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高中数学 正弦定理和余弦定理课件 新人教A版必修5


正弦定理和余弦定理

正弦定理和余弦定理
定理 正弦定理
a b = ___________ sin A sin B

余弦定理

b2+c2-2bc· cos A , a2=________________ b2=________________ c2+a2-2ca· cos B , c 内容 = a2+b2- _______ sin C =2R c2=_________ (R为△ABC外 ___________ 2ab· cos C . 接圆半径)

①a=_______ 2Rsin A, b=_______ 2Rsin B, c=________ 2Rsin C ; 变 形 形 式

b2+c2-a2 cos A=_______ 2bc ; b a 2 2 2 ②sin A=___ , c + a - b 2R ,sin B=___ 2R cos B=_______ 2ca ; c 2 2 2 sin C=____ ; a + b - c 2R sin A∶sin B ③a∶b∶c=___________ cos C=_______. 2ab ________ ∶sin C ;

变形 形式

a+b+c a ④ = sin A+sin B+sin C sin A.

【思考探究】

在△ABC 中,sin A>sin B

是 A>B 的什么条件? 提示: 充要条件. a b 因为 sin A>sin B? > ?a>b?A>B. 2R 2R

1.已知△ABC,内角 A、B、C 的对边分 别是 a、b、c,a= 2,b= 3,B=60° , 则 A 等于( ) A.30° B.45° C.45° 或 135° D.30° 或 150° a b 解析: 由正弦定理得 = , sin A sin B asin B 2sin 60° 2 ∴sin A= = = , b 2 3 又∵ 2< 3,即 a<b,∴A<B=60° ,
∴A=45° .

答案:

B

2.△ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、 b、c.若 a、b、c 成等比数列,且 c=2a,则 cos B 等于( ) 1 3 A. B. 4 4 2 2 C. D. 4 3 解析: 由已知得 b2=ac,c=2a, a2+c2-b2 5a2-2a2 3 ∴cos B= = = . 2 2ac 4a 4 答案: B

3 3.在△ABC 中,若 tan A= ,C=120° , 4 BC=2 3,则 AB=( ) A.3 B.4 C.5 D.6
解析: 3 3 因为 tan A= ,所以 sin A= ,由 4 5

AB BC BC· sin C 正弦定理 = , 可得 AB= = sin C sin A sin A 3 2 3× 2 =5. 3 5

答案:

C

4. 在△ABC 中, 如果 A=60° , c= 2, a= 6, 则△ABC 的形状是________. a c 解析: 由正弦定理 = ,∴sin C sin A sin C 1 = 2 ∴C=30° (a>c,C 只能是锐角). 答案: 直角三角形

5. 在△ABC 中, 如果 A=60° , c=4, a= 6, 则三角形解的情况是________.
解析: ∵csin A=4sin 60° =2 3> 6, ∴三角形无解. 答案: 无解

利用正、余弦定理解三角形
1.利用正弦定理可解决以下两类三角形: 一是已知两角和一角的对边,求其他边角; 二是已知两边和一边的对角,求其他边角.

2.利用余弦定理可解两类三角形:一是已 知两边和它们的夹角,求其他边角;二是 已知三边求其他边角.由于这两种情形下 的三角形是唯一确定的,所以其解也是唯 一的.

(2010· 浙江卷)在△ABC 中,角 A,B,C 所对 1 的边分别为 a,b,c,已知 cos 2C=- . 4 (1)求 sin C 的值; (2)当 a=2,2sin A=sin C 时,求 b 及 c 的长. 1 2 解析: (1)∵cos 2C=1-2sin C=- 及 0<C 4 < π, 10 所以 sin C= . 4

a (2)当 a=2,2sin A=sin C 时,由正弦定理 sin A c = ,得 c=4. sin C 1 2 由 cos 2C=2cos C-1=- 及 0<C<π, 得 cos 4 6 C=± . 4 由余弦定理 c2=a2+b2-2abcos C,得 b2± 6b-12=0(b>0),解得 b= 6或 2 6.
?b= 6, ?b=2 6, 所以? 或? ?c=4, ?c=4.

【变式训练】 1.已知 a、b、c 分别是△ABC 中角 A、B、C 的对边,且 a2+c2-b2=ac. (1)求角 B 的大小; (2)若 c=3a,求 tan A 的值.

