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2009-2010学年重庆市渝中区巴蜀中学高一(下)期中数学试卷


2009-2010 学年重庆市渝中区巴蜀中学高一(下) 期中数学试卷

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2009-2010 学年重庆市渝中区巴蜀中学高一(下) 期中数学试卷
一、第Ⅰ卷选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个备选项中,只有一项是符合题 目要求的. 1. (5 分)已知 α 是锐角,那么 2α 是( ) A.第一象限角 B. 第二象限角 C. 小于 180°的正角 D.不大于直角的正角 2. (5 分)函数 A.是奇函数 C. 既不是奇函数也不是偶函数 , (k∈Z) ( )

B. 是偶函数 D.有无奇偶性不能确定 ) D.

3. (5 分)角 θ 的终边上一点 P 的坐标是(m,2m) (m>0) ,则 cosθ 的值为( A. B. C.

4. (5 分)要得到余弦曲线,只需将正弦曲线( A. 向右平移 个单位 C. 向右平移 π 个单位

) B. 向左平移 个单位

D.向左平移 π 个单位

5. (5 分)化简 A .1 B.﹣1

的结果为(

) D.﹣tan10° )

C.tan10°

6. (5 分)函数 y=f(x)是以 2π 为周期的周期函数,其图象的一部分如图所示,则 y=f(x)的解析式可能是(

A.y=3sin(x+1)

B.y=﹣3sin(x+1)

C.y=3sin(x﹣1)

D.y=﹣3sin(x﹣1) 轴右侧的交点按横坐标从小

7. (5 分) (2011?桂林模拟)曲线 到大依次记为 P1,P2,P3,…,则|P2P4|等于( A. B. ) C .π

D.2π

8. (5 分)已知 sin(α+β)= ,sin(α﹣β)= ,则

的值为(



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www.jyeoo.com A .3

B.

C.

D.

9. (5 分)函数 A. C. ,k∈Z ,k∈Z

的单调增区间为( B. D.

) ,k∈Z ,k∈Z

10. (5 分)已知 θ,a∈R,若 a>﹣2,则函数 A.2a B.3a+3 C.

的最小值为( D.



二、第Ⅱ卷填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.把答案填写在答题卡相应位置上. 11. (5 分)sin150°的值是 _________ . 12. (5 分)已知 ,tan(α+β)=2,则 的值为 _________ .

13. (5 分)如果函数 y=sin2x+acos2x 的图象关于直线

对称,那么实数 a 的值为 _________ .

14. (5 分)函数

的定义域为

_________ .

15. (5 分)下列有五个命题: ①若 sinα+cosα=1,则 sinα?cosα=0. ②在同一坐标系中,函数 y=sinx 的图象和函数 y=x 的图象有三个公共点. ③函数 y=tanx 的图象的对称中心一定是(kπ,0) ,k∈Z. ④x∈R,函数 y=sinx+3|sinx|的值域为[0,4]. ⑤在△ ABC 中,若有关系式 其中真命题的序号是 _________ . 三、第Ⅱ卷解答题(6 个小题,共 75 分.其中第 16、17、18 题每题 13 分,第 19、20、21 题每题 12 分) 16. (13 分)已知 tanα=3, 计算(Ⅰ) (Ⅱ) (sinα+cosα) . 17. (13 分)已知 (Ⅰ)求 sinβ,cosβ 的值; (Ⅱ)求 sinα. 18. (13 分)已知函数 y=sin x+2sinxcosx+3cos x,x∈R,
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2 2 2

成立,则△ ABC 为 A=60°的三角形.





,且 α,β∈(0,π) .

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www.jyeoo.com (Ⅰ)求函数的最小正周期; (Ⅱ)该函数的图象可由函数 y=sinx(x∈R)的图象经过怎样的变换得到?

19. (12 分)若函数

(Ⅰ)若 ,求 f(x)的单调增区间; (Ⅱ)若 f(x)的最小值为﹣2,试确定常数 a 的值. 20. (12 分)已知函数 (1)设 ω>0 为常数,若 y=f(ωx)在区间 (2)设集合 上是增函数,求 w 的取值范围 ,若 A?B,求实数 m 的取值范围.

