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2013届高考一轮数学复习理科课件(人教版)选修4-5 不等式选讲 第2课时0不等式的证明与柯西不等式


高考调研

高三数学(新课标版· 理)

2013届高考一轮数学复习理科课件(人教版)

选考部分

选修系列4
提示:选修部分请根据 教学要求选用!

选考部分

选修系列4

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不等式选讲

不等式的证明与柯西不等式

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2012· 考纲下载

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1.了解证明不等式的基本方法:比较法、综合法、 分析法、放缩法、数学归纳法. 2.了解柯西不等式、排序不等式以及贝努利不等式, 能利用均值不等式、柯西不等式求一些特定函数的极值.

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请注意!

不等式的证明是中学数学的难点.柯西不等式只要求 会简单应用.

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注:不等式证明的基本方法详见本书第十二章第 2,3 课时. 1.平均值不等式 a1+a2+?+an n a a ?a 1 1 2 n ≥_________≥ 1 1 n 1. a1+a2+?+an

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2.贝努利不等式 若 x∈R,且 x>-1,x≠0,n>1,n∈N,则(1+x)n>1
nx +_____.

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3.柯西不等式 (1)设 a1,a2,?,an,b1,b2,?,bn 是实数,则(a2 n 1 2 ( ?aibi) 2 2 2 2 2 +a2+?+an)(b 1+b2+?+bn)≥_______.当且仅当 bi= i=1 0(i=1,2,?,n)或存在一个数 k,使得 ai=kbi(i=1,2,?, n)时,等号成立.

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(2)柯西不等式的向量形式:设 α、β 是两个向量,则 |α·β|≤|α||β|. 当且仅当 β 是零向量,或存在实数 k,使 α=kβ 时, 等号成立.

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4.排序不等式 若 a1≤a2≤?≤an,b1≤b2≤?≤bn 为两组实数,c1, c2,?,cn 是 b1,b2,?,bn 的任一排列,则 a1bn+a2bn-
a1c1+a2c2+?+ancn 1 +?+anb1≤______________________≤a1b1 +a2b2 +?

+anbn.当且仅当 a1=a2=?=an 或 b1=b2=?=bn 时,反 序和等于顺序和.

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1 1 1 a b 1. 已知 0<a< , M= 且 + , N= + , b 1+a 1+b 1+a 1+b 则 M、N 的大小关系是( A.M<N C.M=N
答案 B

) B.M>N D.不确定

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解析 由已知得 0<ab<1, 1 1 a b 故 M-N= + - - 1+a 1+b 1+a 1+b 1-a 1-b 2?1-ab? = + = >0, 1+a 1+b ?1+a??1+b? 故 M>N.

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2.若 x,y∈R 且满足 x+3y=2,则 3x+27y+1 的最 小值是( ) B.1+2 2 D.7

3 A.3 9 C.6

答案

D

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3.函数 f(x)= 3x+ 3?1-x?的最大值=________.
答案 6

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解析 式得

3x+ 3?1-x?= 3x+ 3-3x,由柯西不等

( 3x+ 3-3x)2≤(12+12)[( 3x)2+( 3-3x)2]=6, ∴ 3x+ 3-3x≤ ?1+1?· ?3x+3-3x?= 6.

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1 1 4.(2011· 湖南理)设 x,y∈R,则(x + 2)( 2+4y2)的 y x
2

最小值为________.

答案

9

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1 1 1 2 2 2 解析 (x + 2)( 2 +4y )=1+4+4x y + 2 2≥1+4+ y x xy 1 2 2 1 2 2 2 4x y ·2 2=9, 当且仅当 4x y = 2 2时等号成立, 即|xy| xy xy 2 = 2 时等号成立.
2

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注:综合法、分析法、数学归纳法见本书第七章.

题型一

放缩法证明不等式

例1 (a2+b2).

(2010· 江苏理)设 a, 是非负实数, b 求证:3+b3≥ ab a

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【解析】 由 a,b 是非负实数,作差得 a3 +b3 - ab(a2 +b2)=a2 a( a- b)+b2 b( b- a) =( a- b)(( a)5-( b)5). 当 a≥b 时, a≥ b,从而( a)5≥( b)5,得( a- b)(( a)5-( b)5)≥0;

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当 a<b 时, a< b,从而( a)5<( b)5,得( a- b)(( a)5-( b)5)>0. 所以 a3+b3≥ ab(a2+b2).

