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安徽省“江淮十校”协作体2014届高三数学11月联考试题 理


安徽省“江淮十校”协作体 2014 届高三数学 11 月联考试题 理

1

2

3

4

数学(理)参考答案:

一、选择题(每小题 5 分,共 50 分) 1、 A 因为 A ? ?y | y ? 0?, B ? ? y | 0 ? y ? 因为数 a,1, b 的倒数成等差数列, 所以 因为 a ? 1,0 ? b ? 1, c ? 0 点 P 化简为 P(cos 220 , sin 220 ) , 5? ? (0,
0 0

? ?

1? 1? ? ? ,所以 A ? B ? ? y | 0 ? y ? ? 2? 2? ?

2、B 3、 A 4、 B 5、D

1 1 1 1 1 则 ? ? 2 , a ? b ? (a ? b)( ? ) ? 2 a b 2 a b

5? ) ,所以 5? ? 220 0 ? ? ? 44 0 2

? a ? b ? a ? 2a ? b ? b ? 2 ,而 a, b 都是单位向量,? a ? b ? 0 ,
所以 a(a ? b) ? a ? a ? b ? 1
2

2

2

2

6、 C

选项 A 中, ?p : ?x ? R 使 x ? 0 选项 B 中, ?p :
2

1 1 ? 0或 无意义 ; x ?1 x -1

选项 D 中,充要条件是: a ? ? 7、 A

1 或a ? 0 2

sin ? ? cos ? 所以 ? ? 45 0 ,由 tan? ? tan ? ? 3 tan? ? tan ? ? 3
则 tan(? ? ? ) ?

tan? ? tan ? ? ? 3 ? ? ? ? ? 则? ? ? 1 ? tan? ? tan ? 3

8、C

? ? ? AB AC ? 由? ? ? BC ? 0 知 ?ABC 中 ?A 的平分线垂直边 BC,所以 AB ? AC , ? ? AB AC ? ? ? ? ?
a2 ? c2 ? b2 1 ? ? ac sin B ? cos B ? sin B ? B ? , 4 2 4
8
8
88

再由 S ?ABC ? 9、 D

8

8

因为 f ( x ? 1)和f ( x ? 1) 都是偶函数,所

6
6
66

6

6

以 f (x) 图象关于 x ? 1, x ? -1 对称,所以 4 为

4
4
44

y

4
4

2
2
22

2
2

f (x) 的周期,从而其图象如下:由图象易知 A,B,
-15

-15

-15 -10

-15

-5 -10 -10 -15

-15 -10

-5 -5 -5 -10 -10

C 正确。而 D 选项中 f (x) 在 (?1,1) 上存在极小值

-1

5

O
-2-2

-5

-5

2

10

3

55 5

4
-2

15

10 10

10

5

x

5

-2

-2

-2

x ? 0。

-4

-4 -4

-4

10、C 由题意知:函数应满足单调增,且先慢后 快,在 x ? 50 左右增长缓慢,最小值为 500,A 是先减后增差误,B 由指数函数知是增长越
-4

-4

-6

-6 -6

-6

-6

-6
-8
-8 -8 -8

-8

-8

5

来越快,D 由对数函数增长速度越来越慢。C 是 y ? x 的平移和伸缩变换而得,故最符合题
3

目要求。 二、填空题(每小题 5 分,共 25 分) 11、 i 因为 ?

A
2013

?1? i ? ? ?1? i ?

2013

? (1 ? i )(1 ? i ) ? ?? ? (1 ? i )(1 ? i ) ? ? ? ?
3

? i 2013 ? i

N P B C

12、0 13、

因为 y ? sin x ? 2 x 是奇函数,所以 因为 AP ? m AB ?

?

2

?2

(sin x ? 2 x 3 )dx =0

3 11

2 8 ? 4 AN ? m AB ? AN 11 11

而 B, P, N 三点共线,所以 m ? 14、 x ? ?1或x ? 2
2 2

8 3 ?1? m ? 11 11


2 2
2 2 2

化简 ax ? ax ? a ? bx ? bx ? b 得 (a ? b) x ? (a ? b) x ? (a ? b ) ? 0 因为 a ? b ,所 以 x ? x ? (a ? b) ? 0 ,又因为 a, b ? (0,1) 所以, x ? x ? 2 得 x ? ?1或x ? 2 。
2

2

还可以 h(t ) ? ?t ? ( x ? x)t 在(0,1)单调递增求解。
2 2

15、 ②③④

由 f ( x) ? ae ?
' x
x

b ' ,①若 a, b ? (0,??) 则 f ( x) ? 0 ,则 f (x) 单调递增 x

当 x ? 0且x ? 0 时 e ? 1, ln x ? ?? ,所以不能保证任意的 x ? D ,都有 f ( x) ? 0 。②当

a ? 0, b ? 0 时 , y ? ae x 与 y ? ?