21. (12 分)已知函数 (Ⅰ)若 a>0, ,求 f(x)的最小值;



(Ⅱ)若 x∈[0,2π)时,f(x)的图象与 x 轴有四个不同的交点,求实数 a 的取值范围.

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2009-2010 学年重庆市渝中区巴蜀中学高一(下) 期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、第Ⅰ卷选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个备选项中,只有一项是符合题 目要求的. 1. (5 分)已知 α 是锐角,那么 2α 是( ) A.第一象限角 B. 第二象限角 C. 小于 180°的正角 D.不大于直角的正角 考点: 象限角、轴线角. 专题: 阅读型. 分析: 根据 α 是锐角,得出 2α 的取值范围是 (0,π) ,再判定 2α 的终边位置即可. 解答: 解:∵α 是锐角,即 0<α< .∴0<2α<π.2α 是小于 180°的正角
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故选 C. 点评: 本题考查象限角的概念及判定,任意角的概念.得出 2α 的取值范围是关键. 2. (5 分)函数 A.是奇函数 C. 既不是奇函数也不是偶函数 , (k∈Z) ( )

B. 是偶函数 D.有无奇偶性不能确定

考点: 正切函数的奇偶性与对称性;函数单调性的判断与证明. 专题: 常规题型. 分析: 函数的图象可以看做是由 y=tanx 的图象向上平移 个单位,正切函数的图象是一个奇函数,向上平移以后
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既不关于原点对称,又不关于 y 轴对称,得到结论. 解答: 解:∵ , 个单位,

∴函数的图象可以看做是由 y=tanx 的图象向上平移

∵正切函数的图象是一个奇函数,向上平移以后既不关于原点对称,又不关于 y 轴对称, ∴函数是一个非奇非偶函数, 故选 C. 点评: 本题考查函数的奇偶性的判断,本题解题的关键是看出函数的图象是经过正切函数的图象变化得到的,本 题是一个基础题. 3. (5 分)角 θ 的终边上一点 P 的坐标是(m,2m) (m>0) ,则 cosθ 的值为( A. B. C. ) D.

考点: 任意角的三角函数的定义. 专题: 计算题.

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www.jyeoo.com 分析: 由题意可得 x=m,y=2m,求出 r 的值,利用已知条件 m>0,得到 r= 得到 cosα= 的值 解答: 解:由题意可得 x=m,y=2m,m>0 得到 r= ∴cosθ= = ,

m,利用任意角的三角函数的定义

故选 A 点评: 本题考查任意角的三角函数的定义,两点间的距离公式的应用,本题解题的关键是求出点到原点的距离, 这里给出条件 m 是一个正数,这样就降低了题目的难度. 4. (5 分)要得到余弦曲线,只需将正弦曲线( A. 向右平移 个单位 C. 向右平移 π 个单位 ) B. 向左平移 个单位

D.向左平移 π 个单位

考点: 函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换. 专题: 计算题. 分析: 根据诱导公式,知 cosx=sin(x﹣ ) ,所以 y=cosx=sin(x﹣
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) ,根据平移变换的规律,当 x 减去某数时, 个单位.

图象向左平移,可以知要得到余弦曲线,只需将正弦曲线向左平移 解答: 解:∵cosx=sin(x﹣ )

∴余弦函数 y=cosx 的图象可看作正弦 y=sinx 图象向左平移

个单位得到

故选 B 点评: 本题主要考察了利用诱导公式和平移变换规律来判断三角函数图象,做题时记清平移方向.

5. (5 分)化简 A .1 B.﹣1

的结果为(

) D.﹣tan10°

C.tan10°

考点: 三角函数的恒等变换及化简求值. 专题: 计算题. 分析: 条件中所给的是一个开方形式,需要把被开方数整理成一个完全平方形式,看出得到的结果的正负,得到 一个正的平方根,分母上要应用同角的三角函数之间的关系整理,约分以后得到结果. 解答: 解: =
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=

=

=1

故选 A 点评: 本题看出三角函数的恒等变换及化简求值,本题解题的关键是把被开方数整理成一个完全平方的形式,得 到算术平方根,本题是一个基础题. 6. (5 分)函数 y=f(x)是以 2π 为周期的周期函数,其图象的一部分如图所示,则 y=f(x)的解析式可能是(
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A.y=3sin(x+1)

