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7[1].6.2圆的一般方程


知识回顾:
(1) 圆的标准方程: (x-a)2+(y-b)2=r2 特征:直接看出圆心与半径
指出下面圆的圆心和半径:

(x-1)2+(y+2)2=2

(x+2)2+(y-2)2=5
(x+a)2+(y-2)2=a2 (a≠0)

把圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2 展开,得

x + y 2 - 2ax - 2by + a 2 + b2 - r 2 = 0
2

由于a,b,r均为常数

令 - 2a = D,-2b = E , a + b - r = F
2 2 2

结论:任何一个圆方程可以写成下面形式:

x2 +y 2+Dx+Ey+F=0

结论:任何一个圆方程可以写成下面形式:

x2 +y 2+Dx+Ey+F=0

问:是不是任何一个形如
x2 +y 2+Dx+Ey+F=0 方程表示

的曲线都是圆呢?
请举出例子

例如
方程 x 2 + y 2 - 2 x + 4 y + 1 = 0 表示图形
( x - 1) + ( y + 2) = 4
2 2

以(1, -2)为圆心,2为半径的圆.
2 2 x + y - 2 x - 4 y + 6 = 0 表示图形 方程 2 2 ( x - 1) + ( y - 2) = -1 不表示任何图形.

探究:方程 x + y + Dx + Ey + F = 0 在什 么条件下表示圆?
2 2

把方程:x2 +y 2+Dx+Ey+F=0 D 2 E 2 D2 + E 2 - 4F 配方可得: ( x + ) + ( y + ) = 2 2 4

(1)当D2+E2-4F>0时,表示以( 为圆心,以(
1 D 2 + E 2 - 4F 2

D E ,2 2



) 为半径的圆

(2)当D2+E2-4F=0时,方程只有一组解X=-D/2
D E y=-E/2,表示一个点( - 2 ,- 2 )

(3)当D2+E2-4F<0时,方程无实数解,所以

不表示任何图形。

所以形如x2 +y 2+Dx+Ey+F=0 (D2+E2—4F>0)可表示圆的方程

圆的方程
标准方程: ( x - a ) + ( y - b) = r
2 2 2
2 2

展开

x + y - 2ax - 2by + (a + b - r ) = 0 圆心: (a , b ) 半径: r ( r ? 0)
2 2 2

一般方程: 2 2 2 2 x + y + Dx + Ey + F = 0 ( D + E - 4F ? 0)
2 2 D E D + E - 4F 2 2 配方 (x + ) + ( y + ) = 2 2 4 1 -D -E 2 2 圆心: ( D + E - 4F , ) 半径: 2 2 2

圆的一般方程与标准方程的关系:
(1)a=-D/2,b=-E/2,r=

1 2 2 D + E - 4F 2

(2)标准方程易于看出圆心与半径 一般方程突出形式上的特点: x2与y2系数相同并且不等于0; 没有xy这样的二次项

圆的一般方程:x2 +y 2+Dx+Ey+F=0 (D2+E2-4F>0) 二元二次方程:A x2 +Bxy+Cy 2+Dx+Ey+F=0 的关系:
1、A = C ≠ 0 2、B=0 3、 D2+E2-4F>0

?

二元二次方程

表示圆的一般方程

练习1:判别下列方程表示什么图形,如果是圆,就 找出圆心和半径. 2 2 ( 1) 1) x + y - 2x + 4 y + 1 = 0
2 2

D = -2, E = 4, F = 1 D + E - 4 F = 16 圆心: (1, -2) 半径: r = 2
2 2

( 2) 3) x + y - 6x = 0

D = -6, E = F = 0 D + E - 4 F = 36
2 2

圆心: (3,0)

半径:

r=3

2 ( 3 ) 4) x

E = 2b, D = F = 0 D + E - 4F = 4b 圆心: (0, - b) 半径: | b |
2 2

+ y + 2by = 0
2

(b ? 0)

2

6) ( 4)x

2

+ y + 2ax - b = 0
2 2
2

D = 2a , E = 0, F = - b
2 2

D + E - 4F = 4(a + b )
2 2 2 2

当 a + b ? 0时, 圆心: (-a,0) 半径: 当 a 2 + b2 = 0 时, 表示点: (0,0)

a +b
2

2

练习2.将下列圆的标准方程化成一般方程:

( x - 1) + ( y - 2) = 3 2 2 x + y - 2x - 4 y + 2 = 0
2 2

( x + 2) + ( y + 1) = 7
2 2
2 2

x + y + 4x + 2 y - 2 = 0
2

练习3.将下列圆的一般方程化成标准方程,并找出圆心 坐标及半径

1) x + y - 2 x + 4 y + 2 = 0
2

4) x + y + 2ax - 4by - a + b = 0
2 2 2 2

? ( x - 1) + ( y + 2) = 3
2 2

? ( x + a ) + ( y - 2b) = 2a + 3b
2 2 2

2

例1:求过点 O(0,0), M1 (1,1), M 2 (4,2) 的圆的 方程,并求出这个圆的半径长和圆心.

