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新课标12-13学年高二下学期期末考试 (数学文)


2012-2013 学年度下学期期末考试 高二数学(文)试题【新课标】

第 I 卷(选择题 共 50 分) 一、选择题 1、函数 y ? 1 ? 2 x 的定义域为集合 A ,函数 y ? ln ? 2 x ? 1? 的定义域为集合 B ,则

A? B ? (
A. ? ?

)
B. ? ?

? 1 1? , ? 2 2? ?

? 1 1? , ? ? 2 2?

C. ? ??, ? ? )

? ?

1? 2?

D. ? , ?? ?

?1 ?2

? ?

2、已知向量 a = ?1, 2 ? , b = ? x, 4 ? ,若 b ? 2 a ,则 x 的值为( A. 2 B.4 C. ?2

D. ?4 )

3、已知 i 为虚数单位, 若复数 z1 ? 1 ? i, z2 ? 2 ? i,则 z1 ?z2 ? ( A. 3? i 4、已知椭圆 ( ) A. 2 B. B. 2 ? 2 i C. 1? i D. 2 ? 2 i

x2 y 2 x2 y 2 ? ? 1? a ? 0 ? 与双曲线 ? ? 1 有相同的焦点, 则 a 的值为 9 4 3 a2

10

C. 4

D. 10 )

5.按照程序框图(如右图)执行,第 3 个输出的数是( A.7 B.6 C.5 D.4

6.圆 x ? y ? 2 x ? 2 y ? 1 ? 0 上的点到直线 x ? y ? 2 的距离最大值是(
2 2



A.

2

B. 1+ 2

C.

1?

2 2

D. 1+ 2 2

? 2 x ? y ? 5, ? 7、某所学校计划招聘男教师 x 名,女教师 y 名, x 和 y 须满足约束条件 ? x ? y ? 2, ? x ? 6. ?
则该校招聘的教师人数最多是( A.6 B.8 ) C.10
第 1 页(共 8 页)

D.12

a 2 ? b2 ? c 2 8、已知 ?ABC 的面积 S ? ,则角 C 的大小为( 4
A. 30
0



B . 45

0

C. 60

0

D. 75

0

9.如图是某电视台综艺节目举办的挑战主持人大赛上,七位评委为某选手打 出的分数的茎叶统计图,去掉一个最高分和一个最低分后,所剩数据的平 均数和方差分别为( )

A. 84,4.8

B. 84,1.6

C. 85,4

D. 85,1.6
x

10.已知 f ( x)为偶函数, f (2 ? x) ? f (2 ? x), 当 ? 2 ? x ? 0时, f ( x) ? 2 , 若 n ? N *, an ? f (n), 则 a2011 ? ( A.1 B. ) C.

1 2

1 4

D.

1 8

第 II 卷(非选择题 共 100 分) 二、填空题:(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分,把答案填在答题的相应位置) 11、已知 x 与 y 之间的一组数据: x y 0 1 1 3 2 5 3 7

? 则 y 与 x 的线性回归方程为 y ? bx ? a 必过点 的坐标为
12.已知向量 a 和 b 的夹角为 60°,| a | = 3,| b | = 4,则(2a – b) ? a 等于________ 13. 已知 x, y ? R ,且 x ? 4 y ? 1 ,则 x ? y 的最大值为 _____ 14. 函数
?

f ( x) ? x ln x ( x ? 0) 的单调递增区间是____
2(sin x ? cos x) , 给出下列四个命题:

15.对于函数 f ( x) ? ① 存在 ? ? (?

?
2

,0) , 使 f (? ) ? 2 ;

② 存在 ? ? (0,

?
2

) , 使 f ( x ? ? ) ? f ( x ? ? ) 恒成立;

③ 存在 ? ? R , 使函数 f ( x ? ? ) 的图象关于坐标原点成中心对称; ④ 函数 f(x)的图象关于直线 x ? ? ⑤ 函数 f(x)的图象向左平移

3? 对称; 4

? 就能得到 y ? ?2cos x 的图象 4
第 2 页(共 8 页)

其中正确命题的序号是 三.解答题 16.(本小题满分 12 分)

.

有两个不透明的箱子,每个箱子都装有 4 个完全相同的小球,球上分别标有数字 1、2、3、4. (Ⅰ)甲从其中一个箱子中摸出一个球,乙从另一个箱子摸出一个球,谁摸出的球上标的数字大谁就 获胜(若数字相同则为平局) ,求甲获胜的概率; (Ⅱ)摸球方法与(Ⅰ)同,若规定:两人摸到的球上所标数字相同甲获胜,所标数字不相同则乙获 胜,这样规定公平吗?请说明理由。

17. (本小题满分12分) 根据市气象站对春季某一天气温变化的数据统计显示,气温变化的分布可以用曲线

? y ? A sin( x ? ? ) ? b 拟合( 0 ? x ? 24 ,单位为小时, y 表示气温,单位为摄氏度,| ? |? ? , A ? 0) , 12
现已知这天气温为4至12摄氏度,并得知在凌晨1时整气温最低,下午13时整气温最高。 (1)求这条曲线的函数表达式; (2)求这一天19时整的气温。

18. (本题满分 12 分) 如图是某直三棱柱(侧棱与底面垂直)被削去上底后的
第 3 页(共 8 页)
M

D

4 2

E

C

直观图与三视图的侧视图、俯视图,在直观图中, M 是 BD 的中点,侧视图是直角梯形,俯视图是等腰直角三角形,有 关数据如图所示. (Ⅰ)求出该几何体的体积。 (Ⅱ)若 N 是 BC 的中点,求证: AN // 平面 CME ; (Ⅲ)求证:平面 BDE ? 平面 BCD .

