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清华大学信号与系统知识总结


THU 信号与系统考研精华总结 By 紫色风铃

2009.08

愿各位研友考研成功!~~

第一章 绪论 时间区间 瞬时功率 能 量
f (t )
2

i

连续时间信号
(??, ?)

离散时间信号
(? N , N )
(??, ?)

(?T , T )

E??

T

?T

f (t ) dt

2

E ? lim ?
2

T

T ?? ?T

f (t ) dt ? ?
2

?

??

f (t ) dt

2

E?

n ?? N

? x ( n)

N

2

E?

n ???

? x ( n)

?

2

平均功率

P?

1 2T

??T

T

f (t ) dt

P ? lim

1 T ?? 2T

??T

T

f (t ) dt

2

P?

N 1 2 x ( n) ? 2 N ? 1 n ?? N

P ? lim

N 1 2 x ( n) ? N ?? 2 N ? 1 n ?? N

f (t ) ? f (t ? mT ) m ? 0, ?1, ?2, ??????

x(n) ? x(n ? mn)

m ? 0, ?1, ?2, ??????

周期信号

e j?0T ? e j?0 (t ?T0 )

T0 ?

2?

?0
? 分解性 ? 线性系统 ?零状态线性 ?零输入线性 ?

线



? 若f (t ) ? y (t ) 齐次性 ? 则af (t ) ? ay (t ) ? ? 若f1 (t ) ? y1 (t ),f 2 (t ) ? y2 (t ) ? ?可加性 则f (t ) ? f (t ) ? y (t ) ? y (t ) 1 2 1 2 ?

y (t ) ? yx (t ) ? y f (t ) y (n) ? y0 (n) ? yn (n)

判断方法:先线性运算,后经系统的结果=先经系统,后线性运算的结果 若 f (t ) ? y f (t ) ,则 f (t ? t0 ) ? y f (t ? t0 ) 时不变性 若 x(n) ? y(n) ,则 x(n ? n0 ) ? y(n ? n0 )

系统时不变性:1 电路分析:元件的参数值是否随时间而变化 2 方程分析:系数是否随时间而变 3 输入输出分析:输入激励信号有时移,输出响应信号也同样有时移。

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功率信号: 0 ? P ? ?且E ? ?

? 时域分析 ? ? ? ? 频域 ?输入输出系统模型 ? ? ? ? 系统模型 ? ?变换域分析 ?复频域 ? ? Z域 ? ? ? ? ? 状态变量系统模型 ?

能量信号: 0 ? E ? ?且P ? ?

第二、三章.连续时间信号、离散时间信号与系统时域分析
一.普通信号
普通信号 直流信号 实指数信号 虚指数信号 正弦信号 复指数信号
f (t ) ? Kest
(??, ??)

, s ? ? ? j?
f (t ) ? K
f (t ) ? Ke? t
0

? ? 0,? ? 0 ? ? 0,? ? 0
? ? 0,? ? ?0 ? 0
f (t ) ? Ke j?

?? ? t ? ?? ?? ? t ? ??

时间常数:? ?

1

?

f (t ) ? Ke j? t ? K cos ?0t ? jK sin ?0t Im ? [ Ke j? t ] ? Im[ Ke j? ? e j? t ] ? K sin(?0t ? ? )
0 0

? ? 0,? ? ?0 ? 0

f (t ) ? Ke? t cos ?0t ? jKe? t sin ?0t

?? ? t ? ??

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二、冲激信号
冲激信号 A? (t )
? ? A? (t ) ? 0 t ? 0 一般定义 ? ? A? (t ) ? ? t ? 0 ? ?? A? (t )dt ? A ? ? ???

泛函定义 :

??? A? (t )? (t )dt ? A? (0)
特别: f (t )? (t ) ? f (t0 )? (t ) 特别: ??? f (t )? (t )dt ? f (0) 证明:1. a ? 0 2. a ? 0 3. ?
??

??

A? (t ) 是偶函数

筛选特性 取样特性 展缩特性 阶跃信号 Au(t ) 性 质

f (t )? (t ? t0 ) ? f (t0 )? (t ? t0 )

???

??

f (t )? (t ? t0 )dt ? f (t0 )
1 a

? (at ? b) ?

? (t ? )
?A t ? 0 ?0 t ? 0

b a

??

??

g (t )? (at ? b)dt ? ?

??

??

g (t )

1 a

? (t ? )dt

a b

定义:Au(t ) ? ?
t

1 t ? 0 处可以定义为 0, ,1 (个别点数值差别不会导致能量的改变) 2

1. ??? A? (? )d? ? Au(t )
? At t ? 0 Ar (t ) ? ? ? 0 t?0

2. A? (? ) ?

d [ Au (t )] dt

斜坡信号 Ar (t ) 性 质

1. ??? Au(t )dt ? Ar (t )
??

t

2. Au(t ) ?

d [ Ar (t )] dt
dn f (t )] dt n t ?0

高阶冲激信号 ? ( n ) (t )

泛函定义 : ??? f (t )? ( n ) (t )dt ? (?1)n [

冲激偶信号

? ' (t )

泛函定义 : ??? f (t )? ' (t )dt ? ? [

??

d f (t )] ? ? f ' (0) dt t ?0

说明:1. ? ' (t ) 量纲是 s ?2 3. ? ' (t ) 是奇函数

2.强度 A 的单位是Vs 2

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f (t )? ' (t ? t0 ) ? f (t0 )? ' (t ? t0 ) ? f ' (t0 )? (t ? t0 )

筛选特性 取样特性 展缩特性

t ? 0时

f (t )? (t ) ? f (0)? (t ) ? f (0)? (t )
' ' '

证明:对 f (t )? (t ? t0 ) ? f (t0 )? (t ? t0 ) 两端微分 证明:关键利用筛选特性展开 特别: a ? ?1, b ? 0时 ? ' (?t ) ? ?? ' (t )

?

??

??

f (t )? ' (t ? t0 )dt ? ? f ' (t0 )

1 ' b ? (t ? ) a ? 0 2 a a 1 b ? ' (at ? b) ? ? 2 ? ' (t ? ) a ? 0 a a

? ' (at ? b) ?

? ' (t ) 是奇函数

三.卷积
连续时间信号 卷积定义 交 换 率 分 配 率 结 合 率
f1(t ) ? f 2 (t ) ?

离散时间信号
x1 (n) ? x2 (n) ?

?

??

??

f1 (? ) f 2 (t ? ? )d?

k ???

? x (k ) x (n ? k )
1 2

?

f1(t ) ? f 2 (t ) ? f 2 (t ) ? f1(t )
f1(t ) ?[ f 2 (t ) ? f3 (t )] ? f1(t ) ? f 2 (t ) ? f1(t) ? f3 (t) [ f1(t ) ? f 2 (t )]? f3 (t ) ? f1(t ) ?[ f 2 (t ) ? f3 (t )]

x1 (n) ? x2 (n) ? x2 (n) ? x1 (n) x1 (n) ?[ x2 (n) ? x3 (n)] ? x1 (n) ? x2 (n) ? x1 (n) ? x3 (n)

[ x1 (n) ? x2 (n)] ? x3 (n) ? x1 (n) ?[ x2 (n) ? x3 (n)]

奇异信号卷积特性 单位元特性 延时特性
f (t ) ?? (t ) ? f (t )

单位样值信号卷积特性
x(n) ? ? (n) ? x(n)

f (t ) ?? (t ? t0 ) ? f (t ? t0 )

f (t ? t1 ) ? g (t ? t2 ) ? f (t ) ? g (t ) ?? (t ? t1 ? t2 )

x(n) ? ? (n ?1) ? x(n ?1)

x(n) ? ? (n ? k ) ? x(n ? k )

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积分特性 冲激偶卷积

u(t ) ? f (t ) ? ??? f (? )d?
? ' (t ) ? f (t ) ? f ' (t )

t

t t t n?1 u(t ) ? f (t ) ? ??? ?????? f (t )dt ??? dt ? f ( ? n ) (t ) (n ? 1)!

x(k ) ? x(n) ? u(n) ? k ???

?

? ( n) (t ) ? f (t ) ? f ( n) (t )

四.电路元件的运算模型
元件 电路符号 名称 电 阻
u i 关系



域 电路符号 运算模型
u (t ) ?R i (t )



域 电路符号





运算模型
U R (t ) ?R I R (t )

运算模型
U R ( s) ?R I R ( s)

u(t ) ? Ri(t )


u (t ) ?

