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北京市通州区2016届高三一模数学理科试题


通州区 2016 年高三年级模拟考试(一)

数学(理)试卷
2016 年 4 月 本试卷共 4 页,150 分.考试时长 120 分钟.考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上 作答无效.考试结束后,将试卷和答题卡一并交回.

第Ⅰ卷(选择题 共 40 分)
一、选择题(共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题 目要求的一项. ) 1.复数

i 在复平面上对应的点位于 1? i

开始 k=1,S=1 否 是 S=S·2k k=2k
第 2 题图

A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2.右面的程序框图输出 S 的值为 A.16 B.32 C.64 D.128 3.若非空集合 A, B, C 满足 A ? B ? C ,且 A 不是 B 的子集,则“ x ? C ”是“ x ? A ”的 A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 4.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为 A.24 B.20+4 2 C.28 D.24+ 4 2
第 4 题图

k≤4

输出 S 结束

5.已知 ?an ? 是首项为 2 且公差不为 0 的等差数列,若 a1 , a3 , a6 成等比数列,则 ?an ? 的前

9 项和等于
A.26 B.30
1

C.36

D.40

?x ? 3y ? 4 ? 0 4 ? 6.若不等式组 ?3 x ? y ? 4 ? 0 所表示的平面区域被直线 y ? kx ? 分为面积相等的两部 3 ? x?0 ?
分,则 k 的值是 A.

3 7

B.

7 3

C.

3 4

D.

4 3

7.已知点 A ? 3,0 ? ,点 P 在抛物线 y 2 ? 4 x 上,过点 P 的直线与直线 x ? ?1 垂直相交于点

B , | PB |?| PA | ,则 cos ?APB 的值为
A.

1 2

B.

1 3

C. ?

1 2

D. ?

1 3

8.若定义域均为 D 的三个函数 f ? x ? , g ? x ? , h ? x ? 满足条件: ?x ? D ,点 x, g ?x ?

?

?

与点 x, h ? x ? 都关于点 x, f ? x ? 对称,则称 h ? x ? 是 g ? x ? 关于 f ? x ? 的“对称函数”.已知

?

?

?

?

g ? x ? ? 1 ? x 2 ,f ? x ? ? 3x ? b , 且 h? h ? x ? 是 g ? x ? 关于 f ? x ? 的“对称函数”, x
恒成立,则实数 b 的取值范围是

?x ? ? ?g

? 10 ? A. ??, ?

?

B. ? ? 10,10 ?

?

?

C. ? ?3,10 ?

?

?

?? D. ? 10, ?

?

第Ⅱ卷(非选择题 共 110 分)
二、填空题(共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. )
2 6 9. ( x ? ) 的展开式中含 x3 项的系数为______. (用数字作答)

1 x

?A ? 60? ,AC ? 1 , 10. 在△ ABC 中, △ ABC 的面积为 3 , 则 BC 的长为
11.如图,圆 O 的直径 AB ? 4 ,直线 CE 和圆 O 相切于点 C ,
B O A E C D



AD ⊥ CE 于 D ,若 ?ABC ? 30? ,则 AD 的长为______.
12.若 a , b , c 是单位向量,且 a ? b ? 0 ,则 ? a ? c ? ? ? b ? c ? 的 最大值为 .

第 11 题图

13 . 已 知 函 数 f ( x) ? log2 x . 若 0<b<a , 且 f (a) ? f (b) , 则 2a ? b 的 取 值 范 围 是 .

14. 图甲是应用分形几何学做出的一个分形规律图, 按照图甲所示的分形规律可得图乙所 示的一个树形图. ……………………………第 1 行 …………………第 2 行 ………… ……… ………第 3 行 ……………………………
2 第 14 题图





我们采用“坐标”来表示图乙各行中的白圈、黑圈的个数(横坐标表示白圈的个数,纵 坐标表示黑圈的个数) .比如第一行记为(0,1),第二行记为(1,2),第三行记为(4,5),照此下 去,第四行中白圈与黑圈的“坐标”为 ,第 n(n∈N*)行中白圈与黑圈的“坐标”为 ________. 三、解答题(共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程. ) 15. (本小题 13 分) 已知函数 f ( x) ? cos x ?sin x ? cos x ? . (Ⅰ)求函数 f ( x) 的最小正周期; (Ⅱ)当 x ? ? ?