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探究 1 放缩法是不等式证明的基本方法, 在不等式 证明中几乎处处存在. (1)放缩法证明不等式时,常见的放缩依据或技巧主 要有:①不等式的传递性;②等量加不等量为不等量;③ 同分子(母)异分母(子)的两个分式大小的比较. 缩小分母、 扩大分子,分式值增大;缩小分子,扩大分母,分式值减 小;

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全量不少于部分;每一次缩小和变小,但需大于所求;每 一次扩大其和变大, 但需小于所求, 即不能放缩不够或放 缩过头,同时放缩有时需便于求和.

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(2)放缩法的注意事项: 12 3 12 ①舍去或加上一些项,如(a+2) +4>(a+2) ; 1 1 1 ②将分子或分母放大(缩小),如 2< , k k?k-1? k2 1 1 2 1 2 > , < , > (k∈N*,k>1) k?k+1? k k+ k-1 k k+ k-1 等.

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③放大或缩小时注意要适当, 必须目标明确, 合情合 理,恰到好处,且不可放缩过大或过小,谨慎地添或减是 放缩法的基本策略.

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思考题 1 (2010· 辽宁理)已知 a,b,c 均为正数,证 1 1 12 明:a +b +c +(a+b+c) ≥6 3,并确定 a,b,c 为何
2 2 2

值时,等号成立.

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【解析】 证法一 值不等式得 a +b +c ≥3(abc)
2 2 2
- 2 3

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因为 a,b,c 均为正数,由平均

,①

1 1 1 1 - +b+ c≥3(abc) 3 , a 2 1 1 12 - 所以( + + ) ≥9(abc) 3 .② a b b 2 2 1 1 12 - 故 a +b +c +(a+b+ c) ≥3(abc) 3 +9(abc) 3 ,

2

2

2

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又 3(abc) +9(abc)

2 3



2 3

≥2 27=6 3,③

所以原不等式成立. 当且仅当 a=b=c 时, ①式和②式等号成立. 当且仅 当 3(abc) =9(abc)
2 3 - 2 3

时,③式等号成立.
1 4

当且仅当 a=b=c=3 时,原式等号成立.

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证法二 因为 a,b,c 均为正数,由基本不等式得 a2+b2≥2ab,b2+c2≥2bc,c2+a2≥2ac, 所以 a2+b2+c2≥ab+bc+ac, ① 1 1 1 1 1 1 同理a2+b2+c2≥ab+bc+ac, ② 1 1 12 1 1 故 a +b +c +( + + ) ≥ab+bc+ac+3 +3 a b c ab bc
2 2 2

1 +3ac≥6 3. ③

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所以原不等式成立. 当且仅当 a=b=c 时,①式和②式等号成立, 当且仅 当 a=b=c,(ab)2=(bc)2=(ac)2=3 时,③式等号成立. 即当且仅当 a=b=c=3 时,原式等号成立.
1 4

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题型二

三个正数的算术——几何平均不等式问题

例 2 已知 x∈R ,求函数 y=x(1-x2)的最大值. a+b+c 3 【思路】 利用平均值不等式 abc≤( ) (a>0, b>0, 3 c>0)求解.



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【解析】 ∵y=x(1-x2), 1 ∴y =x (1-x ) =2x (1-x )(1-x )·. 2
2 2 2 2 2 2 2

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∵2x2+(1-x2)+(1-x2)=2,
2 2 2 1 2x +1-x +1-x 3 4 ∴y2≤2( ) =27. 3

3 当且仅当 2x =1-x =1-x , x= 时, 即 取“=”, 3
2 2 2

2 3 2 3 ∴y≤ .∴ymax= . 9 9
选修4-5 第2课时

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1 1 1 思考题 2 设 a,b,c 为正实数,求证: 3+ 3+ 3+ a b c abc≥2 3.

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【证明】 因为 a,b,c 为正实数, 3 1 1 1 1 1 1 由平均不等式可得 3+ 3+ 3≥3 ··, a b c a3 b3 c3 1 1 1 3 1 1 1 3 即a3+b3+c3≥abc.所以a3+b3+c3+abc≥abc+abc. 3 而 +abc≥2 abc 3 · abc≥2 3. abc

1 1 1 所以 3+ 3+ 3+abc≥2 3. a b c

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题型三

柯西不等式的应用

例 3 (1)设 a,b,c 为正数且各不相等,求证: 2 2 2 9 + + > . a+b b+c c+a a+b+c 【思路】 因为 a、b、c 均为正数,所以要结论正确只需 1 1 1 证明 2(a+b+c)( + + )>9. a+b b+c c+a

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【证明】 ∵a,b,c 均为正数, ∴a+b>0,b+c>0,c+a>0.

