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2014年江苏省高考数学试题)答案解析


2014 年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷) 答案解析

数 学Ⅰ
注 意 事 项

考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1.本试卷共 4 页,包含填空题(第 1 题~第 14 题,共 14 题)、解答题(第 15 题~第 20 题,共 6 题)两部分。本次考试时间为 120 分钟。考试结束后,只要将答题卡交回。 2.答题前,请您务必将自己的姓名、考试证号用书写黑色字迹的 0.5 毫米签字笔填写在 答题卡上,并用 2B 铅笔把答题卡上考试证号对应数字框涂黑,如需改动,请用橡皮 擦干净后,再正确涂写。 3.答题时,必须用书写黑色字迹的 0.5 毫米签字笔写在答题卡上的指定位置,在其它位 置作答一律无效。 4.如有作图需要,可用 2B 铅笔作答,并请加黑加粗,描写清楚。 一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.请把答案直接填写在答题卡相应位 ...... 置上 . .. 1、已知集合 A ? {?2,?1,3,4} , B ? {?1,2,3} ,则 A ? B = 【答案】 {?1,3} 【解析】根据集合的交集运算,两个集合的交集就是所有既属于集合 A 又属于集合 B 的元 素组成的集合,从所给的两个集合的元素可知,公共的元素为-1 和 3,所以答案为 {?1,3} 【点评】本题重点考查的是集合的运算,容易出错的地方是审错题目,把交集运算看成并集 运算。属于基础题,难度系数较小。 ▲ .

2、已知复数 z ? (5 ? 2i) ( i 为虚数单位) ,则 z 的实部为 ▲ .
2

【答案】21 【解析】根据复数的乘法运算公式, z ? (5 ? 2i) ? 5 ? 2 ? 5 ? 2i ? (2i) ? 21? 20i ,实部
2 2 2

为 21,虚部为-20。
2 【点评】 本题重点考查的是复数的乘法运算公式, 容易出错的地方是计算粗心, 把 i ? ?1 算

为 1。属于基础题,难度系数较小。

3、右图是一个算法流程图,则输出的 n 的值是 ▲ . 【答案】5 【解析】根据流程图的判断依据,本题 2n ? 20 是否成立,若不成立, 则 n 从 1 开始每次判断完后循环时, n 赋值为 n ? 1 ;若成立,则输出 n 的值。本题经过 4 次循环,得到 n ? 5,2n ? 25 ? 32 ? 20,成立,则输 出的 n 的值为 5 【点评】本题重点考查的是流程图的运算,容易出错的地方是判断循环 几次时出错。属于基础题,难度系数较小。

开始

n?0 n ? n ?1

2n ? 20
Y 输出 n

N

结束 4、从 1,2,3,6 这 4 个数中一次随机地取 2 个数,则所取 2 个数的乘积为 6 的概率是 ▲ . 【答案】

1 3

【解析】将随机选取 2 个数的所有情况“不重不漏”的列举出来: (1,2) , (1,3) (1,6) , (2,3) , (2,6) , (3,6) ,共 6 种情况,满足题目乘积为 6 的要求的是(1,6)和(2,3) , 则概率为

1 。 3

【点评】 本题主要考查的知识是概率, 题目很平稳, 考生只需用列举法将所有情况列举出来, 再将满足题目要求的情况选出来即可。本题属于容易题,但同时也易在列举时粗心、遗漏, 需要引起考生的注意。

5、已知函数 y ? cos x 与 y ? sin(2 x ? ? )(0 ? ? ? ? ) ,它们的图象有一个横坐标为 点,则 ? 的值是 ▲ . 【答案】

? 的交 3

? ? 的交点,所以将 分别代入两个函 3 3 1 ? 1 ? 2 ? 数,得到 cos ? ? sin( 2 ? ? ) ,通过正弦值为 ,解出 ? ? ? ? ? 2k? , (k ? Z ) 或 2 3 2 3 3 6 2 5? ? ? ? ?? ? ? 2k? , (k ? Z ) ,化简解得 ? ? ? ? 2k? , (k ? Z ) 或 ? ? ? 2k? , (k ? Z ) , 3 6 2 6 ? 结合题目中 ? ? [0, ? ] 的条件,确定出 ? ? 。 6
【解析】根据题目中两个函数的图象有一个横坐标为

