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高三数学复习知识点-数列


数学复习知识点-数列
一、数列概念 1.数列的定义: 按照一定次序排列的一列数称为数列, 数列中的每个数称为该数列的项. 理解数列定义的四个要点: ⑴数列中的数是按一定“次序”排列的,在这里,只强调有“次序” ,而不强调有“规 律” .因此,如果组成两个数列的数相同而次序不同,那么它们就是不同的数列. ⑵在数列中同一个数可以重复出现. ⑶项 a n 与项数 n 是两个根本不同的概念. ⑷数列可以看作一个定义域为正整数集(或它的有限子集)的函数当自变量从小到大依 次取值时对应的一列函数值,但函数不一定是数列. 2.通项公式:如果数列 ?a n ? 的第 n 项与序号之间可以用一个式子表示,那么这个公式叫做这 个数列的通项公式,即 a n ? f ( n ) . 3.数列的前 n 项和与通项的公式① S n ? a 1 ? a 2 ? ? ? a n ; ②an ? ?
? S 1 ( n ? 1) ? S n ? S n ?1 ( n ? 2 )

.

①已知数列的前 n 项和公式 Sn,求 an 的方法 第一步:求 a1=S1; 第二步:当 n≥2 时,求 an=Sn-Sn-1; 第三步:检验当 a1 是否适合当 n≥2 时得到的 an,若适合则将 an 用一个式子表示,若 不适合,将 an 分段表示出来 ②已知 an 与 Sn 的关系式,求 an 方法 根据已给出饿关系式,令 n=n+1(或 n=n-1) ,写出一个 an+1(或 an-1)与 Sn+1(或 Sn-1) , 的关系式,然后将两式相减。消去 Sn 得到 an 与 an+1(或 an 与 an-1)的关系,从而确定{an}是 等差数列还是等比数列或者其它数列,然和求出其通项公式。 例 1:设数列{an}的前 n 项和 Sn=n ,求 an.(答案: a n ? 2 n - 1 )
2

例 2:已知数列{an}的通项 an 与前 n 项和 Sn 之间满足关系式 Sn=2-3an 求 an (答案: a ? n
1 2 ?(

3 4

n -1

)

)

4.递推公式:如果已知数列 ?a n ? 的第一项(或前几项) ,且任何一项 a n 与它的前一项
a n ? 1 (或前几项)间的关系可以用一个式子来表示,即 a n ? f ( a n ? 1 ) 或 a n ? f ( a n ? 1 , a n ? 2 ) ,

那么这个式子叫做数列 ?a n ? 的递推公式. 如数列 ?a n ? 中, a 1 ? 1, a n ? 2 a n ? 1 ,其中
a n ? 2 a n ? 1 是数列 ?a n ? 的递推公式.

利用数列的递推公式求数列的通项公式一般有以下三种方法 ①累加法:如果已知数列{an}的相邻两项 an+1 与 an 的差的一个关系式,我们可依次写出前 n 项中所有相邻两项的差的关系式,然后把这 n-1 个式子相加,整理求出数列的通项公式. 例:已知数列{an}满足 a1=33,an+1-an=2n,求 an 且求
an n

的最小值(答案:

an n
min

?

21 2



②累积法:如果已知数列{an}的相邻两项 an+1 与 an 的商的一个关系式,我们可以依次写出前 n 项中所有相邻两项的商的关系式,然后把这 n-1 个式子相乘,整理求出数列的通项公式. 例:在数列{an}中,an>0,a1=1 且有 a =(n+1,an) b =(n,an+1) a 与 b 共线,求数列的通 , , 项公式(答案: a n ?
1 n

?

?

?

?



③构造法:根据所给的数列的递推公式以及其它有关关系式,进行变形整理,构造出一个新 的等差或等比数列,再利用等差或等比数列的相关知识点求解 如:形如 an+1=pan+q, 可以令 an+1+ ? =p(an+ ? ) ? an+1=pan+(p-1)* ? ? (p-1)* ? =q
? ? =

q p -1

从而得到 an+1+

q p -1

=p(an+

q p -1

) ? ?an
?

?

