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2012年朝阳二模理科数学


北京市朝阳区 2011-2012 学年度高三年级第二次综合练习

数学试卷(理工类)
第一部分( 第一部分(选择题 共 40 分)

2012.5

一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,选出 符合题目要求的一项. 1.已知全集 U = R ,集合 A = x 2 > 1 , B = x x ? 3 x ? 4 > 0 ,则 A I CU B =
x 2

{

}

{

}

A. x 0 ≤ x < 4

{

}

B. x 0 < x ≤ 4

{

}

C. x ? 1 ≤ x ≤ 0

{

}

D. x ? 1 ≤ x ≤ 4

{

}

2.复数 z 满足等式 (2 ? i) ? z = i ,则复数 z 在复平面内对应的点所在的象限是 A.第一象限 3.已知双曲线 的离心率为 B.第二象限 C.第三象限 D. 第四象限

x2 y 2 ? = 1 ( m > 0 )的右焦点与抛物线 y 2 = 12 x 的焦点相同,则此双曲线 m 5

3 2 3 3 C. D. 2 2 4 uuu r uuur uuu uuur r 3 4.在△ ABC 中, AB = 2 , AC = 3 , AB ? AC < 0 ,且△ ABC 的面积为 ,则 ∠BAC 2
A. 6 B. 等于 A. 60o 或 120o B. 120o C. 150o D. 30o 或 150o

5.在直角坐标系 xOy 中,直线 l 的参数方程为 ?

? x = t, ( t 为参数) .以原点 O 为极点, ?y = 4+t
π ) ,则直 4

以 x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C 的极坐标方程为 ρ = 4 2 sin(θ + 线 l 和曲线 C 的公共点有 A. 0 个 B. 1 个

C. 2 个

D.无数个

6.下列命题: p : 函数 f ( x ) = sin 4 x ? cos 4 x 的最小正周期是 π ;

1) , q:已知向量 a = (λ, , b = (- 1, λ 2 ) , c = ( ?11) ,则 (a + b) // c 的充要条件是 λ = ?1 ;
r :若 ∫
a

1

1 dx = 1 ( a > 1 ) a = e . ,则 x
B. p, q C. q , r D. p, r

其中所有的真命题是 A. r

7.直线 y = x 与函数 f ( x) = ?

?
2

2,

x > m, x≤m

? x + 4 x + 2,

的图象恰有三个公共点,则实数 m 的取

值 范围是 A. [ ?1, 2) B. [ ?1, 2] C. [2, +∞ ) D. (?∞, ?1]

8.有一个棱长为 1 的正方体,按任意方向正投影, 其投影面积的最大值是 A. 1 B.

3 2 2

C.

2

D.

3

第二部分(非选择题 共 110 分) 二部分(
二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. 把答案填在答题卡上. 9.二项式 ( ax +
2

1 x

)5 展开式中的常数项为 5 ,则实数 a =_______. .

10.执行如图所示的程序框图,输出的结果是____ ___. C

开始 x=1,y=1,z=2

z=x+y A E F 是 11. 若 实 数 x, y 满 足 ? 是 . O D B y=z x=y

? x ? y + 1 ≤ 0, 则 x2 + y 2 的 最 小 值 ? x ≤ 0,

z≤10 否 输出 z 结束

12. 如 图 , AB 是 圆 O 的 直 径 , CD ⊥ AB 于 D , 且

AD = 2 BD , E 为 AD 的中点,连接 CE 并延长交圆 O 于 F .若 CD = 2 ,则 AB = _______, EF = _________.
?

13. 一个工厂生产某种产品每年需要固定投资 100 万元,此外每生产 1 件该产品还需要增加 投资 1 万元,年产量为 x ( x ∈ N )件.当 x ≤ 20 时,年销售总收入为( 33 x ? x 2 )万 元; x > 20 时, 当 年销售总收入为 260 万元.记该工厂生产并销售这种产品所得的年利润 为 y 万元,则 y (万元)与 x (件)的函数关系式为 ,该工厂的年产量为 件时,所得年利润最 大.(年利润=年销售总收入 ? 年总投资) 14.在如图所示的数表中,第 i 行第 j 列的数记为 ai , j ,且满足 a1, j = 2
j ?1

, ai ,1 = i ,

ai +1, j +1 = ai , j + ai +1 , j (i, j ∈ N? ) ,则此数表中的

第 5 行第 3 列的数是

; 记第 3 行的

第1行 第2行 第3行 …

1 2 3

2 3 5

4 5 8 …

8 … 9 … 13 …

数 3,5,8,13,22, ??? 为数列 {bn } ,则数列

{bn } 的通项公式为

.