U C ( s) ?
1 t i(t )dt C ???

1 1 IC (s) ? uC (0? ) Cs s



u (t ) 1 ? i (t ) pC

U C (t ) 1 ? I C (t ) j?C

IC (s) ? CsUC (s) ? CuC (0? )

电 感

d u(t ) ? L i(t ) dt

u (t ) ? pL i (t )

U C (t ) ? j? L I C (t )

U L (s) ? LsI L (s) ? LiL (0? )

I L ( s) ?

1 1 U L (s) ? iL (0? ) Ls s

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五.连续时间系统时域分析
D(? ) ? D( p) 系统 ? 建立微分方程 ? 建立算子方程: D( p) y(t ) ? N ( p) f (t ) ? 系统的特征方程:
求特征根 ? 零输入响应方程 D( p) yx (t ) ? 0 ? ? y f (t ) ? f (t ) ? h(t ) ? ? ? ? ?求冲激响应 ? 零状态响应 ? y (t ) ? N ( p) ? N f ( p) ? (t ) ? f ? D( p ) D f ( p ) ? ? ? t ? 0? ? 求全响应 ?? ? y (t ) ? yx (t ) ? y f (t ) ? ?
p ??

?0

?微分方程法 系统的描述方法 ? ?传输算子法 ?冲激响应法 ?

六.系统的特征方程
连续时间系统零输入响应 条 件
yx (t ) ? k1e ? k2e
?1t ?2t

连续时间系统零输入响应
y0 (n) 的表达式

yx (t ) 的表 式
? ??? ? kne
?n t

条件 k 个各不相同的实数
n k

n 个各不相同的实数

?1 ? ?2 ? ??? ? ?n
r 个重根 ?0 ,n-1 个单根

t ?0

y0 (n) ? c ? ? c2? ? ??? ? ck ?
n 1 1 n 2

?1 ? ?2 ? ??? ? ?k
q 个重根 ?1 ,k-q 个单根

yx (t ) ? k1e?1t ? k2e?2t ????? kn?r e?n-rt ? kn?r ?1e?n-r+1t
?kn?r ?2te?0t ????? knt n?1e?0t

y0 (n) ? (c1 ? c2 n ? ???cq nq?1 )?1n ? cq?1?qn?1 ? ??? ? ck ?knc1?1n y0 (n) ? c1 (re j? )n ? c2 (re? j? )n

?1 ? ?2 ? ??? ? ?n-1
i 个成对的共轭复根

t ?0

?q?1 ? ??? ? ?k
系统含有共轭复根

?1 ? ?1 ? j?1, ?2 ? ? 2 ? j?2
????i ? ? i ? j?

yx (t ) ? e?1t [k1 cos(?1t ) ? k1' sin(?1t )] ????

?e?it [ki cos(?it ) ? ki' sin(?it )]

t ?0

' ? r n [c1' cos(n? ) ? c2 sin(n? )]

? ? re j? , ? ? ? re? j?

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七.系统的冲激响应和单位样值响应
连续时间系统 传输算子 H ( p)
a
a p

离散时间系统 传输算子 H ( E )
1
E E ??

冲激响应 h(t )
a? (t )

样值响应 h(n)

? (n)
? nu(n)
n? n?1u(n)

au(t )
eat u(t )
t n ?1 at e u(t ) (n ? 1)!

1 p?a

E ( E ? ? )2

1 ( p ? a)n b ( p ? a) 2 ? b 2
p?a ( p ? a) 2 ? b 2

E2 ( E ? ? )2
E ( E ? ? )m

(n ?1)? nu(n)
n(n ? 1) ??? (n ? m ? 2) n?m?1 ? u(n) (m ? 1)!

eat sin(bt )u(t )

eat cos(bt )u(t )

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八.基本离散信号
单位样值信号 ? (n) 单位阶跃序列 u (n) 斜变序列 nu(n) 矩形序列 Gk (n)
0 n?0 ? (n) ? ? ? ?1 n ? 0

x(n) ?

k ???

? x(k )? (n ? k )

?

u ( n) ? ?

?0 n ? 0的整数 ?1 n ? 0的整数

? (n) ? u(n) ? u(n ? 1)

?0 n ? 0的整数 nu (n) ? ? ?1 n ? 0的整数

?1 0 ? n ? k ? 1 Gk (n) ? ? 其 它 ?0

x(n) ? z n , ?? ? n ? ? , 其中z ? re j?

复指数序列

指数序列 虚指数序列

? ? 0, z ? r , x(n) ? r n

r ? 1, ? ? ?0 , x(n) ? e j?0n ? cos ?0 ? j sin ?0

九.离散信号的性质
周期性
sin ?0 ? sin ?0 (n ? N ) ? sin(?0n ? ?0 N )

当 ?0 N ? 2? k 即 N ?

2? k为整数时 , sin ?0 n 才是周期序列 ?0

?0 为数字角频率 ? 单位:弧度

?0 为模拟角频率 ? 单位:弧度/秒 ?0 ? (?? , ? )

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序列的累加 序列的差分

y ( n) ?

k ???

? x( k )

?

一阶前向: ?x(n) ? x(n ? 1) ? x(n) 一阶后向: ?x(n) ? x(n) ? x(n ? 1)

序列的移位

单位超前算子: E k x(n) ? x(n ? k ) 单位延迟算子: E ? k x(n) ? x(n ? k )

十.信号的分解
1 直流分量与交流分量 ○ 2 奇分量与偶分量 ○
1 ? f e (t ) ? [ f (t ) ? f (?t )] ? ? 2 f (t ) ? fe (t ) ? fo (t ) ? ? f (t ) ? 1 [ f (t ) ? f (?t )] o ? 2 ?

f (t ) ? f D ? f A (t )
常数 平均是为零

第四章.连续时间信号与系统频域分析 一.周期信号的频谱分析
1. 简谐振荡信号是线性时不变系统的本征信号:

y(t ) ? e j?t ? h(t ) ? ? e j? (t ?? )h(? )d? ? e j?t ? ? e? j?? h(? )d?
简谐振荡信号

?

?

??

??

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傅里叶变换: H ( j? ) ? ? e? j?? h(? )d?
??

?

点 测 法: y(t ) ? e j?t ? H ( j?) 2.傅里叶级数和傅里叶变换
在时域内 在频域内
分解 周期信号 ??? ? 傅里叶级数

分解 非周期信号 ??? ? 傅里叶变换 分解 周期信号 ??? ? 傅里叶变换

3.狄里赫勒(Dirichlet)条件(只要满足这个条件信号就可以用傅里叶级数展开)
1 f (t ) 绝对可积,即 ? f (t ) dt ? ? ○ 2 f (t ) 的极大值和极小值的数目应有限 ○
t0 t0 ?T

3 f (t ) 如有间断点,间断点的数目应有限 ○

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4.周期信号的傅里叶级数
周期信号的傅里叶级数 信号集的正交性

三 角 形 式

f (t ) ? a0 ? ? (an cos n?t ? bn sin n?t )
n?1

?

? 1 t0 ?T a ? f (t )dt ? 0 T t 0 ? 2 t0 ?T ? a ? f (t )cos n?tdt ? n t0 T ? ? 2 t0 ?T f (t )sin n?tdt ? bn ? T t0 ?

?

?

t0 ?T

t0 t0 ?T

cos n?t sin m?tdt ? 0 所有m, n

?

?

?T m?n ? ?t0 cos n?t cos m?tdt ? ? 2 ? ?0 m ? n ?T t0 ?T m?n ? sin n ? t sin m ? tdt ? 2 ? ?t0 ? ?0 m ? n

指数 形式

f (t ) ?

n???

?

?

Fne

jn?t

Fn ?

