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数列、三角函数、统计概率专题部分


数列专题部分
1、已知数列 {a n } ,其前 n 项和为 S n = (Ⅰ)求 a1 , a2 ; (Ⅱ)求数列 {a n } 的通项公式,并证明数列 {a n } 是等差数列; (Ⅲ)如果数列 {bn } 满足 a n = log 2 bn ,请证明数列 {bn } 是等比数列, 并求其前 n 项和 Tn .
3 2 7 n + n 2 2 (n ∈ N ? ) .

2、已知数列 { an } 是首项为 a1 =

1 1 ,公比 q = 的等比数列. 设 bn + 2 = 3log 1 an 4 4 4

( n ∈ N* ) ,数列 { cn } 满足 cn = an ? bn .

(Ⅰ)求证:数列 { bn } 成等差数列; (Ⅱ)求数列 { cn } 的前 n 项和 Sn ; (Ⅲ)若 cn ≤
1 2 m + m ? 1 对一切正整数 n 恒成立,求实数 m 的取值范围. 4

3、在数列 {an } 中, a1 = 3 , an = 2an ?1 + n ? 2 (n ≥ 2,且 n ∈ N* ) . (Ⅰ)求 a2 , a3 的值; (Ⅱ)证明:数列{an + n} 是等比数列,并求 {an } 的通项公式; (Ⅲ)求数列 {an } 的前 n 项和 Sn .

4、设数列 {an } 为等比数列,数列 {bn } 满足 bn = na1 + (n ? 1)a2 + L + 2an ?1 + an , 3m n ∈ N* ,已知 b1 = m , b2 = ,其中 m ≠ 0 . 2 (Ⅰ) 求数列 {an } 的首项和公比; (Ⅱ) 当 m = 1 时,求 bn ; (Ⅲ) 设 Sn 为数列 {an } 的前 n 项和,若对于任意的正整数 n ,都有 S n ∈ [1, 3] , 求实数 m 的取值范围.

5、已知数列 {an } , {bn } ,其中 a1 = 列 {bn } 满足 b1 = 2 , bn +1 = 2bn .

1 ,数列 {an } 的前 n 项和 S n = n 2 an (n ≥ 1) ,数 2

(Ⅰ)求数列 {an } , {bn } 的通项公式; ( Ⅱ ) 是 否 存 在 自 然 数 m , 使 得 对 于 任 意 n ∈ N* , n ≥ 2 , 有
1+ 1 1 1 m?8 + +L + < 恒成立?若存在,求出 m 的最小值; b1 b2 bn ?1 4

? 1 , n为奇数, ? (Ⅲ)若数列{cn } 满足 cn = ? nan 当 n 是偶数时,求数列{cn } 的前 n 项和 ?b , n为偶数, ? n
Tn .

7、在数列 {an } 中,已知 a1 = p > 0 且 log 2 (an +1an ) = 2n + 1 . (1) 若数列 {an } 是等差数列,求的 p 值; (2) 求数列 {an } 的前 n 项和 Sn .

8 、 已 知 数 列 {an } 的 前 n 项 和 为 Sn , 且 S n =

1 2 11 n + n . 数 列 {bn } 满 足 2 2

bn + 2 ? 2bn +1 + bn = 0 ( n ∈ N? ),且 b3 = 11 , b1 + b2 + L + b9 = 153 .

(Ⅰ)求数列 {an } , {bn } 的通项公式; (Ⅱ)设 cn =
3 k ,数列 {cn } 的前 n 项和为 Tn ,求使不等式 Tn > 对 (2an ? 11)(2bn ? 1) 57

一切 n ∈ N? 都成立的最大正整数 k 的值;
?an , (n = 2l ? 1 , l ∈ N? ), ? (Ⅲ)设 f (n) = ? 是否存在 m ∈ N? ,使得 f (m + 15) = 5 f (m) ? ?bn , (n = 2l , l ∈ N ), ?

成立?若存在,求出 m 的值;若不存在,请说明理由.

9 已知数列 {an } 是等差数列, a2 = 6, a5 = 18 ;数列 {bn } 的前 n 项和是 Tn ,且
1 Tn + bn = 1 .(Ⅰ) 求数列 {an } 的通项公式; 2

(Ⅱ) 求证:数列 {bn } 是等比数列;

(Ⅲ) 记 cn = an ? bn ,求 {cn } 的前 n 项和 Sn .

