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2014版通用《复习方略》(人教A版数学理)阶段滚动检测(六)


阶段滚动检测(六)第一~十章
(120 分钟 150 分)
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项 中,只有一项是符合题目要求的) 1.(滚动单独考查)已知复数 z 满足(1+i)z=1-i,则复数 z 的共轭复数 z 错误!未 找到引用源。=( (A)-i (B)i ) (C)1+i (D)1-i )

2.(滚动单独考查)已知集合 M={x|x2-2x-3=0},N={x|-2<x≤4},则 M∩N=( (A){x|-1<x≤3} (C){-3,1} (B){x|-1<x≤4} (D){-1,3}

3.(2013·杭州模拟)将 a,b,c,d,e 五个字母填入图中的五个方格中,每个方格 恰好填一个字母,则 a,b 不填在相邻两个格子(相邻两个格子是指它们有一条公 共边)中的填法数为( )

(A)72

(B)96

(C)116

(D)120

4.把一枚硬币连续抛两次,记“第一次出现正面”为事件 A, “第二次出现正面” 为事件 B,则 P(B|A)等于( )

?A?

1 1 1 1 ????????????? B ? ???????????? C ? ??????????????? D ? 2 4 6 8

5.如图,三行三列的方阵中有 9 个数 aij(i=1,2,3;j=1,2,3),从中任取三个 数,则至少有两个数位于同行或同列的概率是(
-1-

)

?A?

3 4 13 1 ????????? B ? ????????? C ? ?????????? D ? 7 7 14 14

6.在 Rt△ABC 中,A=30°,过直角顶点 C 作射线 CM 交线段 AB 于 M,则使|AM|>|AC| 的概率为 ( )

?A?

1 12

? B?

1 6

?C?

1 3

?D?

1 2

7.(滚动单独考查)若向量 a,b 满足|a|=|b|=2,a 与 b 的夹角为 60°,则|a+b|= ( )

? A? 2 ? C? 4

2? 3

? B? 2 3 ? D ?12

8.将一个骰子连续抛掷三次,它落地时向上的点数依次成等差数列的概率为 ( )

?A?

1 9

? B?

1 12

? C?

1 15

? D?

1 18

9.(滚动单独考查)设方程 2-x=|lg x|的两根为 x1,x2,则以下关系正确的是( (A)x1x2<0 (C)x1x2=1 (B)0<x1x2<1 (D)x1x2>1

)

10.体育课的排球发球项目考试的规则是每位学生最多可发球 3 次,一旦发球成 功,则停止发球,否则一直发到 3 次为止.设学生一次发球成功的概率为 p(p ≠0),发球次数为 X,若 X 的数学期望 E(X)>1.75,则 p 的取值范围是(
7 7 )??????????????????????????????? B ? ( , 1) 12 12 1 1 1) ? C ? (0, )????????????????????????????????? D ? ( , 2 2

)

? A ? (0,

-2-

? x ? y ? 1 ? 0, ? 11.(滚动单独考查)若实数 x,y 满足 ? x ? y ? 0, 则 z=2x+3y 的最大值是 ? x ? 0, ?

(

)

(A)0

(B)

1 2

(C)2

(D)3

12.连掷两次骰子分别得到点数 m,n,向量 a=(m,n),b=(-1,1),若在△ABC 中, AB 错误! 未找到引用源。 与 a 同向, CB 与 b 反向,则∠ABC 是钝角的概率是 ( )

?A?

5 12

? B?

7 12

?C?

3 9

?D?

4 9

二、 填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.请把正确答案填在题中横线 上) 13.某批花生种子,每颗种子的发芽率为 , 若每次播下 5 颗花生种子,则每次种 子发芽颗数的平均值为_____颗,方差为_____. 14.设 A 为圆周上一定点,在圆周上等可能地任取一点与 A 连接,弦长超过半径的 错误!未找到引用源。倍的概率为 .
4 5

15.(2013·忻州模拟)已知实数 x∈[0,8],执行如图所示的程序框图,则输出的 x 不小于 55 的概率为 .