?

q ? ? 是等比数列 p -1?
n?2 n

例: 数列的前 n 项和为, 已知,a1=1, n ? 1 ? a

n∈N+, a(答案:a n ? (n ? 1) ? 2 求 n Sn ,

n -2



5. 数列的表示方法:解析法、图像法、列举法、递推法. 6. 数列的分类:有穷数列,无穷数列;递增数列,递减数列,摆动数列,常数数列; 有界数列,无界数列. ①递增数列:对于任何 n ? N ? ,均有 a n ?1 ? a n . ②递减数列:对于任何 n ? N ? ,均有 a n ?1 ? a n . ③摆动数列:例如: ? 1,1, ? 1,1, ? 1, ? . ④常数数列:例如:6,6,6,6,??. ⑤有界数列:存在正数 M 使 a n ? M , n ? N ? . ⑥无界数列:对于任何正数 M ,总有项 a n 使得 a n ? M . 二、等差数列 1.等差数列的概念 如果一个数列从第二项起,每一项与它前一项的差等于同一个常数 d ,这个数列叫做等 差数列,常数 d 称为等差数列的公差. 2.通项公式与前 n 项和公式 ⑴通项公式 a n ? a 1 ? ( n ? 1 ) d (n≥1) a 1 为首项, d 为公差. , ⑵前 n 项和公式 S n ? 或s
n

n (a1 ? a n ) 2

或 S n ? na 1 ?

1 2

n ( n ? 1) d .

?

d

n 2

2

? (a 1 -

d 2

)n

(函数的角度,关于 n 的一元二次函数)

3.等差中项 如果 a , A , b 成等差数列,那么 A 叫做 a 与 b 的等差中项.即: A 是 a 与 b 的等差中项 ? 2 A ? a ? b ? a , A , b 成等差数列. 4.等差数列的判定方法 ⑴定义法:若当 n≥2,n∈N*时,有 a n
a n ?1 ? a n ? d

? a n -1 ? d

(d 为常数)或当 n≥1,n∈N*时,有

(d 为常数) ,则数列 ?a n ? 是等差数列。
? kn ? b

⑵等差中项法: 若数列 ?a n ? 满足 2 a n ? 1 ? a n ? a n ? 2 ( n ? N ? ), 则数列 ?a n ? 是等差数列. ⑶函数法:若对于数列 ?a n ? 有 a n 数) ,则数列 ?a n ? 是等差数列。 5.等差数列的常用性质 ⑴ a n ? a m ? ( n ? m ) d 或者 d ? (k、b 为常数)或者有 Sn=An +Bn(A、B 为常
2

a -a
n

m

(n ? m) ; ;

n-m

⑵若 m ? n ? p ? q ( m , n , p , q ? N ? ) ,则 a m ? a n ? a p ? a q ⑶若数列 ?a n ?

?b ? 是等差数列,则数列 ?a n 、 n

? p ? 、 ? pa n ?



?p a n

? q b n ? (p、q 为常

数)等数列都是等差数列; ⑷若等差数列 ?a n ? 的前 n 项和 S n ,则 ? 成的数列也是等差数列,公差为 n k
2

? Sn ? ? 是等差数列;Sk 、S2k-Sk、S3k-S2k ......构 ? n ?

⑸当项数为 2 n ( n ? N ? ) ,则 S 偶 ? S 奇 ? nd ,

S偶 S奇

?

a n ?1 an ?



当项数为 2 n ? 1( n ? N ? ) ,则 S 奇 ? S 偶 ? a n ,

S偶 S奇

n ?1 n

.
n? m n?m

⑹在等差数列{ a n }中,S n = a,S m = b (n>m),则 S m ? n =

(a-b).
?a m ? 0 ? a m ?1 ? 0

6.在等差数列{ a n }中,有关 Sn 的最值问题:(1)当 a 1 >0,d<0 时,满足 ?
?a m ? 0 ? a m ?1 ? 0

的项数

m 使得 s m 取最大值. (2)当 a 1 <0,d>0 时,满足 ?