1 t0 ?T ? jn?t f ( t ) e dt T ?t0

?

t0 ?T

t0

?T n ? m e jn?t ? e? jm?t dt ? ? ?0 n ? m

5.波形对称性与谐波特性的关系
对称性 偶函数 f (t ) ? f (?t ) 奇函数 f (t ) ? ? f (?t ) 傅里叶级数中所含分量 只有余弦项,可能含直流 只有正弦项 余弦分量系数 an 正弦分量系数 bn

4 T an ? ? 2 f (t )cos(n?t )dt T 0
an ? 0

bn ? 0

4 T bn ? ? 2 f (t )sin(n?t )dt T 0

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半波像对称(奇谐函数)
T f (t ) ? ? f (t ? ) 2

只有偶次谐波,可能含直流

?0 ? an ? ? 4 T 2 ? ?0 f (t )cos(n?t )dt ? T

n ? 0, 2, 4, ??? n ? 1,3,5, ???

n ? 0, 2, 4, ??? ?0 ? T bn ? ? 4 2 ? ?0 f (t )sin(n?t )dt n ? 1,3,5, ??? ? T

半周期重叠(偶谐函数)
T f (t ) ? f (t ? ) 2

只有奇次谐波

?0 ? an ? ? 4 T 2 ? ?0 f (t )cos(n?t )dt ?T

?0 ? bn ? ? 4 T 2 n ? 0, 2, 4, ??? ? ?0 f (t )sin(n?t )dt ?T

n ? 1,3,5, ???

n ? 1,3,5, ??? n ? 0, 2, 4, ???

6.周期矩形脉冲信号

E? f (t ) ? T
2T

n ???

? Sa(

?

n?? jn?t )e 2

内瓣内含

?

? 1条谱线

7.线性时不变系统对周期信号的响应
一般周期信号: f (t ) ? 系统的输出 : y(t ) ?
n ???
?

? Fe
n
n

?

jn?t

n ???

? F H ( jn?t )e

jn?t

二.非周期信号的傅里叶变换(备注)

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备注序号

说明内容 证明:
? ? ? f1 (t ) ? 1 ??? F1 (? )e j?t d? ? ??? [??? f 2 (? )e? j?? d? ]e j?t d? 2?
关键 ????? ? ? ? f 2 (? )[ 交换积分次序 ?? ?


1

???

?

e j? (t ?? )d? ]e j?t d? ? ?
(? ? 0)

f( ?? 2

?

? )? (t ? ? )d? ? f 2 (t )
1 1 ?2 j? ? ? 2 ? ? j? ? ? j? ? ? ? 2 ?2 j? 2 ? 2 2 ? ?0 ? ? ? j?


2

求 sgn(t ) 解:由 e?? t u (t ) ?
e? t u (?t ) ?

1 ? ? j?

? e?? t u (t ) ? e? t u (?t ) ?

1 ? ? j?

(? ? 0)

sgn(t ) ? lim[e?? t u (t ) ? e? t u (?t )] ? lim
? ?0


3

证明: f (t ) ?
f (t ) ?

1 ? F (? )e j?t d? 2? ??? 1 ? F (? )e? j?t d? 2? ???
?

替换 ????? f (t ) ? ? ??,t ??

1 ? F (? )e? j?? d? ? 2? f (?? ) ? ? F (t )e? j?t dt ??? 2? ???


4 5 △

证明:

f (t ? t0 ) ? ??? f (t ? t0 )e? j?t dt ? ??? f (? )e? j? (? ?t )d?
0

?

(令 t ? t0 ? ? )

? e j?t

0

??? f (? )e
?

?

? j??

d? ? e j?t F (? )
0

dn 1. n f (t ) ? ( j? )n F (? ) dt

2.证明:

d 1 f (t ) ? dt 2?

???

F (? )[ e j?t ]d? ? ?

d dt

?

??

j? F (? )e j?t d? ? j? F (? )


6

用法:信号可以分解成两个信号,其中之一的频谱是冲激或冲激串使用

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7 △

1. 注意:要避免出现 ? (? ) ? ? (? ) 及

1 ? (? ) 等不确定的的乘积关系,如 求 u(t ) ? u(t ) 不能用卷积定理,可先求出 j?

u(t ) ? u(t ) ? tu(t ) ,再用频域微分特性。

2. 证明: ? f (? )d? ? f (t ) ? u (t )
??
t

t

而 u (t ) ? ?? (? ) ?

1 j?

则 ? f (? )d? ? f (t ) ? u (t ) ? F (? ) ? [?? (? ) ?
??

1 F (? ) ]? ? ? F (0)? (? ) j? j?





三.非周期信号的傅里叶变换 1.连续傅里叶变换性质
连续傅里叶变换性质及其对偶关系 傅氏变换 : F (? ) ? 傅氏反变换:

???
1 2?

?

f (t )e? j?t dt

f (t ) ?

???

?

F (? )e j?t d?
相对偶的连续傅里叶变换对

连续傅里叶变换对

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名称 唯 线 一 性 性

连续时间函 f (t )
f1 (t ) ? f 2 (t )

傅里叶变换 F (? )
FT [ f1 (t )] ? FT [ f 2 (t )] ? F (?)

备注 1 △

名称

连续时间函数 f (t )

傅里叶变换 F (? )

备注

? f1(t ) ? ? f 2 (t )
f (at ), a ? 0

? F1 (?) ? ? F2 (?)
1 ? F( ) a a

尺度比例变换 对 时 称 性 移

F ( jt )
f (t ? t0 )

2? f (?? )
F (? )e? j?t0

时域微分性质

d f (t ) dt

j? F (? )

2 △ 3 △ 频 移 4 △ 频域微分性质 5 △ 频域积分性质

f (t )e j?0t
? jtf (t )

F (? ? ?0 )

d F (? ) d?

6 △ 7 △

时域积分性质

?

t

??

f (? )d?

F (? ) ? ? F (0)? (? ) j?
F (? ) H (? )

f (t ) ? ? f (0)? (t ) ? jt
f (t ) p(t )

?

?

??

F (? )d?

时域卷积性质

f (t ) * h(t )
f (?t )

频域卷积性质

1 F (? ) * P(? ) 2?

F (?? )
F (?? )
*

f (t ) 是实函数







f (t ) f (?t )
*

*

奇偶虚实性质

fo (t ) ? Od ? f (t )?
fe (t ) ? Ev? f (t )?

j Im?F (? )?
Re?F (? )?

F (? )
*

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F (?) ? R(?) ? jI (?)

希尔伯特变换

f (t ) ? f (t )u(t )

R(? ) ? I (? ) *

1

??

时 域 抽 样

f (t ) ? ? (t ? nT )
n ???

??

1 ?? 2? F (? ? k ) ? T k ??? T

频 域 抽 样

1

?0 n???

?

??

f (t ? n

2?

?0

)

F (? ) ? ? (? ? k?0 )
k ???

??

帕什瓦尔公式

?

?

??

f (t ) dt ?
??

2

1 2?

?

?

??

F (? ) d?

2

F (? ) :能量谱密度、能量谱

2

F (0) ? ??? f (t )dt
中心纵坐标

(条件: lim f (t ) ? 0 )
t ???

f (0) ?

1 2?

?

??

??

F (? )d?

(条件: lim F (? ) ? 0 )
? ???

2.常用傅里叶变换对
常用的连续傅里叶变换对及其对偶关系

F (? ) ?

??

??

?

f (t )e

? j?t

dt

1 f (t ) ? 2?

??

??

?

F (? )e j?t d?

连续傅里叶变换对

相对偶的连续傅里叶变换对

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重要 √ √ √

连续时间函数 f (t )

傅里叶变换 F (? ) 1
j?
1 ? ?? (? ) j?
j? d 1 ? (? ) ? 2 d? ?

连续时间函数 f (t ) 1
t

傅里叶变换 F (? )
2?? (? )
j 2? d ? (? ) d?

重要 √

? (t )
d ? (t ) dt

u (t )
tu (t )
? 1, sgn(t ) ? ? ??1, t ?0 t ?0

1 1 ? (t ) ? 2 j 2? t

u (? )

2 j?
e? j?t0

1

?

,t ? 0

?? j , F (? ) ? ? ? j,

? ?0 ??0




? (t ? t0 )
cos ?0t
sin ?0t

e j?0t

2?? (? ? ?0 )

? [? (? ? ?0 ) ? ? (? ? ?0 )]
j? [? (? ? ?0 ) ? ? (? ? ?0 )]

? (t ? t0 ) ? ? (t ? t0 )

2cos ?t0
j 2sin ?t0

? (t ? t0 ) ? ? (t ? t0 )
W



? ? 1, G? (t ) ? ? ? ?0,

t ?? t ??

? Sa(

??
2

)

?