16.(滚动交汇考查)数列{an}是首项为 1,公比为 2 的等比数列,则
0 1 2 3 99 100 =_______. a1C100 ? a 2C100 ? a3C100 ? a 4C100 ??? a100C100 ? a101C100

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.解答时应写出必要的文字说明、证明过 程或演算步骤)
-3-

1) n=(cos ,cos 2 ). 17.(10 分)(滚动单独考查)已知向量 m=( 3sin ,,

x 4

x 4

x 4

(1)若 m· n=1,求 cos(

2? -x) 的值. 3

(2)记 f(x)=m· n,在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c,且满足 (2a-c)cos B=bcos C,求 f(A)的取值范围. 18.(12 分)(2012·广东高考)某班 50 位学生期中考试数学成绩的频率分布直方 图如图所示,其中成绩分组区间是: [40,50), [50,60), [60,70), [70,80), [80,90), [90,100] .

(1)求图中 x 的值. (2)从成绩不低于 80 分的学生中随机选取 2 人,该 2 人中成绩在 90 分以上(含 90 分)的人数记为ξ ,求ξ 的数学期望. 19.(12 分)(滚动单独考查)设集合 W 是满足下列两个条件的无穷数列{an}的集 合:
① a n ? a n ?2 ? a n ?1;②a n ? M.其中n ? N*, M 是与 n 无关的常数. 2

(1)若{an}是等差数列,Sn 是其前 n 项的和,a4=2,S4=20,证明:{Sn}∈W. (2)设数列{bn}的通项为 bn=5n-2n,且{bn}∈W,求 M 的取值范围.
-4-

(3)设数列{cn}的各项均为正整数,且{cn}∈W.证明 cn≤cn+1. 20.(12 分)某单位实行休年假制度三年以来,对 50 名职工休年假的次数进行的 调查统计结果如下表所示:

根据上表信息解答以下问题: (1)从该单位任选两名职工,用η 表示这两人休年假次数之和,记“函数 f(x) =x2-η x-1 在区间(4,6)上有且只有一个零点”为事件 A,求事件 A 发生的概 率 P. (2)从该单位任选两名职工,用ξ 表示这两人休年假次数之差的绝对值,求随机 变量ξ 的分布列及数学期望 E(ξ ). 21.(12 分)(2012·新课标全国卷) 某花店每天以每枝 5 元的价格从农场购进若 干枝玫瑰花,然后以每枝 10 元的价格出售.如果当天卖不完,剩下的玫瑰花作 垃圾处理. (1)若花店一天购进 16 枝玫瑰花,求当天的利润 y(单位:元)关于当天需求量 n(单位:枝,n∈N)的函数解析式. (2)花店记录了 100 天玫瑰花的日需求量(单位:枝),整理得下表:

以 100 天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率.
-5-

①若花店一天购进 16 枝玫瑰花,X 表示当天的利润(单位:元),求 X 的分布列、 数学期望及方差; ②若花店计划一天购进 16 枝或 17 枝玫瑰花,你认为应购进 16 枝还是 17 枝? 请说明理由. 22.(12 分)(2013·昆明模拟)某射击比赛的规则如下: ①每位选手最多射击 3 次,每次射击击中目标,方可进行下一次射击,否则停 止; ②第 i 次射击时,规定击中目标得(4-i)分,否则得 0 分(i=1,2,3). 已知选手甲每次射击击中目标的概率均为 0.8,且其各次射击结果互不影响. (1)求甲恰好射击两次就停止的概率. (2)设选手甲停止射击时的得分总数为ξ ,求随机变量ξ 的分布列及数学期望.