19. (本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? 2 x ? 2ln x (Ⅰ)求函数在点(1, f ?1? )处的切线方程 (Ⅱ)求函数 f ( x) 的极值 (Ⅲ)对于曲线上的不同两点 P ( x1 , y1 ), P ( x2 , y2 ) ,如果存在曲线上的点 Q( x0 , y0 ) ,且 x1 ? x0 ? x2 , 1 2 使得曲线在点 Q 处的切线 l // PP2 ,则称 l 为弦 PP2 的陪伴切线. 1 1 已知两点 A 1, f ?1? , B e, f ? e ? ,试求弦 AB 的陪伴切线 l 的方程;

?

? ?

?

20. (本小题满分 13 分) 已知圆 C: ( x ? m)2 ? y 2 ? 5 (m ? 3) 过点 A(3,1) ,且过点 P(4,4)的直线 PF 与圆 C 相切并和 x 轴的负 半轴相交于点 F. (1)求切线 PF 的方程; (2)若抛物线 E 的焦点为 F,顶点在原点,求抛物线 E 的方程。
第 4 页(共 8 页)

??? ???? ? (3)若 Q 为抛物线 E 上的一个动点,求 AP ? AQ 的取值范围.
8

6

Q

4

P A
5 10 15

2

-15

-10

-5

F

O C
-2 -4

-6

-8

21、 (本小题共 13 分)设数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn ? 3an ? 2 (n ? 1, 2,?) . (Ⅰ)证明数列 ?an ? 是等比数列;ks5*u k (Ⅱ)若 bn ?1 ? an ? bn (n ? 1, 2,?) ,且 b1 ? ?3 ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn

参考答案 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,总计 50 分, 题号 答案 1 A 2 C 3 A 4 C 5 C 6 B 7 C 8 B 9 D 10 B

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分, 11.(1.5, 4),12. 12,13.

1 1 , 14、 ( , ??) , 15. ③④ 16 e

16.解: (Ⅰ)用 ? x, y ? ( x 表示甲摸到的数字, y 表示乙摸到的数字)表示甲、乙各摸一球构成的基本事 件,则基本事件有: ?1,1? 、 ?1, 2 ? 、 ?1, 3? 、 ?1, 4 ? 、 ? 2,1? 、 ? 2, 2 ? 、 ? 2, 3? 、 ? 2, 4 ? 、 ? 3,1? 、 ? 3, 2 ? 、
第 5 页(共 8 页)

? 3, 3? 、 ? 3, 4 ? 、 ? 4,1? 、 ? 4, 2 ? 、 ? 4, 3? 、 ? 4, 4 ? ,共 16 个;……3 分
设: 甲获胜的的事件为 A, 则事件 A 包含的基本事件有:? 2,1? 、? 3,1? 、? 3, 2 ? 、? 4,1? 、? 4, 2 ? 、? 4, 3? , 共有 6 个;则 P( A) ?

6 3 ? 16 8

…………………………6 分

(Ⅱ)设:甲获胜的的事件为 B,乙获胜的的事件为 C;事件 B 所包含的基本事件有: ?1,1? 、 ? 2, 2 ? 、

? 3, 3? 、 ? 4, 4 ? ,共有 4 个;则
? P (C ) ? 1 ? P ( B ) ? 1 ?

P( B ) ?

4 1 ? 16 4
…………………………10 分 …………………11 分 …………

1 3 ? 4 4

P( B) ? P(C ) ,所以这样规定不公平.
答: (Ⅰ)甲获胜的概率为 17. (1)b=(4+12)÷2=8 A=12-8=4

3 ;(Ⅱ)这样规定不公平. 8
…………2 分 …………4 分

?
12

?1 ? ? ? ?

?
2,

???

7? 12

…………6 分

所以这条曲线的函数表达式为: y ? 4 sin( (2) x ? 19

?

12

x?

7? )?8 12

…………8 分

19? 7? y ? 4 sin( ? ) ?8 ? 8 12 12
所以下午 19 时整的气温为 8 摄氏度。 18. (本小题满分 12 分) 解:(Ⅰ)由题意可知:四棱锥 B ? ACDE 中, 平面 ABC ? 平面 ACDE , AB ? AC 所以, AB ? 平面 ACDE 又 AC ? AB ? AE ? 2, CD ? 4 , 则四棱锥 B ? ACDE 的体积为: V ? ………………………2 分 …………12

1 1 (4 ? 2) ? 2 S ACDE ? AB ? ? ? 2 ? 4 …………4 分 3 3 2

(Ⅱ)连接 MN ,则 MN // CD, AE // CD, 又 MN ? AE ?

