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2013年高一数学测评试题及答案


2013年高一数学测评试题及答案

高一级数学
本试卷共4页,20小题,满分150分.考试用时120分钟. 注意事项: 1.答卷前,考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号 填写在答题卡上.用2B铅笔将试卷类型(A)填涂在答题卡相应位置上. 2.选择题每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑,如 需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案,答案不能答在试卷上. 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域 内的相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使 用铅 笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效. 4.作答选做题时,请先用2B铅笔填涂选做题的题号对应的信息点,再作答.漏涂、错涂、 多涂的,答案无效. 5.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后,将试卷和答题卡一并交回.

第 Ⅰ 卷
一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合
题目要求的. 1.设集合 P A. P 2.函数 y
? { x | x ? 1} , Q ? { x | x ? x ? 0}
2

,则下列结论正确的是 C. P ? Q D. Q ? P

? Q ? s in x ? c o s x π

B. P

? Q ? R

的最小 值和最小正周期分别是 B. ? 2 ,


A. ? 2 ,

C. ?

2 , π
x

D. ?

2 , 2π

3.已知 f ( x ) 是定义在R上的奇函数,且当 x ? 0 时, f ( x ) ? 2 ? 3 ,则 f ( ? 2 ) ? A.1 B. ? 1 C.
1 4

D. ?

11 4

4.设等差数列 { a n } 的前 n 项和为 S n , a 2 ? a 4 ? 6 ,则 S 5 等于 A.10 B.12 C.15 5.如图,设A、B两点在河的两岸,一测量者在A的同侧所在的河岸边选 定一点C,测出AC的距离为50m, ? ACB ? 45 , ? CAB ? 105 就可以计算出A、B两点的距离为 A. 50
频道?

D.30

?

?

后,

2m

B. 50

3m

C. 25

2m

D.

25 2

2

m

(第5题图)

?源自:中国§学考§

6.在一次数学测验中,统计7名学生的成绩分布茎叶图如右图所示,若这7名学生的平均成绩 为77分,则x的值为 A.5 B.6 C.7 D.8

7.设平面向量 a A.
5

? (1 , 2 ) , b ? ( ? 2 , y )

,若 a ∥ b ,则 | 3 a C.
?
4
17

? b | 等于

(第6题图)
26

B.

6

D.

8.若把函数 y ? f ? x ? 的图象沿 x 轴向左平移

个单位, 沿 y 轴向下平移1个单位,然后再把

图象上每个点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标保持不变),得到函数 y ? s i n x 的图象,则
y ? f

? x ? 的解析式为
? ?

A. y ? s in ? 2 x ?
?1 ? 2

? ?

??1 4 ?

B. y ? s in ? 2 x ?
? ?1 ? 2

?

? ?

??1 2 ?

C. y ? s in ? 9.设方程 lo g 4 A. 0 ?

x ?

? ?

??1 4 ?

D. y ? s in ?
x ? ( 1 4
x

x ?

? ?

??1 2 ?

x ?(

1 4

) ? 0
x

、 lo g 1
4

)

? 0

的根分别为 x 1 、 x 2 ,则 C. 1 ?
x1 x 2 ? 2

x1 x 2 ? 1

B. x 1 x 2

?1

D. x 1 x 2

? 2

10. 如图所示,A,B,C是圆O上的三点,CO的延长线与线段BA的延长线交 于圆外的点D,若 OC ? m OA ? n OB ,则m + n的取值范围是 A. (1, ? ? ) C. (0,1) B. ( ? ? ,? 1 ) D. (-1,0) (第10题图)

第 Ⅱ 卷
二、填空题:本大题共4小题 ,每小题5分.
11.某单位有青年职工160人,中年职工人数是老年职工人数的2倍,老、中、青职工共有430 人.为了解职工身体状况,现采用分层抽样方法进行调查,在抽取的样本中有青年职工32 人,则该样本中的老年职工人数为
?? x , x ? 0 ? 12.已知函数 f ( x ) ? ? x ,则 f [ f ( ? 1)] ? ?2 , x ? 0 ?
3

. .

13.程序框图如图所示:如果输入 x ? 5 , 则输出结果为_______.