? ? ?? 时,求函数 f ( x) 的最大值和最小值. , ? 4 4? ?

16. (本小题 13 分) 中国天气网 2016 年 3 月 4 日晚六时通过手机发 布的 3 月 5 日通州区天气预报的折线图(如图) ,其 中上面的折线代表可能出现的最高气温,下面的折 线代表可能出现的最低气温. (Ⅰ)指出最高气温与最低气温的相关性; (Ⅱ)比较最低气温与最高气温方差的大小(结 论不要求证明) ; (Ⅲ)在[8:00,23:00]内每个整点 时刻的温差(最 .. 高气温与最低气温的差) 依次记为 t1, t2, t3, …, t16, 求在连续两个时刻的温差中恰好有一个时刻的温差 不小于 3? 的概率. 17. (本小题 14 分)
第 16 题图

如图,在多面体 ABCD ? EF 中,四边形 ABCD 为正方形, EF ∥ AB , EF ? EA , AB ? 2 EF ? 2 , ?AED ? 90? , AE ? ED , H 为 AD 的中点. (Ⅰ)求证: EH ∥平面 FBD ; E F (Ⅱ)求证: EH ? 平面 ABCD ; (Ⅲ)在线段 BC 上是否存在一点 P ,使得二面 C D ? H 角 B -FD -P 的大小为 ?若存在求出 BP

3

A
第 17 题图

的长,若不存在请说明理由.

B

3

18. (本小题 13 分) 已知函数 f ( x) ? ( x ? x ? )e (a≠0).
2 ax

1 a

(Ⅰ)当 a ?

1 时,求函数 f ? x ? 的零点; 2 2 ? 0 对 x ? R 恒成立,求 a 的取值范围. a

(Ⅱ)求 f(x)的单调区间; (Ⅲ)当 a ? 0 时,若 f ( x) ?

19. (本小题 14 分) 已知椭圆 M : x 2 ? 2 y 2 ? 2 . (Ⅰ)求椭圆 M 的离心率; (Ⅱ)设 O 为坐标原点, A, B, C 为椭圆 M 上的三个动点,若四边形 OABC 为平行四边 形,判断 ?ABC 的面积是否为定值,并说明理由.

20. (本小题 13 分)

(Ⅰ)证明:若 ?an ? 是递增数列,则 ?an ? 不可能是等差数列; 个项的和;

? 已知数列 ?an ? 满足 a1 ? 1 , an?1 ? an ? pn ,其中 n ? N , p 是不为 1 的常数.

? (Ⅱ)证明:若 ?an ? 是递减的等比数列,则 ?an ? 中的每一项都大于其后任意 m m ? N

?

?

(Ⅲ)若 p ? 2 ,且 ?a2n?1? 是递增数列, ?a2 n ? 是递减数列,求数列 ?an ? 的通项公式.

4

通州区 2016 年高三年级模拟考试(一) 理科数学参考答案 2016 年 4 月 一、选择题(共 8 个小题,每小题 5 分,共 40 分) 1 A 2 D 3 A 4 B 5 C 6 B 7 D 8 D

二、填空题(共 6 个小题,每小题 5 分,共 30 分) 9.

20



10.

13 ;

11. 14. ?

1



12. 1 ? 2 ;

13.

? ?? ; ?3,

1314 ,? ,



3n -1 -1 3n -1 +1 , ) 2 2 .

三、解答题(共 6 个小题,共 80 分) 15. 解: (Ⅰ)因为 f ( x) ? cos x ?sin x ? cos x ?

1 1 ? sin 2 x ? ? cos 2 x ? 1? 2 2

??????????4 分

?

2 ? ?? 1 sin ? 2 x ? ? ? . ?????????????6 分 2 4? 2 ?
2? ?? . 2
?????????7 分

所以函数 f ( x) 的最小正周期 T ? (Ⅱ)当 x ? ? ?