的项数 m 使得 s m 取最小值。在解含
d
2

绝对值的数列最值问题时,注意转化思想的应用。 利用 Sn, s (3) 对 求 Sn 取最值时 n 的值 例题: 例 1、在数列 ?a n ? 中 a n ? 4 n 常数.则 ab+c=
5 2

n

?

n 2

? (a 1 -

d 2

)n

进行配方,

, a1 ? a 2 ? ? ? ? ? an ?

a

2 n

? bn ? c , n ?

N

?

,其中 a、b 为

。 (答案:-1)

例 2、等差数列 ?a n ? 中, S n 是其前 n 项和,a 1 ? - 11 ,

S

10

-

S
8

8

? 2 ,求 S 11 ? ? (答案:-11)

10

例 3、已知数列 ?a n ? 满足递推公式 a n ? 1 ? 则 ? 的值 。 (答案:-1)

? a n?? ? n ? 为等差数列, 2 a n ? 2 - 1(n ? N ) ,且 ? ? 2 ?
n ?

例 3、已知数列 ?a n ? 的各项均为正数,前 n 项和为 S n ,且满足 2 S n ? (1)求证 ?a n ? 为等差数列 (2)求 ?a n ? 的通项公式(答案: a n ? n ? 2 )

a

2 n

? n-4

例 4、已知等差数列 ?a n ? 满足 a 3 ? 7 , a 5 ? (1)求 a n 和 S n (2)令 b n ?
1
2

a

7

? 26 , ?a n ? 前 n 项和为 S n

(n ?

a n -1

N

?

) ,求数列 ?b n ? 的前 n 项和 T n

(答案: (1) a n ? 2 n ? 1, S n ? n (n ? 2) ; (2) T

n

?

n 4 (n ? 1)



三、等比数列 1.等比数列的概念 如果一个数列从第二项起,每一项与它前一项的比等于同一个常数 q ( q ? 0 ) ,这个数列 叫做等比数 列,常数 q 称为等比数列的公比. 2.通项公式与前 n 项和公式 n ?1 ⑴通项公式: a n ? a 1 q , a 1 为首项, q 为公比 . ⑵前 n 项和公式:①当 q ? 1 时, S n ? na 1 ②当 q ? 1 时, S n ?
a 1 (1 ? q )
n

1? q

?

a1 ? a n q 1? q

.

3.等比中项 如果 a , G , b 成等比数列,那么 G 叫做 a 与 b 的等比中项.即: G 是 a 与 b 的等差中项
? a , A , b 成等差数列 ? G
2

? a ?b .

4.等比数列的判定方法 ⑴定义法:若当 n≥2,n∈N*时,有 a n ? q ( q ? 0, q 为常数 ) 或当 n≥1,n∈N*时,有
a n -1 a n ?1 an
2

? q ( q ? 0, q 为常数 )

,则数列 ?a n ? 是等比数列。

⑵等比中项法: a n ? 1 ? a n ? a n ? 2 ( n ? N ? )且 a n ? 0 ? ?a n ? 是等比数列.

⑶函数法:如数列 ?a n ? 通项公式 an=f(n)=cq ,其函数特征为常数与指数函数的乘积;前
n

n 项和公式 Sn=g(n)=k(1-q )(q ? 1),其特征是 q 的系数与常数项的相反数. 5.等比数列的常用性质
n?m ( n , m ? N ? ) 或者 q ⑴an ? am ? q

n

n

n -m

?

an am
?1

⑵如果{ a n }是等比数列,公比为 q,那么,a 1 ,a 3 ,a 5 ,?,a 2 n 公比的等比数列 ⑶若数列 ?a n ?

,?是以 q 为

2

?b ? 是等比数列,则数列 ? 、 n

? 1 ? ? 、 ? pa n ? 、 ? an ?

?a ? 、 ?a
2 n

n

? an ? ? b n ?、 ? (p ? ? bn ?

