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2015届高考调研文科课时作业37


课时作业(三十七)
1.数列 1,(1+2),(1+2+22),…,(1+2+22+…+2n-1),…的前 n 项之 和为( ) B.n· 2n-n D.2n+1-n-2

A.2n-1 C.2n+1-n 答案 解析 D

记 an=1+2+22+…+2n-1=2n-1,

2· ?2n-1? ∴Sn= -n=2n+1-2-n. 2-1 2. 数列{an}、 {bn}满足 anbn=1, an=n2+3n+2, 则{bn}的前 10 项之和为( 1 A.3 1 C.2 答案 解析 B 1 bn=a =
n

)

5 B.12 7 D.12

1 1 1 = - , ?n+1??n+2? n+1 n+2

S10=b1+b2+b3+…+b10 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 5 =2-3+3-4+4-5+…+11-12=2-12=12.
2 ?n ,当n为正奇数时, ? 3.已知函数 f(n)= 且 an=f(n)+f(n+1),则 a1+ 2 ?-n ,当n为正偶数时,

a2+a3+…+a100 等于( A.0 C.-100 答案 解析 B

) B.100 D.10 200

由题意, 得 a1+a2+…+a100=12-22-22+32+32-42-42+52+…+

992 -1002 - 1002 + 1012=- (1+ 2)+(3 + 2)- … - (99+ 100)+ (101 + 100)= 100. 故选 B. 4.在 10 到 2 000 之间,形如 2n(n∈N*)的各数之和为( A.1 008 B.2 040 )

C.2 032 答案 解析 C

D.2 016

24?1-27? S=24+25+…+210= =(27-1)· 24=2 032. 1-2 )

5.化简 Sn=n+(n-1)×2+(n-2)×22+…+2×2n-2+2n-1 的结果是( A.2n+1+2-n-2 C.2n-n-2 答案 解析 D Sn=n+(n-1)×2+(n-2)×22+…+2×2n-2+2n-1,① B.2n+1-n+2 D.2n+1-n-2

2Sn=n×2+(n-1)×22+…+3×2n-2+2×2n-1+2n,② ②-①,得 Sn=-n+2+22+…+2n-2+2n-1+2n =-n+ 2?1-2n? n+1 =2 -n-2.故选 D. 1-2 1 }(n∈N*)的前 n f?n?

6.设函数 f(x)=xm+ax 的导数为 f′(x)=2x+1,则数列{ 项和是( A. C. n n+1 ) B. n+2 n+1

n n-1 A

n+1 D. n

答案 解析

∵f(x)=xm+ax 的导数为 f′(x)=mxm-1+a=2x+1,

∴m=2,a=1.∴f(x)=x2+x=x(x+1). 数列{ 1 }(n∈N*)的前 n 项和为 f?n?

1 1 1 1 Sn= + + +…+ 1×2 2×3 3×4 n?n+1? 1 1 1 1 1 =(1-2)+(2-3)+…+(n- ) n+1 =1- 1 n = .故选 A. n+1 n+1

7.(2014· 衡水调研)已知数列{an},{bn}满足 a1=1,a2=2,b1=2,且对任

1 2 013 意的正整数 i,j,k,l,当 i+j=k+l 时,都有 ai+bj=ak+bl,则2 013 ? (ai+
i=1 n

bi)(注: ?ai=a1+a2+…+an)的值为(
i=1

)

A.2 012 C.2 014 答案 解析 D

B.2 013 D.2 015

由条件可得 a1=1,b1=2;a2=2,b2=3;a3=3,b3=4;…;a2

013

=2 013,b2 013=2 014. 1 2 013 1 ∴2 013 ? (ai+bi)=2 013[(1+2 014)×2 013]=2 015.
i =1

8.已知数列{an}的前 n 项和 Sn=n2-6n,则{|an|}的前 n 项和 Tn=________. 答案 解析
2 ?6n-n ? 2 ?n -6n+18

?1≤n≤3? ?n>3?

由 Sn=n2-6n,得{an}是等差数列,且首项为-5,公差为 2.

∴an=-5+(n-1)×2=2n-7. ∴n≤3 时,an<0;n>3 时,an>0.
2 ?6n-n ∴Tn=? 2 ?n -6n+18

?1≤n≤3?, ?n>3?.

9.(1002-992)+(982-972)+…+(22-12)=____________. 答案 解析 5 050 原式=100+99+98+97+…+2+1= 100×?100+1? =5 050. 2

1 1 1 10.Sn= 2 + 2 +…+ =________. 2 -1 4 -1 ?2n?2-1 答案 解析 n 2n+1 1 1 1 1 1 1 1 通项 an= = = ( - ),∴Sn=2(1-3 ?2n?2-1 ?2n-1??2n+1? 2 2n-1 2n+1

1 1 1 1 1 1 n +3-5+…+ - )=2(1- )= . 2n-1 2n+1 2n+1 2n+1

11.某医院近 30 天每天因患甲流而入院就诊的人数依次构成数列{an},已 知 a1=1,a2=2,且满足 an+2-an=1+(-1)n(n∈N*),则该医院 30 天内因患甲 流而入院就诊的人数共有______. 答案 解析 255 当 n 为偶数时,由题易得 an+2-an=2,此时为等差数列;当 n 为奇

数时,an+2-an=0,此时为常数列,所以该医院 30 天内因患甲流而入院就诊的 人数总和为 S30=15+15×2+ 15×14 2 ×2=255.