? ? 3? ? ? ? ? ?? , ? 时, 2 x ? ? ? ? , ? , 4 ? 4 4? ? 4 4?
?
4 ?

??????8 分

所以当 2 x ? 当 2x ?

?
4

,即 x ?

?
4

时,函数 f ( x) 取得最大值 0 , ???10 分

?
4

??

?
2

,即 x ? ?

?
8

时,函数 f ( x) 取得最小值 ?

2 1 ? .????12 分 2 2

所以 f ? x ? 在 ? ?

2 1 ? ? ?? ? .?13 分 , ? 上的最大值和最小值分别为 0 和 ? 2 2 ? 4 4?

16. 解: (Ⅰ)最高气温与最低气温之间成正相关,即最高气温越高,相应地最低气温 也越高. ????????3 分 (Ⅱ)由图可以看出,最高气温曲线波动较小,因此最高气温方差小于最低气温方 差.???7 分 (Ⅲ)由图可得下表: 整点 时刻

8:00

9:00

10:00
5

11 :00

12:00

13:00

14:00

15:00

最高 气温 最低 气温 温差

10
4

11

12

13
10 3

13

13

13
12 1

12

2 3

6
5

8
4

10

6

2 3 1 2 3

11

1 3 2 1 3

10

2

2 3

整点 时刻 最高 气温 最低 气温 温差

16:00

17:00
12

18:00
10

19:00
8
4 4

20:00
6

21 :00
5

22:00
4

23:00
3
2 1

12
8

1 3

6
6

5
5

3
3

2

4

1 3

2 3 1 2 3

1 3 2 1 3 2

?????10 分 由表可知,连续两个整点时刻(基本事件)共有 15 个: 0 : , 10:00 ) 00: , 11 :00 ) ( 8:00 , 9:00 ) , (9 , (1 , :00 , 12:00 ) 20: , 13:00 ) 3 0: , 14:00 ) ( 11 , (1 , (1 , 5 0: , 16:00 ) 60: , 17:00 ) ( 14:00 , 15:00 ) , (1 , (1 , 17 : 00 18 : 00 1 8 0 : 19 : 00 1 9 0 : 20 : 00 ( , ) , ( , ) , ( , ) , :00 ) 1 0: , 22:00 ) 0: , 23 :00 ) ( 20:00 , 21 , (2 , (2 . 其中满足条件 “恰好有一个时刻的温差不小于 3? ”的事件(记为 A)共有 3 个: :00 , 12:00 ) 5 0: , 16:00 ) 0 0: , 21 :00 ) ( 11 , (1 , (2 . 所以在连续两个时刻的温差中恰好有一个时刻的温差不小于 3? 的概率

P ( A) ?

3 1 ? . 15 5

????????13 分

17.(Ⅰ)证明:连结 AC 交 BD 于 O ,连结 HO , FO . 因为四边形 ABCD 为正方形, 所以 O 是 BD 的中点, 又 H 是 AD 中点,

E

F

1 所以 OH / / AB , OH ? AB . 2 1 而 EF / / AB , EF ? AB , 2
所以 EF / / OH 且 EF ? OH , 所以四边形 EHOF 为平行四边形, 所以 EH / / FO ,

D H A O B

C

又因为 FO ? 平面 FBD , EH ? 平面 FBD ,
6

所以 EH / / 平面 FBD . (Ⅱ)证明:因为 AE ? ED , H 是 AD 的中点, 所以 EH ? AD . 因为 AB / / EF , EF ? EA , 所以 AB ? EA . 因为 AB ? AD , 所以 AB ? 平面 AED , 因为 EH ? 平面 AED , 所以 AB ? EH , 所以 EH ? 平面 ABCD . 9分 (Ⅲ) 解: HE, AD, OH 两两垂直, 如图. 建 立空间直角坐标系 H-xyz.则

???????????5 分

z

E

F

A(1, 0, 0) , D(?1, 0, 0) , F (0, 11 , ) O(0, 1, 0) , C (?1, 2, 0)
设点 P(m , 2, 0) ? 0 ? m ? 2? ,于是有

D H A x O B

C P y

???? ??? ? DF ? ?1,1,1? , FP ? ? m,1, ?1? .
设平面 PDF 的法向量 n ? ? x, y, z ? ,则

???? ? ?n ? DF ? 0, ? x ? y ? z ? 0, 即? ? ? ??? ? mx ? y ? z ? 0. ? ?n ? FP ? 0, 2 ?m ? 1 令 z ? 1 ,得 x ? ,y? . m ?1 m ?1
所以 n ? ?