B.y=﹣3sin(x+1)

C.y=3sin(x﹣1)

D.y=﹣3sin(x﹣1)

考点: 由 y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式. 专题: 计算题. 分析: 根据图象与横轴的一个交点是(1,0)且可以看作图象向右平移,角度应该是 x﹣1,这样函数值的正负不 合适,所以三角函数的系数是一个负数,得到结果. 解答: 解:由图象可以看出函数的振幅是 3,又有周期是 2π 这两个条件不能排除选项, 根据图象与横轴的一个交点是(1,0) 且可以看作图象向右平移, ∴角度应该是 x﹣1, 这样函数值的正负不合适,所以三角函数的系数是一个负数, 只有 D 选项符合题意, 故选 D. 点评: 本题考查由 y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式,本题解题的关键是确定函数的平移方向,本题着重 考查三角函数图象的变换,本题是一个中档题目.
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7. (5 分) (2011?桂林模拟)曲线 到大依次记为 P1,P2,P3,…,则|P2P4|等于( A. B. ) C .π

轴右侧的交点按横坐标从小

D.2π

考点: 三角函数的周期性及其求法. 专题: 计算题;转化思想. 分析: 利用两角和与差的三角函数化简
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, 然后求出曲线与 y= 的 y 轴右侧的交

点按横坐标,即可求出|P2P4|. 解答: 解: 就是 sin2x=﹣ 的根,解得 2x= 所以 x= ; , , ; = (sinx+cosx) ; ; (cosx+sinx)=1+sin2x;它与 y= 的交点, ;… =π;

…,所以|P2P4|=

故选 C 点评: 本题是基础题,考查三角函数的化简求值,方程的根就是函数图象的交点,考查计算能力,可以利用周期 解答本题.

8. (5 分)已知 sin(α+β)= ,sin(α﹣β)= ,则 A .3 B.

的值为( C.

) D.

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www.jyeoo.com 考点: 同角三角函数基本关系的运用. 专题: 计算题. 分析: 由条件可得 sinαcosβ+cosαsinβ= ,sinαcosβ﹣cosαsinβ= ,求出 sinαcosβ 和 cosαsinβ 的值,除可得
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的值. 解答: 解:由条件可得 sinαcosβ+cosαsinβ= ,sinαcosβ﹣cosαsinβ= , 解得 sinαcosβ= 故选 D. 点评: 本题考查两角和差的正弦公式,同角三角函数的基本关系的应用,得到 sinαcosβ= 解题的关键. 9. (5 分)函数 A. C. ,k∈Z ,k∈Z 的单调增区间为( B. D. ) ,k∈Z ,k∈Z ,cosαsinβ= ,是 ,cosαsinβ= ,再相除可得 = = ,

考点: 复合三角函数的单调性. 专题: 计算题. 分析: 要求函数 间即可 解答: 解:由题意可得,

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的单调增区间, 只要求解 t=sin2x+cos2x 在定义域上的单调递减区

∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵t=sin2x+cos2x 在(kπ ,k ]单调递增,在 的单调增区间 单调递减 k∈Z.

由复合函数的单调性可知函数

故选 D. 点评: 本题考查复合函数的单调性的规律、三角函数的单调区间的求法.解答本题时容易漏掉函数定义域的考虑

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www.jyeoo.com 10. (5 分)已知 θ,a∈R,若 a>﹣2,则函数 A.2a B.3a+3 C. 的最小值为( D. )

考点: 专题: 分析: 解答:

三角函数的最值. 计算题. 通过三角函数换元为 x,结合换元后的函数的单调性,直接求出函数的最小值即可. 解:设 x=2+sinθ,则 x∈[1,3]
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= = a>﹣2 所以函数 x∈[1,3] 是减函数, 当 x=3 时,即 sinθ=1 时,f(θ)取得最小值为: .

故选 C. 点评: 本题是中档题,考查三角函数的有界性,换元法的应用,函数的单调性,考查转化思想,计算能力. 二、第Ⅱ卷填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.把答案填写在答题卡相应位置上. 11. (5 分)sin150°的值是 .

