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山东省东营市2013年中考数学仿真试卷及答案(word解析版)


2013 年山东省东营市中考数学仿真试卷
一、选择题(本题共 12 个小题,每小题 3 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求) 1. 分)3 的倒数的相反数是( (3 ) A.﹣3 B.3 C. D.

考点: 倒数;相反数. 专题: 存在型. 分析: 先根据倒数的定义求出 3 的倒数,再由相反数的定义进行解答. 解答: 解:∵ =1, 3× ∴ 的倒数是 , 3 ∵ 与﹣ 只有符号不同, ∴ 的倒数是﹣ . 故选 D. 点评: 本题考查的是倒数及相反数的定义,熟知倒数及相反数的定义是解答此题的关键. 2. 分) (3 (2010?徐州)下列计算正确的是( 4 2 6 A.a +a =a B.2a?4a=8a ) C.a5÷a2=a3 D.(a ) =a
2 3 5

考点: 同底数幂的除法;同底数幂的乘法;幂的乘方与积的乘方. 分析: 根据同底数幂的除法,底数不变指数相减;合并同类项,系数相加字母和字母的指数不变;同底数 幂的乘法,底数不变指数相加;幂的乘方,底数不变指数相乘,对各选项分析判断后利用排除法求 解. 解答: 解:A、a4 与 a2 不是同类项,不能合并,故本选项错误; 2 B、应为 2a?4a=8a ,故本选项错误; 5 2 3 C、a ÷a =a ,正确; 2 3 6 D、应为(a ) =a ,故本选项错误. 故选 C. 点评: 本题考查同底数幂的除法,合并同类项,同底数幂的乘法,幂的乘方很容易混淆,一定要记准法则 才能做题. 3. 分) (3 (2012?鄂尔多斯)一个几何体的三视图如图所示,那么这个几何体是( )

A.

B.

C.

D.

考点: 由三视图判断几何体. 分析: 由主视图和左视图确定是柱体、锥体还是球体,再由俯视图确定具体形状. 解答: 解:由主视图和左视图都是长方形可得此几何体为柱体,根据俯视图为三角形可得此几何体为三棱 柱. 故选 C. 点评: 本题考查由三视图确定几何体的形状,主要考查学生空间想象能力.由三视图想象几何体的形状, 首先,应分别根据主视图、俯视图和左视图想象几何体的前面、上面和左侧面的形状,然后综合起 来考虑整体形状. 4. 分) (3 (2010?安徽)如图,直线 l1∥ ,∠ l2 1=55°,∠ 2=65°,则∠ 为( 3 )

A.50°

B.55°

C.60°

D.65°

考点: 平行线的性质;对顶角、邻补角;三角形内角和定理. 专题: 计算题. 分析: 先根据平行线的性质及对顶角相等求出∠ 所在三角形其余两角的度数,再根据三角形内角和定理即 3 可求出∠ 的度数. 3 解答: 解:如图所示:∵ ∥ ,∠ l1 l2 2=65°, ∴6=65°, ∠ ∵1=55°, ∠ ∴1=∠ ∠ 4=55°, 在△ ABC 中,∠ 6=65°,∠ 4=55°, ∴3=180°﹣65°﹣55°=60°. ∠ 故选 C.

点评: 本题重点考查了平行线的性质、对顶角相等及三角形内角和定理,是一道较为简单的题目. 5. 分)下列事件: (3 ① 在无水的干旱环境中,树木仍会生长; ② 打开数学课本时刚好翻到第 60 页; ③ 人中至少有两人的生日相同; 367 ④ 今年 14 岁的小亮一定是初中学生.

