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2014届高考数学一轮复习 第2章 第3节《函数的单调性与最值》名师首选练习题 新人教A版


第二章
一、选择题

第三节

函数的单调性与最值

1.下列函数中,既是偶函数又在(0,+∞)单调递增的函数是( A.y=x
3

)

B.y=|x|+1
2

C.y=-x +1

D.y=2

-|x|

2.下列函数 f(x)中,满足“对任意 x1,x2∈(0,+∞),当 x1<x2 时,都有 f(x1)>f(x2)” 的是( )

1 A.f(x)=

x
x

B.f(x)=(x-1) D.f(x)=ln(x+1)

2

C.f(x)=e

?-x+3a, x<0, ? 3.函数 f(x)=? x ?a , x≥0, ?

(a>0 且 a≠1)是 R 上的减函数,则 a 的取值范围

是 ( A.(0,1) 1 C.(0, ] 3 1 B. [ ,1) 3 2 D.(0, ] 3 ) )

4.下列区间中,函数 f(x)=|ln(2-x)|在其上为增函数的是( A.(-∞,1] 3 C.[0, ) 2 4 B.[-1, ] 3 D.[1,2) )

2 1 5.函数 y=( )2x -3x+1 的递减区间为( 2

A.(1,+∞) 1 C.( ,+∞) 2

3 B.(-∞, ) 4 3 D.[ ,+∞) 4

6.已知函数 f(x)是定义在(-∞,0)∪(0,+∞)上的偶函数,在(0,+∞)上单调递 1 减,且 f( )>0>f(- 3),则方程 f(x)=0 的根的个数为( 2 A.0 C.2 二、填空题 B.1 D.3 )

1

7.函数 f(x)=log5(2x+1)的单调增区间是________.

?1,x>0 ? 8. 函数 f(x)=?0,x=0 ?-1,x<0 ?
9.已知函数 f(x)= 范围是________. 三、解答题

, (x)=x f(x-1), g 则函数 g(x)的递减区间是________.

2

3-ax (a≠1),若 f(x)在区间(0,1]上是减函数,则实数 a 的取值 a-1

10.已知函数 f(x)对任意的 a,b∈R 恒有 f(a+b)=f(a)+f(b)-1,并且当 x>0 时,

f(x)>1.
(1)求证:f(x)是 R 上的增函 数; (2)若 f(4)=5,解不等式 f(3m -m-2)<3.
2

11.已知 f(x)=

x (x≠a). x-a

(1)若 a=-2,试证 f(x)在(-∞,-2)内单调递增; (2)若 a>0 且 f(x)在(1,+∞)内单调递减,求 a 的取值范围.

12. 设奇函数 f(x)在[-1,1]上是增函数,f(- 1)=-1.若函数 f(x)≤t -2at+1 对 所有的 x∈[-1, 1],a∈[-1,1]都成立,求 t 的取值范围.

2

详解答案
2

一、选择题 1.解析:A 选项中,函数 y=x 是奇函数;B 选项中,y=|x|+1 是偶函数,且在(0, +∞)上是增函数;C 选项中,y=-x +1 是偶函数,但在(0,+∞)上是减函数;D 选项中,
2 3

y=2-|x|=( )|x|是偶函数,但在(0,+∞)上是减函数.
答案:B 2.解析:由题意可知,函数 f(x)在(0,+∞)上为减函数. 答案:A 3.解析:据单调性定义,f(x)为减函数应满足:
?0<a<1, ? ? 0 ?3a≥a , ?

1 2

1 即 ≤a<1. 3

答案:B 4.解析:由 2-x>0,得 x<2,即函数定义域是(-∞,2).作出函数 y=|ln(-x)|的 图象,再将其向右平移 2 个单位, 即函数 f(x)=|ln(2-x)|的图 象,由图象知 f(x)在[1,2) 上为 增函 数.