解析: (1)由余弦定理,得 cos B= a2+c2-b2 1 = . 2ac 2 π ∵0<B<π,∴B= . 3

(2)方法一:将 c=3a 代入 a2+c2-b2=ac,得 b = 7a. b2+c2-a2 5 7 由余弦定理,得 cos A= = . 2bc 14 21 2 ∵0<A<π,∴sin A= 1-cos A= . 14 sin A 3 ∴tan A= = . cos A 5

方法二:将 c=3a 代入 a2+c2-b2=ac,得 b = 7a. 由正弦定理,得 sin B= 7sin A. π 21 ∵B= ,∴sin A= . 3 14 又 b= 7a>a,则 B>A, 5 7 2 ∴cos A= 1-sin A= . 14 sin A 3 ∴tan A= = . cos A 5

方法三:∵c=3a,由正弦定理,得 sin C=3sin A. π 2π ∵B= ,∴C=π-(A+B)= -A. 3 3 ?2π ? ? ∴sin? 3 -A? ?=3sin A. ? ? 2π 2π ∴sin cos A-cos sin A=3sin A. 3 3 3 1 ∴ cos A+ sin A=3sin A. 2 2 ∴5sin A= 3cos A. sin A 3 ∴tan A= = . cos A 5

利用正、余弦定理判断三角形形状
依据已知条件中的边角关系判断三角形的形状 时,主要有如下两种方法: (1)利用正、余弦定理把已知条件转化为边边关系, 通过因式分解、配方等得出边的相应关系,从而 判断三角形的形状; (2)利用正、余弦定理把已知条件转化为内角的三 角函数间的关系,通过三角函数恒等变形,得出 内角的关系,从而判断出三角形的形状,此时要 注意应用 A+B+C=π 这个结论.

在△ABC 中,a,b,c 分别为内角 A,B,C 的对边,且 2asin A=(2b+c)sin B+(2c+b)sin C. (1)求 A 的大小; (2)若 sin B+sin C=1, 试判断△ABC 的形状.

解析: (1)由已知,根据正弦定理得 2a2=(2b +c)b+(2c+b)c,即 a2=b2+c2+bc.① 由余弦定理得 a2=b2+c2-2bccos A, 1 故 cos A=- ,A=120° . 2 (2)由①得 sin2A=sin2B+sin2 C+sin Bsin C. 1 又 sin B+sin C=1,得 sin B=sin C= . 2 因为 0° <B<90° ,0° <C<90° ,故 B=C. 所以△ABC 是等腰的钝角三角形.

【变式训练】 2.在△ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,且满足(2b-c)cos A -acos C=0. (1)求角 A 的大小; 3 3 (2)若 a= 3,S△ABC= ,试判断△ABC 的 4 形状,并说明理由.

解析: (1)方法一:∵(2b-c)cos A-acos C =0, 由正弦定理得(2sin B-sin C)cos A-sin Acos C=0. ∴2sin Bcos A-sin(A+C)=0,sin B(2cos A- 1)=0, 1 ∵0<B<π,∴sin B≠0,cos A= . 2 π ∵0<A<π,∴A= . 3

方法二:∵(2b-c)cos A-acos C=0, b2+c2-a2 由余弦定理,得(2b-c)· - 2bc a2+b2-c2 a· =0. 2ab 整理,得 b2+c2-a2=bc,∴cos A= b2+c2-a2 1 = . 2bc 2 π ∵0<A<π,∴A= . 3

1 3 3 (2)∵S△ABC= bcsin A= , 2 4 1 π 3 3 即 bcsin = ,∴bc=3. 2 3 4 ∵a2=b2+c2-2bccos A,∴b2+c2=6, 由①②得 b=c= 3, ∴△ABC 为等边三角形.

与三角形面积有关的问题

常用的三角形面积公式 1 1 1 (1)S= absin C= bcsin A= acsin B; 2 2 2 1 (2)S= ah. 2

在△ABC 中,内角 A,B,C 对边的边长分别 π 是 a,b,c,已知 c=2,C= . 3 (1)若△ABC 的面积等于 3,求 a,b; (2)若 sin C+sin(B-A)=2sin 2A,求△ABC 的 面积.

解析: (1)由余弦定理及已知条件,得 a2+ b2-ab=4, 1 又因为△ABC 的面积等于 3.所以 absinC= 2 3,得 ab=4,
?a2+b2-ab=4 ?a=2 联立方程组? ,解得? . ?ab=4 ?b=2

(2)由题意得 sin(B+A)+sin(B-A)=4sin Acos A, 即 sin Bcos A=2sin Acos A, π π 4 3 当 cos A=0 时,A= ,B= ,a= ,b= 2 6 3 2 3 . 3 所以△ABC 的面积 1 1 4 3 2 3 3 2 3 S= absin C= × × × = ; 2 2 3 3 2 3

当 cos A≠0 时,得 sin B=2sin A,由正弦定理 得 b=2a, ?a2+b2-ab=4 联立方程组? , ?b=2a
? ?a=2 3 ? 3 解得? 4 3 ? b= ? 3 ?



所以△ABC 的面积 1 1 2 3 4 3 3 2 3 S= absin C= × × × = . 2 2 3 3 2 3 2 3 综上:△ABC 的面积为 . 3

【变式训练】 3.已知△ABC 的内角 A、B、 C 所对的边分别为 a、b、c,且 a=2,cos B 3 = . 5 (1)若 b=4,求 sin A 的值; (2)若△ABC 的面积为 4,求 b、c 的值.