10、数列 {a n } 的前 n 项和为 S n ,若 a1 = 3 ,点 ( S n , S n +1 ) 在直线 y = ( n ∈ N * )上. (Ⅰ)求证:数列 {
Sn } 是等差数列; n

n +1 x + n +1 n

(Ⅱ)若数列 {bn }满足 bn = a n ? 2 an ,求数列 {bn }的前 n 项和 Tn ; (Ⅲ)设 C n =
Tn 20 ,求证: C1 + C 2 + ? ? ? + C n > 2 n+3 27 2

11、设等差数列 {a n } 的前 n 项和为 S n ,已知 a6 = 13, S10 = 120 . (Ⅰ)求数列 {a n } 的通项公式; (Ⅱ)若数列 {bn } 满足: bn =
2 , (n ∈ N * ) ,求数列 {bn } 的前 n 项和 Tn . a n ? a n+1

12、数列{an } 满足 a1 = a , an +1 = (Ⅰ)若 an +1 = an ,求 a 的值; (Ⅱ)当 a =
1 3 时,证明: an < ; 2 2

an + 3 , n = 1, 2, 3,L . 2

(Ⅲ)设数列 {an ? 1} 的前 n 项之积为 Tn .若对任意正整数 n ,总有 (an + 1)Tn ≤ 6 成 立,求 a 的取值范围.

13、设数列 {a n } 的前 n 项和为 S n ,已知 a1 = 1, S n = nan ? n(n ? 1) (n = 1, 2,3,L). (Ⅰ)求证:数列 {an } 为等差数列,并写出 an 关于 n 的表达式; (Ⅱ)若数列 {
1 100 } 前 n 项和为 Tn ,问满足 Tn > 的最小正整数 n 是多少? . an an +1 209

14、数列 {a n } 中, a1 = 1 , S n 是 {a n } 的前 n 项和,且 S n +1 = S n + n , n ∈ N * . (Ⅰ)求数列 {a n } 的通项公式; (Ⅱ)若 bn =
1 S n +1 ? 1

,求数列 {bn } 的通项公式;

(III)若 cn = n ? 2 an +1 ,求数列 {c n } 的前 n 项和 Tn .

15、

1 在数列 {an } 中, a1 = ? , a n +1 = 2a n + n ? 1 , n ∈ N* . 2

(1)证明数列 {a n + n} 是等比数列; (2)求数列 {an } 的前 n 项和 Sn ; (3)比较 S n+1与2 S n ( n ∈ N* )的大小,并说明理由.

三角函数专题部分
1、已知向量 a = (cos α ,1) , b = (?2,sin α ) , α ∈ (π , (Ⅰ)求 sin α 的值; (Ⅱ)求 tan(α + ) 的值. 4
3π ) ,且 a ⊥ b . 2

π

2、已知函数 f ( x) = 2 cos 2 x + 2 sin x cos x ? 1 . (Ⅰ)求函数 f ( x) 的最小正周期; (Ⅱ)求函数 f ( x) 在 [0, ] 上的最大值与最小值. 2

π

3、 ?ABC 中, A ,B , 所对的边分别为 a , , , 在 角 C b c 已知 a = 2 , = 3 ,B = 60° . c (1)求 b 的值; (2)求 sin A 的值; (3)求 sin(2 A + B ) 的值.

4、已知函数 f ( x) = sin(2 x +

π
6

) + sin(2 x ?

π
6

) ? 2 cos 2 x .

(Ⅰ)求函数 f (x) 的值域及最小正周期; (Ⅱ)求函数 y = f (x) 的单调增区间.

5 、 已 知 ?ABC 的 三 个 内 角 A, B , C 所 对 的 边 分 别 为 a, b, c , ∠A 是 锐 角 , 且 3b = 2a ? sin B . (Ⅰ)求 ∠A 的度数; (Ⅱ)若 a = 7 , ?ABC 的面积为 10 3 ,求 b 2 + c 2 的值.

6、在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ,满足 sin 面积为 2 . (Ⅰ)求 bc 的值; (Ⅱ)若 b + c = 6 ,求 a 的值.