Sa(Wt )

? ? 1, F (? ) ? ? ? ?0,

? ?W ? ?W





? ?1 ? t ? , t ? ? ?? (t ) ? ? 0, t ? ? ? ?
e? at u(t ),Re{a} ? 0

? Sa 2 (

??
2

)

W Wt Sa 2 ( ) 2? 2

? ?1 ? ? W , ? ? W F (? ) ? ? 0, ? ? W ? ?
2? e???u(? ),? ? 0



1 a ? j?

1 ? ? jt

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e

?a t

,Re{a} ? 0

2a 2 ? ? a2

?
t2 ?? 2

? e?? ? ,? ? 0

√ √

e? at cos ?0tu(t ),Re{a} ? 0 e? at sin ?0tu(t ),Re{a} ? 0
te? at u(t ),Re{a} ? 0
t k ?1e? at u (t ),Re{a} ? 0 (k ? 1)!

a ? j? 2 (a ? j? )2 ? ?0

?0 2 (a ? j? )2 ? ?0
1 (a ? j? )2 1 (a ? j? )k
2? T

1 ,? ? 0 (? ? jt )2

2??e???u(? )

√ √ √

?T (t ) ?

l ???

? ? (t ? lT )
t ? ( )2

??

k ???

? ? (? ? k
?? e
?(

??

2? ) T

??
2

e
[u (t ?

?

)2

?
2

) ? u (t ?

?
2

)] cos ?0t

?
2

[ Sa

(? ? ?0 )? 2

? Sa

(? ? ? 0 )? 2

]

k ???

?

??

Fk e jk?0t

2?

k ???

? F ? (? ? k? )
k 0

??

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四.无失真传输
1.输入信号 f (t ) 与输出信号 y f (t ) 的关系 时域: y f (t ) ? kf (t ? td ) 频域: Yf (? ) ? ke? j?td F (? ) 2.无失真传输系统函数 H (? )
H (? ) ? Y f (? ) F (? ) ? ke? j?td

3. 信号的滤波: 通过系统后 ○ 1 产生“预定”失真 2 改变一个信号所含频率分量大小 ○ 3 全部滤除某些频率分量 ○ 4.理想低通滤波器不存在理由: 单位冲击响应信号 ? (t ) 是在 t ? 0 时刻加入滤波器

无失真传输满足的两个条件: 1 幅频特性: H (? ) ? k ○ ( k 为非零常数)

的,而输出在 t ? 0 时刻就有了,违反了因果律 5.连续时间系统实现的准则

在整个频率范围内为非零常数 2 相频特性: ? (? ) ? ??t ○
d

( td ? 0 )

时 域 特 性 : 频 域 特 性 :

h(t ) ? h(t )u(t ) (因果条件)

在整个频率范围内是过坐标原点的一条斜率为负的直 线

?

?

??
?

H (? ) d? ? ?
H (? ) d? ? ? 1? ?2
2

2

佩利 -维纳准则(必要条件) :?

??

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五.滤波
滤波器名称 理想频率响应 理想相幅特性 实际电路图
H (? ) ?
?e? j?td ? H (? ) ? ? ? ?0

实际频率特性
1 1 ? j? RC
1 1? (

低通滤波器

? ? ?c ? G2? (? )e? j?t ? ? ?c
c

d

H (? ) ?

? 2 ) ?c

? (? ) ? ? arctan
H (? ) ?

? ?c

j? RC 1 ? j? RC

高通滤波器

? j?t ? ?e d H (? ) ? ? ? ?0

? ? ?c ? [1 ? G2? (? )]e? j?t ? ? ?c
c

d

H (? ) ?

? RC
1 ? ? 2 R 2C 2
1 ) ? RC

? (? ) ? arctan(

带通滤波器

H (? ) ? H1 (?) ? [? (? ? ?0 ) ? ? (? ? ?0 )]

H (? ) ?

j? RC LC ( j? ) ? RC ( j? ) ? 1
2





1 低通滤波器的通频带(截至频率) : H (? )2 ? 的频频谱范围 2

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六.抽样与抽样恢复
抽样名称 系统统模型
?

信号抽样时频表示 时域抽样定理:
为了使抽样信号 必须满 f s (t ) 能恢复信号 f (t ) ,

时域: f s (t ) ? f (t ) ? ?T (t ) ? f (t ) ? ? (t ? nT )
n ???

= 冲激串抽样

n ???

?

?

f (nT )? (t ? nT )

足来那两个条件:

1. f (t ) 是带限信号, 带宽为?m (或 f m ) 2. 抽 样 频 率 ?s ? 2?m 或 者 抽 样 间 隔
Ts ? 1 ? ? 2 f m ?m

频域: Fs (? ) ?

1 FT [ f (t )] ? FT [?T (t )] 2?

1 1 ? ? F (? ) ? ? ? (? ) ? ? F (? ? n?) 2? T n???

时域: f s (t ) ? f (t ) P T (t ) 频域: Fs (? ) ? 脉冲串抽样
?
1 FT [ f (t )] ? FT [ P T (t )] 2?

? 1 n?? 1 ? F (? ) ? ? ?? Sa( )? (? ? n?) ? ? F (? ? n?) 2? 2 T n??? n ???

?

n ???

? T Sa(

?

?

n?? ) F (? ? n?) 2

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时域抽样定理

恢复:f s (t ) ? h(t ) ? [ ? f (nT )? (t ? nT )] ?
n ???

?

T ?c

?

Sa(?ct )

恢复系统单位冲激响应:
h(t ) ? FT ?1[TG2?c (? )] ? Tc?

?

T ?c

?

n ???

? f (nT )Sa[? (t ? nT )]? (t )
c

?

?

Sa(?ct )

系统条件 1 H (? ) ? ? ○ 0
? ?T

? ? ?c ? ? ?c

2 ? ○ 频域: Fs (? ) ? F (? ) ? ? ? (? ) ? F (? ) ? 频域抽样定理
?1

m

? ?c ? ? ? ?m

n ???

? ? (? ? n?)
?1 ?

?

1 ? 2? 时域: f s (t ) ? FT [ Fs (? )] ? h(t ) ? FT [ ? ? (? ? n?)] ? ? f (t ? n ) ? n??? ? n ???

第五章.离散时间信号与时域分析 一.离散傅里叶级数(DFT) 1.信号 e j? n 基本特征
0

信号 e j?0n 周 期 性: e j?0 ( n? N ) ? e j?0n ? 基波频率:
2? ?0 ? N m ?0 m ? 时有理数时具有周期性 2? N

基波周期: N ? m(

2? ) ?0

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2.信号 e j?0t 与 e j?0n 之间的差别
e j?0t

e j ?0 n

?0 不同,信号不同
对于任何 ?0 值,都是周期的 基波频率: ?0
? ?0 ? 0 无定义 ? 基波周期: ? 2? ??0 ? o ?0 ?

频率相差 2? ,信号相同 仅当 ? ?
2? m 时,才有周期性( ( N ? 0), m, 均为整数) ) N ?0 m

基波信号

? ?0 ? 0 无定义 ? 基波信号: ? 2? m( ) ?? 0 ? o ?0 ?

3.DFS 系数与 IDFS 变换对
2? N ?1 N ?1 ? jk ( )n ? kn N X ( k ) ? ? x ( n )e ? ? x(n)WN ? DFS系数 ? n ?0 n ?0 X (k ) ? 2? N ?1 jk ( )n 1 N ?1 ? kn ? IDFS系数 x(n) ? 1 N X ( k )e ? ? X (k )WN ? ? N n ?0 N n ?0 ?

x ( n)

DFS

4.离散傅里叶级数的性质

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线

性 时间移位 频域移位

若 x3 (n) ? x1 (n) ? x 2 (n) ,则 X 3 (k ) ? X 1 (k ) ? X 2 (k ) 若

移 位

x ( n)

DFS DFS
N ?1

X (k ) ,则 x(n ? m)
qn x ( n) X (k ) ,则WN
1 2

DFS

? kn WN X (k )

DFS[ x(n ? lN )] ? X (k )

若 x ( n)

DFS

X (k ? q )

周 期 时域移位 卷积 频域移位

若 x 3 ( n) ?

? x (m) x (n ? m) ,则 X
m ?0

3

(k ) ? X 1 (k ) X 2 (k )

1 若 x3 (n) ? x1 (n) x 2 (n) ,则 X 3 (k ) ? N

?X
l ?0

N ?1

1

(l ) X 2 (k ? l )

二.离散时间傅里叶变换 DTFT
1. 离散时间傅里叶变换 DTFT 1 非周期信号: x(n) ? ? ○ 0

? x ( n) ?

n ? N1 n ? N1
?