3 4 解析: (1)由 cos B= ,得 sin B= , 5 5 2 根据正弦定理有:sin A= . 5 1 4 (2)依题意:4= acsin B=c× ,故 c=5. 2 5 由余弦定理得: 2 2 2 b =a +c -2accos B 3 =4+25-2×2×5× =17,b= 17. 5

1.判断三角形的形状 在判断三角形的形状时,一般将已知条件中 的边角关系利用正弦定理或余弦定理转化为 角角的关系或边边的关系,再用三角变换或 代数式的恒等变形(如因式分解、 配方等)求解. 2.判定三角形解的个数的方法 在△ABC 中,已知边 a,b 和角 A 时,判断 三角形解的情况有以下两种方法:

方法一:可依据下表方法进行判断: A 为锐角
图形

关系式 解个数

bsin A a=bsin A a≥b <a<b 一解 两解 一解

a<bsin A 无解

A 为直角 图形 关系式 a>b 解个数 一解 a≤b 无解

A 为钝角

a>b 一解

a≤b 无解

方法二:可依据正弦函数的有界性和三角形的 bsin A 性质进行判断: 由正弦定理可得, sin B= , a 则三角形解的个数与 sin B 的大小有如下关系:
sin B的范围 sin B>1 sin B=1 0<sin B<1 三角形解的个数 0个 1个 1个或2个

对于当 sin B∈(0,1)的情形,需依据“大边对 大角”及“三角形内角和等于 180° ”作更进 一步的判断.

从近两年的高考试题来看,正弦定理、余弦 定理是高考的热点.主要考查利用正弦定理、 余弦定理解决一些简单的三角形的度量问题, 常与同角三角函数的关系、诱导公式、和差 角公式,甚至三角函数的图象和性质等交汇 命题,多以解答题的形式出现,属解答题中 的低档题.

(本小题满分 12 分)(2010· 安徽卷)设△ABC 是 锐角三角形,a,b,c 分别是内角 A,B,C ?π ? ?π ? ? ? ? ? 2 所对边长,并且 sin A=sin?3+B?· sin?3-B?+ ? ? ? ? sin2B. (1)求角 A 的值; —→ —→ (2)若 AB ·AC =12,a=2 7,求 b,c(其中 b <c).

【规范解答】 (1)因为 sin2A= ? 3 ?? 3 ? 3 1 1 ? ?? ? 2 cos B+ sin B?? cos B- sin B?+sin B=4 ? 2 2 ? 2 ?? 2 ? 1 2 3 2 2 cos B- sin B+sin B= ,4 分 4 4 3 π 所以 sin A=± .又 A 为锐角,所以 A= .6 分 2 3

—→ —→ (2)由 AB · AC =12 可得 cbcos A=12. ① π 由(1)知 A= ,所以 cb=24. ②8 分 3 由余弦定理知 a2=c2+b2-2cbcos A, 将 a=2 7及①代入,得 c2+b2=52, ③ ③ + ②× 2,得(c+b)2=100, 所以 c+b=10.10 分 因此,c,b 是一元二次方程 t2-10t+24=0 的两个 根. 解此方程并由 c>b 知 c=6,b=4.12 分

【阅后报告】 解答本题的难点为:一是不 π 会利用(1)中 A= ,求 bc=24,b+c=10; 3 二是计算出错,把 b、c 看作 t2+10t+24=0 的根;三是不注意 b<c 这一条件.

1.(2010· 天津卷)在△ABC 中,内角 A,B, C 的对边分别是 a, b, c, 若 a2-b2= 3bc, sin C=2 3sin B,则 A=( ) A.30° B.60° C.120° D.150°

解析: 由 sin C=2 3sin B, 根据正弦定理, 得 c=2 3b,把它代入 a2-b2= 3bc 得 a2- b2=6b2,即 a2=7b2. 由余弦定理,得 b2+c2-a2 b2+12b2-7b2 6b2 cos A= = = 2= 2bc 2b· 2 3b 4 3b 3 , 2 又∵0° <A<180° ,∴A=30° . 答案: A

2. (2010· 北京卷)在△ABC 中, 若 b=1, c= 3, 2π ∠C= ,则 a=________. 3 解析: 由正弦定理,有 3 1 = , 2π sin B sin 3 1 ∴sin B= .∵∠C 为钝角, 2 π ∴∠B 必为锐角,∴∠B= , 6 π ∴∠A= .∴a=b=1. 6 答案: 1

3.(2010· 全国卷Ⅱ)△ABC 中,D 为边 BC 上的 5 3 一点,BD=33,sin B= ,cos∠ADC= ,求 13 5 AD.
3 π 解析: 由 cos∠ADC= >0 知 B< . 5 2 12 4 由已知得 cos B= ,sin∠ADC= . 13 5

从而 sin∠BAD=sin(∠ADC-B) =sin∠ADCcos B-cos∠ADCsin B 4 12 3 5 33 = × - × = . 5 13 5 13 65 AD BD 由正弦定理得 = , sin B sin∠BAD BD· sin B 所以 AD= sin∠BAD 5 33× 13 = =25. 33 65


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