其中随机事件有( A.1 个

) B.2 个 C.3 个 D.4 个

考点: 随机事件. 分析: 随机事件就是可能发生也可能不发生的事件,根据定义即可判断. 解答: 解:① 是不可能事件,故选项错误; ② 是随机事件,故命题正确; ③ 是必然事件,故命题错误; ④ 是随机事件,故命题正确. 故选 B. 点评: 考查了随机事件,解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念.必然事件指在 一定条件下一定发生的事件.不可能事件是指在一定条件下,一定不发生的事件.不确定事件即随 机事件是指在一定条件下,可能发生也可能不发生的事件. 6. 分)如图,∠ (3 BDC=98°,∠ C=38°,∠ A=37°,∠ 的度数是( B )

A.33°

B.23°

C.27°

D.37°

考点: 三角形的外角性质. 分析: 延长 CD 交 AB 于 E, 根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式求出∠ 再利用三 1, 角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解. 解答: 解:如图,延长 CD 交 AB 于 E, ∵C=38°,∠ ∠ A=37°, ∴1=∠ A=38°+37°=75°, ∠ C+∠ ∵BDC=98°, ∠ ∴B=∠ ∠ BDC﹣∠ 1=98°﹣75°=23°. 故选 B.

点评: 本题考查了三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质,熟记性质是解题的关键. 7. 分) (3 (2010?连云港)今年 3 月份某周,我市每天的最高气温(单位:℃:12,9,10,6,11,12, ) 17,则这组数据的中位数与极差分别是( ) A.8,11 B.8,17 C.11,11 D.11,17 考点: 中位数;极差. 分析: 首先把所给数据按照由小到大的顺序排序,然后利用中位数和极差定义即可求出结果.

解答: 解:把已知数据按照由小到大的顺序排序后为 6、9、10、11、12、12、17, ∴ 这组数据的中位数是 11; 极差是 17﹣6=11. 故选 C. 点评: 此题主要这样考查了中位数和极差的定义,解题关键是把所给数据按照由小到大的顺序排序,然后 确定最大值和最小值. 8. 分) (3 (2010?天津)如图,⊙ 中,弦 AB、CD 相交于点 P,若∠ O A=30°,∠ APD=70°,则∠ 等于( B )

A.30°

B.35°

C.40°

D.50°

考点: 圆周角定理;三角形的外角性质. 分析: 欲求∠ 的度数,需求出同弧所对的圆周角∠ 的度数;△ B C APC 中,已知了∠ 及外角∠ A APD 的度数, 即可由三角形的外角性质求出∠ 的度数,由此得解. C 解答: 解:∵APD 是△ ∠ APC 的外角, ∴APD=∠ A; ∠ C+∠ ∵A=30°,∠ ∠ APD=70°, ∴C=∠ ∠ APD﹣∠ A=40°; ∴B=∠ ∠ C=40°; 故选 C. 点评: 此题主要考查了三角形的外角性质及圆周角定理的应用. 9. 分) (3 (2010?东莞)下列式子运算正确的是( A. B. ) C.

D.

考点: 分母有理化;二次根式的加减法. 专题: 压轴题. 分析: 根据二次根式的性质化简二次根式:

=|a|;

根据二次根式分母有理化的方法“同乘分母的有理化因式”,进行分母有理化; 二次根式的加减实质是合并同类二次根式. 解答: 解:A、 和 不是同类二次根式,不能计算,故此选项错误; B、 =2 ,故此选项错误; C、 D、 = ,故此选项错误; =2﹣ +2+ =4,故此选项正确.

故选 D. 点评: 此题考查了根据二次根式的性质进行化简以及二次根式的加减乘除运算,能够熟练进行二次根式的

分母有理化. 10. 分) (3 (2010?青岛)如图,△ ABC 的顶点坐标分别为 A(4,6) 、B(5,2) 、C(2,1) ,如果将△ ABC 绕点 C 按逆时针方向旋转 90°,得到△ B′ A′ C,那么点 A 的对应点 A′ 的坐标是( )

A.(﹣3,3)

B.(3,﹣3)

C.(﹣2,4)

D.(1,4)