1 ? j?n x ( n ) ? X ( ? ) e d? ? ? 2 ? 2 ? ? 离散时间傅里叶变换 ? ? 1 ? X (?) ? ? x(n)e ? j?n ? N n??? ?
2 周期信号: ○

应用条件:

n???

?

x ( n) ? ?

2? X (?) ? ? 2? ak? (? ? k) N n???
?

1 ak ? N

n?? N1

? x ( n )e

N1

? jk (

2? )n N

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2.离散时间傅里叶变换性质
周 线 期 性 性 总是周期的,周期是 2? 。 若 x1 (n) ? X 1 (?) , x 2 (n) ? X 2 (?) 则 ax1 (n) ? bx 2 (n) ? a X 1 (?) ? b X 2 (?)
X (?) ? X ? (??)







?Re[ X (?)] 偶函数 ? ? Im[ X (?)] 奇函数

? X (?)的模 偶函数 ? ? X (?)的相位 奇函数

移 位

时 移 频 移

若 x(n) 若 x(n)

X (?) X (?)

则 x(n ? n0 ) 则 e j?0n x(n)

e? j?0n X (?) X (? ? ?0 )

差 分 求 和

m???

?

n

x(m)

? 1 X ( ? ) ? ? X (0) ? ? (? ? 2? k ) 1 ? e j? k ???

u ( n)

? 1 ? ? ? ? (? ? 2? k ) 1 ? e j? k ???

若 x(n) 时 间 尺 度

X (?)

则 x(?n)

X (??)

? n ? x( ) n是k的倍数 x( k ) (n) ? ? k ? n不是k的倍数 ?0
nx(n) j dX (?) d?

x( k ) (n)

X (k ?)

频 域 微 分

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帕塞瓦尔定理

n ???

?

?

x ( n) ?

2

1 2?

? ? X (?)
2

2

d?

X (?) :能量谱密度
2

2

序列一个周期的能量: 卷 积 性 质 备 注 若 y(n) ? x(n) ? h(n) 连续信号
周期 ? 离散 连续 ? 非周期

1 2 x(n) ? ? ak ? N n?? N ? n ?? N ?

则 Y (?) ? X (?) H (?) 离散信号
非周期 ? 连续 离散 ? 周期

第六章.连续时间信号与时域系统分析 一.拉氏变换定义
1.不满足绝对可积信号为什么不能用傅氏变换 原因:信号衰减太慢或不衰减 (为了克服这种困难,可以用一个收敛因子与 f (t ) 相乘) 。

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2.拉氏变换的导出
FT [ f (t )e?? t ] ? ? f (t )e?? t ? e? j?t dt ? ? f (t )e? (? ? j? )t dt
?? ?? ? ?

令 s ? ? ? j? 则:象函数: F ( s) ? LT [ f (t )] ? ? f (t )e? st dt
?? ?

原函数: f (t ) ? LT ?1[ F ( s)] ? 3.拉氏变换的收敛域

2? j ??

1

? ? j?
? j?

F ( s)e st ds

F ( s) 存在的条件: ? ? f (t )e? st dt ? ?
0

?

lim f (t )e?? t ? 0 (充分条件)
t ??

信号特点 有始有终,能量有限

收敛域特点 坐标轴落于 ?? ,全部 s 平面都属于收敛区

幅 度即不增 长也不衰 减而等于 稳定 收敛坐标落于原点, s 平面右半平面属于收敛区 值,或随时间 t , t n 成比例增长的信号 按指数规律增长的信号 e? t , 右边信号 左边信号 双边信号 只有当 ? ? ? 时才收敛,所以收敛坐标为 ? 0 ? ? 收敛域在收敛轴以右的 s 平面,即? ? ? 收敛域在收敛轴以左的 s 平面,即? ? ? 收敛域为 s 平面的带状区域,即 ? ? ? ? ?

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二.拉氏反变换
部分分式展开法
F1 ( s) ? K1 p K11 K12 ? ? ??? ? ? F2 ( s) ( s ? s1 ) p ( s ? s1 ) p?1 ( s ? s1 )
s ? s1

K11 ? ( s ? s1 ) p F1 ( s ) K12 ?

d [( s ? s1 ) p F1 ( s )]s ? s1 ds

1 d i ?1 K11 ? [( s ? s1 ) p F1 ( s )]s ? s1 i ?1 (i ? 1)! ds

留数法

1 s ? pi 一阶级点的留数 2 s ? pi 是 k 阶极点

Re s[ F (s)est ] ? [( s ? pi ) F (s) ? est ]s? pi
Re s[ F ( s)e st ] ? 1 d k ?1 [ k ?1 ( s ? pi ) F ( s) ? e st ]s ? pi (k ? 1)! ds

注意:留数法中的 F ( s) 应是真分式,若不是应用长除法变成真分式后再用留数法。

三.拉氏变换的性质 1.拉氏变换的性质
连续拉普拉斯变换性质及其对偶关系 拉氏变换 : F ( s) ?

???

?

f (t )e?? t dt

傅氏反变换: f (t ) ?

2? j ?? ? j?

1

? ? j?

F (s)est ds

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连续拉普拉斯变换对 名称 线 性 连续时间函数 f (t ) 拉氏变换 F ( s) 备注 名称

相对偶的连续拉普拉斯变换对 连续时间函数 f (t ) 拉氏变换 F ( s) 备注

? f1(t ) ? ? f 2 (t )
收敛域 ?

? F1(s) ? ? F2 (s)
收敛域为函数收敛域重叠部分

? ?1 , ? ? ? 2

f (at ), a ? 0

尺度比例变换
收敛域: ?

1 s F( ) a a
收敛域: ?

? ?c

? a? c , a ? 0

1 △
f (t )es0t
F (s ? s0 )
收敛域: ?





f (t ? t0 )u(t ? t0 )
收敛域: ?

F ( s)e? st0
收敛域: ?

? ?c

? ?c

2 △ 3 △






收敛域: ?

? ?c

??0 ? ?c

时域微分性质

d f (t ) dt

sF (s) ? f (0? )

s 域微分性质

?tf (t )

d F ( s) ds

4 △

时域积分性质

?

t

??

f (? )d?
其中

F ( s) f ?1 (0? ) ? s s
f ( ?1) (0? ) ? ?
0
?


5 6 △

s 域积分性质

f (t ) t

?
1

?

s

F ( s1 )ds1

??

f (t )dt

时域卷积性质 初值定理

f (t ) * h(t )

F ( s) H ( s)

s 域卷积性质 终值定理

f (t ) p(t )

2? j
t ?? s ?0

F ( s ) * P( s )

f (0? ) ? lim f (t ) ? lim sF ( s)
t ?0? s ??

f (?) ? lim f (t ) ? lim sF ( s)

6 △

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2.拉氏变换的性质备注
备注序号 备注内容
1 △
s t0 1 s ?a 1. 既有时移又有尺度变换: f (at ? t0 )u (at ? t0 ) ? F ( )e ,? ? ? c a a

既有时移又有复频移: e? s0 (t ?t0 ) f (t ? t0 )u(t ? t0 ) ? e? s0t F (s ? s0 ) 2. 证明: LT [e? s0 (t ?t0 ) f (t ? t0 )u (t ? t0 )] ? ? e? s0 (t ?t0 ) f (t ? t0 )e? st dt
t0 ?

令: x ? t ? t0 , dx ? dt
2 △

则: LT [e? s0 (t ?t0 ) f (t ? t0 )u (t ? t0 )] ? ? ? e? s0 x f ( x)e? sxe? st0 dt ? e? st0 ? ? f ( x)e?( s? s0 ) xdt ? e ? st0 F (s ? s0 )
0 0

?

?

注意:时移特性只适于求 f (t ? t0 )u(t ? t0 ) 的拉式变换 右边信号可写作 f? (t ) ? ? f 0 (t ? nT )u (t ? nT ) ,其中 f0 (t ) ? u(t ) ? u(t ? t0 )
n ?0 ?

3 △ 4 △

d n f (t ) ? s n F ( s) ? s n?1 f (0? ) ? s n?2 f ' (0? ) ? ??? ? f ( n?1) (0? ) n dt

d n F ( s) 1. (?t ) f (t ) ? ds n
n

2.证明: F ( s) ? ? ? f (t )e? st dt
0

?