答案解析
?1 ? i ? ? ?i ? z ? i. 1? i ? 1.【解析】选 B. z ? 1 ? i ?1 ? i ??1 ? i ?
2

2.【解析】选 D.M={x|x2-2x-3=0}={-1,3},所以 M∩N={-1,3}.
3 3.【解析】选 A.a,b 相邻有 4A2 2 种方法,而其他三个元素的排列方法有 A3 种, 3 ?共有 4A2 (种) , 而 a,b,c,d,e 填入五个方格的所有方法共有 A5 (种) , 2 A3 =48 5 =120

?符合题意的填法共有 120-48=72(种). 【变式备选】甲、乙、丙 3 人进行擂台赛,每局 2 人进行单打比赛,另 1 人当 裁判,每一局的输方当下一局的裁判,由原来裁判向胜者挑战,比赛结束后,
-6-

经统计,甲共打了 5 局,乙共打了 6 局,而丙共当了 2 局裁判,那么整个比赛 共进行了 ( (A)9 局 (C)13 局 (B)11 局 (D)18 局 )

【解析】选 A.由题意甲与乙之间进行了两次比赛,剩余赛事为甲与丙或乙与丙 进行,因此比赛场数为 5+6-2=9.
1 P(AB) 4 1 4.【解析】选 A.方法一: P ? B | A ?= = = . P(A) 1 2 2

方法二:A 包括的基本事件为{正,正},{正,反},AB 包括的基本事件为{正, 正},因此 P(B|A)= . 5.【解析】选 C.所取三个数既不同行也不同列的概率为
1 13 1- = . 14 14
1 2

6 1 故所求概率为 = , 3 C9 14

6.【思路点拨】因为过一点作射线是均匀的,因而应把在∠ACB 内作射线 CM 看作 是等可能的,基本事件是射线 CM 落在∠ACB 内任一处,这符合几何概型的条件. 【解析】选 B.如图所示,

设事件 D 为“作射线 CM,使|AM|>|AC|”.在 AB 上取点 C'使|AC'|=|AC|,因为 △ACC'是等腰三角形,所以∠ACC'=错误!未找到引用源。=75°, 只有当∠ACM>75°时,
-7-

|AM|>|AC|. 所以 P(D)=
90? ? 75? 1 ? . 90? 6

7.【解析】选 B.|a+b|2=|a|2+|b|2+2|a||b|cos60° =4+4+2〓2〓2〓错误!未找到引用源。=12, 即|a+b|= 2 3. 8. 【解析】 选 B.将一个骰子连抛三次,共有 n=63 种不同情形.其中,落地时向上的 点数依次成等差数列的有:①公差 d=〒1 的有 4〓2=8(种);②公差为〒2 的有 2 〓 2=4( 种 ); ③ 公 差 d=0 的 有 6 种 , 共 有 m=8+4+6=18( 种 ), 故 所 求 概 率 为 P= = 3 = . 9.【解析】选 B.不妨设 x1<x2,则-x1>-x2,
?2?x1>2?x2,即 lg x1 > lg x2 .
m n 18 6 1 12

≧x1<x2,?-lg x1>lg x2, ?lg(x1x2)<0,?0<x1x2<1. 10.【解析】选 C.发球次数 X 的分布列如下表,

所以期望 E(X)=p+2(1-p)p+3(1-p)2>1.75, 解得 p ? (舍去)或p ? , 又 p>0,故选 C. 11.【解析】选 D.平面区域如图,阴影部分的顶点坐标分别为 O(0,0), A(0,1),B(-错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。 ),
1 2

5 2

1 2

-8-

所以 zmax=3. 12.【解析】选 A.要使∠ABC 是钝角,必须满足 AB CB <0,即 a· b=n-m>0,连掷两次 骰子所得点数 m,n 共有 36 种情形,其中 15 种满足条件,故所求概率是
4 5 5 . 12 4 5

13.【解析】每次种子发芽的颗数记为ξ,则ξ~B(5, ),E(ξ)= 5 ? =4,
4 1 4 D(?)=5 ? ? = . 5 5 5 4 答案: 4?????? 5

14.【解析】不妨设圆心为 O,在圆周上,任取一点 B 与 A 连接, 则弦长超过半径的 2 倍时有∠AOB∈( , ? ), 由几何概型的公式得 答案:
1 2 ? 3 2 2

270-90 1 = . 360 2

15.【解析】≧0≤x≤8, ?当 n=1 时,1≤2x+1≤17,即 1≤x≤17, 当 n=2 时,3≤2x+1≤35,即 3≤x≤35, 当 n=3 时,7≤2x+1≤71,即 7≤x≤71, ?输出的 x 不小于 55 的概率为 答案:错误!未找到引用源。 16.【解析】依题意 a n ? 2n ?1
0 1 2 3 99 100 ? a1C100 ? a 2C100 ? a 3C100 ? a 4 C100 ??? a100 C100 ? a101C100 0 2 2 3 3 99 99 100 100 ? 20C100 ? 21C1 100 ? 2 C100 ? 2 C100 ??? 2 C100 ? 2 C100

71 ? 55 16 1 ? ? . 71 ? 7 64 4

? ?1 ? 2 ?