为常数)等也是等比数列; ⑷若 m ? n ? p ? q ( m , n , p , q ? N ? ) ,则 a m ? a n ? a p ? a q ; ⑸若等比数列 ?a n ? 的前 n 项和 S n ,则 S k 、 S 2 k ? S k 、 S 3 k ? S 2 k 、 S 4 k ? S 3 k 是等比数 列. ⑹若 S n 是以 q 为公比的等比数列,则有 S n ? m = S m +qS n 例题: 例 1、若等比数列 ?a n ? 的前 n 项和为 S n ,且 s 3 ? 2 , s 6 ? 18 , 求

S S

10 5

? ? (答案:33)

例 2、已知 a,b,c 成等比数列,a,m,b 和 b,n,c 分别成两个等差数列,则

a m

?

c n

?

.2

例 3、在等比数列 ?a n ? 中, a n ?

2 ,a

m

m

?

2

n

(m ? n) ,则 a m ? n ?

.(答案:1)

例 4、已知数列 ?a n ? 的首项 a 1 ? 5 ,前 n 项和为 S n ,且 S n ? 1 ? 2 S n ? n ? 5 , n ? (1)证明:数列 ?a n ? 1? 是等比数列 (2)求 ?a n ? 的通项公式以及 S n (答案: a n ? 6 ? 2
n -1

N

?

- 1, S n ? 6 ? 2 - n - 6 )

n

例 5、已知等差数列 ?a n ? 的前 3 项和为 6,前 8 项和为-4 (1)求数列 ?a n ? 的通项公式 (2)设 b n ? (4 - a n ) q
n -1

(q ? 0, n ?

N

?

) ,求数列 ?b n ? 前 n 项和

(答案: (1) a n ? 4 - n ; (2) S n

n (n ? 1) ? (q ? 1) ? 2 ? n ?1 n ? ?n q - (n ? 1) q ? 1 ? (q ? 1) 2 ? (q -1) ?

四、数列求和

数列的求和
1.熟练掌握等差数列与等比数列的求和公式; 2.能运用倒序相加、错位相减、拆项相消等重要的数学方法进行求和运算; 3.熟记一些常用的数列的和的公式. 4.特殊数列求和的方法. 一、利用常用求和公式求和 (1)等差数列的求和公式: S n ?
n (a1 ? a n ) 2 ? na 1 ? n ( n ? 1) 2 d

(2)等比数列的求和公式 S n

? na 1 ( q ? 1) ? n ? ? a 1 (1 ? q ) (切记:公比含字母时一定要讨论) ( q ? 1) ? 1? q ?
n ( n ? 1)(2 n ? 1) 6

(3)

?k
k ?1

n

2

?1 ? 2 ?3 ?? ? n ?
2 2 2 2

?

n

k ?1 ? 2 ? 3 ?? ? n ?
3 3 3 3 3

k ?1

? n ( n ? 1) ? ? ? 2 ? ?
2 3

2

[例 1] 已知 log

3

x ?

?1 log
2

,求 x ? x ? x ? ? ? ? ? x ? ? ? ? 的前 n 项和.
n

3

解:由 log

3

x ?

?1 log
2

? log 3

3

x ? ? log

3

2? x ?

1 2

1

由等比数列求和公式得: S n ? x ? x ? x ? ? ? ? ? x
2 3

n

=

x (1 ? x )
n

(1 ? 1?

1 2 1 2
n

)

1? x

=2

=1-

1 2
n

[例 2] 设 Sn=1+2+3+?+n,n∈N ,求 f ( n ) ?
1 2

*

Sn ( n ? 32 ) S n ? 1

的最大值.

解:由等差数列求和公式得 S n ? ∴
f (n) ? Sn ( n ? 32 ) S n ? 1

n ( n ? 1) , S n ?

1 2

( n ? 1)( n ? 2 )
1 ( n? 8 n ) ? 50
2



n n ? 34 n ? 64
2



1 n ? 34 ? 64 n



?

1 50





n ?

8 8

,即 n=8 时, f ( n ) max ?

1 50

[例 3]已知 { a n } 是各项均为正数的等比例数列,且
a1 ? a 2 ? 2 ( 1 a1 ? 1 a2 ) , a3 ? a4 ? a5 ? 64( 1 a3 ? 1 a4 ? 1 a5 )

.

(Ⅰ) 求 { a n } 的通项公式; (Ⅱ)设 b n ? ( a n ?
n ?1

1 an

) ,求数列 {b n } 的前 n 项和 T n .