? 6

【点评】本题主要考查的是三角函数,由两个图象交点建立一个关于 ? 的方程

1 ? 2 ? ? sin( 2 ? ? ) ,在解方程时,考生一般只想到第一种情况 ? ? ? ? ? 2k? , (k ? Z ) , 2 3 3 6 1 ? 5 忽略了在一个周期内,正弦值为 的角有两个: 和 ? ,然而最终答案却由第二种情况 2 6 6 2 5? ? ?? ? ? 2k? , (k ? Z ) 解出,此处为考生的易错点和薄弱点,主要是由于对正弦值为 3 6 1 ? 的角的惯性思维为 ,这个问题也是今年的热点问题,在模拟题中也经常出现,需要引 2 6
起考生的重视。

6、在底部周长 ? [80,130] 的树木进行研究,频率分布直方图如图所示,则在抽测的 60 株树 木中,有 ▲ 株树木的底部周长小于 100cm. 【答案】24 【解析】 从图中读出底部周长在 [80,90] 的频率为 0.015 ?10 ? 0.15 , 底部周长在 [90,100] 的 频率为 0.025 ?10 ? 0.25 ,样本容量为 60 株, (0.15 ? 0.25) ? 60 ? 24 株是满足题意的。 【点评】本题考查统计部分的内容,重点考查频 率分布直方图。频率分布直方图的纵轴表示
频率 组距

频率/组距 0.030 0.025 0.020 0.015 0.010 80 90 100 110 120 130 第 6 题图 底部周长 cm

,图中读出的数据 0.015 并非是频率,需要

乘以组距 10 以后才为频率。频率分布直方图近三 年的江苏考卷中都未出现,今年也是作为高考热 点出现了,希望引起重视。

7、 在各项均为正数的等比数列 {an } 中, 若 a2 ? 1,a8 ? a6 ? 2a2 , 则 a6 的值是 案】4

▲ . 【答

【解析】根据等比数列的定义, a8 ? a2q6 , a6 ? a2 q 4 , a4 ? a2q 2 ,所以由 a8 ? a6 ? 2a2 得

a2 q 6 ? a2 q 4 ? 2a2 q 2 ,消去 a2 q 2 ,得到关于 q 2 的一元二次方程 (q 2 )2 ? q 2 ? 2 ? 0 ,解得 q 2 ? 2 , a6 ? a2q 4 ? 1? 22 ? 4
【点评】本题重点考查等比数列的通项公式,将题中数列的项用 a2 和 q 表示,建立方程解

得 q2 , 考查以 q 2 为一个整体的整体思想去解方程, 对于第 7 题考查此题, 显得太过简单了, 但此题也有易错点,考生易将等比看为等差。

8、设甲、乙两个圆柱的底面积分别为 S1 , S2 ,体积分别为 V1 , V2 ,若它们的侧面积相等,

S1 9 V ? ,则 1 ? S2 4 V2
3 【答案】 2

▲ .

【解析】由题意,

S1 ?r12 r12 9 r 3 ? 2 ? 2 ? , 所 以 1 ? , 圆 柱 的 侧 面 积 S侧 ? 2?rh , r2 2 S2 ?r2 r2 4
h1 r2 2 V1 S1h1 9 2 3 ? ? , ? ? ? ? h2 r1 3 V2 S 2 h2 4 3 2

S侧1 ? 2?r1h1 ? S侧2 ? 2?r2h2 ,则

【点评】本题考查了圆柱的体积,主要根据侧面积相同,由底面积的比值找到高、体积的比 值,难度适中。

9、在平面直角坐标系 xOy 中,直线 x ? 2 y ? 3 ? 0 被圆 (x ? 2)? ( y ? 1) ? 4 截得的弦长
2 2

为 【答案】

▲ .