A 5 = ,且 ?ABC 的 2 5

1 1 7、已知函数 f ( x) = sin 2 x ? (cos 2 x ? sin 2 x) ,求: 2 2

(1) 函数 f ( x) 的最小正周期; (3) 函数 f ( x) 的最大值及相应的 x 值.

8、 V ABC 中, b、 分别是三个内角 A、 C 的对边, a=4, =3, 在 a、 c B、 设 c cos (Ⅰ)求 b 的值; (Ⅱ)求 V ABC 的面积.

B 3 = . 2 4

9、已知函数 f ( x) = cos 2 x ? sin 2 x + 2sin x cos x . (Ⅰ)求函数 f ( x) 的最小正周期;
? π π? (Ⅱ)当 x ∈ ? ? , ? 时,求函数 f ( x) 的最大值,并写出 x 相应的取值. ? 4 4?

10、在 ?ABC 中,角 A , B , C 所对的边分别为 a , b , c ,且 a = 1 , c = 2 ,
cos C = 3 . 4

(Ⅰ)求 sin( A + B ) 的值; (Ⅱ)求 sin A 的值; (Ⅲ)求 CB ? CA 的值.

11、已知函数 f(x)=asinx+bcosx 的图象经过点 ( , 0), ( ,1) 。 6 3

π

π

(Ⅰ)求实数 a,b 的值; (Ⅱ)若 x∈[0,

π
2

],求函数 f(x)的最大值及此时 x 的值。

12、已知 α 为锐角,且 tan( + α ) = 2 . 4 (Ⅰ)求 tan α 的值; (Ⅱ)求
sin 2α cos α ? sin α 的值. cos 2α

π

13、在 ?ABC 中,A,B,C 是三角形的三个内角,a ,b ,c 是三个内角对应的三边,

已知 b 2 + c 2 ? a 2 = bc . (Ⅰ)求角 A 的大小; (Ⅱ)若 sin 2 B + sin 2 C = 2sin 2 A ,且 a = 1 ,求 ?ABC 的面积.

14、设 A,B,C 为△ABC 的三个内角,其对边分别 a,b,c. A A A A 1 m = (sin ,? cos ), n = (sin , cos ), a = 2 3 , 且m ? n = ? . 2 2 2 2 2 (Ⅰ)求角 A 的大小; (Ⅱ)若 ?ABC 的面积 S = 3 , 求 b + c 的值.

15、已知函数 f ( x ) = A sin (ω x + ? ) , x ∈ R (其中 A > 0, ω > 0, ? 其部分图象如图所示.

π
2

<? <

π
2

),

(I)求 f ( x ) 的解析式; (II)求函数 g ( x) = f ( x +

π

π ? π? ) ? f ( x ? ) 在区间 ?0, ? 上的 4 4 ? 2?

最大值及相应的 x 值.

16、设函数 f ( x) = 3 sin x cos x ? cos 2 x . (Ⅰ)求 f ( x) 的最小正周期; (Ⅱ)当 x ∈ [0, ] 时,求函数 f ( x) 的最大值和最小值. 2

π

17、已知向量 a = (cos x, sin x) , b = (cos x,? sin x) .
π (Ⅰ)若 f ( x) = a ? b ,求 f ( ) ; 8

(Ⅱ) g ( x) = f ( x) + 2 sin x cos x ,求 g (x) 的周期和最小值.

x x x x 18、已知函数 f ( x ) = 2a sin cos + sin 2 ? cos 2 ( a ∈ R ). 2 2 2 2

(Ⅰ)当 a = 1 时,求函数 f ( x) 的最小正周期和图象的对称轴方程; (Ⅱ)当 a = 2 时,在 f ( x ) = 0 的条件下,求
cos 2 x 的值. 1 + sin 2 x

r 19、已知 a = (sin x,

r r r 3 cos x), b = (cos x, cos x), f ( x) = a ? b .

(Ⅰ)求 f ( x) 的最小正周期;
?π ? (Ⅱ)求 f ( x) 在区间 ? , π ? 上的最大值和最小值. ?3 ?

20、

已知函数 f ( x) = sin x cos x +

3 (cos 2 x ? sin 2 x) . 2

π (Ⅰ)求 f ( ) 的值;w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 6

(Ⅱ)求 f ( x) 的最大值及单调递增区间.

