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2014泰安市高三第二轮复习质量检测理科数学


2014 泰安市高三第二轮复习质量检测理科数学
1.在平行四边形ABCD中,AC与BD交于点O,E是线段OD的中点,AE的延长线与CD交于点F,若 AC=a, BD=b,则AF等于( ) 1 1 1 1 2 1 1 2 A. a+ b B. a+ b C. a+ b D. a+ b 4 2 2 4 3 3 3 3

DF FE 1 = = . AB EA 3 1 4 4 4 1 1 4 1 1 2 1 ? AF=AE+EF=AE+ AE= AE= (AO+OE)= ( AC+ BD)= ( a+ b)= a+ b. 3 3 3 3 2 4 3 2 4 3 3 ? 选C. 解析:?DEF∽?BEA,?
2.(4x2 + 1 -4)3的二项展开式中含x2项的系数为_________. x2

解析:(4x2 +

1 1 1 1 1 -4)3 =(4x2 -4 ? x ? + 2 )3 =[(2x- )2 ]3 =(2x- )6 . 2 x x x x x

1 r r 6-r r Tr+1 =C6 (- )(2x) =[C6 ?(-1)r ? 26-r ]? x6-2r . x 2 令6-2r=2,则r=2,? 二项展开式中含x2项的系数:C6 ?(-1)2 ? 24 =240.
? ?x ?1 3.设D是由 ? 所确定的区域,E是由函数y=x3的图象与x轴及x= ? 1围成的区域,向D中随 y ? 1 ? ? 机投一点,则该点落入E中的概率为______________.

? ? x ? 1 ?-1 ? x ? 1 解析:? ?? ,SD =2 ? 2=4. ? ? y ? 1 ?-1 ? y ? 1 1 1 1 1 SE =2? x3dx=2 ? x4 1 0 = (1-0)= . 0 4 2 2 1 1 由几何概型可知,所求概率:P= 2 = . 4 8 4.袋中有大小相同的五个球,编号分别为1,2,3,4,5,从袋中每次任取一个球,记下其编号,
若所取球的编号为奇数,则把该编号改为2后放回袋中继续取球,若所取球的编号为偶数, 则停止取球. (I )求"第三次取球后停止取球"的概率; (II )若第一次取到奇数,记第二次与第一次取球的编号之和为? ,求?的分布列和数学期望.
解析:编号:1,2,3,4,5. 奇:1,3,5 偶:2,4. (I )第1次 第2次 第3次 奇 奇 偶 第三次取球后停止取球,则第1次和第2次取得奇数,第3次取得偶数.

(3 ? 2)? 4 24 = . 5 ? 5 ? 5 125 (II )1,2,3,4,5. 所求概率:P=

?第1次:1 ?第1次:3 ?第1次:5 ? ? ? ?第2次:2,3,4,5;2 ?第2次:1,2,4,5,;2 ?第2次:1,2,3,4;2 ? 所有可能的取值为:3,4,5,6,7,8,9. P(? =3)= 2 2 3 2 1 2 1 ,P(? =4)= ,P(? =5)= ,P(? =6)= ,P(? =7)= ,P(? =8)= ,P(? =9)= . 15 15 15 15 5 15 15

?的分布列:
?
P 3
2 15

4

5

6

7

8

9

2 3 2 1 2 2 15 15 15 5 15 15 2 2 3 2 1 2 2 29 ?的数学期望:E? =3 ? +4 ? +5 ? +6 ? +7 ? +8 ? +9 ? = . 15 15 15 15 5 15 15 5 5.如图,三棱柱ABC-A1B1C1中,CA=CB,AB=AA1 ,?BAA1 =60?.

(I )若点M,N分别是边A1B1 ,BC的中点,求证:MN//平面ACC1A1; (II )证明:AB ? A1C; (III )若AB=CB=2,A1C=6,求二面角B-AC-A1的余弦值.

操作:将直线 MN 进行平移,当平移后的直线经过点 A1 时,直观上发现:平 移后的直线与 AC 相交,且交点为 AC 的中点。
解析:(I )取AC的中点P,连接PN,PA1 . 1 P,N分别为CA,CB的中点,? PN / / AB. 2 1 又 MA1 / / AB,? PN / /MA1 ,?四边形PNMA1为平行四边形,? MN//PA1 . 2 又 MN ? 平面ACC1A1 ,PA1 ? 平面ACC1A1 ,? MN//平面ACC1A1 .

(II )取AB的中点D,连接CD,A1D. CA=CB,D为AB的中点,? AB ? CD. AB=AA1 ,?BAA1 =60?,??BAA1为正三角形,? A1D ? AB.

又 CD DA1 =D, ?AB ? 平面CDA1, ?AB ? A1C.
(III )CD=A1D= 3 ? 2= 3,? A1C2 =CD2 +A1D2 =6,? CD ? DA1 . 2 以D为原点,DA,DA1 ,DC所在的直线分别为x轴,y轴,z轴建立如图所示的空间直角坐标系 D-xyz,则D(0,0,0),A(1,0,0),B(-1,0,0),A1(0, 3,0),C(0,0, 3). AC=(0,0, 3)-(1,0,0)=(-1,0, 3), AA1 =(0, 3,0)-(1,0,0)=(0=-1, 3,0).