100

? 1.
-9-

答案:1 17.【解析】 ?1? m n= 3sin
x x x cos +cos 2 4 4 4

x 1+cos 3 x 2 ? sin( x ? ? ) ? 1 , = sin + 2 2 2 2 6 2 m n= 1, x ? 1 ? sin( ? )= . 2 6 2 ? x ? 1 cos(x ? )= 1-2sin 2 ( ? )= , 3 2 6 2 2? ? 1 cos( ? x)= ? cos(x ? )= ? . 3 3 2

(2)≧(2a-c)cos B=bcos C, 由正弦定理得(2sin A-sin C)cos B=sin Bcos C, ?2sin Acos B-sin Ccos B =sin Bcos C. ?2sin Acos B=sin(B+C). ≧A+B+C=π,?sin(B+C)=sin A≠0. ?cos B= , ≧0<B<π, ?B= ,
2? ? A ? ? ,? ? + ? , 3 6 2 6 2 A ? 1 sin( ? ) ? ( ,1). 2 6 2 x ? 1 又 f ? x ?=sin( ? )+ , 2 6 2 A ? 1 ? f ? A ?=sin( ? )+ , 2 6 2 ?0 ? A ?
? 3 1 2

故 f(A)的取值范围是 (1, ). 18.【解析】(1)由题设可知(3〓0.006+0.01+x+0.054)〓10=1,解之得
- 10 -

3 2

x=0.018. (2)由题设可知,成绩在区间[80,90)内的人数为 0.018〓10〓50=9, 成绩在区间[90,100]内的人数为 0.006〓10〓50=3, 所以不低于 80 分的学生人数为 9+3=12,ξ的所有可能取值为 0,1,2.
2 C9 6 P(?=0)= 2 = , C12 11

P(?= 1)=

1 C1 9 9 C3 = , 2 C12 22 2 C3 1 = . 2 C12 22

P(?=2)=

所以ξ的数学期望 E(ξ)= 0 ? +1?

6 11

9 1 1 +2 ? = . 22 22 2 1 3

【变式备选】某人向一目标射击 4 次,每次击中目标的概率为 . 该目标分为 3 个不同的部分,第一、二、三部分面积之比为 1∶3∶6.击中目标时,击中任何 一部分的概率与其面积成正比. (1)设 X 表示目标被击中的次数,求 X 的分布列. (2)若目标被击中 2 次,A 表示事件“第一部分至少被击中 1 次或第二部分被击 中 2 次” ,求 P(A). 【解析】(1)依题意,X 的分布列为

(2)设 Ai 表示事件“第一次击中目标时,击中第 i 部分” ,i=1,2,3. Bi 表示事件“第二次击中目标时,击中第 i 部分” ,i=1,2,3. 依题意知 P(A1)=P(B1)=0.1,P(A2)=P(B2)=0.3, P(A3)=P(B3)=0.6,
- 11 -

所求的概率为 P(A)=1-P(A3)P(B3)-P(A3)〃P(B2)-P(A2)P(B3)=0.28. 19.【解析】(1)设等差数列{an}的公差是 d,则 ? 解得 ?
?a1 ? 8, ? d ? ? 2,
n ? n ? 1? d ? ? n 2 ? 9n, 2 1 2 2 ? Sn ?1 ? [? ?n 2 ? 9n ? ? ? n ? 2 ? ? 9 ? n ? 2 ? ? 2 ? n ? 1? ? 18 ? n ? 1?] ? ?1<0, 2