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出 文字说明,演算步骤或证明过程.把答案答在答题卡上. 15. (本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x ) = (Ⅰ)求 m 的值; (Ⅱ)在△ ABC 中,角 A , B ,C 的对边分别是 a ,b ,c .若 ccosB + bcosC = 2acosB , 求 f ( A) 的取值范围.

π 3 sin x cos x ? cos 2 x + m ( m ∈ R ) 的图象过点 M ( , 0) . 12

16. (本小题满分 13 分) 一个袋子中装有大小形状完全相同的编号分别为 1,2,3,4,5 的 5 个红球与编号为 1,2,3,4 的 4 个白球,从中任意取出 3 个球. (Ⅰ)求取出的 3 个球颜色相同且编号是三个连续整数的概率; (Ⅱ)求取出的 3 个球中恰有 2 个球编号相同的概率; (Ⅲ)记 X 为取出的 3 个球中编号的最大值,求 X 的分布列与数学期望.
]

17. (本小题满分 14 分) 在如图所示的几何体中,四边形 ABCD 为正方形, EA ⊥ 平面 ABCD , EF//AB , AB = 4, AE = 2, EF = 1 . E 1 (Ⅰ)若点 M 在线段 AC 上,且满足 CM = CA , F

4

求证: EM// 平面 FBC ; (Ⅱ)求证: AF ⊥ 平面 EBC ; (Ⅲ)求二面角 A - FB - D 的余弦值. 18. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x ) = a ln x + B

A M C

D

2a 2 + x(a ≠ 0) . x

(Ⅰ)若曲线 y = f ( x ) 在点 (1, f (1)) 处的切线与直线 x ? 2 y = 0 垂直,求实数 a 的值; (Ⅱ)讨论函数 f ( x ) 的单调性; (Ⅲ)当 a ∈ ( ?∞, 0) 时,记函数 f ( x ) 的最小值为 g ( a ) ,求证: g ( a ) ≤

1 2 e . 2

19. (本小题满分 13 分) 在平面直角坐标系 xOy 中,已知点 A( ? 2, 0) , B ( 2, 0) , E 为动点,且直线 EA 与 直线 EB 的斜率之积为 ?

1 . 2

(Ⅰ)求动点 E 的轨迹 C 的方程; (Ⅱ)设过点 F (1, 0) 的直线 l 与曲线 C 相交于不同的两点 M , N .若点 P 在 y 轴上,且

PM = PN ,求点 P 的纵坐标的取值范围.
20. (本小题满分 13 分) 已知数列 An : a1 , a2 ,L , an ( n ∈ N* , n ≥ 2) 满足 a1 = a n = 0 ,且当 2 ≤ k ≤ n ( k ∈ N * ) 时 , (a k ? a k ?1 ) = 1 ,令 S ( An ) =
2

∑a .
i =1 i

n

(Ⅰ)写出 S ( A5 ) 的所有可能的值; (Ⅱ)求 S ( An ) 的最大值; (Ⅲ)是否存在数列 An ,使得 S ( An ) = 说明理由.

(n ? 3) 2 ?若存在,求出数列 An ;若不存在, 4

北京市朝阳区高三年级第二次综合练习

数学答案(理工类)
一、选择题: 题号 答案 二、填空题: 1 B 2
[XK]

2012.5

3 C

4 C

5 B

6 D

7 A

8 D

B

9.

1

10. 13

11.

1 2
16

12. 3 ,

2 3 3
n ?1

13. y = ?

?? x 2 + 32 x ? 100, 0 < x ≤ 20, x ∈ N* , x > 20, x ∈ N* ,

?160 ? x,

14. 16, an = 2 三、解答题:

+ n +1

15. (本小题满分 13 分) 解: (Ⅰ)由 f ( x ) = 因为点 M (

π 1 3 1 sin 2 x ? (cos 2 x + 1) + m = sin(2 x ? ) ? + m .……3 分 2 2 6 2

π , 0) 在函数 f ( x ) 的图象上, 12 π π 1 ? )? +m = 0, 所以 sin(2 ? 12 6 2 1 解得 m = . 2
(Ⅱ) 因为 ccosB + bcosC = 2acosB , 所以 sin C cos B + sin B cos C =2 sin A cos B , 所以 sin( B + C ) = 2 sin A cos B ,即 sin A = 2sin A cos B . 又因为 A ∈ (0, π) ,所以 sin A ≠ 0 ,所以 cos B = 又因为 B ∈ (0, π) ,所以 B =