2

解: (Ⅰ)设公比为 q,则 a n ? a1 q

.由已知有

? ? 1 1 ? ? ? a1 ? a1 q ? 2 ? ?, ? ? a1 a1 q ? ? ? 1 1 1 ? 2 3 4 a1 q ? a1 q ? a1 q ? 6 4 ? ? ? 2 3 4 ? a1 q a1 q ? a1 q ?
? a 1 2 q ? 2, ? 化简得 ? 2 6 ? a1 q ? 6 4 . ?

? ?. ?

又 a 1 ? 0 ,故 q ? 2, a1 ? 1 ,所以: a n ? 2
2

n ?1

? 1 ? 1 1 2 n ?1 ?2? 4 ? n ?1 ? 2 (Ⅱ)由(Ⅰ)知 b n ? ? a n ? ? ? an ? 2 an ? an 4 ?

T n ? ? 1 ? 4 ? ... ? 4

n ?1

? ? ?1 ?
?

?

1 4

? ... ?

n 1 ? 4 ?1 4 ? 2 n ? 1 4 n ? 4 1? n ? 2 n ? 1 ? 2n ? ? ? ? n ?1 ? 1 4 4 ?1 3 ? 1? 4 n

1?

1

二、错位相减法求和 这种方法是在推导等比数列的前 n 项和公式时所用的方法,这种方法主要用于求数列 {an· bn}的前 n 项和,其中{ an }、{ bn }分别是等差数列和等比数列. [例 4] 求和: S n ? 1 ? 3 x ? 5 x ? 7 x ? ? ? ? ? ( 2 n ? 1) x
2 3 n ?1

解:由题可知,{ ( 2 n ? 1) x

n ?1

}的通项是等差数列{2n-1}的通项与等比数列{ x
3 4 n

n ?1

}的

通项之积:设 xS n ? 1 x ? 3 x ? 5 x ? 7 x ? ? ? ? ? ( 2 n ? 1) x ?②(设制错位)
2

又 S n ? 1 ? 3 x ? 5 x ? 7 x ? ? ? ? ? ( 2 n ? 1) x
2 3

n ?1

??????①

①-②(错位相减)得:
(1 ? x ) S n ? 1 ? 2 x ? 2 x ? 2 x ? 2 x ? ? ? ? ? 2 x
2 3 4 n ?1

? ( 2 n ? 1) x
n ?1

n

再利用等比数列的求和公式得: (1 ? x ) S n ? 1 ? 2 x ?
( 2 n ? 1) x
n ?1

1? x

1? x

? ( 2 n ? 1) x 。
n



Sn ?

? ( 2 n ? 1) x ? (1 ? x )
n

(1 ? x )
2 , 4
2

2

[例 5] 求数列

,

6
3

,? ? ?,

2n 2
n

,? ? ? 前 n 项的和 1 2
n

.解:由题可知,{ 设Sn ?
1 2 Sn ?

2 2 2 2n 2
n

}的通项是等差数列{2n}的通项与等比数列{
4 2
2

}的通项之积

2 2 2
2
2

?
?

?
?

6 2
3

? ??? ?
? ??? ?

2n 2
n

?????????????① ????②
? 2 2
4

4 2
3

6 2
4

2n 2
n ?1

①-②得 (1 ? ∴

1 2

)S n ?

2 2

?

2 2
2

?

2 2
3

? ????

2 2
n

?

2n 2
n ?1

? 2? 2

1
n ?1

?

2n 2
n ?1

Sn ? 4 ?

n? 2 2
n ?1

三、倒序相加法求和

这是推导等差数列的前 n 项和公式时所用的方法,就是将一个数列倒过来排列(反序) , 再把它与原数列相加,就可以得到 n 个 ( a 1 ? a n ) . [例 6] 求 sin 1 ? sin 2 ? sin 3 ? ? ? ? ? sin 88 ? sin 89 的值
2 2 2 2 2 ? ? ? ? ?

解:设 S ? sin 1 ? sin
2 2

?

2

2 ? sin
?

?

2

3 ? ? ? ? ? sin
?