2 55 5

【解析】根据直线和圆的位置关系,直线与圆相交,求弦长,构建“黄金三角形”勾股定理, 圆 心 为 (2,?1) , r ? 2 , 圆 心 到 直 线 的 距 离 d ?

| 2? 2?3| 1 ?2
2 2

?

3 5 ,弦长 5

=2 r ?d =2 4?
2 2

9 2 ? 5 5 5

【点评】 本题主要考查直线和圆相交求弦长, 直线和圆的位置关系向来都是热点和重点问题, 本题考查的也是一个相对简单的问题,主要侧重计算。

10、已知函数 f ( x) ? x ? mx ? 1,若对于任意 x ?[m, m ? 1] ,都有 f ( x) ? 0 成立,则实数
2

m 的取值范围是 ▲ .

【答案】 (?

2 ,0) 2

【解析】二次函数开口向上,在区间 [m, m ? 1] 上始终满足 f ( x) ? 0 ,只需 ?

? f (m) ? 0 即 ? f (m ? 1) ? 0

? 2 2 ? ?m? 2 2 ? ? m ? m ? 1 ? 0 ? ? 2 ,则 m ? (? 2 ,0) 可, ? ,解得 ? 2 2 2 ? ?(m ? 1) ? m(m ? 1) ? 1 ? 0 ?? 3 ? m ? 0 ? ? 2
【点评】本题主要考查二次函数含参数问题,将区间上恒成立转化为只需区间端点处成立, 使得题目解答过程和思路都简单很多,如果对于对称轴和区间进行讨论亦可做出但较繁琐, 考生可以自己尝试。

2 11、在平面直角坐标系 xOy 中,若曲线 y ? ax ?

b (a, b为常数 ) 过点 P(2,?5) ,且该曲线 x

在点 P 处的切线与直线 7x ? 2 y ? 3 ? 0 平行,则 a ? b 的值是 ▲ . 【答案】

1 2

' 【解析】根据 P 点在曲线上,曲线在点 P 处的导函数值等于切线斜率, y ? 2ax ?

b , x2

b ? 3 ? 5 ? 4a ? ? ? 7 1 ? ?a ? ? 2 k ? ? ,将 P(2,?5) 带入得 ? ,解得 ? 2 ,则 a ? b ? 2 2 ?4 a ? b ? ? 7 ? ?b ? 2 ? 4 2 ?
【点评】本题主要考查导数的应用,求切线问题,题目很基础,点在曲线上,以及导函数在 切点处的取值等于切线的斜率,而直线平行提供切线斜率,建立关于 a , b 的方程组。

12、如图,在平行四边形 ABCD 中,已知 AB ? 8, AD ? 5 , CP ? 3PD, AP ? BP ? 2 ,则

AB ? AD 的值是 ▲ .
【答案】22 D 【 解 析 】 以 AB, AD 为 基 底 , 因 为 P C

CP ? 3PD, AP ? BP ? 2 ,
A

B

1 3 AB , BP ? BC ? CP ? AD ? AB 4 4 2 2 1 3 1 3 AB 则 AP ? BP ? 2 ? ( AD ? AB ) ? ( AD ? AB ) ? AD ? AD ? AB ? 4 4 2 16 3 1 ? 64 ? AB ? AD ,故 AB ? AD ? 22 因为 AB ? 8, AD ? 5 则 2 ? 25 ? 16 2 AP ? AD ? DP ? AD ?
【点评】本题主要考查向量,向量的基底表示,向量的运算,本题关键在于选取哪两个向量 为基底,根据题目中已知的两条边长,选为基底最为合适。向量一直都是高考的热点话题, 本题的难度适中,希望引起考生的注意。

2 13.已知 f ( x) 是定义在 R 上且周期为 3 的函数,当 x[0,3) 时, f ( x ) ?| x ? 2 x ?

