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【志鸿优化设计-赢在课堂】(人教)2015高中数学必修5【精品课件】1-2应用举例-1


1.2 应用举例

第 1 课时

解三角形的实际应用举例

第1课时
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解三角形的实际应用举例

课前预习导学
KEQIAN YUXI DAOXUE

课堂合作探究
KETANG HEZUO TANJIU

预习引导

学习目 标

1.熟记正弦定理、余弦定理、余弦定理的推论、三角形面积公式; 2.会用正弦定理、余弦定理及有关结论求解距离、角度、高度等问 题. 重点:解三角形在实际中的应用; 难点:把实际问题中的条件和所求转化为三角形中的已知和未知的 边角,建立数学模型求解.

重点难 点

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预习引导

测量中的有关概念、名词、术语
名 词、 术语 在同一垂直平面内的目标视线与水平线所成 的角.其中目标视线在水平线上方的角叫做仰 角,目标视线在水平线下方的角叫做俯角.巧 记:上仰下俯 意义 图示

仰角 与 俯角

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预习引导

坡角

坡面与水平面的夹角

坡比

坡面的竖直高度与水平宽度的比

坡角 α 坡比 i= =tan α
l h

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预习引导

方位 角

是指从正北方向顺时针转到目标方向所成 的水平角 B 点位置的方位角为 α

方向 角

从指定方向到目标方向线所成的小于 90° 的 水平角

南偏西 60°

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预习引导

预习交流
应用正弦定理、余弦定理解斜三角形应用题的一般步骤及基本思 路是怎样的? 提示:(1)一般步骤 ①分析,理解题意,分清已知与未知,画出示意图; ②建模:根据已知条件与求解目标,把已知量与求解量尽量集中在 有关的三角形中,建立一个解斜三角形的数学模型; ③求解:利用正弦定理或余弦定理有序地解三角形,求得数学模型 的解; ④检验:检验上述所求的解是否具有实际意义,从而得出实际问题 的解.

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预习引导

(2)基本思路

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当堂检测

一、测量距离的问题 活动与探究
1.如图,A,B 两点之间不可到达,在点 A 的一侧,需要测出哪些量,可求 出 A,B 两点间的距离?

提示:可在点 A 的同侧选一点 C,构造△ABC,测出 AC 的长及∠BAC 与∠ACB 的大小,然后用正弦定理求解.

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2.如图,A,B 两点都在河的对岸,不可到达,结合图象,需要测出哪些 量,可以求出 A,B 两点间的距离?

提示:在河岸选定两点 C,D,测量出 CD=a,测出角 α,β,γ,δ,利用正弦 定理求出 AC,BC,再利用余弦定理求 AB.

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当堂检测

例 1 在某次反恐军事演习中,为了准确分析形势,甲方在地 面上选取相距 3 km 的 C,D 两点,以测出对方两目标 A 和 B 的距离,经 测量得:∠ACB=75° ,∠BCD=45° ,∠ADC=30° ,∠ADB=45° ,试求出 A,B 之 间的距离. 思路分析:先在△ACD 中求出 AC,再在△BCD 中求出 BC,最后在 △ACB 中求出 AB.

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问题导学

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当堂检测

解:在△ACD 中,∵ ∠ADC=30° ,∠ACD=120° ,∴ ∠CAD=30° .∴ AC=CD= 3.在△BDC 中, ∵ ∠CBD=180° -45° -(45° +30° )=60° , ∴ BC=
sin∠ sin∠

=

3sin75° sin60 °

=

6+ 2 . 2

在△ACB 中,由余弦定理,可得 AB2=AC2+BC2-2AC· BC· cos∠BCA, ∴ AB =( 3) +
2 2

6+ 2 2

2

-2× 3 ×

6+ 2 ×cos 2

75° =5.∴ AB= 5.

故两目标 A,B 间的距离为 5 km.

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迁移与应用 1.海事救护船 A 在基地的北偏东 60° ,与基地相距 100 3 n mile,渔 船 B 被困海面,已知 B 距离基地 100 n mile,而且在救护船 A 正西方,则渔 船 B 与救护船 A 的距离是( A.100 n mile B.200 n mile C.100 n mile 或 200 n mile D.100 3 n mile 答案:C ).

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解析:如图,设基地位于 O 处,由题意知∠ BAO=30° ,BO=100,OA=100 3,则在△ABO 中, 由余弦定理得 BO2=BA2+AO2-2BA· AOcos∠BAO,即 BA2-300BA+20 000=0,解得 BA=100 或 BA=200,即渔船 B 与救护船 A 的距离是 100 n mile 或 200 n mile.

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2.如图,A,B,C,D 都在同一个与水平面垂直 的平面内,B,D 为两岛上的两座灯塔的塔顶.测 量船于水面 A 处测得 B 点和 D 点的仰角分别为 75° ,30° ;于水面 C 处测得 B 点和 D 点的仰角均 为 60° ,AC=0.1 km.试探究图中 B,D 两点间距离 与另外哪两点间距离相等,然后求 B,D 两点间的 距离(计算结果精确到 0.01 km, 2≈1.414, 6≈2.449).