考点: 坐标与图形变化-旋转. 专题: 压轴题. 分析: 根据题意画出图形,确定对应点的坐标. 解答: 解:△ B′ 的位置如图. A′ C

A′ (﹣3,3) .故选 A. 点评: 本题涉及图形旋转,体现了新课标的精神,抓住旋转的三要素:旋转中心 C,旋转方向逆时针,旋 转角度 90°,通过画图得 A′ 坐标. 11. 分)如图是小莹设计用手电来测量某古城墙高度的示意图.在点 P 处放一水平的平面镜,光线从点 (3 A 出发经平面镜反射后,刚好射到古城墙 CD 的顶端 C 处.已知 AB⊥ BD,CD⊥ BD.且测得 AB=1.4 米, P=2.1 米,PD=12 米.那么该古城墙 CD 的高度是( )

A.6 米

B.8 米

C.10 米

D.12 米

考点: 相似三角形的应用. 分析: 由光学知识反射角等于入射角不难分析得出∠ APB=∠ CPD,再由∠ ABP=∠ CDP=90°得到△ ABP∽CDP, △ 得到 = 代入数值求的 CD=8.

解答: 解:∵APB=∠ ∠ CPD,∠ ABP=∠ CDP,

∴ABP∽CDP △ △ ∴ = 即 =

解得:CD=8 米. 故选 B. 点评: 本题考查了直角三角形的有关知识,同时渗透光学中反射原理,注意到相似三角形,解决本题关键. 12. 分) (3 (2011?义乌)如图,△ ABC 和△ ADE 都是等腰直角三角形,∠ BAC=∠ DAE=90°,四边形 ACDE 是平行四边形,连接 CE 交 AD 于点 F,连接 BD 交 CE 于点 G,连接 BE.下列结论中: ① CE=BD; ②ADC 是等腰直角三角形; △ ③ADB=∠ ∠ AEB; ④ CD?AE=EF?CG; 一定正确的结论有( )

A.1 个

B.2 个

C.3 个

D.4 个

考点: 相似三角形的判定与性质;全等三角形的判定与性质;等腰直角三角形;平行四边形的性质. 专题: 压轴题. 分析: ① 利用 SAS 证明△ BAD≌CAE,可得到 CE=BD, △ ② 利用平行四边形的性质可得 AE=CD,再结合△ ADE 是等腰直角三角形可得到△ ADC 是等腰直角三 角形; ③ 利用 SAS 证明△ BAE≌BAD 可得到∠ △ ADB=∠ AEB; ④ 利用已知得出∠ GFD=∠ AFE,以及∠ GDF+∠ GFD=90°,得出∠ GCD=∠ AEF,进而得出△ CGD∽EAF,得 △ 出比例式. 解答: 解:①∠ ∵BAC=∠ DAE=90°, ∴BAC+∠ ∠ DAC=∠ DAE+∠ DAC, 即:∠ BAD=∠ CAE, ∵ABC 和△ △ ADE 都是等腰直角三角形, ∴ AB=AC,AE=AD, ∴BAD≌CAE(SAS) △ △ , ∴ CE=BD, ∴ 正确; 故① ②四边形 ACDE 是平行四边形, ∵ ∴EAD=∠ ∠ ADC=90°,AE=CD, ∵ADE 是等腰直角三角形, △ ∴ AE=AD, ∴ AD=CD, ∴ADC 是等腰直角三角形, △ ∴正确; ②

③△ ∵ADC 是等腰直角三角形, ∴CAD=45°, ∠ ∴BAD=90°+45°=135°, ∠ ∵EAD=∠ ∠ BAC=90°,∠ CAD=45°, ∴BAE=360°﹣90°﹣90°﹣45°=135°, ∠ 又 AB=AB,AD=AE, ∴BAE≌BAD(SAS) △ △ , ∴ADB=∠ ∠ AEB; 故③ 正确; ④△ ∵BAD≌CAE,△ △ BAE≌BAD, △ ∴CAE≌BAE, △ △ ∴BEA=∠ ∠ AEC=∠ BDA, ∵AEF+∠ ∠ AFE=90°, ∴AFE+∠ ∠ BEA=90°, ∵GFD=∠ ∠ AFE,∠ ADB=∠ AEB, ∴ADB+∠ ∠ GFD=90°, ∴CGD=90°, ∠ ∵FAE=90°,∠ ∠ GCD=∠ AEF, ∴CGD∽EAF, △ △ ∴ ,