1 | 2

,则实数 a 的取值范围是 ▲ . y ? f ( x) ? a 在区间 [?3,4] 上有 10 个零点(互不相同) 【答案】 (0, ) 【解析】根据题目条件,零点问题即转化为数形结合,通过找 y ? f ( x) 与 y ? a 的图象交
2 点去推出零点,先画出[0,3]上 y ? x ? 2 x ?

1 2

1 的图像,再将 x 轴下方的图象对称到上方,利 2

用周期为 3,将图象平移至 [?3,4] ,发现若 f ( x) 图象要与 y ? a 有 10 个不同的交点,则

1 a ? (0, ) 2
【点评】本题主要考查函数零点问题,转为为数形结合,利用图象交点去解决问题,因为零 点问题、数形结合是重要的考点和难点,但是本题考查的不是特别深,所以题目难度适中, 只要能画出图象就可以解决问题。同时,这也是近年来高考的热点,同样需要注意。

14.若三角形 ABC 的内角满足 sinA ? 2 sin B ? 2 sin C ,则 cos C 的最小值是 ▲ .

【答案】

6? 2 4

【解析】根据题目条件,由正弦定理将题目中正弦换为边,得 a ? 2b ? 2c ,再由余弦定
2 2 理,用 a , b 去表示 c ,并结合基本不等式去解决,化简 a ? b 为 ab ,消去 ab 就得出答案。

a 2 ? b2 ? c2 cos C ? ? 2ab

a2 ? b2 ? (

a ? 2b 2 3 2 1 2 2 3 2 1 2 ) a ? b ? ab a ? b 2 2 2 2 ? 2 ?4 ?4 2ab 2ab 2ab 4

2 ?

3 21 2 a b 4 2 ? 2 ? 6? 2 2ab 4 4

【点评】本题主要考查正、余弦定理,以及不等式,最终最值是在 C ? 75? 这样一个较为特 殊的角处取的,题目做为填空题的压轴题,实在是简单了,没有过多的技巧与构造,只需要 用正、余弦定理和不等式即可很轻松做出答案。 15.已知 ? ? ? (1)求 sin(

5 ?? ? 。 ,? ?, sin ? ? 5 ?2 ?

? ? ) 的值; 4 5? ? 2? ) 的值。 (2)求 cos( 6

?

15.(1)∵α ∈(错误!未找到引用源。 ,π ) ,错误!未找到引用源。 =错误!未找到引用源。 ∴错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。 ∴错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。+错误!未找到引用 源。=错误!未找到引用源。 (2)错误!未找到引用源。=1 错误!未找到引用源。2 错误!未找 到引用源。=错误!未找到引用源。 ,错误!未找到引用源。=2 错误! 未找到引用源。=错误!未找到引用源。 错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。 =错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。 (错误!未找到引用 源。 )=错误!未找到引用源。 16.如图,在三棱锥 P 错误!未找到引用源。ABC 中,D,E,F 分别为棱 PC,AC,AB 的中点。已知 PA⊥AC,PA=6,BC=8,DF=5. 求证: (1)直线 PA∥平面 DEF;
D P

A

E

C

(2)平面 BDE⊥平面 ABC. (1)∵D,E,分别为 PC,AC,的中点 ∴DE∥PA 又∵DE

? 平面 PAC,PA ? 平面 PAC

∴直线 PA∥平面 DEF (2)∵E,F 分别为棱 AC,AB 的中点,且 BC=8,由中位线知 EF=4 ∵D,E,分别为 PC,AC,的中点,且 PA=6,由中位线知 DE=3,又∵DF=5 ∴DF?=EF?+DE?=25,∴DE⊥EF,又∵DE∥PA,∴PA⊥EF,又∵PA⊥ AC,又∵AC ? EF=E,AC