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解:在△ACD 中,∵ ∠DAC=30° ,∠ADC=60° -∠DAC=30° , ∴ CD=AC=0.1.∵ ∠BCD=180° -60° -60° =60° , ∴ CB 是△CAD 底边 AD 的中垂线.∴ BD=BA. 在△ABC 中,sin∠ = sin∠ ,即 AB= BD=
3 2+ 6 ≈0.33(km). 20 sin60° sin15 °

=

3 2+ 6 ,∴ 20

故 B,D 两点间的距离约为 0.33 km.

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(1)测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题, 一般可转化为已知两个角和一条边解三角形的问题,从而运用正弦定 理去解决. (2)测量两个不可到达的点之间的距离问题,一般是把求距离问题 转化为应用余弦定理求三角形的边长的问题.然后把求未知的另外边 长问题转化为只有一点不能到达的两点距离的测量问题,然后运用正 弦定理解决.

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二、测量高度的问题 活动与探究
1.如图,对于底部不可到达的建筑物 AB,如何测量 AB 的高度?

提示:选一条过建筑物底部点 B 的基线 CD,测出 CD 长为 a,测出角 α,β,先解△ADC 求出 AC 长,再解△ABC 求出 AB.

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2.归纳解决测量高度问题的一般步骤. 提示:(1)根据已知条件画出示意图. (2)构造与问题有关的三角形. (3)运用正弦定理、余弦定理解相关三角形.

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例 2 为测量学校操场边上一建筑物的高度,李明在学校操 场的某一直线上选择 A,B,C 三点,AB=BC=60 m,且在 A,B,C 三点观察建 筑物的最高点,测得仰角分别为 45° ,54.2° ,60° .已知李明身高 1.5 m,试求 该建筑物的高度.(结果保留一位小数)

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解:根据题意画出示意图如下图,设 DE=x,则 h=x+1.5.

在 Rt△AED,Rt△BED,Rt△CED 中, AE=DE=x,BE=tan54.2° = tan54.2° ,CE=tan60° =
3 x. 3

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在△BEC 和△ACE 中,由余弦定理,得
2 +C2 -B2 cos∠BCE= 2·
2 60 + 3 - tan54.2° 即 3 2×60× 3 x 2 2

=

2 +C2 -A2 , 2·

=

120 + 3 -2 . 2×120× 3 x
3

2 2

解得 x≈156.76(m),h=x+1.5≈158.3(m). 故建筑物的高度大约是 158.3 m.

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迁移与应用 1.2014 年南京青奥会开幕式现场举行升旗仪式,在坡度 15° 的看台 上,同一列上的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为 60° 和 30° ,第一排和最后一排的距离为 10 6 m,则旗杆的高度为( A.10 m 答案:B B.30 m C.10 3 m D.10 6 m ).

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解析:如图所示,由题意知∠AEC=45° ,∠ACE=180° -60° -15° =105° , 则∠EAC=180° -45° -105° =30° ,

由正弦定理知
sin∠

=

, sin∠

则 AC=

· sin∠ =20 sin∠

3(m),

于是在 Rt△ABC 中,AB=AC· sin∠ACB=30(m).故旗杆的高度为 30 m.

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2.A,B 是海平面上的两个点,相距 800 m,在 A 点测得山顶 C 的仰角 为 45° ,∠BAD=120° ,又在 B 点测得∠ABD=45° ,其中 D 是点 C 到水平面 的垂足,求山高 CD.

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解:在△ABD 中,∠BDA=180° -45° -120° =15° ,由sin15° = sin45° ,得
· sin45 ° AD= sin15 °





=

800× 2
6- 2 4

2

=800( 3+1)(m).

∵ CD⊥平面 ABD,∠CAD=45° ,∴ CD=AD=800( 3+1) m. 答山高 CD 为 800( 3+1) m.

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测量高度时需在与地面垂直的竖直平面内构造三角形,依条件结 合正弦定理和余弦定理来解.解决测量高度的问题时,常出现仰角与俯 角,要清楚它们的区别及联系.测量底部不能到达的建筑物的高度问题, 需先构造两个三角形,再解直角三角形或斜三角形.

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三、测量角度的问题 活动与探究
解决测量角度问题的主要思路是什么? 提示:解决测量角度问题的主要思路是:从实际问题中抽象出一个 或几个三角形,确定所求的角在哪个三角形中,要求此角需先求出哪些 量,再求出所需的量,从而得到实际问题的解.

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例 3 当甲船位于 A 处时获悉,在其正东方向相距 20 n mile 的 B 处有一艘渔船遇险等待营救,甲船立即前往营救,同时把消息告知 在甲船的南偏西 30° ,相距 10 n mile C 处的乙船,乙船立即朝北偏东 θ 角 的方向沿直线前往 B 处救援,则 sin θ 的值等于( A.
21 7

).
5 7 14

B.

2 2

C.

3 2

D.