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∵2(a+b+c)=(a+b)+(b+c)+(a+c), 1 1 1 ∴2(a+b+c)( + + ) a+b b+c a+c 1 = [( a+b ) + ( b+c ) + ( c+a ) ]· [( )2 + a+b
2 2 2

1 2 1 2 ( )+ ( )] b+c a+c

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≥(

a+b ×

1 + a+b

b+c ×

1 + b+c

c+a

1 2 × ) =9. c+a 1 1 1 ∴2(a+b+c)( + + )≥9. a+b b+c c+a 当且仅当 a+b=b+c=c+a, 即 a=b=c 时,等号成立.

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又 a,b,c 各不相等,等号不成立, 1 1 1 ∴2(a+b+c)( + + )>9, a+b b+c c+a 2 2 2 9 即 + + > . a+b b+c c+a a+b+c

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探究 2 (1)利用柯西不等式证明不等式, 先使用拆项 重组、 添项等方法构造符合柯西不等式的形式及条件, 再 使用柯西不等式解决有关问题. (2)利用柯西不等式求最值,实质上就是利用柯西不 等式进行放缩, 放缩不当则等号可能不成立, 因此一定不 能忘记检验等号成立的条件.

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(2)若 3x+4y=2,试求 x2+y2 的最小值及最小值点. 【思路】 由于 3x+4y=2,则可以构造(32+42)(x2

+y2)≥(3x+4y)2 的形式,从而使用柯西不等式求出最值.

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【解析】 解法一 由柯西不等式 (x2+y2)(32+42)≥(3x+4y)2,① 得 25(x2+y2)≥4, 4 所以 x +y ≥25.
2 2

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x y 不等式①中当且仅当 = 时等号成立,为求最小值 3 4 点,需解方程组:

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6 ? ?3x+4y=2, ?x=25, ? ?x y 解得? ?3=4, ?y= 8 . ? ? 25 6 8 因此当 x=25,y=25时,x2+y2 取得最小值,最小值 4 6 8 为 ,最小值点为( , ). 25 25 25

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解法二 令 a=(3,4),b=(x,y),则 a· b=3x+4y,|a|= 32+42=5,|b|= x2+y2. ∵|a· b|≤|a|· |b|(柯西不等式的向量形式), ∴|3x+4y|≤5 x2+y2, |3x+4y|2 4 ∴x2+y2≥ 25 =25. 其他同解法一.

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思考题 3 设 x≥0,y≥0,z≥0,a、b、c、d、l、m、 l n 是给定的正数,并且 ax+by+cz=δ 为常数,求 ω=x+ m n + 的最小值. y z

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【解析】 由柯西不等式,得 ω· δ=[( ( cz)2] ≥( al+ bm+ cn)2, ? al+ bm+ cn?2 所以 ω≥ . δ l 2 x) +( m2 y ) +( n2 ) ]· ax)2 +( by)2 + z [(

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利用柯西不等式成立的条件, x=k 得 z=k

l , y=k a

m , b

n δ c ,其中,k= al+ bm+ cn,它们使得 ax+by

? al+ bm+ cn?2 +cz=δ,且 ω= ,所以 ω 的最小值为 δ ? al+ bm+ cn?2 . δ

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题型四
例4

排序不等式的应用

设 a1,a2,?,an 是几个互不相同的正整数,求证:

1 1 1 a2 a3 an 1+ + +?+ ≤a1+ 2+ 2+?+ 2. 2 3 n 2 3 n 【思路】 a1,a2,?,an 是 n 个互不相同的正整数,因

此它们可以从小到大地排序,观察问题中的式子,可以猜想到 1 1 1 与 a1,a2,?,an 对应的另一列数是 1, 2, 2,?, 2,由此 2 3 n 联想到用排序不等式证明.
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【解析】 证明 设 b1,b2,?,bn 是 a1,a2,?, an 的一个排列,且满足 b1<b2<?<bn,因为 b1,b2,?, bn 是互不相同的正整数,故 b1≥1,b2≥2,?,bn≥n. 1 1 1 又因为 1>22>32>?>n2,

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a2 a3 an b 2 b3 故由排序不等式, a1+ 2+ 2+?+ 2≥b1+ 2+ 2 得 2 3 n 2 3 bn 1 1 1 1 1 +?+ n2 ≥1×1+2× 22 +3× 32 +?+n× n2 =1+ 2 + 3 1 +?+n.

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探究 3

应用排序原理证明不等式的关键是找出两

组有序数组,通常可以从函数单调性去寻找

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1.对于柯西不等式要特别注意其向量形式的几何意 义,从柯西不等式的几何意义出发就得到了三角不等式, 柯西不等式的一般形式也可以写成向量形式.

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2. 对于排序不等式要抓住它的本质含义: 两实数序列 同方向单调(同时增或同时减)时所得两两乘积之和最大, 反方向单调(一增一减)时所得两两乘积之和最小,注意等 号成立条件是其中一序列为常数序列.

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