考点: 运用诱导公式化简求值. 专题: 计算题. 分析: 根据诱导公式 sin(180°﹣α)=sinα,转化成锐角的三角函数形式再计算即可. 解答: 解:sin150=sin(180°﹣30°)=sin30°=
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故答案为: 点评: 本题考查诱导公式的化简求值.对角的转化原则是:负(角)化正(角) ,大(角)化小(角) .

12. (5 分)已知

,tan(α+β)=2,则

的值为 1 .

考 两角和与差的正切函数. 点: 专 计算题. 题: 分 由题意利用 = 析: 解 解: 答:

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,通过两角和的正切函数直接求出

的值.

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=

=

=

=1

. 故答案为:1. 点 本题是中档题,考查两角和的正切函数的计算,推出 评: 查计算能力. = ,是解题的关键,考

13. (5 分)如果函数 y=sin2x+acos2x 的图象关于直线

对称,那么实数 a 的值为



考点: 由 y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式. 专题: 计算题. 分析: 根据三角函数图象的性质可知,函数在对称轴处取得函数的最值可得
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,代入所给的解

析式可求出 a 的值 解答: 解:由三角函数的性质可知,函数的对称轴处取得函数的最值 ∴ ∴ 等式两边平方得到 ∴ 故答案为: 点评: 本题主要考查三角函数的辅角公式和正弦函数的对称性问题,考查学生分析解决问题的能力,本题解题的 关键是理解在对称轴处取得函数的最值,本题是一个基础题.

14. (5 分)函数

的定义域为

(0,

) .

考点: 正弦函数的定义域和值域. 专题: 计算题. 分析: 利用对数的真数大于 0,偶次方跟大于等于 0,然后求出交集即可. 解答: 解:要使函数 有意义,必须 解得
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,﹣2≤x<

故答案为: (0,

)∪[﹣2,﹣

) .

点评: 本题是中档题,考查对数函数三角函数的定义域,注意交集的求法,考查计算能力. 15. (5 分)下列有五个命题: ①若 sinα+cosα=1,则 sinα?cosα=0. ②在同一坐标系中,函数 y=sinx 的图象和函数 y=x 的图象有三个公共点.
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www.jyeoo.com ③函数 y=tanx 的图象的对称中心一定是(kπ,0) ,k∈Z. ④x∈R,函数 y=sinx+3|sinx|的值域为[0,4]. ⑤在△ ABC 中,若有关系式 其中真命题的序号是 ①⑤ . 成立,则△ ABC 为 A=60°的三角形.

考点: 命题的真假判断与应用. 专题: 综合题. 分析: ①若 sinα+cosα=1,两边平方可得 1+2sinαcosα=1,0.可判断①;②在同一坐标系中,函数 y=sinx 的图象和
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函数 y=x 的图象有一个公共点,可判断②;③函数 y=tanx 的图象的对称中心一定是( kπ,0) ,④x∈R,

函数 y=sinx+3|sinx|

,结合函数的性质可得值域⑤在△ ABC 中,若有关系式

成立,则 cos(A﹣B)=cos(A﹣C ) ,由原式可得 sinA≠sinB,可判断⑤ 解答: 解:①若 sinα+cosα=1,两边平方可得 1+2sinαcosα=1,则 sinα?cosα=0.故①正确 ②在同一坐标系中,函数 y=sinx 的图象和函数 y=x 的图象有一个公共点.故②错误 ③函数 y=tanx 的图象的对称中心一定是( kπ,0) ,k∈Z.故③错误