?

2

88 ? sin
2 ?

?

2

89 ???? ① 2 ? sin 1 ??②
2 ? ?

?

将①式右边反序得: S ? sin 89 ? sin 88 ? ? ? ? ? sin 3 ? sin
2

2

又因为 sin x ? cos( 90 ? x ), sin
2 ? 2 ? 2 ?

?

2

x ? cos
2 ?

2

x ?1
2 ? 2 ?

①+②: 2 S ? (sin 1 ? cos 1 ) ? (sin 2 ? cos 2 ) ? ? ? ? ? (sin 89 ? cos 89 ) =89 ∴ S=44.5 四、分组法求和 有一类数列,既不是等差数列,也不是等比数列,若将这类数列适当拆开,可分为几个 等差、等比或常见的数列,然后分别求和,再将其合并即可. [例 7] 求数列的前 n 项和: 1 ? 1, 解:设 S n ? (1 ? 1) ? (
1 a 1 1 a ? 4) ? ( 1 a
2

? 4,

1 a
2

? 7 ,? ? ?, a

1
n ?1

? 3 n ? 2 ,? 1 ? 3n ? 2)

? 7) ? ? ? ? ? ( a

n ?1

将其每一项拆开再重新组合得
S n ? (1 ? 1 a ? 1 a
2

? ??? ?

当 a=1 时, S n ? n ?
1?

) ? (1 ? 4 ? 7 ? ? ? ? ? 3 n ? 2 ) (分组) n ?1 a ( 3 n ? 1) n ( 3 n ? 1) n



(分组求和)

2

2
1? n

1
n a ? ( 3 n ? 1) n = a ? a 1 a ?1 2

当 a ? 1 时, S n ?
1?

?

( 3 n ? 1) n 2

a

[例 8] 求数列{n(n+1)(2n+1)}的前 n 项和. 解:设 a k ? k ( k ? 1)( 2 k ? 1) ? 2 k ? 3 k ? k
3 2



Sn ?

? k ( k ? 1)( 2 k ? 1) = ? ( 2 k
k ?1 k ?1

n

n

3

? 3k ? k )
2

将其每一项拆开再重新组合得: Sn= 2 ? k ? 3 ? k ?
3 2 k ?1 k ?1 n n

?

n

k = 2 (1 ? 2 ? ? ? ? ? n ) ? 3 (1 ? 2 ? ? ? ? ? n ) ? (1 ? 2 ? ? ? ? ? n )
3 3 3 2 2 2

k ?1

= 五、裂项法求和

n ( n ? 1)
2

2

?

n ( n ? 1)( 2 n ? 1) 2

?

n ( n ? 1) 2



n ( n ? 1) ( n ? 2 )
2

2

2

这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项(通 项)分解,然后重新组合,使之能消去一些项,最终达到求和的目的. 通项分解(裂项)如: (1) a n ? f ( n ? 1) ? f ( n ) (2)
sin 1
? ? ?

cos n cos( n ? 1)

? tan( n ? 1) ? tan n

?

?

(3) a n ?

1 n ( n ? 1) 1

?

1 n

?

1 n ?1 1

(4) a n ?

(2n)

2

( 2 n ? 1)( 2 n ? 1)

? 1?

1

2 2n ? 1

(

1

?

1 2n ? 1

)

(5) a n ?

n ( n ? 1)( n ? 2 )
1
n

?

2 n ( n ? 1)
1 2
n

[

1

?

1 ( n ? 1)( n ? 2 )
1 n?2
n ?1

]

an ?

n?2

n ( n ? 1) 2

?

?

2 ( n ? 1) ? n n ( n ? 1)

?

?

?

1 ( n ? 1) 2
n

,则 S n ? 1 ?

1 ( n ? 1) 2
n

[例 9] 求数列

1 1? 2

,

1 2 ? 1 3

,? ? ?,

1 n ? n ?1

,? ? ? 的前 n 项和.

解:设 a n ?

n ?

n ?1 1 2 ?

?

n ?1 ?

n ,则

Sn ?

1 1? 2

?

