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高一数学函数人教版知识精讲.doc


高一数学函数人教版
【同步教育信息】
一. 本周教学内容: 函数 二. 学习目标: 1. 理解函数的概念。 2. 掌握函数的三种主要表示方法。 3. 会求一些简单函数的定义域、解析式和值域。 三. 知识讲解: 1. 函数的概念 如果 A、B 都是非空的数集,则 A 到 B 的映射 f : A ? B 称为 A 到 B 的函数,记作

y ? f ( x) ,其中 x ? A , y ? B ,原象集合叫做函数 y ? f ( x) 的定义域,象的集合 C 叫做 函数 y ? f ( x) 的值域。有时也记作 C ? f ( A) , C ? B 。
2. 函数的表示方法 函数常见的表示法有解析法,列表法和图象法三种。

【典型例题】
[例 1] 求下列函数的定义域

4 ? x2 ? ( x ? 2) 0 x ?1 ?4 ? x 2 ? 0 ? 解:依题意,有 ? x ? 1 ? 0 ?x ? 2 ? 0 ?
(1) y ?

故原函数定义域为 ?? 2 , 1? ? ?1 , 2?
2

?? 2 ? x ? 2 ? 解之,得 ? x ? 1 ?x ? 2 ?

[例 2] 试问当 k 为何值时,函数 y ?

kx ? 1 的定义域为 R。 kx ? 2kx ? 1

解: (1)当 k ? 0 时,原函数即 y ? ?1 ,即 x 取何值实数时, y 都有意义,故此时定义域 为 R。
2 的充要条件为 ? ? 0 ,即 (2k ) ? 4k ? 0 。解之得 0 ? k ? 1 ,综上,k 的取值范围是 ?0 , 1? 。
2 2 (2)当 k ? 0 时,分母为 kx ? 2kx ? 1,令 f ( x) ? kx ? 2kx ? 1 ,则 f ( x) 恒不为 0

[例 3] 已知函数 f ( x) 的定义域为 [ ?1 , 2] ,求下列函数的定义域。 (1) f ( x) ? f (? x) 解: (2) f ( x ? a) ? f ( x ? a) ( a ? 0 )

?? 1 ? x ? 2 ?? 1 ? x ? 2 ? ?1 ? x ? 1 ,即定义域为 [?1 , 1] ?? ?? 1 ? ? x ? 2 ?? 2 ? x ? 1 ?? 1 ? x ? a ? 2 ?? 1 ? a ? x ? 2 ? a (2)由 ? ?? ?? 1 ? x ? a ? 2 ?? 1 ? a ? x ? 2 ? a 3 ① 当 ? 1 ? a ? 2 ? a ,即 0 ? a ? 时, ? 1 ? a ? x ? 2 ? a 2
(1)由 ?
用心 爱心 专心

3 1 时, x ? 2 2 3 ③ 当 ? 1 ? a ? 2 ? a ,即 a ? 时, x ? ? 2 3 3 1 综上,当 0 ? a ? 时,定义域 [?1 ? a , 2 ? a] ,当 a ? 时,定义域{ };当 2 2 2
② 当 ? 1 ? a ? 2 ? a ,即 a ?

3 时,定义域 ? 。 2 [例 4] 以下与函数 y ? 2 x 2 ? 1 不相同的函数为( a?
2 2 A. y ? x ? x ? 1



B. y ? D. y ?

( 2 x 2 ? 1) 2

2 C. y ? 2 x ? 1

(2 x 2 ? 1)(x ? 1) x ?1

解:函数是由定义域和对应法则确定的,因此函数是否相同也就是函数的定义域和对 应法则是否相同。 由选择当中 D 中函数 y ? 2 x 2 ? 1 ,定义域为( ? ? , ? 1 ) ? ( ? 1 , ? ? ),而已知 函数 y ? x 2 ? 1 的定义域为( ? ? , ? ? ),因此尽管两个函数解析式相同,但由于定义 域不同,故它们是不同的函数,所以应该选择 D。 [例 5] 已知 f ( x) 是一次函数,且 f [ f ( x)] ? 4 x ? 1 ,求 f ( x) 的解析式。 解:对已知类型的函数,在求其解析式时常使用待定系数法。 设 f ( x) ? ax ? b ,则 f [ f ( x)] ? af ( x) ? b ? a(ax ? b) ? b ? a 2 x ? (ab ? b)

?a 2 ? 4 又由 f ( x) ? 4 x ? 1 ,比较系数,有 ? ?ab ? b ? ?1
所以,得 f ( x ) ? 2 x ?

?a ? 2 ?a ? ?2 ? 解之得 ? 1 或? b?? ?b ? 1 ? 3 ?

1 或 f ( x) ? ?2 x ? 1 。 3

【模拟试题】
1. 设对于一切 x ? 0 , y ? 0 ,函数 f ( xy) ? f ( x) ? f ( y) ,设 f (2) ? a , f (3) ? b , 则用 a,b 表示的 f (72) 为 2. 已知函数 f ( x ) ? 。 )

cx 3 ( x ? ? )满足 f [ f ( x)] ? x ,则 c 等于( 2x ? 3 2 A. 3 B. ? 3 C. 3 或 ? 3 D. 5 或 ? 3 3. 已知 f ( x) ? 3x ? 1 , g ( x) ? 2 x ? 3 ,且 f [h( x)] ? g ( x) ,则 h( x) ?



?x ? 1 x ? 0 1 ? x ? 0 ,则 f { f [ f ( ? )]} ? 4. 若 f ( x) ? ?? 2 ?0 x?0 ?
6. 函数 y ?

。 。

5. 已知 f ( x) 的定义域为[1,2],求 F ( x) ? f (2 x ? 1) 的定义域

( x ? 1)

0

x ?x

的定义域是



用心

爱心

专心

用心

爱心

专心

1. 3a ? 2b

2. B

试题答案 2 ( x ? 2) 3. 4. ? ? 1 3

5. [0 ,

1 ] 2

6.( ? ? , ? 1 ) ? ( ? 1 ,0)

用心

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