统计和概率专题部分
1、 春运期间,火车站要对 5 节车厢进行编组,其中 1、2 号为卧铺车厢,3 号 为餐车车厢,4、5 号为硬座车厢。编组规则是:卧铺车厢不能分开,硬座车 厢也不能分开,卧铺车厢与硬座车厢之间必须用餐车车厢隔开. (Ⅰ)问恰好按照车号排序的编组概率是多少? (Ⅱ)卧铺车厢在前,硬座车厢在后的编组概率是多少?

2、在一次数学统考后,某班随机抽取 10 名同学的成绩进行样本分析,获得成 绩数据的茎叶图如下. (Ⅰ)计算样本的平均成绩及方差; (Ⅱ)在这 10 个样本中,现从不低于 84 分的成绩中随机抽取 2 个,求 93 分的成绩被抽中的概率. 9 3 8 6 7 5 7 4 3 4 8

6 0

0

2、 为了了解某校某年级学生的体能情况,在该校此年级抽取了部分学生进行跳 绳测试,将所得数据整理后,画出频率分布直方图如图所示,已知图中从左 到右前三个小组的 频数为 5.
频率 取值分别是 0.004,0.012,0.016. 又知第一小组的 组距

(1)求第四小组的频率; (2)参加这次测试的学生总人数是多少? (3)用这批数据来估计该校该年级总体 跳绳成绩,从该年级随机抽取一名学生, 跳绳成绩在区间 [100,150 ) 内的概率为多少?

4、某中学的高二一班男同学有 33 名,女同学有 11 名,老师按照分层抽样的方法 组建了一个 4

人的课外兴趣小组. (Ⅰ)求课外兴趣小组中男、女同学的人数; (Ⅱ)经过一个月的学习、讨论,这个兴趣小组决定选出两名同学做某项实验, 方法是先从小组里选出 1 名同学做实验,该同学做完后,再从小组内剩下 的同学中选一名同学做实验,求选出的两名同学中恰有一名女同学的概 率; (Ⅲ)试验结束后,第一次做试验的同学得到的试验数据为 68, 70, 71, 72, 74 ,第 二次做试验的同学得到的试验数据为 69, 70, 70, 72, 74 ,请问哪位同学的实 验更稳定?并说明理由.

5、在甲、乙两个批次的某产品中,分别抽出 3 件进行质量检验. 已知甲、乙批
1 1 次每件产品检验不合格的概率分别为 、 ,假设每件产品检验是否合格相互之 4 3

间没有影响. (Ⅰ)求至少有 2 件甲批次产品检验不合格的概率; (Ⅱ)求甲批次产品检验不合格件数恰好比乙批次产品检验不合格件数多 2 件的概率.

6、某中学高中学生有 900 名,学校要从中选出 9 名同学作为国庆 60 周年庆祝 活动的志愿者.已知高一有 400 名学生, 高二有 300 名学生, 高三有 200 名学生. 为了保证每名同学都有参与的资格,学校采用分层抽样的方法抽取. (Ⅰ)求高一、高二、高三分别抽取学生的人数; (Ⅱ)若再从这 9 名同学中随机的抽取 2 人作为活动负责人,求抽到的这 2 名同 学都是高一学生的概率; (Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,求抽到的这 2 名同学不是同一年级的概率.

7、联合国准备举办一次有关全球气候变化的会议,分组研讨时某组有 6 名代表 参加, A 、 B 两名代表来自亚洲, C 、 D 两名代表来自北美洲, E 、 F 两名代 表来自非洲,小组讨论后将随机选出两名代表发言. (Ⅰ)代表 A 被选中的概率是多少? (Ⅱ)选出的两名代表“恰有 1 名来自北美洲或 2 名都来自非洲”的概率是多 少?

甲班

乙班
2 9 1 0 2 3 6 5

8、某校高三年级进行了一次数学测验,随机从甲乙两班各抽 取 6 名同学,所得分数的茎叶图如右图所示: (I)根据茎叶图判断哪个班的平均分数较高,并说明理由;

7 0 6 2 8

8 7 6

(II)现从甲班这 6 名同学中随机抽取两名同学,求他们的分 数之和大于 165 分 的概率.