……5 分

……7 分 ……8 分

1 . 2

π 2 , A+C = π . ……10 分 3 3 π π 7π π 1 2π 所以 0 < A < , ? < 2A ? < ,所以 sin(2 A ? ) ∈ (? ,1] .…12 分 3 6 6 6 6 2 1 所以 f ( A) 的取值范围是 (? ,1] . ……13 分 2

16. (本小题满分 13 分) 解: (Ⅰ)设“取出的 3 个球颜色相同且编号是三个连续整数”为事件 A,则

P( A) =

3+ 2 5 = . 84 C93
5 .…4 84

答:取出的 3 个球的编号恰好是 3 个连续的整数,且颜色相同的概率 为 分
[]

(Ⅱ)设“取出的 3 个球中恰有两个球编号相同”为事件 B,则

P( B) =

1 1 C4C7 28 1 = = . C93 84 3

答: 取出的 3 个球中恰有两个球编号相同的概率为 (Ⅲ)X 的取值为 2,3,4,5.

1 . 3

……8 分

P( X = 2) =

1 2 1 C2C2 + C22C2 1 C1C 2 + C 2C1 4 = , P( X = 3) = 2 4 3 2 4 = , 3 C9 C9 21 21

1 1 C2C62 + C22C6 3 P( X = 4) = = , 3 C9 7

C11C82 1 P( X = 5) = 3 = . C9 3

……11 分

所以 X 的分布列为 X P X 的数学期望 EX = 2 × 2 3 4 5

1 21

4 21

3 7

1 3
……13 分

1 4 3 1 85 + 3× + 4 × + 5× = . 21 21 7 3 21
E F

17. (本小题满分 14 分) 证明: (Ⅰ)过 M 作 MN ⊥ BC 于 N ,连结 FN ,

1 1 则 MN // AB ,又 CM = AC ,所以 MN = AB . 4 4 1 又 EF // AB 且 EF = AB , 4 所以 EF // MN ,且 EF = MN , 所以四边形 EFNM 为平行四边形, 所以 EM // FN . 又 FN ? 平面 FBC , EM ? 平面 FBC ,
……4 分 所以 EM// 平面 FBC . (Ⅱ)因为 EA ⊥ 平面 ABCD , AB ⊥ AD ,故 以 A 为原点, 建立如图所示的空间直角坐标系 A - xyz . 由已知可得 A(0, 0, 0), B(4,0,0), C (4, 4,0), D (0, 4,0),

A M B N C

D

z E F

E (0,0, 2), F (1, 0, 2) . uuu r uuu r uur 显然 AF = (1,0, 2), BC = (0, 4,0), EB = (4, 0, -2) .
B x

A M C

D

y

uuu uuu r r uuu uur r 则 AF ? BC = 0, AF ? EB = 0 , uuu uuu uuu uur r r r 所以 AF ⊥ BC , AF ⊥ EB .
即 AF ⊥ BC , AF ⊥ EB ,故 AF ⊥ 平面 EBC . (Ⅲ)因为 EF//AB ,所以 EF 与 AB 确定平面 EABF , uuu r uur uuu r 由已知得, BC = (0, 4,0), FB = (3,0, -2) , BD = (-4, 4,0) . 因为 EA ⊥ 平面 ABCD ,所以 EA ⊥ BC . 由已知可得 AB ⊥ BC 且 EA I AB = A , uuu r 所以 BC ⊥ 平面 ABF ,故 BC 是平面 ABF 的一个法向量. 设平面 DFB 的一个法向量是 n = ( x, y,z ) .

……9 分

uuu r ? n ? BD = 0, ? ?4 x + 4 y = 0, ? 由 ? uur 得? ? n ? FB = 0, ? 3 x ? 2 z = 0, ?

? y = x, ? 即? 3 ? z = 2 x, ?

令 x = 2 ,则 n = (2, 2,3) . uuu r uuu r BC ? n 2 17 所以 cos < BC , n >= uuu . = r 17 BC ? n 由题意知二面角 A - FB - D 锐角, 故二面角 A - FB - D 的余弦值为 18. (本小题满分 14 分) 解: (I) f ( x ) 的定义域为 {x | x > 0} .