④x∈R,函数 y=sinx+3|sinx|= ⑤在△ ABC 中,若有关系式

的值域为[﹣2,4].故④错误

成立,则

∴sinAsinC﹣sinAsinB=cosAcosB﹣cosAcosC ∴cos(A﹣B)=cos(A﹣C ) 但由原式可得 sinA≠sinB,则 A﹣B=C﹣A ∴B+C=2A,再由 A+B+C=180°可得 A=60°故⑤正确 故答案为:①⑤ 点评: 本题主要考查了同角平方关系、正弦函数的图象及函数的性质的应用,正切函数的性质的考查,两角差的 余弦公式顶的应用,属于知识的综合应用. 三、第Ⅱ卷解答题(6 个小题,共 75 分.其中第 16、17、18 题每题 13 分,第 19、20、21 题每题 12 分) 16. (13 分)已知 tanα=3, 计算(Ⅰ) (Ⅱ) (sinα+cosα) . 考点: 同角三角函数间的基本关系. 专题: 计算题. 分析: (Ⅰ)把所求式子的分子分母同时除以 cosα,利用同角三角函数间的基本关系弦化切后,把 tanα 的值代入 即可求出值; 2 2 2 (Ⅱ)把所求式子利用完全平方公式展开,同时把分母“1”变为 sin α+cos α,然后分子分母同时除以 cos α, 利用同角三角函数间的基本关系弦化切后,把 tanα 的值代入即可求出值. 解答: 解: (Ⅰ)∵tanα=3,
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2



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www.jyeoo.com = = ; (Ⅱ)∵tanα=3, ∴(sinα+cosα) =
2

=

= . 点评: 此题考查了同角三角函数间基本关系的应用,熟练运用 tanα= 及 sin α+cos α=1 是解本题的关键.
2 2

17. (13 分)已知 (Ⅰ)求 sinβ,cosβ 的值; (Ⅱ)求 sinα.



,且 α,β∈(0,π) .

考点: 三角函数的恒等变换及化简求值. 专题: 计算题. 分析: 2 2 (Ⅰ)由 = ,且 α,β∈(0,π) ,sin β+cos β=1,解方程组求得 sinβ,cosβ 的值.
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(Ⅱ)由 cos(α+β)sinβ, 求出 sinα 的值. 解答: 解: (Ⅰ)∵ ∴sinβ= ,cosβ= = .

可得 cos(α+β)=

或﹣

,根据 sinα=sin[(α+β)﹣β]=sin(α+β)cosβ﹣

,且 α,β∈(0,π) ,sin β+cos β=1.

2

2

(Ⅱ) 由(1)知 β∈(0, 由 ∴当 cos(α+β)= 去. 当 cos(α+β)=﹣ 综上,sinα= .

) ,且 α+β∈(0, 或﹣

) , . ,不合题意舍

可得 cos(α+β)=

时,sinα=sin[(α+β)﹣β]=sin(α+β)cosβ﹣cos(α+β)sinβ=

时,sinα=sin[(α+β)﹣β]=sin(α+β)cosβ﹣cos(α+β)sinβ=



点评: 本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值,注意角的范围及角的变换,这是解题的关键. 18. (13 分)已知函数 y=sin x+2sinxcosx+3cos x,x∈R,
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www.jyeoo.com (Ⅰ)求函数的最小正周期; (Ⅱ)该函数的图象可由函数 y=sinx(x∈R)的图象经过怎样的变换得到? 考点: 函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换;三角函数的周期性及其求法. 专题: 计算题. 分析: 利用二倍角公式,平方关系,两角和的正弦函数,化简函数 y=sin2x+2sinxcosx+3cos2x,x∈R 为一个角的一 个三角函数的形式,
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(Ⅰ)由 T=

得周期;

(Ⅱ)由函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律即可得到. 解答: 解:y=sin2x+cos2x+2=2sin(2x+ (Ⅰ)T= )+2;

=π;函数的最小正周期为 π 个单位,再将所得图象上每一点的横坐标变为原来的 倍(纵坐标

(Ⅱ)将函数 y=sinx 的图象向左平移

不变式) ,即得函数 f(x)的图象.图象上各点纵坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变) ,最后把得到的图 象向上平移 2 个单位长度,得到函数 y=2sin(2x+ )+2 的图象.

点评: 本题考查三角函数的最值,三角函数的周期性及其求法,正弦函数的单调性,考查计算能力,此类题目的 解答,关键是基本的三角函数的性质的掌握熟练程度,是基础题.