∴ CD?AE=EF?CG. 故④ 正确, 故正确的有 4 个. 故选 D.

点评: 此题主要考查了全等三角形的判定及性质,以及相似三角形的判定,注意细心分析,熟练应用全等 三角形的判定以及相似三角形的判定是解决问题的关键. 二、填空题:本大题共 5 小题,共 20 分,只要求填写最后结果,每小题填对得 4 分. 2 2 2 13. 分) (4 (2012?香坊区一模)因式分解:2mx ﹣4mxy+2my = 2m(x﹣y) . 考点: 提公因式法与公式法的综合运用. 分析: 先提取公因式 2m,再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解. 解答: 解:2mx2﹣4mxy+2my2, 2 2 =2m(x ﹣2xy+y ) , 2 =2m(x﹣y) . 2 故答案为:2m(x﹣y) . 点评: 本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解,一个多项式有公因式首先提取公因式,然后再用 其他方法进行因式分解,同时因式分解要彻底,直到不能分解为止.

14. 分)写出不等式组 (4

的解集为 ﹣1≤x<3 .

考点: 解一元一次不等式组. 分析: 先求出每个不等式的解集,再确定其公共解,得到不等式组的解集 解答: 解:不等式① 的解集为 x<3, 不等式② 的解集为 x≥﹣1, 所以不等式组的解集为﹣1≤x<3. 故答案为:﹣1≤x<3. 点评: 主要考查了一元一次不等式解集的求法,其简便求法就是用口诀求解,求不等式组解集的口诀:同 大取大,同小取小,大小小大中间找,大大小小找不到(无解) . 15. 分) (4 (2009?温州)如图,将△ OAB 绕点 O 按逆时针方面旋转至△ 0A′ ,使点 B 恰好落在边 A′ B′ B′ 上.已知 AB=4cm,BB′ =1cm,则 A′ 长是 3 cm. B

考点: 旋转的性质. 分析: 根据旋转的性质, 旋转前后图形的大小和形状没有改变, 进行分析. 的对应边是 A′ , AB B′ AB=4cm. 解答: 解:根据旋转的性质,得:A′ =AB=4cm.∴ B=A′ ﹣BB′ B′ A′ B′ =4﹣1=3(cm) . 点评: 考查了旋转的性质,解题的关键是正确找出对应边. 16. 分)一家医院某天出生了 3 个婴儿,假设生男生女的机会相同,那么这 3 个婴儿中,出现 2 个男婴、 (4 1 个女婴的概率是 .

考点: 列表法与树状图法. 专题: 图表型. 分析: 列举出所有情况,看出现 2 个男婴、1 个女婴的情况数占总情况数的多少即可. 解答: 解:可能出现的情况如下表 婴儿 1 男 男 男 男 女 女 女 女 婴儿 2 男 男 女 女 男 男 女 女 婴儿 3 男 女 男 女 男 女 男 女

一共有 8 种情况,出现 2 个男婴、1 个女婴的情况有 3 种,故答案为 .

点评: 用到的知识点为:概率=所求情况数与总情况数之比. 17. 分)古希腊著名的毕达哥拉斯学派把 1、3、6、10 …这样的数称为“三角形数”,而把 1、4、16┅ (4 这 样的数称为“正方形数”.从图中可以发现,任何一个大于 1 的“正方形数”都可以看作两个相邻“三角形数” 之和. 请再写出一个符合这一规律的等式: 25=10+15(答案不唯一) .