2 17 . 17

……14 分

a 2a 2 f ′ ( x ) = ? 2 + 1( x > 0 ) . x x
根据题意,有 f ′ (1) = ?2 ,所以 2a 2 ? a ? 3 = 0 , 解得 a = ?1 或 a = (II) f ′ ( x ) =

3 . 2

……3 分

a 2a 2 x 2 + ax ? 2a 2 ( x ? a )( x + 2a ) ? 2 +1 = = ( x > 0) . x x x2 x2

(1)当 a > 0 时,因为 x > 0 , 由 f ′( x ) > 0 得 ( x ? a )( x + 2a ) > 0 ,解得 x > a ; 由 f ′( x ) < 0 得 ( x ? a )( x + 2a ) < 0 ,解得 0 < x < a .

所以函数 f ( x ) 在 ( a, +∞ ) 上单调递增,在 ( 0, a ) 上单调递减. (2)当 a < 0 时,因为 x > 0 , 由 f ′( x ) > 0 得 ( x ? a )( x + 2a ) > 0 ,解得 x > ?2a ; 由 f ′( x ) < 0 得 ( x ? a )( x + 2a ) < 0 ,解得 0 < x < ?2a . 所以函数 f ( x ) 在 ( 0, ?2a ) 上单调递减,在 ( ?2a, +∞ ) 上 单调递增. (III)由(Ⅱ)知,当 a ∈ ( ?∞, 0) 时,函数 f ( x ) 的最小值为 g ( a) , 且 g (a ) = f ( ?2a ) = a ln( ?2a ) + ……9 分

2a 2 ? 2a = a ln(?2a ) ? 3a . ?2 a

?2 ? 3 = ln(?2a ) ? 2 , ?2 a 1 令 g ′( a ) = 0 ,得 a = ? e 2 .www.xkb1.com 2 g ′(a ) = ln(?2a ) + a
K]

当 a 变化时, g ′ ( a ) , g ( a ) 的变化情况如下表:

a

1 (?∞, ? e 2 ) 2


1 ? e2 2
0

1 (? e 2 , 0) 2


g′( a ) g (a)

极大值

1 且是极大值点, 从而也是 g ( a ) 的最大值点. ? e2 是 g ( a) 在 ( ?∞, 0) 上的唯一极值点, 2 1 1 1 1 所以 g ( a )最大值 = g (? e 2 ) = ? e 2 ln[ ?2 × ( ? e 2 )] ? 3( ? e 2 ) 2 2 2 2 1 3 1 = ? e 2 ln e 2 + e 2 = e2 . 2 2 2 1 所以,当 a ∈ ( ?∞, 0) 时, g ( a ) ≤ e 2 成立. ……14 分 2
19. (本小题满分 13 分) 解: (Ⅰ)设动点 E 的坐标为 ( x, y ) ,依题意可知

y y 1 ? =? , 2 x+ 2 x? 2

整理得

x2 + y 2 = 1( x ≠ ± 2) . 2 x2 + y 2 = 1( x ≠ ± 2) . 2
………5 分

所以动点 E 的轨迹 C 的方程为

(II)当直线 l 的斜率不存在时,满足条件的点 P 的纵坐标为 0 . 当直线 l 的斜率存在时,设直线 l 的方程为 y = k ( x ? 1) . 将 y = k ( x ? 1) 代入

………6 分

x2 + y 2 = 1 并整理得, 2

(2k 2 + 1) x 2 ? 4k 2 x + 2k 2 ? 2 = 0 .

? = 8k 2 + 8 > 0 .

4k 2 2k 2 ? 2 设 M ( x1 , y1 ) , N ( x2 , y2 ) ,则 x1 + x2 = , x1 x2 = . 2k 2 + 1 2k 2 + 1
设 MN 的中点为 Q ,则 xQ =

2k 2 k , , yQ = k ( xQ ? 1) = ? 2 2 2k + 1 2k + 1
………9 分

所以 Q(

2k 2 k ,? 2 ) . 2 2k + 1 2k + 1

由题意可知 k ≠ 0 ,

1 2k 2 又直线 MN 的垂直平分线的方程为 y + = ? (x ? 2 ) . 2k 2 + 1 k 2k + 1 k
令 x = 0 解得 y P =

k 2k + 1
2

=

1 1 2k + k

.