? 平面

ABC,EF

? 平面

ABC,∴PA⊥平面

ABC,∴DE⊥平面 ABC,∵DE

? 平面 BDE,∴平面 BDE⊥平面 ABC

17. 如 图 , 在 平 面 直 角 坐 标 系 xOy 中 , F1 、 F2 分 别 是 椭 圆
2 x2 ? y ? 1(a ? b ? 0) 的左、右焦点,顶点 B 的坐标为(0,b) ,连结 BF2 a 2 b2

交椭圆于点 A,过点 A 作 x 轴的垂 线交椭圆于另一点 C,连结 F1C. (1) 若点 C 的坐标为(错误!未 找到引用源。 ,错误!未找到 引用源。 ) ,且 BF2 =错误!未 找到引用源。 ,求椭圆的方
F1 O y B C

F2 A

x

程; (2) 若 F1C⊥AB,求椭圆离心率 e 的值。 (1)∵BF2 = 错误!未找到引用源。 , 将点 C(错误!未找到引用源。 ,错误!未找到引用源。 )代入
2 x2 ? y ? 1(a ? b ? 0) 2 2 椭圆 a b ,

16 1 ∴ 9a 2 ? 9b2 ? 1(a ? b ? 0) ,

且 c?+b?=a?
2 x ∴a=错误!未找到引用源。 ,b=1, ∴椭圆方程为 2 ? y ? 1 2

( 2 )直线 BA 方程为 y= 错误!未找到引用源。 x+b,与椭圆
2 x2 ? y ? 1(a ? b ? 0) a 2 b2 联立得

错误! 未找到引用源。 x?错误! 未找到引用源。 x=0. ∴点 A (错 误!未找到引用源。 ,错误!未找到引用源。 ) ,∴点 C(错误! 未找到引用源。 ,错误!未找到引用源。 ) F1(错误!未找到引用源。 ) 直线 CF1 斜率 k=错误!未找到引用源。 ,又∵F1C⊥AB ,∴ 错误!未找到引用源。 ·错误!未找到引用源。=错误!未找到 引用源。 ∴错误!未找到引用源。=1,∴e= 错误!未找到引用源。 18. 如 图 , 为 保 护 河 上 古 桥
A M O F2 C 北 B



OA,规划建一座新桥 BC,同时设立一个圆形保护区,规划要 求:新桥 BC 与河岸 AB 垂直,保护区的边界为圆心 M 在线段 OA 上并与 BC 相切的圆,且古桥两端 O 和 A 到该圆上任意一 点的距离均不少于 80m, 经测量, 点 A 位于点 O 正北方向 60m 处, 点 C 位于点 O 正东方向 170m 处 (OC 为河岸) , tan∠BCO= 错误!未找到引用源。. (1)求新桥 BC 的长: (2)当 OM 多长时,圆形保护区的面积最大?



B A

60m O

M 170m C 东



B A F 60m O M E 170m C

18. (1)过点 B 作 BE⊥OC 于点 E,

过点 A 作 AD⊥BE 于点 F。 ∵tan∠BCO=错误!未找到引用源。 ,设 BC=5x ,CE=3x ,BE=4x , ∴OE=,AF=170 错误!未找到引用源。 , ,EF=AO=60 ,BF=4x 错误! 未找到引用源。60
又∵AB⊥BC

,且∠BAF+∠ABF=90°,

∠CBE+∠BOC=90°,∴∠ABF +∠CBE=90°,∴∠CBE +∠BAF=90°, ∴tan∠BAF=错误! 未找到引用源。 = 错误! 未找到引用源。 =错误! 未找到引用源。 ,∴x=30 ,BC=5x=150m∴新桥 BC 的长为 150m。 (2)以 OC 方向为 x 轴,OA 为 y 轴建立直角坐标系。设点 M (0,m) ,点 A(0,60) ,B(80,120) ,C(170,0)直线 BC 方 程为 y=错误!未找到引用源。 (x 错误!未找到引用源。 ) , 即 4x+3y 错误!未找到引用源。∴半径 R=错误!未找到引用源。 ,又
因为古桥两端 O 和 A 到该圆上任意一点的距离均不少于 80m,