? y ? x ? 14. 已知不等式组 ? y ? ? x 表示的平面区域 S 的面积为 4 , P ( x , y ) ? S , z ? 2 x ? y 的 点 则 ? x ? a ?

最大值为

.

三、解答题:(共80分,解答过程要有必要文字说明与推理过程)
15.(本小题满分12分) 设全集U=R,A={x|0≤x<8 },B={x|1<x<9},求 (Ⅰ)(?U A)∪B; (Ⅱ)A∩(?U B)

16.(本小题满分12分) 已知函数
f (x) ? 2 3 s in x ? c o s x ? c o s x ? s in
2 2

x ?1

(x?R )

(1)求函数 y (2)若 x ? [ ?

? f (x)

的单调递增区间; 的取值范围.

5? ? , ] ,求 f ( x ) 12 3

17.(本小题满分14分) 已知等差数列 { a n } 的前 n 项和为 S n ,且 a 6 ? ? 5 , S 4 ? ? 62 . (1)求数列 { a n } 的通项公式; (2)求数列 {| a n |} 的前 n 项和 T n .

18.(本小题满分14分) 如图,某单位准备修建一个面积为600平方米的矩形场地(图中 A B C D )的围墙,且要求中 间用围墙 E F 隔开, 使得 A B E F 为矩形,EFDC 为正方形, A B ? x 米, 设 已知围墙(包括 E F ) 的修建费用均为800元每米,设围墙(包括 E F )的的修建总费用为 y 元。 (1)求出 y 关于 x 的函数解析式; (2)当 x 为何值时,设围墙(包括 E F )的的修建总费用 y 最小?并求出 y 的最小值。
A F D

19.(本小题满分14分)
C E 已知函数 f ( x ) ? x ? 4 x ? a ? 3 , g ( x ) ? mx ? 5 ? 2 m . (Ⅰ)若 y ? f ( x ) 在[-1,1]上存在零点,求实数 a 的取值范围; 第 1 7 题 图 (Ⅱ)当 a =0时,若对任意的 x 1 ∈[1,4],总存在 x 2 ∈[1,4],使 f ( x 1 ) ? g ( x 2 ) 成立,求 实数m的取值范围;
2

B

20.(本小题满分14分) 数列 ? a n ? 满足 a 1 ? 2 , a n ? 1 ?
(n ?
n

2

n ?1

an
n

1 2

( n ? N ? ).

)an ? 2

(Ⅰ)设 b n ?

2

an

,求数列 ?b n ? 的通项公式 b n ;
1

(Ⅱ)设 c n ?

n ( n ? 1) a n ? 1

, 数列 ?c n ? 的前 n 项和为 S n , 求出 S n 并由此证明:

5

16

? Sn <

1 2

.

高一级数学
非选择题答题纸
1. 注意事项: 第二部分答题纸共6页, 用黑色字迹的钢笔或签字笔将答案直接写在答题纸上. 2.答题前将密封线内的项目填写清楚,并在答题纸右上角填上座位号.

题 号 得 分

11~14

15

16

17

18
[来自:中国学考频道]

19

20





以下为非选择题答题区,必须用黑色字迹的签字笔或钢笔在指定的区域内作答,否则答案无效.

二、填空题: 11._________________;12._________________;

13.________________;14.________________.

三、解答题:15.(本小题满分12分)

16.(本小题满分12分)

17.(本小题满分14分)

18.(本小题满分14分)

A

F

D

B

E 第 17题 图

C

19.(本小题满分14分)

20.(本小题满分14分)

高一数学试题参考答案
一、选择题: 题号 答案 1 C 2 D 3 B 4 C 5 A 6 C 7 A 8 B 9 A 10 D

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分. 11.18 12.2 13.325 14.6

三、解答题(共 80 分,解答过程要有必要文字说明与推理过程) 15、解: (Ⅰ)?U A={x|x<0 或 x≥8 }……………… 3 分 则(?U A)∪B ={x|x<0 或 x≥8 }∪{x|1<x<9}={x||x<0 或 x>1} ……………… 6 分 (Ⅱ)?U B={x|x≤1 或 x≥9 },……………… 9 分 则 A∩(?U B)= {x|0≤x<8 }∩ {x|x≤1 或 x≥9 }={x|0≤x≤1 }…… 16.解: (1)由题设 由 2k ?
? ? 2 f (x) ? ? 6 3 s in 2 x ? c o s 2 x ? 1 ? 2 s in ( 2 x ? ? 2
? ? ? ? 3

………… 12 分 3分

? 6

) ? 1 ……………… ? 6

≤ 2x ?