? 2 ?m ? 1 ? , ,1? . ? m ?1 m ?1 ?

平面 BDF 的法向量 OA ? ?1, ?1,0 ? .

??? ?

??? ? 1 ? OA ? n 所以 cos ? ??? ,即 ? ? 2 3 OA ? n
所以 m ? ?1 .

? ? 1, 0? ? ? ?1,

2 ?m ? 1 ? , ,1? ? m ?1 m ?1 ?
2 2

? 2 ? ? ?m ? 1 ? 2? ? ? ?? ? ?1 ? m ?1 ? ? m ?1 ?



, 2, 0) ,与点 C 的坐标相同. 所以点 P 的坐标为 (?1
7

所以 BP ? BC ? 2 . 18.解:(Ⅰ)令 f ( x) ? 0 , 即 ( x ? x ?
2

????????14 分

1 ax )e ? 0 . a

??????1 分 ????????2 分

因为 e

ax

? 0 ,所以 x 2 ? x ?

1 ? 0. a

4 ,因为 a ? 0 ,所以 ? ? 0 . a 1 2 所以方程 x ? x ? ? 0 有两个不等实根: a ? ?1?

x1 ?

a ? a2 ? a a ? a2 ? a , x2 ? . 2a 2a

a ? a2 ? a a ? a2 ? a 所以函数 f ( x) 有且只有两个零点 x1 ? 和 x2 ? . ?3 分 2a 2a
(Ⅱ) f ? ? x ? ? a ? x ?

? ?

2? ax ? ? x ? 1? e . a?

???????4 分

令 f ?( x) ? 0 ,即 a ? x ? 当 a ? 0 时,列表得: x

? ?

2 2? ? ? x ? 1? ? 0 ,解得 x ? ? a 或 x ? 1 . a? 2 a 2 (? ,1) a
- 单调递减

??5 分

2 (??, ? ) a
+ 单调递增

?

1 0 极小值

(1, ??)
+ 单调递增

f ?( x ) f ( x)
分 当 a ? 0 时,

0 极大值

???????????6

(1)若 a ? ?2 ,则 ? x

2 ? 1 ,列表得 a 2 2 2 (??, ? ) ? (? ,1) a a a
- 单调递减 0 极小值 + 单调递增

1 0 极大值

(1, ??)
- 单调递减

f ?( x ) f ( x)

???????????7 分 (2) 若 ?2 ? a ? 0 ,则 ?

2 ? 1 ,列表得 a

8

x

? ??,1?
- 单调递减

1

2? ? ?1, ? ? a? ?
+ 单调递增

?

2 a

? 2 ? ? ? , ?? ? ? a ?
- 单调递减

f ?( x )
f ( x)

0 极小值

0 极大值

???????????8 分 综上,当 a ? 0 时, f ( x ) 单调递增区间为 (??, ? ) , (1, ??) ,单调递减区间为

2 a

2 (? ,1) ; a
当 a ? ?2 时, f ( x ) 单调递增区间为 (?

2 2 ,1) ,单调递减区间为 (??, ? ) , (1, ??) ; a a

当 ?2 ? a ? 0 时 , f ( x ) 单 调 递 增 区 间 为 ?1, ?

? ?

2? ? , 单 调 递 减 区 间 为 ? ??,1? , a?