∴R 错误!未找到引用源。AM 错误!未找到引用源。 80 且 R 错误!未找到引用源。80 ,∴ 错误!未找到引用源。 80 , 错误!未找到引用源。 80,
∴错误!未找到引用源。 35 ,∴R=错误!未找到引用源。 此时圆面积 最大。∴当 OM=10 时圆形保护区面积最大。

19.已知函数 f ( x) ? 错误!未找到引用源。+错误!未找到引用 源。 ,其中 e 是自然对数的底数。 (1)证明: f ( x) 是 R 上的偶函数; (2)若关于 x 的不等式 m f ( x) 错误!未找到引用源。+m 错误! 未找到引用源。1 在(0,+错误!未找到引用源。 )上恒成立,

求实数 m 的取值范围; (3)已知正数 a 满足:存在 x0 错误!未找到引用源。 [1,+错误!未找到 引用源。 ) ,使得 f (x 0 ) 错误!未找到引用源。 (错误!未找到引 用源。x0 3 +3x0)成立,试比较 错误!未找到引用源。与错误! 未找到引用源。的大小,并证明你的结论。 (1)∵x 错误!未找到引用源。 f (? x) =错误!未找到引用源。 +错误!未找到引用源。= f ( x) ,∴ f ( x) 是 R 上的偶函数 (2)∵ f ( x) 错误!未找到引用源。 +错误!未找到引用源。 2 错误!未找到引用源。=2 错误!未找到引用源。1 ,∴ f ( x) 错误!未找到引用源。 ,∴m( f ( x) 错误!未找到引用源。 )错 误!未找到引用源。1,∴m 错误!未找到引用源。=错误!未 找到引用源。 , 令 g ( x) =错误!未找到引用源。 , g ?( x) =错误!未找到引用源。 x 错误!未找到引用源。时 g ?( x) 错误!未找到引用源。
g ( x) 单调减, x 错误! 未找到引用源。 时 g ?( x)
错误! 未找到引用源。 ,∴

g ( x)

单调增,∴ g ( x) min= g (ln 2) =错误!未找到引用源。

,若关于 x 的

不等式 m f ( x) 错误!未找到引用源。+m 错误!未找到引用源。 1 在(0,+错误!未找到引用源。 )上恒成立,则只要 m
未找到引用源。 错误!

g ( x) min 恒成立 ,∴m 错误!未找到引用源。 。∴

m 错误!未找到引用源。 (错误!未找到引用源。]。 (3)由题正数 a 满足:存在 x0 错误!未找到引用源。 [1,+错误!未找到 引用源。 ) ,使得 f (x 0 ) 错误!未找到引用源。 (错误!未找到引

用源。x0 3 +3x0)成立。即错误!未找到引用源。+错误!未找 到引用源。 (错误!未找到引用源。x0 3 +3x0)错误!未找到引 用源。令 h( x) =错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。 (错误!未找到引用源。x 3 +3x) ,即 h( x) min 错误!未找到引用 源。0。 h? ? x ? ? 错误!未找到引用源。-错误!未找到引用源。 =错误!未找到引用源。 +3a 错误!未找到引用源。 ,当 x
误!未找到引用源。 错

[1,+错误!未找到引用源。 )时, h? ? x ? 错误!未找到 -2a 错误!未

引用源。0 , h( x) min = h (1) =e+错误!未找到引用源。

找到引用源。0 ,∴a 错误!未找到引用源。 + 错误!未找到 引用源。 。 要比较错误!未找到引用源。与错误!未找到引用源。的大小, 两边同时取以 e 为底的对数。 只要比较 a-1 与 (e-1) lna 的大小。 令

y = a-1-( e-1)lna ,

y ? = 1-错误!未找到引用源。 ,∵a 错误!未找到引用源。 +
错误!未找到引用源。 + 错误!未找到引用源。e-1,∴a 错 误!未找到引用源。 (错误!未找到引用源。 + 错误!未找到 引用源。 )时 y ? 错误!未找到引用源。y 单调减,a 错误!未找 到引用源。 (错误! 未找到引用源。 ) 时 y ? 错误! 未找到引用源。 y 单调增, 又∵错误! 未找到引用源。 + 错误! 未找到引用源。 , 当 a=1 时,y=0,∴当 a=错误!未找到引用源。 + 错误!未找 到引用源。时,y 错误!未找到引用源。0,当 a=e 时,y=0。 ∴a=e-1 时,y 错误!未找到引用源。0。