? ??? ? 3

1 n ? n ?1

= ( 2 ? 1) ? ( 3 ? = n ?1 ?1 [例 10] 在数列{an}中, a n ? 前 n 项的和. 解: ∵ an ? ∴ bn ?
1 n ?1
2 n n ?1 ? 2 2

2) ? ??? ? ( n ? 1 ?

n)

1 n ?1

?

2 n ?1

? ??? ?

n n ?1

,又 b n ?

2 a n ? a n ?1

,求数列{bn}的

?

2 n ?1
? 8(

? ??? ?
1 n ? 1

n n ?1
)

?

n 2

n ?1

∴数列{bn}的前 n 项和: S n ? 8[( 1 ? = 8 (1 ? =
1 cos 0 cos 1
? ?

1 2

)?(
1 )

1 2

?

1 3

)?(

1 3

?

1 4

) ? ??? ? (

1 n

?

1 n ?1

)]

n ?1

8n n ?1

[例 11] 求证:

?

1 cos 1 cos 2
? ?

? ????

1 cos 88 cos 89
? ?

?

cos 1
2

? ?

sin 1

解:设 S ?
sin 1
? ? ?

1 cos 0 cos 1
? ?

?

1 cos 1 cos 2
? ?

?

?

? ??? ?

1 cos 88 cos 89
? ?



cos n cos( n ? 1)

? tan( n ? 1) ? tan n

∴S ?

1
? ?

?

1
? ?

? ??? ?

1
? ?

cos 0 cos 1 cos 1 cos 2 cos 88 cos 89 1 ? ? ? ? ? ? ? ? {(tan 1 ? tan 0 ) ? (tan 2 ? tan 1 ) ? (tan 3 ? tan 2 ) ? [tan 89 ? tan 88 ]} = ? sin 1



1 sin 1
?

(tan 89 ? tan 0 ) =

?

?

1 sin 1
?

? cot 1 =

?

cos 1
2

? ?



原等式成立

sin 1

计算: 六、合并法求和 针对一些特殊的数列,将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质,因此,在求数列的 和时,可将这些项放在一起先求和,然后再求 Sn. [例 12] 求 cos1°+ cos2°+ cos3°+··+ cos178°+ cos179°的值. · 解:设 Sn= cos1°+ cos2°+ cos3°+··+ cos178°+ cos179° · ∵ cos n ? ? cos( 180 ? n )
? ? ?

(找特殊性质项)

∴Sn= (cos1°+ cos179°)+( cos2°+ cos178°)+ (cos3°+ cos177°) +··+(cos89°+ cos91°)+ cos90°= 0 (合并求和) · [例 13] 数列{an}: a 1 ? 1, a 2 ? 3 , a 3 ? 2 , a n ? 2 ? a n ? 1 ? a n ,求 S2002. 解:设 S2002= a 1 ? a 2 ? a 3 ? ? ? ? ? a 2002 由 a 1 ? 1, a 2 ? 3 , a 3 ? 2 , a n ? 2 ? a n ? 1 ? a n 可得
a 4 ? ? 1, a 5 ? ? 3 , a 6 ? ? 2 , a 7 ? 1, a 8 ? 3 , a 9 ? 2 , a 10 ? ? 1, a 11 ? ? 3 , a 12 ? ? 2 ,

?? a 6 k ?1 ? 1, a 6 k ? 2 ? 3, a 6 k ? 3 ? 2 , a 6 k ? 4 ? ? 1, a 6 k ? 5 ? ? 3, a 6 k ? 6 ? ? 2 ∵ a 6 k ?1 ? a 6 k ? 2 ? a 6 k ? 3 ? a 6 k ? 4 ? a 6 k ? 5 ? a 6 k ? 6 ? 0 ∴ S2002= a 1 ? a 2 ? a 3 ? ? ? ? ? a 2002 =

( a 1 ? a 2 ? a 3 ? ? ? ?a 6 ) ? ( a 7 ? a 8 ? ? ? ?a 12 ) ? ? ? ? ? ( a 6 k ? 1 ? a 6 k ? 2 ? ? ? ? ? a 6 k ? 6 ) ? ? ? ? ? ( a 1993 ? a 1994 ? ? ? ? ? a 1998 ) ? a 1999 ? a 2000 ? a 2001 ? a 2002