思路分析:作出位置示意图,标出有关角和线段的大小,再分析已知 量和未知量,利用正、余弦定理求解. 答案:D

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解析:根据题目条件可作图如图: 在△ABC 中,∵ AB=20,AC=10,∠ CAB=120° , 由余弦定理有 BC2=AB2+AC2-2AB· ACcos∠CAB=202+102-2×20×10cos 120° =700,∴ BC=10 7. 再由正弦定理得
sin∠

=

, sin∠

· sin ∠ 20×sin120 ° ∴ sin∠ACB= = 10 7

=

21 . 7

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又 0° <∠ACB<90° ,∴ cos∠ACB= ∴ sin θ=sin(30° +∠ACB)

2 7 . 7

=sin 30° cos∠ACB+cos 30° sin∠ACB =2 ×
1 2 7 7

+

3 2

×

21 7

=

5 7 . 14

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迁移与应用 1.甲船在 A 点发现乙船在北偏东 60° 的 B 处,乙船以 a n mile/h 的速 度向北行驶,已知甲船的速度是 3a n mile/h,问甲船应沿着什么方向前 进,才能最快与乙船相遇? 解:如图所示,设经过 t h 两船在 C 点相遇, 则 BC=at,AC= 3at,∠B=120° , 所以 sin α=
· sin

= 2.

1

因此 α=30° ,β=60° -30° =30° . 故甲船应沿着北偏东 30° 的方向前进,才能最快与乙船相遇.

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2.在海岸 A 处,发现北偏东 45° 方向,距离 A ( 3-1) n mile 的 B 处有 一艘走私船,在 A 处北偏西 75° 的方向,距离 A 2 n mile 的 C 处的缉私船 奉命以 10 3 n mile/h 的速度追截走私船.此时,走私船正以 10 n mile/h 的速度从 B 处向北偏东 30° 方向逃窜,问缉私船沿什么方向能最快追上 走私船?

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解:设缉私船用 t h 在 D 处追上走私船, 则有 CD=10 3t,BD=10t,

在△ABC 中,∵ AB= 3-1,AC=2,∠BAC=120° , ∴ 由余弦定理,得 BC2=AB2+AC2-2AB· ACcos∠ BAC=( 3-1)2+22-2×( 3-1)×2×cos 120° = 6. ∴ BC= 6.

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在△ABC 中,sin = sin∠ , sin∠ABC=
· sin





=

2×sin120° 6

=

2 ,∴ ∠ABC=45° .∴ ∠ 2

CBD=90° +30° =120° . 在△BCD 中,由正弦定理,得 sin∠BCD=
1 . 2 · sin ∠

=

10sin120° 10 3t

=

∴ ∠BCD=30° ,即缉私船沿东偏北 30° 方向能最快追上走私船.

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根据题意画出图形,将图形中的已知量与未知量转化为三角形的 边与角的关系,是解答这类问题的关键.建好数学模型后,用正弦定理、 余弦定理求解.

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1.如图,为了测量某障碍物两侧 A,B 间的距离,给定下列四组数据,测量 时应当用数据( ).

A.α,a,b 答案:C

B.α,β,a

C.a,b,γ

D.α,β,b

解析:因为 A,B 中间是障碍物,所以 α,β 无法测量,排除 A,B,D.

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2.在一幢 20 m 高的楼顶测得对面一塔吊顶的仰角为 60° ,塔基的俯角为 45° ,那么这座塔吊的高是( A.20 1 +
3 3

).

m

B.20(1+ 3)m D.20( 6 + 2)m

C.10( 6 + 2)m 答案:B

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解析:如图,在△ADE 中,AE=EC=20 m,

则 DE=20 3 m. 故 CD=DE+EC=(20 3+20)m.

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3.某人先向正东方向走了 x km,然后他向右转 150° ,向新的方向走了 3 km,结果他离出发点恰好为 3 km,那么 x 的值为( A. 3 答案:C 解析:如图,在△ABC 中,∠ABC=30° ,AB=x,BC=3,AC= 3, B.2 3 C.2 3或 3 D.3 ).

则由余弦定理得 AC2=AB2+BC2-2AB· BC· cos 30° , 即 3=x2+9-6x× ,于是 x2-3 3x+6=0,解得 x= 3或 x=2 3.
3 2

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4.海上有 A,B 两个小岛相距 10 n mile,从 A 岛望 C 岛和 B 岛成 60° 的视 角,从 B 岛望 C 岛和 A 岛成 75° 的视角,则 B,C 间的距离为 mile. 答案:5 6 解析:如图,∠ACB=180° -(75° +60° )=45° , 则 BC=
· sin sin45°

n

60° =

10
2 2

×

3 =5 2

6(n mile).

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5.某海岛周围 38 n mile 有暗礁,一轮船由西向东航行,初测此岛在北偏 东 60° 方向,航行 30 n mile 后测得此岛在东北方向,若不改变航向,则此 船 答案:无 触礁的危险(填“有”或“无”).

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解析:由题意,知在△ABC 中,AB=30 n mile,∠BAC=30° ,

∠ABC=135° ,则∠ACB=15° . 由正弦定理,得 BC=sin∠ · sin∠BAC=sin15 ° · sin 30° =
15
64



30

=15( 6 + 2).在 Rt△BDC 中,CD= 2 BC=15( 3+1)>38. 2

2

故该船无触礁的危险.


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