12.在数列{an}中,a1=1,a2=2,且 an+2-an=1+(-1)n(n∈N*),则 S100 =________. 答案 解析 2 600 由已知,得 a1=1,a2=2,a3-a1=0,a4-a2=2,…,a99-a97=0,

a100-a98=2. 累加得 a100+a99=98+3, 同理得 a98+a97=96+3,…,a2+a1=0+3, 则 a100+a99+a98+…+a2+a1 = 50×?98+0? +50×3=2 600. 2

13. 数列{an}的前 n 项和为 Sn, 且 a1=1, an+1=3Sn(n=1,2,3, …), 则 log4S10 =________. 答案 解析 9 ∵an+1=3Sn,∴an=3Sn-1(n≥2).

两式相减,得 an+1-an=3(Sn-Sn-1)=3an. an+1 ∴an+1=4an,即 a =4. n ∴{an}从第 2 项起是公比为 4 的等比数列. 当 n=1 时,a2=3S1=3, ∴n≥2 时,an=3· 4n-2. S10=a1+a2+…+a10 =1+3+3×4+3×42+…+3×48

1-49 =1+3(1+4+…+4 )=1+3× 1-4
8

=1+49-1=49. ∴log4S10=log449=9. 14.已知数列{an}满足 a1=1,an>0,Sn 是数列{an}的前 n 项和,对任意的 n ∈N*,有 2Sn=2a2 n+an-1. (1)求数列{an}的通项公式; an (2)记 bn=2n,求数列{bn}的前 n 项和 Tn. 答案 解析
+1

n+1 (1)an= 2

3 n+3 (2)Tn=2- n+1 2

2 (1)2Sn=2a2 n+an-1,2Sn+1=2an+1+an+1-1,两式相减,得 2an+1=2(an

-an)(an+1+an)+(an+1-an). ∴(an+1+an)(2an+1-2an-1)=0. 1 ∵an>0,∴2an+1-2an-1=0.∴an+1=an+2. 1 ∴数列{an}是以 1 为首项,2为公差的等差数列. n+1 ∴an= 2 . an n+1 (2)bn=2n= n+1 , 2 n+1 2 3 4 则 Tn=22+23+24+…+ n+1 ,① 2 n+1 1 2 3 4 T n= 3+ 4+ 5+…+ n+2 .② 2 2 2 2 2 n+1 1 2 1 1 1 1 ①-②,得2Tn=22+23+24+25+…+ n+1- n+2 2 2 1 1 3×?1- n-1? 2 n+1 3 n+1 1 2 1 =2+ - n+2 = - n+1- n+2 . 1 4 2 2 2 1-2 3 1 n+1 3 n+3 所以 Tn=2-2n- n+1 =2- n+1 . 2 2 15. (2013· 浙江)在公差为 d 的等差数列{an}中, 已知 a1=10, 且 a1,2a2+2,5a3

成等比数列. (1)求 d,an; (2)若 d<0,求|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|. 答案 (1)d=-1,an=-n+11;d=4,an=4n+6 n≤11, n≥12

1 2 21 - ? ? 2n + 2 n, (2)|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|=? 1 2 21 ? ?2n - 2 n+110, 解析

(1)由题意,得 5a3· a1=(2a2+2)2,即 d2-3d-4=0.

故 d=-1 或 d=4. 所以 an=-n+11,n∈N*或 an=4n+6,n∈N*. (2)设数列{an}的前 n 项和为 Sn. 因为 d<0,由(1)得 d=-1,an=-n+11, 则当 n≤11 时, 1 21 |a1|+|a2|+|a3|+…+|an|=Sn=-2n2+ 2 n. 1 21 当 n≥12 时,|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|=-Sn+2S11=2n2- 2 n+110. 综 上 所 述 , |a1| + |a2| + |a3| + … + |an| =

1 2 21 - ? ? 2n + 2 n, ?1 2 21 ? ?2n - 2 n+110,

n≤11, n≥12.

2 2 16.(2013· 江西)正项数列{an}的前 n 项和 Sn 满足:S2 n-(n +n-1)Sn-(n +

n)=0. (1)求数列{an}的通项公式 an; (2)令 bn= 5 有 Tn<64. 答案 解析 (1)an=2n (2)略 n+1 ,数列{bn}的前 n 项和为 Tn.证明:对于任意的 n∈N*,都 ?n+2?2a2 n

2 2 (1)由 S2 n-(n +n-1)Sn-(n +n)=0,

得[Sn-(n2+n)](Sn+1)=0.

由于{an}是正项数列,所以 Sn>0,Sn=n2+n. 于是 a1=S1=2,当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=n2+n-(n-1)2-(n-1)=2n. 综上,数列{an}的通项公式为 an=2n. n+1 (2)证明:由于 an=2n,bn= 2, ?n+2?2an n+1 1 1 1 则 bn= 2 ]. 2= [ 2- 4n ?n+2? 16 n ?n+2?2 1 1 1 1 1 1 Tn=16[1-32+22-42+32-52+…+ 1 1 =16[1+22- 1 1 ] 2- ?n+1? ?n+2?2 1 1 1 1 - + 2- ] ?n-1?2 ?n+1?2 n ?n+2?2

1 1 5 <16(1+22)=64.



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