答案:D 5.解析:作出 t=2x -3x+1 的示意图如右, 1 ∵0< <1, 2 1 t ∴y=( ) 单调递减. 2
2 1 要使 y=( )2x -3x+1 递减, 2 2

3 只需 x∈[ ,+∞]. 4 答案:D 1 6.解析:因为在(0,+∞)上函数递减,且 f( )·f(- 3)<0,又 f(x)是偶函数, 2 1 所以 f( )·f( 3)<0. 2 所以 f(x)在(0,+∞)上只有一个零点. 又因为 f(x)是偶函数,则它在(-∞,0)上也有唯一的零点,故方程 f(x)=0 的根有 2

3

个. 答案:C 二、填空题 1 7. 解析: 由题意知, 函数 f(x)=log5(2x+1)的定义域为{x|x>- }, 且函数 y=log5u, 2

u=2x+1 在各自定义域上都是增函数,所以该函数的单 调增区间为(- ,+∞).
1 答案:(- ,+∞) 2

1 2

8 . 解 析 : 由 条 件 知 , g(x) =

?x ,x>1 ? ?0,x=1 ?-x2,x<1. ?

2

如图所示,其递减区间是[0,1). 答案:[0,1) 9.解析:当 a-1>0,即 a>1 时,要使 f(x)在(0,1]上是减函数, 则需 3-a×1≥0,此时 1<a≤3. 当 a-1<0,即 a<1 时, 要使 f(x)在(0,1]上是减函数, 则需-a>0,此时 a<0 所以,实数 a 的取值范围是(-∞,0)∪(1,3] 答案:(-∞,0)∪(1,3] 三、解答题 10.解:(1)证明:任取 x1,x2∈R, 且 x1<x2, ∵f(x2)=f((x2-x1 )+x1)=f(x2-x1)+f(x1)-1, 又 x2-x1>0,∴f(x2-x1)>1. ∴f(x2)-f(x1)=f(x2-x1)-1>0,即 f(x2)>f(x1). ∴f( x)是 R 上的增函数. (2)令 a=b=2,得 f(4)=f(2)+f(2)-1=2f(2)-1, ∴f(2)=3, 而 f(3m -m-2)<3,∴f(3m -m-2)<f(2). 又 f(x)在 R 上是单调递增函数, ∴3m -m-2<2. 4 2 ∴3m -m-4<0,解得-1<m< . 3 4 故原不等式的解集为(-1, ). 3
2 2 2

4

11.解:(1)证明:任设 x1<x2<-2, 则 f(x1)-f(x2)=

x2 2? x1-x2? - = . x1+2 x2+2 ? x1+2? ? x2+2?

x1

∵(x1+2)(x2+2)>0,x1-x2<0, ∴f(x1)-f(x2)<0,即 f(x1)<f(x2),. ∴f(x)在(-∞,-2)内单调递增. (2)任设 1<x1<x2,则

x1 x2 a? x2-x1? f(x1)-f(x2)= - = . x1-a x2-a ? x1-a? ? x2-a?
∵a>0,x2-x1>0, ∴要使 f(x1)-f(x2)>0,只需(x1-a)(x2-a)>0 恒成立,∴a≤1.综上所述,a 的取值范 围是(0,1]. 12.解:∵f(x)是奇函数, ∴f(1)=-f(-1)=1, 又 f(x)是 [-1,1]上的奇函数, ∴当 x∈[-1,1]时,f(x)≤f(1)=1. 又函数 f(x)≤t -2at+1 对所有的 x∈[-1,1]都成立, ∴1≤t -2at+1?2at-t ≤0, 设 g(a)=2at-t (-1≤a≤1),欲使 2at-t ≤0 恒成立, 则?
? ?g? ? ?g?
2 2 2 2 2

-1? ≤0 1? ≤0

?t≥2 或 t=0 或 t≤-2.

即所求 t 的取值范围是(-∞,-2]∪{0}∪[2,+∞).

5


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