考点: 规律型:数字的变化类. 专题: 压轴题;新定义;开放型. 分析: 题目中“三角形数”的规律为 1、3、6、10、15、21…“正方形数”的规律为 1、4、9、16、25… 根据题目已知条件: 从图中可以发现, 任何一个大于 1 的“正方形数”都可以看作两个相邻“三角形数” 之和.可得出最后结果. 解答: 解:根据题目中的已知条件结合图象可以得到任何一个大于 1 的“正方形数”都可以看作两个相邻“三 角形数”之和,再观察出“三角形数”和“正方形数”的变化规律, 可以再写出一个符合这一规律的等式:25=10+15. 点评: 这是一道开放性的规律题,答案不唯一,首先要观察出“三角形数”和“正方形数”的变化规律,再结合 图象得出结果. 三、解答题:本大题共 7 小题,共 64 分.解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 18. 分) (7 (1)解方程: .

(2)先化简再求值:

.其中 a=7.

考点: 分式的化简求值;解分式方程. 专题: 计算题. 2 分析: (1)先去分母,把分式方程化为整式方程得到 x ﹣2(x﹣1)=x(x﹣1) ,解得 x=2,然后进行检验 确定原方程的解; (2) 先把除法运算化为乘法运算, 再把分式的分子和分母因式分解, 约分后进行同分母的减法运算, 最后把 a 的值代入计算. 2 解答: 解: (1)去分母得 x ﹣2(x﹣1)=x(x﹣1) , 解得 x=2, 检验:当 x=2 时,x(x﹣1)≠0, 所以原方程的解为 x=2; (2)原式= = = ﹣ , . ? ﹣

当 a=7 时,原式=

点评: 本题考查了分式的化简求值:先把分式的分子或分母因式分解,再进行通分或约分,得到最简分式 或整式,然后把满足条件的字母的值代入计算得到对应的分式的值. 也考查了解分式方程. 19. 分)如图,在?ABCD 中,EF∥ (9 BD,分别交 BC,CD 于点 P,Q,交 AB,AD 的延长线于点 E,F.已 知 BE=BP. 求证: (1)∠ F; E=∠ (2)?ABCD 是菱形.

考点: 菱形的判定;平行四边形的性质. 专题: 证明题. 分析: (1)利用等边对等角得出∠ BPE,进而利用平行线的性质得出∠ E=∠ BPE=∠ F,即可得出答案; (2)利用平行四边形和菱形的判定得出答案即可. 解答: 证明: (1)∵ BE=BP,∴E=∠ ∠ BPE, ∵ AF, BC∥ ∴BPE=∠ ∠ F,∴E=∠ ∠ F. (2)∵ BD, EF∥ ∴E=∠ ∠ ABD,∠ ADB, F=∠ ∴ABD=∠ ∠ ADB, ∴ AB=AD, ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形, ∴ABCD 是菱形. □ 点评: 此题主要考查了平行四边形和菱形的判定以及等边对等角等知识,熟练掌握相关判定定理是解题关 键. 20. 分) (9 (2010?天津)我国是世界上严重缺水的国家之一为了倡导“节约用水从我做起”,小刚在他所在 班的 50 名同学中,随机调查了 10 名同学家庭中一年的月均用水量单位:t,并将调查结果绘成了如下的条 形统计图: (1)求这 10 个样本数据的平均数、众数和中位数; (2)根据样本数据,估计小刚所在班 50 名同学家庭中月均用水量不超过 7t 的约有多少户?

考点: 条形统计图;用样本估计总体;算术平均数;中位数;众数. 专题: 图表型.