?a1 ? 3d ? 2, ?4a1 ? 6d ? 20,

所以Sn ? na1 ? 由 Sn ? Sn ? 2 2

Sn ? Sn ? 2 <Sn ?1 适合条件①; 2 9 81 又 Sn=-n2+9n=-(n- )2+ , 所以当 n=4 或 5 时,Sn 取得最大值 20,即 Sn≤20,适 2 4



合条件②. 综上,{Sn}∈W. (2)因为 bn+1-bn=5(n+1)-2n+1-5n+2n=5-2n,所以当 n≥3 时, bn+1-bn<0, 此时数列{bn} 单调递减;当 n=1,2 时,bn+1-bn>0,即 b1<b2<b3,因此数列{bn}中的最大项是 b3=7, 所以 M≥7. (3)假设存在正整数 k,使得 ck>ck+1 成立. 由数列{cn}的各项均为正整数,可得 ck≥ck+1+1,即 ck+1≤ck-1. 因为
ck ? ck ?2 ? c k ?1, 所以, 2

ck?2 ? 2ck?1 ? ck ? 2 ? ck ?1? ? ck ? ck ? 2,

由 ck+2≤2ck+1-ck 及 ck>ck+1, 得 ck+2<2ck+1-ck+1=ck+1,故 ck+2≤ck+1-1. 因为
c k ?1 ? c k ?3 ? ck ?2 , 2
- 12 -

所以 ck+3≤2ck+2-ck+1≤2(ck+1-1)-ck+1=ck+1-2≤ck-3, 依次类推,可得 ck+m≤ck-m(m∈N*) 设 ck=p(p∈N*),则当 m=p 时,有 ck+p≤ck-p=0 这显然与数列{cn}的各项均为正整数矛盾. 所以假设不成立,即对于任意 n∈N*,都有 cn≤cn+1 成立. 20.【解析】(1)函数 f(x)=x2-ηx-1 过(0,-1)点,在区间(4,6)上有且只有 一个零点,则必有 ? ? 5,
当?=4时,P1=
1 1 C2 68 20+C10 C15 = , 2 C50 245

?f ? 4 ?<0 ? ?f ? 6 ?>0

即: ?

1 ? 0, ?16-4?- 15 35 解得 ? ? ? , 所以,η=4 或η= 4 6 1 ? 0, ?36-6?-

1 C1 12 20 C15 当?=5时,P2= 2 = , C50 49

η=4 与η=5 为互斥事件,所以有一个发生的概率
P=P1+P2= 68 12 128 + = . 245 49 245

(2)从该单位任选两名职工,用ξ表示这两人休年假次数之差的绝对值,则ξ的 可能取值分别是 0,1,2,3. 于是 P(ξ=0)

2 2 2 C5 +C10 +C2 2 20+C15 = , 2 C50 7

1 1 1 1 1 C1 22 5 C10+C10 C 20+C15 C 20 P(?= 1)= = , 2 C50 49

P(?=2)= P(?=3)=

1 1 1 C1 10 5 C 20+C10 C15 = , 2 C50 49 1 C1 3 5 C15 = . 2 C50 49

从而ξ的分布列:
- 13 -

ξ的数学期望:E(ξ)=0〓 + 1?

2 7

22 10 3 51 +2 ? +3 ? = . 49 49 49 49

21.【解析】(1)当日需求量 n≥16 时,利润 y=80. 当日需求量 n<16 时,利润 y=10n-80. 所以 y 关于 n 的函数解析式为 y=?
?10n-80,n ? 16, (n ? N). ?80,n ? 16

(2)①X 可能的取值为 60,70,80,并且 P(X=60)=0.1,P(X=70)=0.2,P(X=80)=0.7. X 的分布列为

X 的数学期望为 E(X)=60〓0.1+70〓0.2+80〓0.7=76. X 的方差为 D(X)=(60-76)2〓0.1+(70-76)2〓0.2+(80-76)2〓0.7=44. ②答案一: 花店一天应购进 16 枝玫瑰花.理由如下: 若花店一天购进 17 枝玫瑰花,Y 表示当天的利润(单位:元),那么 Y 的分布列 为