b 的 图 象 知 在 第 一 象 限 有 交 点 ( x1 , y1 ), 且 在 x b b x ? (0.x1 )时 ? ? ae x ,当 x ? ( x1 ,??)时 ? ? ae x 所以 f (x) 在定义域内先减后增,故 x x
'

存 在 最 小 值 。 ③ 相 当 于 在 ② 条 件 下 提 取 一 负 号 即 可 , 正 确 ; ④ 由 f ( x) ? f ( x) 得

ae x ?

b 1 1 1 ? ae x ? b ln x ? ? ln x 即 ? ln x ? 0 的 解 即 为 g ( x) ? ? ln x 的 零 点 ,而 x x x x 1 g (1) ? 0 且 g (2) ? ? ln 2 ? ln e ? ln 2 ? 0 ,所以正确。 2

三、解答题(共 75 分) 16、解:集合 A ? ?x | 1 ? x ? 2?, B ? ?x | a ? x ? 3a? (1)因为 A ? B ? B 所以 A ? B 所以 ?

?a ? 1 2 ? ? a ? 1 ┄┄┄┄ 6 分 3 ?3a ? 2

6

(2) C ? ?x | x ? 2或x ? 4?若 B 则 A 为真命题,则 B ? C ,所以 ? 所以 a 的取值范围是 0 ? a ?

?a ? 0 或a ? 4 ?3a ? 2

2 或 a ? 4 ┄┄┄┄ 12 分 3

2? , ?2) 得 A=2. 3 2? 2? ? T ? 由 x 轴上相邻的两个交点之间的距离为 得 = ,即 T ? ? , ? ? ? ?2 T ? 2 2 2 2? 2? 4? 由点 M ( , ?2) 在图像上得 2sin(2 ? ? ? ) ? ?2,即sin( ? ? ) ? ?1 3 3 3 4? ? 11? 故 ? ? ? 2k? ? , k ? Z ?? ? 2 k? ? 3 2 6
17、解(1)由最低点为 M ( 又 ? ? (0,

?

2

),?? ?

?

, 故f ( x) ? 2sin(2 x ? ) 6 6

?

┄┄┄┄┄┄┄ 6 分

6 2 6 6 5? ? 5? 5? 3? ? g ( x) ? 2 2 sin(2 x ? ) 因为 x ? [0, ] 则 2 x ? ?[ , ] 12 6 12 12 4
所以 g (x) 值域为 [ 2,2 2 ] 18、 (本题共 12 分) (1)解:设等差数列 ?a n ?的公差 d ,则有 ? 所以 a n ? n ? 1

(2) g ( x) ? 2 sin(2 x ?

?

) ? 2 sin(2 x ?

?

?

?

) ? 2 sin(2 x ?

?

) ? 2 cos(2 x ?

?
6

)

┄┄┄┄┄ 12 分

?a 3 ? 4 ?a ? 2 ?? 1 ?d ? 1 ?S 7 ? 35
┄┄┄┄┄┄┄ 2 分

Tn ? 2bn ? 2

Tn?1 ? 2bn?1 ? 2, (n ? 2, n ? N ?)

两式相减得: bn ? 2bn ? 2bn ?1 ? bn ? 2bn ?1 且 n ? 1也满足,所以 ?bn ? 是以 2 为公比的等 比数列,又因为 b1 ? 2 所以 bn ? 2 (2)解: c n ?
n

┄┄┄┄┄┄┄ 6 分

an log 2 bn ?1 n ? 1 n ? 1 1 1 ? ? ? ? 2? ? a n ?1 log 2 bn n?2 n n n?2

┄┄┄┄┄┄ 9 分

所以: Rn ? 2n ? ?

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ? ? ? ? ??? ? 1 3 2 4 3 5 4 6 n n?2 3 1 1 4n ? 3 2n ? 3 ┄┄┄┄┄ 12 分 ? 2n ? ? ? ? ? 2 2 n ?1 n ? 2 2 n ? 3n ? 2

19、解答: (1)

f ( x) ? 2 sin A cos A ? 2 3 sin 2 A ? sin 2 A ? 3 cos 2 A ? 3 ? 2 sin(2 A ? ) ? 3 3
7

?

因为 f ( x) ? 2 3 ,即 sin(2 A ? 分

?
3

)?