分析: (1)根据条形统计图,即可知道每一名同学家庭中一年的月均用水量.再根据加权平均数的计算方 法、中位数和众数的概念进行求解; (2)首先计算样本中家庭月均用水量不超过 7t 的用户所占的百分比,再进一步估计总体. 解答: 解: (1) 观察条形图, 可知这组样本数据的平均数是: ∴ 这组样本数据的平均数为 6.8(t) . ∵ 在这组样本数据中,6.5 出现了 4 次,出现的次数最多, ∴ 这组数据的众数是 6.5(t) . ∵ 将这组样本数据按从小到大的顺序排列,其中处于中间的两个数都是 6.5, 有 ,

∴ 这组数据的中位数是 6.5(t)(2)∵ 户中月均用水量不超过 7t 的有 7 户, . 10 有 50× =35.

∴ 根据样本数据,可以估计出小刚所在班 50 名同学家庭中月均用水量不超过 7t 的约有 35 户. 点评: 本题考查的是条形统计图的运用. 读懂统计图,从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键.条形统计图能清楚地表示出每个项目 的数据. 掌握平均数、中位数和众数的计算方法. 21. 分) (9 (2011?盐城)如图,放置在水平桌面上的台灯的灯臂 AB 长为 40cm,灯罩 BC 长为 30cm,底 座厚度为 2cm,灯臂与底座构成的∠ BAD=60°.使用发现,光线最佳时灯罩 BC 与水平线所成的角为 30°, 此时灯罩顶端 C 到桌面的高度 CE 是多少 cm? (结果精确到 0.1cm,参考数据: ≈1.732)

考点: 解直角三角形的应用. 专题: 压轴题. 分析: 根据 sin30°= ,求出 CM 的长,根据 sin60°=

,求出 BF 的长,得出 CE 的长,即可得出 CE 的长.

解答: 解:由题意得:AD⊥ CE,过点 B 作 BM⊥ CE,BF⊥ EA, ∵ 灯罩 BC 长为 30cm,光线最佳时灯罩 BC 与水平线所成的角为 30°, ∵ CM⊥ MB,即三角形 CMB 为直角三角形, ∴ sin30°= = ,

∴ CM=15cm, 在直角三角形 ABF 中,sin60°= ∴ = , ,

解得:BF=20 , 又∠ ADC=∠ BMD=∠ BFD=90°,

∴ 四边形 BFDM 为矩形, ∴ MD=BF, ∴ CE=CM+MD+DE=CM+BF+ED=15+20 +2≈51.6cm. 答:此时灯罩顶端 C 到桌面的高度 CE 是 51.6cm.

点评: 这个题运用几何知识,和现实较为好的联系起来. 22. 分) (9 (2009?宁波)2009 年 4 月 7 日,国务院公布了《医药卫生体制改革近期重点实施方案(2009~ 2011),某市政府决定 2009 年投入 6000 万元用于改善医疗卫生服务,比例 2008 年增加了 1250 万元.投 》 入资金的服务对象包括“需方”(患者等)和“供方”(医疗卫生机构等) ,预计 2009 年投入“需方”的资金将 比 2008 年提高 30%,投入“供方”的资金将比 2008 年提高 20%. (1)该市政府 2008 年投入改善医疗卫生服务的资金是多少万元? (2)该市政府 2009 年投入“需方”和“供方”的资金是多少万元? (3)该市政府预计 2011 年将有 7260 万元投入改善医疗卫生服务,若从 2009~2011 年每年的资金投入按 相同的增长率递增,求 2009~2011 年的年增长率. 考点: 二元一次方程组的应用;一元二次方程的应用. 专题: 应用题;压轴题. 分析: (1)用 2009 年市政府投入资金钱数减去比 2008 年投入增加的资金钱数,可以得出结果. (2)题中有两个等量关系:2008 年市政府投入需方的资金钱数+投入供方的资金钱数=4750,2009 年投入需方的资金钱数+投入供方的资金钱数=6000,据此可以列出方程组. (3)根据等量关系 2009 年资金投入钱数×(1+年增长率) =7260,直接设未知数,求出解. 解答: 解: (1)该市政府 2008 年投入改善医疗服务的资金是:6000﹣1250=4750(万元) 答:该市政府 2008 年投入改善医疗卫生服务的资金是 4750 万元. 分) (2 (2)设市政府 2008 年投 入“需方”x 万元,投入“供方”y 万元, 由题意得 ,解得 (4 分)
2011﹣2009