设平面ACA1的法向量:n=(x,y,z). ?-x+ 3z=0 ? ?x= 3z ? ?n ? AC=0 ?n ? AC ? ? 由n ? 平面ACA1 ? ? ?? ?? ?? . ?n ? AA1 ? ?n ? AA1 =0 ? ?-x+ 3y=0 ? ? ?x= 3y 令y=z=1,则x= 3,此时n=( 3,1,1). 取平面ACB的一个法向量:j=(0,1,0).
由n ? j= n j cos<n, j>,?1= 5 ? 1? cos<n, j>,?cos<n, j>= ?二面角B-AC-A1的余弦值为 5 . 5
1 ,n ? N * . 2n

5 , 5

6.设数列?a n ?的前n项和Sn与a n的关系是Sn =-a n +1(I )求证:数列?2n a n ? 是等差数列; (II )设Tn =S1 +S2 + +Sn ,求Tn .

解析:(I )

已知Sn =-a n +1-

1 2n



以(n+1)替换n,得:Sn+1 =-a n+1 +1②-①得:a n+1 =-a n+1 +a n -

1 ② 2n+1

1 1 1 1 1 + n ,? 2a n+1 =a n + ? n ,? 2n+1a n+1 =2n a n + , n+1 2 2 2 2 2 1 1 ? 2n+1a n+1 -2n a n = (常数),? 数列?2n a n ? 为等差数列,公差d= . 2 2 1 1 1 ①式中,令n=1,则a1 =-a1 +1- ,? a1 = ,? 2a1 = . 2 4 2 1 1 1 1 1 ? 2n a n = +(n-1)? = n,? a n = n ?( )n . 2 2 2 2 2

(II )? Tn =S1 +S2 +S3 +

+Sn =-(a1 +a2 +a3 +

+a n )+n-(

1 1 1 + + + 21 22 23

+

1 ) 2n

1 1 ?[1-( )n ] 2 = 1 n ?( 1 )n -1+ 1 +n-[1-( 1 )n ]= n+4 +n-2. =-Sn +n- 2 1 2 2 2n 2 2n+1 12

7.已知函数f(x)=x-alnx-1(a ? R),g(x)=xe1-x . (I )求g(x)的极值; (II )当a<0时,若对任意的x1 ,x2 ?[3,4](x1 ? x2 ),f(x2 )-f(x1 )< 的最小值.
' 解析:(I ) g(x)=x ? e1-x ,? g(x)=1 ? e1-x +xe1-x ?(-1)=e1-x ?(1-x). ' 令g(x)>0, 则1-x>0,? x<1,? g(x)在(-?,1)上为增函数; ' 令g(x)<0, 则1-x<0,? x>1,? g(x)在(1,+?)上为减函数.

1 1 恒成立,求a g(x2 ) g(x1 )

? y极大 =g(1)=1 ? e0 =1,g(x)无极小值.
(II )不妨设3 ? x1 <x2 ? 4. 由(I )知,g(x)在[3,4]上为减函数,? ? 1 1 1 1 = . g(x2 ) g(x1 ) g(x2 ) g(x1 ) 1 1 1 在[3,4]上为增函数,? < , g(x) g(x1 ) g(x2 )

a ' 当a<0时,f(x)=1>0,? f(x)在[3,4]上为增函数,? f(x2 )>f(x1 ),? f(x2 )-f(x1 )=f(x2 )-f(x1 ). x 1 1 1 1 1 1 f(x2 )-f(x1 )< ? f(x2 )-f(x1 )< ? f(x2 )<f(x1 ). g(x2 ) g(x1 ) g(x2 ) g(x1 ) g(x2 ) g(x1 ) 令F(x)=f(x)1 ' ,则F(x2 )<F(x1 ),? F(x)在[3,4]上为减函数,? F(x) ? 0对x ?[3,4]恒成立. g(x)

1 1 x-1 1 ex F(x)=f(x)=x-alnx-1- ? e =x-alnx-1- ? , g(x) x e x 1 x2 -ax- ex(x-1) x x a 1 e ? x-e ? 1 1 1 ' e F(x)=1- ? = ? 0,? x2 -ax- ? ex(x-1) ? 0,? ax ? x2 - ? ex(x-1), 2 2 x e x x e e 1 ? a ? x-ex-1 ?(1- ). x 1 令t(x)=x-ex-1 ?(1- ),x>0, x 1 1 1 1 1 3 ' x-1 则t(x)=1-e (1- )-ex-1 ? 2 =-ex-1 ?( 2 - +1)+1=-ex-1 ?[( -1)2 + ]+1 x x x x x 4 3 3 3 <-ex-1 ? +1<-e3-1 ? +1=-e2 ? +1<0,? t(x)在[3,4]上为减函数, 4 4 4 1 2 2 2 ?[t(x)]max =t(3)=3-e2 ?(1- )=3- e2 ,? a ? 3- e2 ,? a的最小值:min=3- e2 . 3 3 3 3


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