? 2 ? ? ? , ?? ? . ? a ?
??????9 分 (Ⅲ)因为 a ? 0 ,所以当 x ? ? 所以 x ? x ?
2

2 2 时,有 x 2 ? 0 , ? x ? , a ? 0 , a a
??????10 分

1 ? 0 ,从而 f ? x ? ? 0 . a

2 1 a 时,由(Ⅱ)可知函数在 x ? 1 时取得极小值 f (1) ? ? e ? 0 . a a 1 a 所以, f ?1? ? ? e 为函数 f ? x ? 在 R 上的最小值. ???????11 分 a 2 由题意,不等式 f ( x) ? ? 0 对 x ? R 恒成立, a 1 a 2 所以得 ? e ? ? 0 ,解得 0 ? a ? ln 2 . a a
当x?? 所以 a 的取值范围是 ? 0,ln 2? . ???????????13 分

x2 ? y2 ? 1 19. 解: (Ⅰ)椭圆 M 的标准方程为: 2 所以 a ? 2 , b ? 1 , c ? 1 . c 2 所以椭圆 M 的离心率 e ? ? . a 2

????4 分

(Ⅱ)①若 B 是椭圆的右顶点(左顶点一样) ,此时 AC 垂直平分 OB .

9

所以 A(

2 3 2 3 , ) , C( , ? ) , B( 2,0) . 2 2 2 2

AC ? 3 , OB ? 2
1 1 ? ? 6 AC ? OB ? ? 3 ? ? 2= .??6 分 2 2 2 2 4 ②若 B 不是椭圆的左、右顶点,设 AC : y ? kx ? m(m ? 0) ,
所以 ?OAC 的面积 S ?OAC ?

A( x1, y1 ), C( x2 , y2 ) ,
? y ? kx ? m, 由? 2 得 2 ?x ? 2 y ? 2
y B D O C x

A

(2k 2 ? 1) x2 ? 4kmx ? 2m2 ? 2 ? 0 ,
? ? 16k 2 m 2 ? 4 ? 2k 2 ? 1?? 2m 2 ?2 ? ? 0 ,
x1 ? x2 ? ?
y1 ? y2 ?

2m 2 ? 2 4km x x ? , , 1 2 2k 2 ? 1 2k 2 ? 1

2m .????????9 分 2k 2 ? 1 因为四边形 OABC 为平行四边形,
所以 OB ? OA ? OC ? ? x1 ? x2 , y1 ? y2 ? ? ? ?

??? ?

??? ? ??? ?

2m ? ? 4km , 2 ?. 2 ? 2k ? 1 2k ? 1 ?

所以 B ? ?

2m ? ? 4km , 2 ?, 2 ? 2k ? 1 2k ? 1 ?
???????10 分

代入椭圆方程,化简得 2k 2 ? 1 ? 4m2 . 因为 AC ?

? x1 ? x2 ? ? ? y1 ? y2 ?
2

2

? 1 ? k 2 ( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2

?

1? k

2

2 2 ? 4km ? 4 ? 2m ? 2 ? ?? 2 ? 2k 2 ? 1 ? 2k ? 1 ?

2 2 1 ? k 2 2k 2 ? 1 ? m 2 ? 2k 2 ? 1
= 6 1? k 2 . 2m
???????11 分

10

点 O 到 AC 的距离 d ?

m 1? k 2

.

???????12 分

所以 ?OAC 的面积 S ?OAC ?

m ? 6 1? k 2 6 ? ? ? . AC ? d ? ? 2 2 2m 4 2 1? k

综上, ?OAC 的面积为定值

6 . 4

???????????13 分

因为 ?OAC 的面积等于 ?ABC 的面积, 所以 ?ABC 的面积为定值

6 . 4

????????????????14 分 ??1 分

20. 解:(Ⅰ)因为 ?an ? 是递增数列,所以 an?1 ? an ? an?1 ? an ? pn . 由于 a1 ? 1 ,所以 a2 ? p ? 1 , a3 ? p2 ? p ? 1. 假设数列 ?an ? 是等差数列,那么 a1 , a2 , a3 成等差数列. 所以 2a2 ? a1 ? a3 ,因而 p 2 ? p ? 0 ,解得 p ? 1 或 p ? 0 . 所以数列 ?an ? 不可能是等差数列.

?????2 分

由已知 p ? 1 , 当 p ? 0 ,an?1 ? an , 这与 ?an ? 是递增数列矛盾, 故 p 的值不存在. ??????????3 分 (Ⅱ) 因为 ?an ? 是递减数列,所以 an ? an?1 ? an?1 ? an ? pn .
2 因为 a1 ? 1 ,所以 a2 ? 1 ? p , a3 ? 1 ? p ? p .