- 14 -

Y 的数学期望为 E(Y)=55〓0.1+65〓0.2+75〓0.16+85〓0.54=76.4. Y 的方差为 D ( Y )= (55 - 76.4)2 〓 0.1 + (65 - 76.4)2 〓 0.2 + (75 - 76.4)2 〓 0.16 + (85 - 76.4)2〓0.54 =112.04. 由以上的计算结果可以看出,D(X)<D(Y) ,即购进 16 枝玫瑰花时利润波动相 对较小. 另外,虽然 E(X)<E(Y) ,但两者相差不大.故花店一天应购进 16 枝玫瑰花. 答案二: 花店一天应购进 17 枝玫瑰花.理由如下: 若花店一天购进 17 枝玫瑰花时,Y 表示当天的利润(单位:元),那么 Y 的分布 列为

Y 的数学期望为 E(Y)=55〓0.1+65〓0.2+75〓0.16+85〓0.54=76.4. 由以上的计算结果可以看出,E(X)<E(Y) ,即购进 17 枝玫瑰花时的平均利润 大于购进 16 枝时的平均利润.故花店一天应购进 17 枝玫瑰花. 22.【解析】记“甲第 i 次击中目标的事件”为事件 Ai,则 P(Ai)=0.8, P( Ai )=0.2,i=1,2,3. (1)依题意可知 Ai 与 Aj(i,j=1,2,3,i≠j)相互独立,
- 15 -

所以所求的概率为 P(A1 A2) =P(A1)P( A 2 )=0.8〓0.2=0.16, 即甲恰好射击两次就停止的概率为 0.16. (2)ξ的可能取值为 0,3,5,6, P(ξ=0)=P( A1 )=0.2,P(ξ=3)= P(A1 A2 ) ? 0.16; P(ξ=5)= P(A1A2 A3) =0.8〓0.8〓0.2=0.128; P(ξ=6)=P(A1A2A3) =0.8〓0.8〓0.8=0.512. 随机变量ξ的分布列如下表:

数学期望 E(ξ)=0〓0.2+3〓0.16+5〓0.128+6〓0.512 =4.192. 【变式备选】(2013〃潍坊模拟)已知关于 x 的二次函数 f(x)=ax2-4bx+1. (1)设集合 P={1,2,3}和 Q={-1,1,2,3,4},分别从集合 P 和 Q 中随机取一个 数作为 a 和 b,求函数 y=f(x)在区间[1,+≦)上是增函数的概率.
? x+y-8 ? 0, ? (2)设点(a,b)是区域 ? x>0, 内的一点, ? y>0 ?

求函数 y=f(x)在区间[1,+≦)上是增函数的概率. 【思路点拨】本题以“二次函数的单调性”为背景,首先写出事件发生所满足
- 16 -

的条件,在第(1)问中,给出了有限个数据,从而判断是古典概型问题,利用列 举法写出事件发生的总数以及满足条件的事件发生的个数,再利用公式求解.第 (2)问中,a 和 b 有无限个数据,所以是几何概型问题,首先计算事件发生的总 数与满足条件的事件发生的个数的测度,再利用公式求解.
2b , 要使 f(x) a 2b =ax2-4bx+1 在区间[1,+≦)上为增函数,当且仅当 a>0 且 ? 1, 即 2b≤ a

【解析】 (1)≧函数 f(x)=ax2-4bx+1 的图象的对称轴为直线 x=

a. 若 a=1,则 b=-1; 若 a=2,则 b=-1 或 1; 若 a=3,则 b=-1 或 1. ?所求事件的概率为
5 1 = . 15 3

(2)由(1)知,当且仅当 2b≤a 且 a>0 时, 函数 f(x)=ax2-4bx+1 在区间[1,+≦)上为增函数, 依条件可知事件的全部结果所构成的区域为
?a ? b ? 8 ? 0, ? {? a, b ? | ?a>0, }, ? b>0 ?

构成所求事件的区域为三角形部分.
?a+b-8=0, 16 8 ( , ), 由? 得交点坐标为 ? a 3 3 b= , ? ? 2

?所求事件的概率为
1 8 ?8? 3 =1 . P= 2 1 ?8?8 3 2
- 17 -


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