9、为了解某学校高中学生视力的情况,拟采取分层抽样的方法从高一、高二、 高三年级中抽取 7 个班进行调查,已知该校高一、高二、高三年级分别有 8, 8, 12 个班.

(1) 从高一、高二、高三年级中应分别抽取多少个班? (2) 若从抽取的 7 个班中随机地抽取 2 个班进行调查结果的对比. ①求这两个班都来自高三年级的概率; ②求这两个班来自不同年级的概率.

10、某商场为吸引顾客消费推出一项优惠活动.活动规则如 下:消费每满 100 元可以转动如图所示的圆盘一次,其中 O 为圆心, 且标有 20 元、 元、 元的三部分区域面积相等. 假 10 0 定指针停在任一位置都是等可能的.当指针停在某区域时,返 相应金额的优惠券.(例如:某顾客消费了 218 元 ,第一次转动获得了 20 元, 第二次获得了 10 元,则其共获得了 30 元优惠券.)顾客甲和乙都到商场进行了 消费,并按照规则参与了活动. (I)若顾客甲消费了 128 元,求他获得优惠券面额大于 0 元的概率? (II)若顾客乙消费了 280 元,求他总共获得优惠券金额不低于 20 元的概率?

20元 20 元 10元 10 元 0元

11、为援助汶川灾后重建,对某项工程进行竞标,共有 6 家企业参与竞标.其中
A 企业来自辽宁省, B 、 C 两家企业来自福建省, D 、 E 、 F 三家企业来自河

南省.此项工程需要两家企业联合施工,假设每家企业中标的概率相同. (Ⅰ)企业 E 中标的概率是多少? (Ⅱ)在中标的企业中,至少有一家来自河南省的概率是多少?

12、某校高三(1)班的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不 同程度的破坏, 但可见部分如下, 据此解答如下问题: 茎 叶 5 6 7 68 2335689 12234567

89 8 9 58

(Ⅰ)求全班人数及分数在[80,90)之间的频数; (Ⅱ)估计该班的平均分数,并计算频率分布直方图中[80,90)间的矩形的高; (Ⅲ)若要从分数在[80,100]之间的试卷中任取两份分析学生失分情况,在抽 取的试卷中,求至少有一份分数在[90,100]之间的概率。

13、一个盒子中装有 4 张卡片,每张卡片上写有 1 个数字,数字分别是 1、2、 3、4,现从盒子中随机抽取卡片. (Ⅰ)若一次抽取 3 张卡片,求 3 张卡片上数字之和大于 7 的概率; (Ⅱ)若第一次抽 1 张卡片,放回后再抽取 1 张卡片,求两次抽取中至少一次抽 到数字 3 的概率.

14、为了解某高中校开展冬季长跑锻炼的情况,拟采取分层抽样的方法,从高 一、高二、高三年级中抽取 5 个班进行调查.已知该校高一、高二、高三年级分 别有 5、10、10 个班. (1)求从高一、高二、高三年级中应分别抽取班级的个数; (2)若从抽取的 5 个班中随机抽取 2 个班,进行调查结果对比,用列举法计算这 2 个班分别有高二、高三各一个班的概率.

15、为了调查某厂 2000 名工人生产某种产品的能力,随机抽查了 m 位工人某天 生产该产品的数量,产品数量的分组区间为 [10,15 ) ,[15, 20 ) ,[ 20, 25) , [ 25,30 ) ,
[30,35] ,频率分布直方图如图所示.已知生产的产品数量在 [ 20, 25) 之间的工人有

6 位. (Ⅰ)求 m ; (Ⅱ)工厂规定从生产低于 20 件产品的工人中随机的选取 2 位工人进行培 训,则这 2 位工 人不在同一组的概率是多少?
频率/组距 0.06 0.05 0.04 0.03 0.02 产品数量

0

10

15

20

25

30

35

??1 ≤ x ≤ 2, 16、在平面直角坐标系 xOy 中,设不等式组 ? 所表示的平面区域是 W , ?0 ≤ y ≤ 2 从区域 W 中随机取点 M ( x, y ) . (Ⅰ)若 x , y ∈ Z ,求点 M 位于第一象限的概率; (Ⅱ)若 x , y ∈ R ,求 | OM | ≤ 2 的概率,


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