.………10 分

当 k > 0 时,因为 2k +

1 1 2 ; ≥ 2 2 ,所以 0 < yP ≤ = k 4 2 2 1 1 2 . ≤ ?2 2 ,所以 0 > yP ≥ ? =? k 4 2 2
2 2 , ]. 4 4
.………12 分

当 k < 0 时,因为 2k +

综上所述,点 P 纵坐标的取值范围是 [ ? 20. (本小题满分 13 分)

.………13 分

解:(Ⅰ)由题设,满足条件的数列 A5 的所有可能情况有: (1) 0 ,1, 2 ,1, 0. 此时 S ( A5 ) = 4 ; (2) 0 ,1, 0 ,1, 0. 此时 S ( A5 ) = 2 ; (3) 0 ,1, 0 , ?1, 0. 此时 S ( A5 ) = 0 ; (4) 0 , ?1, ?2 , ?1, 0. 此时 S ( A5 ) = ?4 ; (5) 0 , ?1, 0 ,1, 0. 此时 S ( A5 ) = 0 ; (6) 0 , ?1, 0 , ?1, 0. 此时 S ( A5 ) = ?2 ; 所以, S ( A5 ) 的所有可能的值为: 4 , 2 , 0 , ?2 , ?4 . ……4 分

(Ⅱ)由 (a k ? a k ?1 ) = 1 ,
2

可设 ak ? ak ?1 = ck ?1 ,则 ck ?1 = 1 或 ck ?1 = ?1 ( 2 ≤ k ≤ n , k ∈ N* ) , 因为 an ? an ?1 = cn ?1 ,所以 an = an ?1 + cn ?1 = an ? 2 + cn ? 2 + cn ?1

= L = a1 + c1 + c2 + L + cn ? 2 + cn ?1 .
因为 a1 = a n = 0 ,所以 c1 + c2 + L + cn ?1 = 0 ,且 n 为奇数, c1 , c2 ,L , cn ?1 是由

n ?1 n ?1 个1和 个 ? 1 构成的数列.新课 标第 一网 2 2
所以 S ( An ) = c1 + (c1 + c2 ) + L + (c1 + c2 + L + cn ?1 )

= (n ? 1)c1 + (n ? 2)c2 + L + 2cn ? 2 + cn ?1 .
则当 c1 , c2 ,L , cn ?1 的前

n ?1 n ?1 项取 1 ,后 项取 ? 1 时 S ( An ) 最大, 2 2

n + 1 n ?1 (n ? 1) 2 此时 S ( An ) = ( n ? 1) + ( n ? 2) + L + . ?( + L + 2 + 1) = 2 2 4
证明如下: 假设 c1 , c2 ,L , cn ?1 的前

n ?1 项中恰有 t 项 cm1 , cm2 ,L cmt 取 ? 1 ,则 2 n ?1 n ?1 c1 , c2 ,L , cn ?1 的后 项中恰有 t 项 cn1 , cn2 ,L , cnt 取 1 ,其中 1 ≤ t ≤ , 2 2 n ?1 n ?1 , 1 ≤ mi ≤ < ni ≤ n ? 1 , i = 1, 2,L , t . 2 2

所以 S ( An ) = (n ? 1)c1 + (n ? 2)c2 + L +

n +1 n ?1 c n ?1 + c n +1 + L + 2cn ? 2 + cn ?1 2 2 2 2
xkb1.com

= (n ? 1) + (n ? 2) + L +

n + 1 n ?1 ?( + L + 2 + 1) 2 2

?2[(n ? m1 ) + (n ? m2 ) + L + (n ? mt )] +2[(n ? n1 ) + (n ? n2 ) + L + (n ? nt )]
t (n ? 1) 2 (n ? 1)2 . = ? 2∑ (ni ? mi ) < 4 4 i =1

(n ? 1) 2 . 所以 S ( An ) 的最大值为 4
(Ⅲ)由(Ⅱ)可知,如果 c1 , c2 ,L , cn ?1 的前

……9 分

n ?1 项中恰有 t 项 cm1 , cm2 ,L , cmt 取 2

? 1 , c1 , c2 ,L , cn ?1 的 后

n ?1 项 中 恰 有 t 项 cn1 , cn2 ,L , cnt 取 1 , 则 2

S ( An ) =

t t (n ? 1) 2 (n ? 3)2 ,则 n ? 2 = 2∑ ( ni ? mi ) , ? 2∑ (ni ? mi ) ,若 S ( An ) = 4 4 i =1 i =1 t

因为 n 是奇数,所以 n ? 2 是奇数,而 2

∑ (n ? m ) 是偶数,因此 不存在数列 A ,
i =1 i i
n

(n ? 3) 2 使得 S ( An ) = . 4

……13 分



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