=

a 1999 ? a 2000 ? a 2001 ? a 2002



a 6 k ? 1 ? a 6 k ? 2 ? a 6 k ? 3 ? a 6 k ? 4 =5

[例 14] 在各项均为正数的等比数列中,若 a 5 a 6 ? 9 , 求 log 3 a 1 ? log 3 a 2 ? ? ? ? ? log 3 a 10 的值。 解:设 S n ? log 3 a 1 ? log 3 a 2 ? ? ? ? ? log 3 a 10 由等比数列的性质
log M ? log N ? log M ?N

m ? n ? p ? q ? am an ? a paq 和 对 数 的 运 算 性 质

a

a

a

得:
a 2 ? log a 9 ) ? ? ? ? ? (log 9 ? log a 5 ? log a6 ) 9 =10

S n ? (log

3

a 1 ? log

3

a 10 ) ? (log

3

3

3

3

= (log

3

a 1 ? a 10 ) ? (log

3

a 2 ? a 9 ) ? ? ? ? ? (log

3

a 5 ? a 6 ) = log

3

3

9 ? ? ? ? ? log

3

七、利用数列的通项求和 先根据数列的结构及特征进行分析,找出数列的通项及其特征,然后再利用数列的通项 揭示的规律来求数列的前 n 项和,是一个重要的方法. [例 15] 求 1 ? 11 ? 111 ? ? ? ? ? 111 ? ? 之和. ?? ? ? 1
n个 1

解:由于 111 ? ?? ? ?? ?1
k个 1

1 9

? 999 ? ? 9 ? ? ?? ?? ?
k个 1

1 9

(10

k

? 1)

∴ 1 ? 11 ? 111 ? ? ? ? ? 111 ? ? ?? ? ? 1
n个 1



1 9

(10 ? 1) ?
1

1 9

(10

2

? 1) ?

1 9

(10

3

? 1) ? ? ? ? ?

1 9

(10

n

? 1)



1 9

(10 ? 10 ? 10 ? ? ? ? ? 10 ) ?
1 2 3 n

1 9

(1 ? ?? 1 ?? ? ? 1) ? 1 ?? ? ? ? ?
n个 1



1 10 (10 ? 1) n 1 n ?1 ? ? = (10 ? 10 ? 9 n ) 9 10 ? 1 9 81
n

练习:求 5 ? 55 ? 555 ? ? ? ? ? 555 ?? 5 之和 ? ?? ?? ?
n个 1
n个 ??? ??? 5 S n ? 5 ? 5 5 ? 5 5 5 ? ? ? 5 5 ? 5 ? (9 ? 9 9 ? 9 9 9 ? ? ? 9 9 ? 9 ) 9 5 2 3 n ? [(1 0 ? 1) ? (1 0 ? 1) ? (1 0 ? 1) ? ? ? (1 0 ? 1)] 9 5 50 5 2 3 n n ? [1 0 ? 1 0 ? 1 0 ? ? ? 1 0 ? n ] ? (1 0 ? 1) ? n . 9 81 9
n个

解:

[例 16] 已知数列{an}: a n ?

8 ( n ? 1)( n ? 3 )

, 求 ? ( n ? 1)( a n ? a n ? 1 ) 的值.
n ?1

?

解 : ∵ ( n ? 1)( a n ? a n ? 1 ) ? 8 ( n ? 1)[

1 ( n ? 1)( n ? 3 )
1 n ? 4

?

1 ( n ? 2 )( n ? 4 )
1 1 n ? 4

]



8 ?[

1 ( n ? 2 )( n ? 4 )

?

1 ( n ? 3 )( n ? 4 )
?

]



4?(

1 n ? 2

?

) ? 8(

n ?3

?

)

?

?

n ?1

( n ? 1)( a n ? a n ? 1 ) ? 4 ? (
n ?1

1 n?2

?

1 n?4

) ? 8? (
n ?1

?

1 n?3
1 4

?

1 n?4
13 3

)

=4 ?( ?
3

1

1 4

)?8?




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