因为数列 ?an ? 是等比数列,

所以 (1 ? p)2 ? 1 ? p ? p2 ,得 p ? 则 a2 ?

1 或 p ? 0 (舍去). 2
????4 分

1 1 n ?1 1 ,公比 q ? ,故 an ? ( ) . 2 2 2
n?1 n n? 2 n2 n? m

设 n ? n1 ? n2 ? … ? nm ,那么 n ? 1 ? n1 , n ? 2 ? n2 ,… , n ? m ? nm ( m ? 1 ) .

?1? 因为 ? ? ?2?

1 ?1? ?1? ? ? ? ,? ? ?2? ?2?

?1? ?1? ? ? ? , …, ? ? ?2? ? 2?
n n?1

?1? ?? ? , ? 2?
n?m

nm

所以 ? ? ? ? ? ? … ? ? ?
n?1 n?2

?1? ?2?

n1

?1? ? 2?

n2

m ?1? ?1? ?? ? ? 2? ? 2?

?1? ?? ? ? 2?
n?1

n? 2

?1? ? …? ? ? ? 2?

.???5 分

1 n m 1 ? ( )m ?1? ? 2 ??1? ? ? 1 ? ? ? ? ? ? ? 6分 1 ? 2? ? ? ? 2? ? ? 1? 2 n m n ?1 m?1 n m ? 1 ? ? ? 1 ? ? ? 1 ? ?1 ? 1 ? ? ?1? ? ?1? ? 而 an ? ? ? ?1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 0 ,即 an ? ? ? ?1 ? ? ? ? , ?2? ? ?2? ? ? ?2? ? ? ?2? ? ?2 ? 2 ? ? ? ? ?2? ? ? ?1? 因为 ? ? ?2? ?1? ?? ? ?2? ?1? ?…? ? ? ?2?
n? m

?1? ?? ? ? 2?

11

所以 ? ?

即:数列 ?an ? 中的每一项大于其后任意 m(m ? N ? ) 个项的和. ?????7 分 (Ⅲ)由于 ?a2n?1? 是递增数列,所以 a2n?1 ? a2 n?1 ? 0 , 所以 a2n?1 ? a2n ? a2n ? a2n?1 ? 0 . 因为 2
2n

?1? ?2?

n?1

?1? ?? ? ? 2?

n? 2

?1? ? …? ? ? ? 2?

n? m

? an .

① ②
2n

?2

2 n?1

,所以 a2n?1 ? a2n ? a2n ? a2n?1 .

2n 由①②知, a2n?1 ? a2 n ? 0 ,因此 a2 n?1 ? a2 n ? 2 ? ? ?2 ? .

③?9 分

因为 ?a2 n ? 是递减数列,同理得, a2n ? a2n?1 ? 0 ,
2 n ?1 ? ? ?2 ? 故 a2 n ? a2 n?1 ? ?2 2 n ?1

.

④ ??????11 分

由③④可知, an?1 ? an ? ? ?2 ? .
n

因此 an ? a1 ? ? a2 ? a1 ? ? ? a3 ? a2 ? ? ?? ? an ? an?1 ?

? 1 ? ? ?2 ? ? ? ?2 ? ? ? ? ? ?2 ?
2

n ?1

n 1? ?1 ? ? ?2 ? ? 1 ? ? ?2 ?n 1 ? ?2 ?n ? ?? . ? ? ? 1 ? ? ?2 ? 3 3 3

所以数列 ?an ? 的通项公式为 an ?

1 ? ?2 ? ? n ? N ? ? . ??????13 分 ? 3 3
n

12


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北京市朝阳区2016届高三一模数学理科试题

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2016年北京市通州区高考数学一模试卷(理科)(解析版)

2016 年北京市通州区高考数学一模试卷(理科)参考答案与试题解析 一、选择题(共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题 目要...


2016通州理科数学高三一模

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北京市通州区2015届高三一模数学理试题

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