∴当错误!未找到引用源。 + 错误!未找到引用源。时,y 错 误!未找到引用源。0,此时 a-1 错误!未找到引用源。 (e-1) lna ,即错误!未找到引用源。 。 当 a=e 时 y 错误!未找到引用源。0,此时 a-1 错误!未找到引 用源。 (e-1)lna ,即错误!未找到引用源。 。 当 a 错误!未找到引用源。e 时 y 错误!未找到引用源。0,此 时 a-1 错误!未找到引用源。 (e-1)lna ,即错误!未找到引用 源。 。

20.设数列{错误!未找到引用源。}的前 n 项和为错误!未找到 引用源。 .若对任意的正整数 n,总存在正整数 m,使得错误! 未找 到引用源。 ,则称{错误!未找到引用源。}是“H 数列。 ” (1)若数列{错误!未找到引用源。}的前 n 项和错误!未找到 引用源。=错误!未找到引用源。 (n 错误!未找到引用源。 ) , 证明:{错误!未找到引用源。}是“H 数列” ; (2) 设数列{错误! 未找到引用源。 }是等差数列, 其首项错误! 未找到引用源。=1.公差 d 错误!未找到引用源。0.若{错误! 未找到引用源。}是“H 数列” ,求 d 的值; (3)证明:对任意的等差数列{错误!未找到引用源。},总存 在两个“H 数列” {错误!未找到引用源。} 和{错误!未找到引用源。 },使得错误!未找到引用源。 =错 误!未找到引用源。 (n 错误!未找到引用源。 )成立。

(1)证明:∵错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。 , ∴错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。=错误!未找 到引用源。 (n 错误!未找到引用源。 ) ,又错误!未找到引用源。 =错误!未找到引用源。=2=错误!未找到引用源。 ,∴错误! 未找到引用源。 (n 错误!未找到引用源。 ) 。∴存在 m=n+1 使 得错误!未找到引用源。 (2)错误!未找到引用源。=1+(n-1)d ,若{错误!未找到 引用源。}是“H 数列”则对任意的正整数 n,总存在正整数 m, 使得错误! 未找到引用源。 。 错误! 未找到引用源。=1+ (m-1) d 成立。化简得 m=错误!未找到引用源。 +1+错误!未找到引 用源。 ,且 d 错误!未找到引用源。0 又 m 错误!未找到引用源。 ,错误!未找到引用源。 ,错误! 未找到引用源。d 错误!未找到引用源。 ,且错误!未找到引用 源。为整数。 (3) 证明: 假设成立且设错误! 未找到引用源。 都为等差数列, 则 n 错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。=错误!未找 到引用源。 + (错误! 未找到引用源。 -1) 错误! 未找到引用源。 , 错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。+错误!未找到 引用源。+1, ∴错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。 (错误!未 找到引用源。 )

同理错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。 (错误! 未找到引用源。 ) 取错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。=k 由题错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。=错误!未 找到引用源。+(错误!未找到引用源。-1)错误!未找到引用 源。+错误!未找到引用源。+(错误!未找到引用源。-1)错 误!未找到引用源。 =(错误!未找到引用源。 )+(n-1) (错误!未找到引用源。 ) =(n+k-1)错误!未找到引用源。 ) 可得{错误!未找到引用源。}为等差数列。即可构造出两个等 差数列{错误!未找到引用源。} 和{错误!未找到引用源。}同时也是“H 数列”满足条件。


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