≤ 2k ? ?

,解得 k ?

?

? 3

≤ x ≤ k? ?
?? ? 6?



故函数 y

? f (x)

的单调递增区间为 ? k ?
? 3

,k? ?

( k ? Z )……………… 6 分

(2)由 ?

5? 12

≤ x≤

,可得 ?

2? 3

≤ 2x ? ? 6

? 6



?? 6

………………………… 8 分

考察函数 y 于是 - 3 ≤ 故y

? s in x

,易知 - 1 ≤
? 6

s in ( 2 x ?

)≤1

………………………… 10 分

2 s in ( 2 x ?

) ?1≤ 1.

? f (x)

的取值范围为 [ ? 3,1] ……………………………………………… 12 分

17.解: (1)设等差数列 { a n } 的公差为 d ,则由条件得
? a1 ? 5 d ? ? 5 , ? ? 4 a 1 ? 6 d ? ? 62 ? a 1 ? ? 20 ?d ? 3

……………………………………3 分

解得 ?



……………………………………5 分

所以 { a n } 通项公式 a n ? ? 20 ? 3 ( n ? 1 ) ,则 a n ? 3 n ? 23 ………………………6 分

(2)令 3 n ? 23 ? 0 ,则 n ?

23 3

,……………………………7 分 ……………8 分

所以,当 n ? 7 时, a n ? 0 ,当 n ? 8 时, a n ? 0 . ……… 所以,当 n ? 7 时,
T n ? b 1 ? b 2 ? ? ? b n ? ? ( a 1 ? a 2 ? ? ? a n ) ? ? [ ? 20 n ? ? ? 3 2 n
2

n ( n ? 1) ? 3 2

]

?

43 2

n ……10 分

当 n ? 8 时, T n ? b 1 ? b 2 ? ? ? b n ? ? ( a 1 ? a 2 ? ? ? a 7 ) ? a 8 ? ? ? a n
? ? 2 ( a1 ? a 2 ? ? ? a 7 ) ? a1 ? a 2 ? ? ? a 7 ? a 8 ? ? ? a n ?

3 2

n

2

?

43 2

n ? 154 ………12 分

所以 T n

43 ? 3 2 ? n ? n ,1 ? n ? 7 ? ? 2 2 ? ? ………………………………………………14 分 ? 3 n 2 ? 43 n ? 154 , n ? 8 ?2 2 ?

18. 解: (1)设 A D ? t 米,则由题意得 xt ? 6 0 0 ,且 t ? x 故t
? 600 x ? x

……………………2 分

,可得 0

? x ? 10

6

……………………4 分

(说明:若缺少“ 0 则y

? x ? 10

6

”扣 2 分)
600 x ) ? 2400( x ? 400 x 400 x ) (0 ? x ? 1 0
6)

? 8 0 0 (3 x ? 2 t ) ? 8 0 0 (3 x ? 2 ?

)

,……………………6 分 .…… ……………7

所以 y 关于 x 的函数解析式为 y 分 (2) y
? 2400( x ? 400 x )≥ 2400 ? 2 x?

? 2400( x ?

400 x

? 96000

, ………………10分

当且仅当 x

?

400 x

,即 x

? 2 0 时等号成立.

………………12 分

故当 x 为 20 米时,y 最小. y 的最小值为 96000 元.………………14 分 19. 解:(Ⅰ):因为函数 所以
f ( x) f ( x)

=x -4x+a+3 的对称轴是 x=2,

2

在区间[-1,1]上是减函数,……………………………2 分

因为函数在区间[-1,1]上存在零点,则必有:
? f (1)≤ 0 ? ? f ( ? 1)≥ 0

即?