3 ? ? ,所以 A ? 或 A ? (舍去) 2 3 2

┄┄┄┄ 6

b c 2a b cos B c cosC 2a cos A ,则 , ? ? ? ? tan B tan C tan A sin B sin C sin A 2? ? 所以 cos B ? cosC ? 2 cos A ? 1 ,又因为 B ? C ? 所以 B ? C ? 3 3
(2)由 所以三角形 ABC 是等边三角形,由 a ? 2 所以面积为 3 ┄┄┄┄┄ 12 分

20、解: (1)因为 y ? g (x) 是奇函数,由 g (? x) ? ? g ( x) 得 d ? 0 ,所以 g ( x) ? x ?

c 由 x

于 x ? 0 时 g (x) 有最小值。所以 c ? 0 ,则 g ( x) ? x ? 值。 所以 c ? ?

c ? 2 c 当且仅当: x ? c 取到最小 x

b 2 ,即 b ? 4c 2

设 A( x1 , x1 ), B( x2 , x2 ) , AB ? 3 2 则 x1 ? x 2 ? 3 由 x ? bx ? c ? x 得: x ? (b ? 1) x ? c ? 0
2
2

所以: (b ? 1) ? 4c ? 9 解得: b ? ?4, c ? 4
2

x2 ? 4 所以 f ( x) ? x ? 4 x ? 4, g ( x) ? ┄┄┄┄┄┄┄ 6 分 x
2

(2)因为 y ? x 与 y ? k ?
2 2

1 ' f ( x) ,即 x ? k ? x ? 2 有两个不等的实根 2

也即方程 x ? (2k ? 1) x ? k ? 2 ? 0 ( x ? 2, x ? k ) 有两个不等的实根。

? ? ?? ? 0 ?? ? 0 ? ? 7 当 k ? 2 时,有 ? f ( 2) ? 0 ,解得 ? k ? 2 。当 k ? 2 时,有 ? f ( k ) ? 0 ,无解 。 4 ? 2k ? 1 ? 2k ? 1 ? ? ?2 ?k ? 2 ? 2
综上所述, k ? ( ,2] 。

7 4

┄┄┄┄┄ 13 分
2

21、解: (1)设 F ( x) ? f ( x) ? g ( x) ? x ? ax ? 2a ? 4 ? a ln( x ? 1) 所以 F ( x) ? 2 x ? a ?
'

a x[2 x ? (a ? 2)] ? x ?1 x ?1
8

令: F ' ( x) ? 0得 : x ? 0, x ? 1 ? 所以:当 1 ? 足。 当1 ? 函数

a 2

a ? 2即a ? 2 时, F (x) 在 x ? [2,??) 是增函数 F (x) 最小值为 F (2) ? 0 ,满 2 a a a 为增 ? 2即a ? 2 时, F (x) 在区间 (2, ? ) 为减函数,在区间 1 ? ,? ?) 1 ( 2 2 2

a ) ? F (2) ? 0 ,故不合题意。 2 所以:实数 a 的取值范围是: a ? 2 ┄┄┄┄┄┄┄ 6 分
所以: F (x) 最小值 F (1 ? (2)因为 h( x) ? xf ( x) 关于 A(1,0)对称,则 h( x ? 1) 是奇函数,所以 a ? 3 所以 h( x) ? x ? 3x ? 2 x ,则 h ( x) ? 3x ? 6 x ? 2
3 2 ' 2

若 L 为 A 点处的切线则其方程为: y ? 1 ? x 令 t ( x) ? h( x) ? (1 ? x) ? x ? 3x ? 3x ? 1 , t ( x) ? 3x ? 6 x ? 3 ? 3( x ? 1) ? 0
3 2 ' 2 2

所以 t (x) 为增函数,而 t (1) ? 0 所以直线 L 穿过函数 h(x ) 的图象。┄┄┄┄┄ 9 分 若 L 是函数 h(x ) 图象在 B(m, h(m)) 的切线,则 L 方程: y ? h (m)( x ? m) ? h(m)
'

设 G( x) ? h( x) ? h (m)( x ? m) ? h(m) ,
'

则 G ( x) ? h ( x) ? h (m) ? 3x ? 6 x ? 2 ? 3m ? 6m ? 2 ? 3( x ? m)( x ? m ? 2)
' ' ' 2 2

令 G ( x) ? 0 得: x ? m, x ? 2 ? m
'

当 m ? 2 ? m即m ? 1 时: x ? (??, m)时G ( x) ? 0则G( x)在区间(??, m)为增函数
'

x ? (m,2 ? m)时G ' ( x) ? 0则G( x)在区间(m,2 ? m)为减函数
从而 G( x)在x ? m 处取得极大值,而 G(m) ? 0 , 则当 x ? (??,2 ? m) 时 G( x) ? 0 ,所以 h(x ) 图象在直线 L 的同侧 所在 L 不能在 B(m, h(m)) 穿过函数 h(x ) 图象, 所以 m ? 1 不合题意,同理可证 m ? 1 也不合题意。 所以 m ? 1 (前面已证)所以 B 即为 A 点。 、 所以原命题成立。

┄┄┄┄┄ 14 分

9


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