F ( s) ? ? ? f (t )e? st dt ? ? ? f (t )[
0
0
t t 0 ??

?

?

? d ? st e ]dt ? ? ? [?tf (t )]e? st dt ? LT [?tf (t )] 0 ds
0? t

5 △

证明:

?

t

??

f ( x)dx ? ?
0? ??

0?

??

f ( x)dx ? ? ? f ( x)dx

? LT [ ? f ( x)dx] ? LT [ ? f ( x)dx] ? LT [ ? ? f ( x)dx]
?? 0

LT [ ? f ( x)dx] ?

1 ( ?1) ? f (0 ) s

t ? t 1 LT [ ? ? f ( x)dx] ? ? ? [ ? ? f ( x)dx]e ? st dt ? 0 ? F (s) 0 0 0 s

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t 1 1 ? LT [ ? f ( x)dx] ? F ( s) ? f ( ?1) (0? ) ?? s s

t 1 注意: LT [ ? f ( x)dx] ? F ( s ) 0 s

??

t

t1

0 0

????

tn ?1

0

f ( x)dxdtn?1 ??? dt1 ?

1 F (s) sn

6 △

1. 注意 1 F ( s) 必须是真分式 ,如果不是要利用长除法变成真分式项 F0 ( s) ,再利用初值定理。 2 初值定理是 f ( x) 在 t ? 0? 时刻的值。 2. 证明: sF ( s) ? f (0? ) ? ? ?
0 ? 0? df (t ) ? df (t ) df (t ) ? st e dt ?? ? e? st dt ? ? ? e? st dt 0 0 dt dt dt

在区间 (0? ,0? ), t ? 0,? e? st t ?0 ? 1
? sF ( s) ? f (0? ) ? f (t ) 0? ? ? ?
0 0? ? ? df (t ) df (t ) ? st e dt ? f (0? ) ? f (0? ) ? ? ? e? st dt 0 dt dt

令 s ? ? ,则 f (0? ) ? lim sF ( s)
s ??

7 △

1. 终值定理存在条件: F ( s) 的极点全部落在左半 s 平面或在 s ? 0 处只有一阶级点。 2. 证明: sF ( s) ? f (0? ) ? ? ?
0 ?

df (t ) ? st e dt dt
?

令s ?0
? f (?) ? lim sF ( s)
s ?0

则? lim sF ( s) ? f (0? ) ? lim ? ?
s ?0 s ?0 0

df (t ) ? st e dt ? f (?) ? f (0? ) dt

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3.双边拉氏变换
1.收敛条件: t ?? lim f (t )e?? t ? 0 ? ? ? 2
t ??

lim f (t )e?? t ? 0 ? ? ? 1

则拉氏变换在 ?1 ? ? ? ? 2 区域上存在。

相同的双边拉式变换式,当取不同的收敛域时,其 f (t ) 是各异的。 2.双边拉式变换的求法
f (t ) ? f1 (t ) ? f 2 (t ) ? f (t )u(t ) ? f (t )u(?t )

对上进行双边拉氏变换
FB ( s) ? ? f (t )u (?t )e? st dt ? ? f (t )u (t )e ? st dt ? FB (s) ? FB (s) ? F1 (?s) ? F2 (s) ?? 0 1 2
0 ?

?1 ? ? ? ?? 2

? ??? 2

? ??1

3. 双边拉氏反变换 留数法 f (t ) ?
2? j ?? ? j? 1
? ? j?
st ? ???[对?的右边FB ( s)e 极点的留数], t ? 0 F ( s)e ds ? ? st ? ? ?[对?的右边FB ( s)e 极点的留数], t ? 0 st

注意: F ( s) 应该是真分数

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4.双边拉氏变换对与双边 Z 变换对
双边拉氏变换对与双边 Z 变换对的类比关系

F ( s) ? ?

??

??

f (t )e dt

? st

F ( z) ?

n???

?

??

f [ n] z ? n

双边拉氏变换对 重要 连续时间函数 f (t ) √ 像函数 F ( s) 和收敛域 1,整个 s 平面
s k ,有限 s 平面
1 s , Re{s} ? 0

双边 Z 变换对 离散时间序列 f [n] 像函数 F ( z ) 和收敛域 1,整个 Z 平面
(1 ? z ?1 )k , z ? 0
1 (1 ? z ?1 ) , z ? 1
1 (1 ? z ?1 ) , z ? 1
2

重要 √

? (t )

? [ n]
? k ? [ n]

?( k)(t )
√ √
u (t )
tu (t ) ?u(?t )

u[n]
(n ? 1)u[n]

√ √

1 s 2 , Re{s} ? 0
?tu(?t ) , Re{s} ? 0

?u[?n ? 1]
?(n ? 1)u[?n ? 1]
? ( n ? k ? 1)! n !( k ? 1)! u[ ? n ? 1]

1 (1 ? z ?1 ) , z ? 1
1 (1 ? z ?1 ) , z ? 1
2

?tu(?t )
t k ?1 ? u (?t ) (k ? 1)!

1 s 2 , Re{s} ? 0
1 , Re{s} ? 0 sk 1 , Re{s} ? Re(?a) s?a

1 (1 ? z ?1 ) , z ? 1
k

√ √

e? at u (t )
te? at u (t )

a nu[n]

1 (1 ? az ?1 ) , z ? a
1 (1 ? az ?1 ) , z ? a
2



1 , Re{s} ? Re(?a) ( s ? a)2

(n ? 1)a nu[n]

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t k ?1 ? at e u (t ) (k ? 1)!

1 , Re{s} ? Re(?a) ( s ? a)k
1 , Re{s} ? Re(?a) s?a

(n ? k ? 1)! n a u[n] n!(k ? 1)!
?a nu[?n ? 1] cos ?0 nu[n]

1 (1 ? az ?1 ) , z ? a
k

?e? at u (?t )

1 (1 ? az ?1 ) , z ? a
1 ? (cos ?0 ) z ?1 1 ? (2cos ?0 ) z ?1 ? z ?2 (sin ?0 ) z ?1 1 ? (2cos ?0 ) z ?1 ? z ?2 1 ? (a cos ?0 ) z ?1 1 ? (2a cos ?0 ) z ?1 ? z ?2 (a sin ?0 ) z ?1 1 ? (2a cos ?0 ) z ?1 ? z ?2
(a ? a ) z
?1 ?1 ?1

√ √ √ √

cos ?0tu(t )

s , Re{s} ? 0 2 s ? ?0 2

√ √

sin ?0tu(t )

?0 , Re{s} ? 0 2 s ? ?0 2
s ( s ? a ) ? ?0
2 2

sin ?0 nu[n]

e cos ?0tu(t )
? at

, Re{s} ? ?a , Re{s} ? ?a

a cos ?0nu[n]
n

e sin ?0tu(t )
? at

?

0 2

( s ? a ) ? ?0
2

a sin ?0nu[n]
n

e
e
?a t

?a t

, Re{a} ? 0

?2 a s ?a
2 2

, Re{a} ? Re{s} ? Re{?a} , Re{a} ? Re{s} ? Re{?a}
n

a , a ?1
n

(1 ? az )(1 ? a z )
?1 ?1

,a ,a

? z ? 1 a

sgn(t ) , Re{a} ? 0

2s s ?a
2 2

a sgn[n] , a ? 1

1? z
?1

?2

(1 ? az )(1 ? a z )
?1 ?1

? z ? 1 a

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5.复频域分析
1 拉氏变换及求解微分方程的三步法: 1. 对微分方程逐项取拉式变换,利用微分性质,待遇初始值。 2. 对拉氏变换方程进行代数运算,求出相应的象函数 3. 对响应的象函数进行拉氏反变换,得到全响应的是与表达式 2.电源 2 电路系统的分析 1.基尔霍夫定律:对任意节点,在任意时刻流入流出节点 电流的代数和恒为零

6.拉氏变换和傅氏变换的关系
1 2.单边拉氏变换和傅氏变换的关系
F ( s) ? ? f (t )e? st dt
0 ?

? ? ?c

F (? ) ? ? f (t )e? j?t dt
??

?