19. (12 分)若函数

(Ⅰ)若 ,求 f(x)的单调增区间; (Ⅱ)若 f(x)的最小值为﹣2,试确定常数 a 的值. 考点: 三角函数的最值. 专题: 计算题. 分析: (1)利用三角函数公式,将 f(x)化成一角一函数形式,再利用三角函数性质求出单调增区间. (2)利用三角函数公式,将 f(x)化成一角一函数形式,再利用三角函数性质求出最小值,解关于 a 的方 程即可. 解答: 解: (Ⅰ)当 时,f(x)= + sin cos = + sin cos = cos2x+ sin2x=sin(x+ )
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由 2kπ﹣

≤x+

≤2kπ+

得 2kπ﹣ ,2kπ+

≤x≤2kπ+ ],k∈Z.

,k∈Z,

f(x)的单调增区间[2kπ﹣

(Ⅱ)f(x)= cosx+ asinx=

sin(x+φ) ,

f(x)的最小值为﹣2,即﹣

=﹣2,

解得 a=± . 点评: 本题考查三角函数公式的应用,三角函数性质,方程思想.考查转化计算能力.

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www.jyeoo.com 20. (12 分)已知函数 (1)设 ω>0 为常数,若 y=f(ωx)在区间 (2)设集合 上是增函数,求 w 的取值范围 ,若 A?B,求实数 m 的取值范围.

考点: 正弦函数的定义域和值域;集合的包含关系判断及应用. 专题: 计算题;综合题. 分析: (1)化简函数 ,然后利用
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,解答即可. (2)先求|f(x)﹣m|<2 中的 m 的范围表达式,f(x)﹣2<m<f(x)+2,m 大于 f(x)﹣2 的最大值, 小于 f(x)+2 的最小值,即可. 解答: 解: (1) ∵f(ωx)=2sinωx+1 在 ∴ 即 (2)由|f(x)﹣m|<2 得:﹣2<f(x)﹣m<2,即 f(x)﹣2<m<f(x)+2 ∵A?B,∴当 时,f(x)﹣2<x<f(x)+2 恒成立. 上是增函数. ,

∴[f(x)﹣2]max<m<[f(x)+2]min 又 时,

∴m∈(1,4) 点评: 本题考查正弦函数的定义域和值域,子集知识,是中档题.

21. (12 分)已知函数 (Ⅰ)若 a>0, ,求 f(x)的最小值;



(Ⅱ)若 x∈[0,2π)时,f(x)的图象与 x 轴有四个不同的交点,求实数 a 的取值范围. 考点: 三角函数的最值;正弦函数的图象. 专题: 计算题. 分析: (I)利用二倍角公式将 f(x)化为 asin2x+(3﹣a)sinx﹣2a+6,通过换元转化为二次函数的最值问题,通
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过讨论对称轴与区间的位置关系,求出
2

时 f(x)的最小值;

(II)将已知条件转化为 y=at +(3﹣a)t﹣2a+6 在[﹣1,1]有两个不同的解,结合二次函数的图象,列出 a 满足的不等式,解不等式求出 a 的范围. 解答: 解: (I)函数

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www.jyeoo.com 2 =asin x+(3﹣a)sinx﹣2a+6 令 sinx=t,则有 t∈[0,1], 所以 y=at +(3﹣a)t﹣2a+6,t∈[0,1], 对称轴 t= 当 0<a<3 时,y=at +(3﹣a)t﹣2a+6 在[0,1]递增, 所以当 t=0 时,函数最小值为﹣2a+6; 当 a≥3 时,t= ∈[0,1], ,所以当 t= 函数有最小值
2 2

总之,函数的最小值为 当 0<a<3 时,最小值为﹣2a+6; 当 a≥3 时,最小值
2



(II)因为 x∈[0,2π)时,f(x)的图象与 x 轴有四个不同的交点, 等价于 y=at +(3﹣a)t﹣2a+6 在[﹣1,1]有两个不同的解,

所以



解得



点评: 解决二次函数的最值问题,应该判断出对称轴与所在区间的相对位置关系,进一步判断出函数的单调性, 求出函数的最值;解决二次方程的实根分布问题,应该画出相应的二次函数的图象,从对称轴、开口方向、 区间端点函数值的符号三个方面,结合图象写出限制条件.

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www.jyeoo.com 参与本试卷答题和审题的老师有:zwx097;qiss;caoqz;吕静;涨停;wdnah;庞会丽;席泽林;sllwyn(排名不 分先后)
菁优网 2014 年 3 月 26 日

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