∴ 2009 年投入“需方”资金为(1+30%)x=1.3×3000=3900(万元) , 2009 年投入“供方”资金为(1+20%)y=1.2×1750=2100(万元) . 答:该市政府 2009 年投入“需方”3900 万元,投入“供方”2100 万元. 分) (6 (3)设年增长率为 m, 2 由题意得 6000(1+m) =7260, 分) (8 解得 m1=0.1,m2=﹣2.1(不合实际,舍去) 答:从 2009~2011 年的年增长率是 10%. (10 分) 点评: 关键是弄清题意,找出等量关系:2008 年市政府投入需方的资金钱数+投入供方的资金钱数=4750, 2011 2009 年投入需方的资金钱数+投入供方的资金钱数=6000,2009 年资金投入钱数×(1+年增长率) ﹣2009 =7260. 23. (10 分) (2010?恩施州)如图,已知,在△ ABC 中,∠ ABC=90°,BC 为⊙ 的直径,AC 与⊙ 交于点 D, O O 点 E 为 AB 的中点,PF⊥ 交 BC 于点 G,交 AC 于点 F. BC (1)求证:ED 是⊙ 的切线; O

(2)如果 CF=1,CP=2,sinA= ,求⊙ 的直径 BC. O

考点: 切线的判定;相似三角形的判定与性质;解直角三角形. 专题: 几何综合题. 分析: (1)连接 OD,证 OD⊥ 即可. DE 易证∠ ADB=90°,又点 E 为 AB 的中点,得 DE=EB.根据等腰三角形性质可证∠ ODE=∠ OBE=90°,得 证; (2)可证∠ DBC,所以要求 BC 需先求 DC.结合已知条件,证明△ A=∠ PDC 与△ FPC 相似可求 CD, 得解. 解答: (1)证明:连接 OD. (1 分) ∵ 为直径,∴BDC 为直角三角形. BC △ 在 Rt△ ADB 中, E 为 AB 中点,∴ BE=DE, ∴EBD=∠ ∠ EDB. (2 分) 又∵ OB=OD,∴OBD=∠ ∠ ODB, ∵OBD+∠ ∠ ABD=90°,∴ODB+∠ ∠ EDB=90°. ∴ 是⊙ 的切线. ED O (5 分) (2)解:∵ BC, PF⊥ ∴FPC=90°﹣∠ ∠ BCP(直角三角形的两个锐角互余) . ∵PDC=90°﹣∠ ∠ PDB(直径所对的圆周角是直角) PDB=∠ ,∠ BCP(同弧所对的圆周角相等) , ∴FPC=∠ ∠ PDC(等量代换) . 又∵PCF 是公共角, ∠ ∴PCF∽DCP. △ △ (7 分) 2 ∴ =CF?CD(相似三角形的对应边成比例) PC . ∵ CF=1,CP=2, ∴ CD=4. (8 分) 可知 sin∠ DBC=sinA= , ∴ = ,即 ∴ 直径 BC=5. = , (10 分)

点评: 此题考查了切线的判定、相似三角形的判定和性质、三角函数等知识点,综合性较强,难度偏上. 24. (11 分) (2010?河池)如图所示,在直角梯形 OABC,CB,OA,∠ OAB=90°,点 O 为坐标原点,点 A 在 x 半轴上,对角线 OB,AC 相交于点 M,OA=AB=4,OA=2CB. (1)线段 OB 的长为 4 ,点 C 的坐标为 (2,4) ; (2)求△ OCM 的面积; (3)求过 O,A,C 三点的抛物线的解析式; (4)若点 E 在(3)的抛物线的对称轴上,点 F 为该抛物线上的点,且以 A,O,F,E 四点为顶点的四边 形为平行四边形,求点 F 的坐标.