1 ? ○ 2 ? ○ 3 ? ○

c

? 0 时,傅氏变换不存在, F (? ) 和 F ( s) 不能互换 ? 0 时, F (? ) ? F ( s) s? j? ? 0 时,拉氏和傅氏变换均存在,但拉氏变换中有冲激函数和各阶导数项

c

c

F ( s) 在 j? 轴上有单值极点
N A( s) Ki F (s) ? ? Fa ( s) ? ? B( s ) i ?1 s ? j?i

Fa ( s) 为极点在左半平面的部分分式和

F (? ) ? F ( s) s ? j? ? ? ? Ki? (? ? ?i )
i ?1

N

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总结: 任何有傅氏函数变换的有始信号,必然存在拉氏变换 存在拉氏变换的任何有时信号,不一定有傅氏变换

第七章. Z 变换 一. Z 变换的定义
令e ?z ? ? x ( n) z ? n ? X ( z ) ? [ x(n)e?? n ] ? e j?n ????
? ? j?

?

?

n ???

n ???

X ( z) ?

n ???

? x ( n) z

?

?n

二. Z 变换和傅氏变换及拉氏变换的关系
1.拉氏变换与傅氏变换的关系
X ( z ) z ?e j? ? X (e j? ) ? X (?)

2. Z 变换与拉氏变换的关系
? X s ( s) s ? 1 ln z ? X ( z ) ? T ? ? ? X ( z ) z ?esT ? X s ( s)

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3. Z 平面与 s 平面的映射关系 1 s 平面的原点 ? ,影射 z 平面 ? ,即 z ? 1的点 ○ ? ?0 ? ?1
? ?? ? 0

?r ? 1 ?

2 ? 不同取值的 z ○

s 平面影射关系

? ?0
s 平面

? ?0
虚轴
r ?1

? ?0
右半平面
r ?1

? 为常数: ?? ? ??
从左向右移

左半平面

z 平面

r ?1

r 为常数: 0 ? ??
半径扩大

单位圆内

单位圆上

单位圆外

时域序列和 z 变换收敛域的对应关系 : 3 s 平面 ? ? 0 ,实轴 ? z 平面 ? ? 0 ,正实轴 ○ 4 z s 影射不是单值的 ○
H ( z ) z ?e j? ? H (e )
j?

时域序列
n?0 n?0
n1 ? n ? n2

z 变换收敛域
不包括 z ? 0 ,但包括 ? 包括 z ? 0 ,但包括 ? 不包括 z ? 0 和 z ? ?

? 其中 ? ? ?T ? ? ? ? 2? ? ?s ?s

2?

5 傅氏变换、拉氏变换和 z 变换的关系 ○

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三. Z 反变换
围线积分与极点留数法
x ( n) ? 2? j ? 1 X ( z ) z n?1dz

c

围线 c 是在 X ( z ) 的收敛域内环绕 z 平面原点逆时针旋转的一条封闭曲线

x(n) ? ?[ X ( z ) ? z n?1在围线c内的极点上的留数]
z0 是一阶极点: Re s[ X ( z ) ? z n?1 ] ? [ X ( z ) ? z n?1 ]( z ? z0 )
n ?1
z ? z0

1 ? d s ?1 n ?1 s ? z0 是 s 阶极点: Re s[ X ( z ) ? z ] ? ? s ?1 [ X ( z ) ? z ( z ? z1 ) ]? ( s ? 1)! ? dz ? z?z

1

n ? 0 时, x(n) ?

2? j ?

1

c

'

1 X ( ) p ? n?1dp p

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四.由零极点图确定傅氏变换的几何求值法
X ( z) ?

?(z ? q ) ?(z ? z )
k ?1 k r ?1 N r M

M

当 z ? 1 时,即 z ? e j? 时

X (e ) ?

j?

? (e ? (e
k ?1 j? r ?1 N

j?

? qr ) ? zk )
r

= X (e ) e
j? M

j?

j? ( ? )

?e j? ? qr ? Ar e j?r 令 ? j? j? k ?e ? zk ? Bk e

于是 X (e ) ?

?A ?B
k ?1 r ?1 N

? (?) ? ??r ? ?? k
r ?1 k ?1

M

N

k

注意:1 在 z ? 0 处加入或除去零点,不会使幅度特性发生变化,而只影响相位变化。 2 当 e j? 点旋转到某极点 zi 附近时,如果矢量长度 Bi 变短,则频率特性在该点处可能出现峰值。若极点
zi 愈靠近单位圆, Bi 愈短,则频率特性在峰值附近愈尖锐,如果落在单位圆上,则频率特性的峰值趋近于无穷大

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五.系统函数 H ( z ) 的应用
1.根据系统函数 H ( z ) 零、极点分布情况,可分析单位样值响应 2.系统的因果性、稳定性
h(n) 的变化规律

极点位臵 单位圆上

h(n) 的特点

系统特征 因果的

H ( z ) 的收敛域

等幅
u ( n) ? z z ?1

收敛域位于最外面极点的外边 收敛域一定包括单位圆 全部极点位于单位圆以内

? ? 0 时, z ? 1
单位圆内 单位圆外

稳定的 因果、稳定的

减幅 增幅

六.数字滤波器
? 无限冲激响应IIR 按单位样值响应 h(n) 的时间特性分类 ? ?有限冲激响应FIR

七. Z 变换性质
Z 变换性质及其对偶关系
Z 变换: X ( z ) ?

n???

? x ( n) z

?

?n

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傅氏反变换: x(n) ?
z 变换对

2? j ? c

1

X ( z ) z n?1dz
相对偶的 z 变换对

名称

离散时间函数 x(n)
ax(n) ? by(n)

z 变换 F ( z )
aX ( z) ? bY ( z)
收敛域 r 1

备注

名称

离散时间函数

z 变换 F ( z )

备注

线


收敛域

rx1 ? z ? rx2 ry1 ? z ? ry2

? z ? r2

r1 ? max(rx1 , rx2 ) r2 ? min(ry1 , ry2 )

1 △

a n x ( n)

尺度比例变换
收敛域: rx
1

Z X( ) a
收敛域: rx
1

? z ? rx2

?

z ? rx2 a

2 △

Z 域尺度变换





x(n ? n0 )
收敛域: rx
1

z ? n0 X ( z )
收敛域: rx
1

? z ? rx2

? z ? rx2

3 △

Z

e j?0n x(n)

X (e? j?0 z )
收敛域: rx
1




收敛域: rx
1

? z ? rx2

? z ? rx2

4 △ 5 △

时域微分性质 时域卷积性质
x(n) * h(n) X ( z) H ( z)

Z 域微分性质 Z 域卷积性质

nx(n)
x(n)h(n)

?z

dX ( z ) dz

2? j ?

1

z X ( ) H (v)v ?1dv c1 v

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若 x(n) 是因果序列,则

若 x(n) 是因果序列,且其 Z 变换除在 z ? 1 处有一阶极点

初值定理

x(0) ? lim x(n) ? lim X ( z )
n?0 z ??

终值定理

外其它极点都在单位圆 z ? 1 以内,则

x(?) ? lim x(n) ? lim[( z ? 1) X ( z)]
n?? z ?1

Z 变换性质备注

备注序号 备注内容 1 △ 2 △ 3 △ 注意:只有 Z 变换有零、极点被抵消,收敛域一定扩大
1 1 Z (?1)n x(?n) ?? ? X ( ), rx1 ? ? rx2 z z

Z a ? n x(n) ?? ? X (az ), rx1 ? az ? rx2
Z 单边时移:若 x(n)u(n) ?? ? X ( z)

Z (?1)n x(n) ?? ? X (? z ), rx1 ? z ? rx2

ZT [ x(n ? 1)u (n)] ? zX ( z ) ? zx(0)
m m?1 k ?0 ?k

? z [ X ( z ) ? ? x(k ) z ] 则 x(n ? m)u (n) ??
Z Z ?m ?1 ?k

ZT [ x(n ? 2)u (n)] ? zX ( z ) ? z 2 x(0) ? zx(1) ZT [ x(n ? 1)u (n)] ? z ?1 X ( z ) ? x(?1)

?2 ?1 ZT [ x ( n ? 2) u ( n )] ? z X ( z ) ? z x(?1) ? x(?2) x(n ? m)u (n) ?? ? z [ X ( z ) ? ? x (k ) z ]
k ?? m

△ 5 △
4

Z z0 n x(n) ?? ?X(

z ), z0rx1 ? z ? z0rx2 z0
Z nm x(n) ?? ?[

d 2 X ( z) dX ( z ) n x(n) ?? ?z ?z 2 dz dz
2 Z 2

d m ] X ( z) dz

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第八章.系统函数与状态变量分析 一.零极点和系统稳定性、因果性
1. H ( s) 、 H ( z ) 收敛域及系统特点
H ( s) 的特点
H ( z ) 的特点