解:设圆的方程为: x + y + Dx + Ey + F = 0
2 2

因为 O, M1 , M 2都在圆上,所以其坐标都满足圆的 方程,即 ? F = 0 ? D = -8 ? ? ? ?E = 6 ?D + E + F + 2 = 0 ?F = 0 ? 4 D + 2 E + F + 20 = 0 ? ? 所以,圆的方程为:

x + y - 8x + 6 y = 0
2 2

求圆方程的步骤: (待定系数法) 1.根据题意,选择标准方程或一般方程. ?若已知条件与圆心或半径有关,通 常设为标准方程; ?若已知圆经过两点或三点,通常设 为一般方程; 2.根据条件列出有关 a, b, r, 或 D, E, F 的方程组. 3.解出 a, b, r 或 D, E, F 代入标准方程或 一般方程.

平面上不共线的三点可以确定一个圆 思考:平面直角坐标系中有A(0,1),B(2,1), C(3,4),D(-1,2)四点,这四点能否在同一圆上? 分析:常用的判别A,B,C,D四点共圆的方法有 ?A,B,C三点确定的圆的方程和B,C,D三点确定 的圆的方程为同一方程 ?求出A,B,C三点确定的圆的方程,验证D点的坐 标满足圆的方程.

求下列各圆的方程 (1)圆心在C(8, -3),且过点A(5,1) (标准方程)
( x - 8)2 + ( y + 3)2 = r 2 代入A点坐标

r = 25
2

? ( x - 8) + ( y + 3) = 25
2 2

(2)过A(-1, 5), B(5, 5), C(6,-2)三点. (一般方程)
x + y + Dx + Ey + F = 0 ? 26 - D + 5 E + F = 0 ? D = -4, E = -2, F = -20 2 2 ? ? x + y - 4 x - 2 y - 20 = 0 50 + 5 D + 5 E + F = 0 ? ? 40 + 6 D - 2 E + F = 0 ? ( x - 2)2 + ( y - 1)2 = 25 ?
2 2

例2:已知一曲线是与两个定点O(0,0),

1 A(3,0)距离的比为 的点的轨迹, 2
求此曲线的方程,并画出曲线。
y

直接法
M(x,y)

.

(-1,0) O

.

.
A(3,0)

x

x + y + 2x - 3 = 0
2 2

例3:已知线段AB的端点B的坐标是(4,3),端 2 2 点A在圆( x + 1) + y = 4 上运动,求线段 AB的中点M的轨迹方程. 解:设M的坐标为(x, y),点A的坐标是 ( x0 , y0 ) .
由于点B的坐标是(4,3),且M是线段AB的中点, ? x0 = 2 x - 4 y0 + 3 x0 + 4 所以 y= 即: ? x= 2 2 ? y0 = 2 y - 3 因为点A在圆上运动,所以A的坐标满足圆的 2 2 方程,即: ( x0 + 1) + y0 = 4 ? (2 x - 4 + 1)2 + (2 y - 3)2 = 4 3 2 3 2 点M的轨迹方程 ? (x - ) + ( y - ) = 1 2 2

?求动点轨迹的步骤:
1.建立坐标系,设动点坐标M(x, y); 2.列出动点M满足的等式并化简; 3.说明轨迹的形状.

?求轨迹方程的方法:
若生成轨迹的动点 P ( x , y )随另一动点 Q( x0 , y0 ) 的变动而有规律地变动,可把Q点的坐标 x0 , y0 分别用动点P的坐标x, y 表示出来,代入到Q点 满足的已有的等式,得到动点P的轨迹方程
关键:列出P,Q两点的关系式.

[课堂小结]

(1)本节课的主要内容是圆的一般方程,其表达式为
? 2 + y 2 + Dx + Ey + F = 0 ?x ? 2 2 ? ?D + E - 4 F ? 0

(2)[圆的一般方程与圆的标准方程的联系] 配方 ?? ?? 一般方程 标准方程(圆心,半径) ?? ? ? 展开 (3)给出圆的一般方程,如何求圆心和半径? (用配方法求解)

(4)要学会根据题目条件,恰当选择圆方程形式:
①若知道或涉及圆心和半径,我们一般采用圆的标准方程较简单.

②若已知三点求圆的方程,我们常常采用圆的一般方程用待定系数 法求解.

本节课用的数学方法和数学思想方法:
①数学方法: 配方法 (求圆心和半径). ②数学思想方法: (ⅰ) 问题转化和分类讨论的思想 (原则是不重复,不遗漏) (ⅱ)方程的思想 (待定系数法) (ⅲ)数形结合的思想


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