? a≤ 0 ? a ? 8≥ 0

, 解得 - 8≤ a≤ 0 , 故所求实数 a 的取值范围为[-8, . 0] ………………

5分

(Ⅱ)若对任意的 x1∈[1,4],总存在 x2∈[1,4],使 f(x1)=g(x2)成立, 只需函数 y=f(x)的值域为函数 y=g(x)的值域的子集.……………………………………6 分
f ( x)

=x -4x+3,x∈[1,4]的值域为[-1,3],……………………………………7 分

2

①当 m=0 时,g(x)=5-2m 为常数,不符合题意舍去;…………………………………… 9分 ②当 m>0 时,g(x)的值域为[5-m,5+2m],要使[-1,3] ? [5-m,5+2m], 需?
?5-m≤ -1 ? 5 ? 2 m≥ 3

,解得 m≥6;……………………………………11 分

③当 m<0 时,g(x)的值域为[5+2m,5-m],要使[-1,3] ? [5+2m,5-m], 需?
?5 ? 2m≤ -1 ?5 - m≥ 3

,解得 m≤-3;……………………………………13 分

综上,m 的取值范围为 ( ? ? , ? 3] ? [6, ? ? ) ……………………………………14 分 20.解: (Ⅰ)由已知可得
a n ?1 2
n ?1

? (n ?

an 1 2 )an ? 2
n



2

n ?1

?

2

n

? n?

1 2

………………………2

a n ?1

an

分 即
2
n ?1

?

2

n

? n?

1 2

a n ?1

an
1 2

即 bn ?1 ? bn ? n ?
1 2

1 2

…………………………………4 分
1 2

∴ b 2 ? b1 ? 1 ?

, b3 ? b 2 ? 2 ?

, ? , b n ? b n ? 1 ? ( n ? 1) ?

累加得 b n ? b1 ? 1 ? 2 ? 3 ? ? ? ( n ? 1) ?
2 a1 2 2

n ?1 2

?

( n ? 1) n 2

?

n ?1 2

?

n ?1
2

2

又 b1 ?

?

?1

∴ bn ?
2 b
n n

n ?1
2

?1?

n ?1
2

……………6 分

2

2

(Ⅱ) 由(Ⅰ)知 a n ?
2
n?2 2

?

2
2

n ?1

n ?1


( n ? 1) ? 1
2

∴ a n ?1 ?
2

( n ? 1) ? 1

, cn ?

n ( n ? 1) 2

n?2

?

1 2

?

n ? 2n ? 2
2

n ( n ? 1) ? 2

n ?1

………7 分

?

? ? 1 ? n ? n n? 2 1 ? 1 1 1 ? ? ? ? ? n ?1 ? n ?1 n ?1 ? n n ?1 ? 2 ? n ( n ? 1) 2 n ( n ? 1) ? 2 2 ?2 n ?2 ( n ? 1) 2 ? ?

………9 分



Sn ?

1

(

1
2

?? ? 2
1 ? 1 2 ? 2

1
n ?1

)?

2 2

? 1 ? 1 1 1 1 1 1 ? )?( ? )?? ? ( ? ) ?( 2 2 3 n n ?1 ? 2 ? 1?2 2 ?2 2 ?2 3?2 n ?2 ( n ? 1) ? 2 ?
1 2
n

2

(1 ? 1? 1 2

) ?

? 1 ?1 1 ? ? n ?1 ? 2 ?2 ( n ? 1) ? 2 ?

?

1 ? 1 n ?1 n ? 2 ? 1? ( ) ? ? 2 ? 2 n ?1? ?

…………………………………11 分
1 n ?1 ?

易知 ( ) n ? 1 ?
2 1

1

n? 2 n ?1

? (

1 2

) 1 2

n ?1

(1 ?

) 递减 3 8

∴0< ( ) n ? 1 ?
2
5 1 6

n? 2 n ?1

? (

)

1?1

?

1? 2 1?1



?

1? 1 n ?1 n ? 1? ( ) ? ? 2? 2 n ?

2 1 5 1 ? < ,即 ? Sn < ?1 2 16 2 ?

………14 分

注:若由 C n >0 得 S n ? S 1 ?

5 16

只给 1 分.


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