极点 收敛域

收敛域内无 H ( s) 的任何极点

收敛域内无 H ( z ) 的任何极点

收敛域是一些平行于虚轴的带状区域, 该区域 收敛域是在 Z 平面内以原点为中心的圆环, 以极点为限 该圆环以极点为限

因果系统

H ( s) 的收敛域在 S 平面内最右边极点的右半 H ( z ) 的收敛域在 Z 平面内的最外面极点的

开平面 稳定系统 因果稳定系统 注意: 极点确定了 h(t ) 的时域波形,对 h(t ) 的幅度和相位也有影响 零点只影响 h(t ) 的幅度和相位,对 h(t ) 的时域波形无影响 2.系统稳定性定义:
H ( s) 的收敛域包含虚轴 H ( s) 的极点全部位于 S 平面的左半面

外边
H ( z ) 的收敛域包含单位圆 H ( z ) 的极点全部位于单位圆内

若输入 f (t ) ? M , ?? ? t ? ? , M f 为有限常数;则输出 y(t ) ? M y , ?? ? t ? ? , M f 为有限常数 一个线性时不变系统,若它的单位冲激响应是绝对可积的,则系统一定是稳定的。

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3.劳斯—霍尔维茨稳定性判据 系统特征方程为 a0 s n ? a1s n?1 ? a2 s n?2 ? ??? ? an?1s ? an ? 0
第1行 第3行 第4行 an A2 A3 an?2 an?3 B2 B3 an?4 an?5 C2 C3

Ai ?

Ai ?1Bi ?2 ? Ai ?2 Bi ?1 Ai ?1

1 当阵列的第一列的元素符号变化相同(同为正或同为 负) ,则特征方程的全部根位于左半平面,系统稳定。 2 当阵列的第一列元素 Ai 出现零值 1 用一个无穷小量 ? 代替零 ○ 2 把特征方程中的 s 换成 ○ s
1

第2行 an?1

A C ? Ai ?2Ci ?1 Bi ? i ?1 i ?2 Ai ?1 Ci ? Ai ?1Di ?2 ? Ai ?2 Di ?1 Ai ?1

二.信号流图
Mason 公式:

1 n T ? ? Tk ? k ? k ?1

? —称为流图的特征行列式 ? =1-(所有不同环路的增益之和)+(每两个互不接触环路增益乘积之和)-(每三个互不接触环路增益乘积之

和)+
k —表示有源点到阱点之间第 k 条前向通路的标号
g k —表示有源点到阱点之间的第 k 条前向通路的增益

? k —它是除去与第 k 条前向通路相连接的环路外,余下的特征行列式。

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三.系统模拟
连接形式 系统函数 流图表达

直联形式

串联形式

(1 ? ?k s ) (1 ? ?0 k s ?1 ? ?1k s ?2 ) H ( s) ? A? ?1 ? ?1 ? ?1k s ?2 ) k ?1 (1 ? ? k s ) k ?1 (1 ? ? 0 k s
p ?1

n?

p 2

并联形式

H (s) ? A ? ?

?k ?0 k s ?1 ? ?1k s ?2 ? ? ?1 ?1 ? ?1k s ?2 k ?1 (1 ? ? k s ) k ?1 1 ? ? 0 k s
p

n?

p 2

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四.连续系统离散化
1 脉冲响应不变法
hc (t ) :连续时间系统单位冲激响应

hd (n) :离散时间系统的单位冲激响应 hd (n) ? hc (nT )

1 ?? ? 2? k H d (e ) ? ? H c ( j ( ? )) T k ??? T T
j?

2 向后差分近似法
dy (t ) y (n) ? y (n ? 1) ? dt T d 2 y (t ) y (n) ? 2 y (n ? 1) ? y (n ? 2) ? dt 2 T2

五.状态方程与输出方程
系统中有几个独立记忆元件,就有几个独立的状态变量 状态方程 x' ? Ax ? Bf 输出方程 y ? Cx ? Df
? x1' (t ) ? ? 0 ? ' ? ? ? x2 (t ) ? ? 0 ? ??? ? ' ? ? ? xn?1 (t ) ? ? 0 ? x ' (t ) ? ? ?a ? n ? ? 0 1 0 0 0 1 0 ?? x1 (t ) ? ? ?1 ? ?? x (t ) ? ? ? ? 0 ?? 2 ? ? 2 ? ?? ??? ? f (t ) 0 ?? ? ? ? 1 x ( t ) ? n ? 1 n ? 1 ?? ? ? ? ?? ? ? ?an?1 ?? xn (t ) ? ? ? n ? ? 0

y (t ) ? ?1 0 0

?a1 ?a2

? x1 (t ) ? ? x (t ) ? ? 2 ? ? ? ? 0 f (t ) 0?? ? ? ? xn?1 (t ) ? ? x (t ) ? ? n ?

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六.状态方程的建立
1 从电路系统求状态方程 1 选取独立的电容上电压和电感中电流为状态变量,有时也选取电容电荷与电感磁链 ○ 2 对包含有电感的回路列写回路电压方程,其中必然包含 L ○
C dvc (t ) ,注意只能将此项放在方程左边 dt

diL (t ) ,对连接由电容的结点列写结点电流方程,其中必然包含 dt

3 把方程中非状态变量用状态变量表示 ○ 4 把状态方程和输出方程用矩阵形式表示。状态变量的个数 k 等于系统的阶数 ○ 2 从信号流图建立状态方程 方法:从最后一个结点开始依次向前取 x1, x2 , x3 ,

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七.状态方程和输出方程的解法
连续时间系统 时域 形式
x(t ) ? LT ?1[(sI ? A)?1 x(0)] ? LT ?1[(sI ? A)?1 B] ? LT ?1F (s)
y (t ) ? Ce At x(0) ? [Ce At B ? D? (t )] ? f (t )
零输入解 零状态解

离散时间系统
x(n) ? LT ?1[( zI ? A)?1 z ]x(0) ? LT ?1[(sI ? A)?1 B] ? LT ?1F (s)
y(n) ? LT ?1[C ( zI ? A)?1 z ]x(0) ? LT ?1[C ( zI ? A) ?1 B ? D] ? LT ?1F (s)
零输入解 零状态解

变换 域形 式

X (s) ? (sI ? A)?1 x(0) ? (sI ? A)?1 BF (s)
Y ( s) ? ( sI ? A)?1 x(0) ? [C ( sI ? A) ?1 B ? D]F ( s)
零输入解 零状态解

X ( z ) ? ( zI ? A)?1 zx(0) ? (sI ? A)?1 BF (s)
Y ( z ) ? C ( zI ? A)?1 zx(0) ? [C ( zI ? A) ?1 B ? D]F ( s)
零输入解 零状态解

H (s) ? C (sI ? A)?1 B ? D

H (s) ? C (sI ? A)?1 B ? D

备注

状态转移矩阵 ? (t ) ? e At ? LT ?1[(sI ? A)?1 ]

? (t ) 的主要性质:
1 ? (0) ? I 4 ? (nt ) ? [? (t )]n 2 ? (t2 ? t0 ) ? ? (t2 ? t1 )? (t1 ? t0 ) 5 ? (?t ) ? ? ?1 (t ) 3 ? (t1 ? t2 ) ? ? (t1 )? (t2 ) 6 ? ' (t ? t0 ) ? A? (t ? t0 ) ? ? (t ? t0 ) A ? AI ?? ' (0)

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八.状态方程判断和系统的稳定性、可控性、可测性
1.稳定性 连续时间系统 系统函数 稳定性 稳定 2.可控性 1.定义:能否找到任意初态转移到任意终态的控制量问题 2.可控性条件:
W ? ( B, AB, A2 B, , An?1B)

离散时间系统
H (s) ? C (sI ? A)?1 B ? D zI ? A ? 0 的全部根位于 Z 平面的单位

H (s) ? C (sI ? A)?1 B ? D
sI ? A ? 0 的根位于 s 平面的右半平面时

圆内时稳定 3.可测性 1 定义:能否通过观测输入量来确定系统的初态问题
? C ? ? CA ? ? s 是满秩的 2.可测性条件: s ? ? ? ? ? n?1 ? ? CA ?

W 是满秩的,即 W 的行列式为零

i


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