考点: 二次函数综合题. 专题: 压轴题. 分析: (1)易证得△ OAB 是等腰 Rt△ ,已知了直角边的长,即可根据直角三角形的性质求出斜边 OB 的长; 已知了 OA=2BC,即可得到 C 点的横坐标,而 B、C 的纵坐标相同,由此可求出 C 点的坐标; (2)易证得△ BCM∽OAM,且 OA=2BC,根据相似三角形的对应边成比例可得 AM=2CM;由此可 △ 证得△ OAM 的面积是△ OCM 的 2 倍, OCM 的面积是△ 即△ OAC 的 , 因此只需求出△ OAC 的面积即可; (3)用待定系数法即可求出经过 O、A、C 三点的函数解析式; (4)根据(3)得到的抛物线的解析式,即可求出其对称轴方程;若以 A,O,F,E 四点为顶点的 四边形为平行四边形,应分成两种情况考虑: ① 点在 x 轴的下方, 在 x 轴的上方; E F 此时四边形 OFAE 的对角线 OA、 互相平分, EF 四边形 OFAE 是平行四边形,此时 F 与 C 点重合; ② E、F 同时在 x 轴下方;此时四边形 OAFE(或 OAEF)以 OA 为边,根据平行四边形的对边互相平 行且相等知:OA=EF,由此可求出 F 点的横坐标,将其代入抛物线的解析式中,即可求得 F 点的坐 标. 解答: 解: (1)在 Rt△ OAB 中,OA=AB=4,所以△ AOB 是等腰直角三角形,

∴ OB=

=

=4

,B(4,4) ;

∵ OA=2BC,则 C 点位于 OA 的垂直平分线上, ∴ C(2,4)(2)在直角梯形 OABC 中,OA=AB=4,∠ ; OAB=90°, ∵ OA, CB∥ ∴OAM∽BCM, 分) △ △ (3 又∵ OA=2BC, ∴ AM=2CM,CM= AC, 分) (4 所以 S△OCM= S△OAC= × ×4×4= . 分) (5 (注: 另有其它解法同样可得结果, 正确得本小题满分. ) 设抛物线的解析式为 y=ax +bx+c a≠0) (3) ( , 由抛物线的图象经过点 O(0,0) ,A(4,0) ,C(2,4) , 所以 , 分) (6
2

解这个方程组得 a=﹣1,b=4,c=0, 分) (7 所以抛物线的解析式为: y=﹣x +4x; 分) (8 (4)∵ 抛物线 y=﹣x +4x 的对称轴是 CD,x=2, ① 当点 E 在 x 轴的上方时,CE 和 OA 互相平分则可知四边形 OEAC 为平行四边形,此时点 F 和点 C 重合, 点 F 的坐标即为点 F(2,4)(9 分) ; ② 当点 E 在 x 轴的下方,点 F 在对称轴 x=2 的右侧,存在平行四边形 AOEF,OA∥ EF,且 OA=EF, 此时点 F 的横坐标为 6, 将 x=6 代入 y=﹣x +4x,可得 y=﹣12. 所以 F(6,﹣12) (11 分) . 同理,点 F 在对称轴 x=2 的左侧,存在平行四边形 OAEF,OA∥ FE,且 OA=FE, 此时点 F 的横坐标为﹣2, 将 x=﹣2 代入 y=﹣x +4x,可得 y=﹣12, 所以 F(﹣2,﹣12) (12 分) . 综上所述,点 F 的坐标为(2,4)(6,﹣12)(﹣2,﹣12)(12 分) , , .
2 2 2 2

点评: 此题主要考查了解直角三角形、三角形面积的求法、二次函数解析式的确定以及平行四边形的判定 等知识,同时还考查了分类讨论的数学思想,综合性强,难度偏大.


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