1 CD ,所以四边形 ANME 为平行四边形,? AN // EM …………6 分 2

? AN ? 平面 CME , EM ? 平面 CME ,
所以, AN // 平面 CME ;
第 6 页(共 8 页)

……………8 分

(Ⅲ)? AC ? AB , N 是 BC 的中点, AN ? BC 又平面 ABC ? 平面 BCD

? AN ? 平面 BCD
由(Ⅱ)知: AN // EM

……………………10 分

?EM ? 平面 BCD
又 EM ? 平面 BDE 所以,平面 BDE ? 平面 BCD . 19.解: (I)y=2…………………………………(4 分) (Ⅱ) f '( x) ? 2 ? ………………………12 分

2 ,x ?0. x

f '( x) ? 0, 得 x ? 1 .

当 x 变化时, f '( x) 与 f ( x) 变化情况如下表:

x
f '( x) f ( x)

? 0,1?
单调递减

1 0 极小值

?1, ?? ?
+ 单调递增

?当 x=1 时, f ( x) 取得极小值 f (1) ? 2 .

没有极大值. ……………………(9 分)

(Ⅲ)设切点 Q( x0 , y0 ) ,则切线 l 的斜率为 f '( x0 ) ? 2 ? 弦 AB 的斜率为 k AB ?

2 , x0 ? ?1, e ? . x0

f ? e ? ? f ?1? e ?1

?

2 ? e ? 1? ? 2 ?1 ? 0 ? e ?1

? 2?

2 . …(10 分) e ?1

由已知得, l / / AB ,则 2 ?

2 2 =2? ,解得 x0 ? e ? 1 ,…………(12 分) x0 e ?1

所以,弦 AB 的伴随切线 l 的方程为: y ?

2e ? 4 x ? 2 ? 2ln ? e ? 1? .……(13 分) e ?1

20. 解: (1)点 A 代入圆 C 方程,得 (3 ? m)2 ? 1 ? 5 . ∵m<3,∴m=1.圆 C: ( x ? 1)2 ? y 2 ? 5 . 设直线 PF 的斜率为 k,则 PF: y ? k ( x ? 4) ? 4 , 即 kx ? y ? 4k ? 4 ? 0 .∵直线 PF 与圆 C 相切,∴
| k ? 0 ? 4k ? 4 | k ?1
2

? 5 .解得 k ?

11 1 , 或k ? . 2 2

当 k= 当 k=

11 36 时,直线 PF 与 x 轴的交点横坐标为 ,不合题意,舍去. 2 11

1 时,直线 PF 与 x 轴的交点横坐标为-4,∴符合题意, 2

第 7 页(共 8 页)

∴直线 PF 的方程为 y=

1 x+2 2
2

…………6 分

(2)设抛物线标准方程为 y =-2px, ∵F(-4,0), ∴p=8, ∴抛物线标准方程为 y =-16x
??? ? ??? ? (3) AP ? (1, 3) ,设 Q(x,y) A ? ( ? ,3 ? ,Q x y ) 1
2

…………8 分
??? ???? ? , AP ? AQ ? ( x ? 3) ? 3( y ? 1) ? x ? 3 y ? 6 .

??? ??? ? ? 2 ∵y =-16x, ∴ AP ? AQ ? x ? 3 y ? 6 ? ? 1 y 2 ? 3 y ? 6 ? ? 1 ( y ? 24)2 ? 30 . 16 16

??? ???? ? ∴ AP ? AQ ? x ? 3 y ? 6 的取值范围是(-∞,30].…………13 分

21. (本小题共 13 分 (Ⅰ)证:因为

Sn ? 3an ? 2 (n ? 1, 2,?) ,
Sn ?1 ? 3an ?1 ? 2 (n ? 2 , 3 , , ? )

所以当 n ? 2 时, an ? Sn ? Sn ?1 ? 3an ? 3an ?1 ,整理得 an ? 由 Sn ? 3an ? 2 ,令 n ? 1,得 a1 ? 3a1 ? 2 ,解得 a1 ? 1 . 所以 ?an ? 是首项为 1 ,公比是

3 an ?1 . 2

3 的等比数列. ks5*u…………6 分 2

(Ⅱ)解:由 bn ?1 ? an ? bn (n ? 1, 2,?) ,得 bn ?1 ? bn ? an (n ? 1, 2,?) . 所以

b2 ? b1 ? a1 , b3 ? b2 ? a2 , ?? bn ? bn ?1 ? an ?1 ,

?3? 1? ? ? ?2? 从而 bn ? b1 ? [a1 ? a2 ? ? ? an ?1 ] ? ?3 ? 3 1? 2

n ?1

?3? ? 2? ? ?2?

n ?1

?5.

3 3 3 3 Tn ? 2[1 ? ? ( )2 ? ...... ? ( )n?1 ] ? 5n ? 4 ? ( ) n ? 5n ? 4 .…………13 分 2 2 2 2

第 8 页(共 8 页)


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