,希望...


(选修1-1)第三章 导数及其应用综合训练(含答案_数学_高中教育_教育专区。导数训练题 1.函数 y = x3 - 3x2 - 9x (- 2 < x < 2)有( 2.若 f ' ...


选修1-1第三章_导数及其应用导学案_高三数学_数学_高中教育_教育专区。第三章 导数及其应用 §3.1.1 变化率问题 【使用课时】 :1 课时 【学习目标】 :1....


选修1-1第三章导数及其应用》前两节同步练习_数学_高中教育_教育专区。选修 ...《导数及其应用》前两节同步练习详细答案 1、C.解析: 3、B.解析: 4、A.5...


选修1-1第三章 导数及其应用 测试题_数学_高中教育_教育专区。第三章测试 (...答案 A ππ 10. 已知函数 f(x)=x-sinx, 若 x1, x2∈[-2, 且 f(...


选修1-1第三章导数导学案及其应用课后作业及参考答案_数学_高中教育_教育专区 暂无评价|0人阅读|0次下载 选修1-1第三章导数导学案及其应用课后作业及参考答案_...


(数学选修 1-1)第三章 [基础训练 A 组] 一、选择题 1 新疆 源头学子小屋 http://www.xjktyg.com/wxc/ 导数及其应用 f ( x0 ? h) ? f ( x0 ?...

网站首页 | 网站地图
3986 3986.net
文档资料库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@qq.com