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正弦定理和余弦定理水平测试题


正弦定理和余弦定理水平测试题
A组
一、选择题 1.在△ABC 中, A ? 45? , B ? 60? , a ? 10 ,则 b ? ( A. 5 2 B. 10 2 )

C.

10 6 3
2 2

D. 5 6

2.已知三角形的三边长分别为 a,b 和 a ? b ? ab 则这个三角形的最大角是( A.



5? 12

B.

? 2

C.

5? 6

D.

2? 3


3.在△ABC 中,若 A ? 60? , a ? 3 ,则
1 2

a?b?c 等于( sin A ? sin B ? sin C
D.
3 2

A.2

B.

C. 3

4.△ABC 中,若 a sin A ? b sin B ,则△ABC 的形状为( ) A.等腰三角形 B.锐角三角形 C.直角三角形 D.等边三角形 5.已知锐角三角形的三边长为 2,3,x,则 x 的取值范围是( ) A .1<x<5 B. 5 ? x ? 13 C .0<x< 5 D. 13 ? x ? 5 )

6.在△ABC 中,A=60°,AB=2,S△ABC= A. 7 二、填空题 C. 3

3 ,则 BC 的长为( 2

B.7

D.3

7. 在△ABC 中,如果 a : b : c ? 2 : 6 : ( 3 ? 1) ,那么这个三角形的最小角是________. 8.在△ABC 中,sinA:sinB:sinC=2:3:4,则 cos∠ABC=_______. 9.在△ ABC 中,

abc cos A cos B cosC ( ? ? ) =____________. 2 2 a b c a ?b ?C
2

10.△ABC 中,C 是直角, b ? 三、解答题

ac ,则 sin A ?

.

11.在△ABC 中,A=75°,B=45°, c ? 6 ,解此三角形. 12.三角形的一边长为 14,这条边所对的角为 60? ,另两边之比为 8:5,试求这个三角形的 面积. 13.设△ABC 的内角 A、B、C 的对边长分别为 a、b、c, cos(A ? C ) ? cos B ?

3 2 , b ? ac , 2

求 B.

B组
一、选择题 1.在△ABC 中,下列关系一定成立的是( ) A.a<bsinA B.a=bsinA C.a>bsinA D.a≥bsinA 答案:D 提示:结合图形即知. 2.如果把直角三角形的三边都增加同样的长度,则这个新的三角形的形状为( A.锐角三角形 答案: A B.直角三角形 C.钝角三角形 D.由增加的长度决定



提示:设三角形三边长分别为 a, b, c , 且 a 2 ? b2 ? c 2 . 当三边长均增加 x 时,

,从而说明其最大角为锐角,∴此时 (a ? x)2 ? (b ? x)2 ? (c ? x)2 ? x2 ? 2(a ? b ? c) x ? 0 三角形为锐角三角形. 3. 若△ABC 的边角满足 a(b cos B ? c cos C ) ? (b ? c ) cos A ,则△ABC 的形状是(
2 2



A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.等腰或直角三角形 答案:D 提示:解法 1 利用余弦定理将条件化为边之间的关系可得

(b2 ? c 2 )(a 2 ? b2 ? c 2 ) ? 0 ,所以 b ? c 或 a 2 ? b2 ? c 2 ,故△ABC 是等腰或直角三角形.
解法 2 利用正弦定理化为角的关系可得

sin A(sin B cos B ? sin C cos C ) ? (sin 2 B ? sin 2 C ) cos A ,

1 1 1 ? cos 2 B 1 ? cos 2C sin 2C ) ? ( ? ) cos A , 2 2 2 2 即 sin Asin 2B ? sin Asin 2C ? cos A cos 2C ? cos A cos 2B , 即 sin Asin 2B ? cos A cos 2B ? cos A cos 2C ? sin Asin 2C ,
所以 sin A( sin 2 B ? 所以 cos( A ? 2B) ? cos( A ? 2C ) ,结合角的范围知 A ? 2B ? A ? 2C 或 A ? 2B ? 2C ? A ,

? ,可知△ABC 为等腰或直角三角形. 2 4.如果满足 ?ABC ? 60 ? , AC ? 12 , BC ? k 的△ABC 恰有一个,那么 k 的取值范围是
即 B ? C 或 A ? B ? C ,即 B ? C 或 A ? ( ) B. 0 ? k ? 12 D. 0 ? k ? 12 或 k ? 8 3 A. k ? 8 3 C. k ? 12

答案:D 提示:当 k sin B ? 12, 即 时,三角形也只有一个.

3 k ? 12, k ? 8 3 时,三角形只有一个;当 0 ? k ? 12 2

二、填空题 5.在△ABC 中,已知 A=45°,B=30°,c=10,则 b=______________.

答案: 5 6 ? 5 2

提示:利用正弦定理.

6.如果△ABC 满足 2b ? a ? c ,∠B=30°,且其面积为

3 ,那么 b=____________. 2

答案: 1 ? 3

?2b ? a ? c, ?1 3 ? 提示:联立 ? ac sin B ? , 即可求得 b= 1 ? 3 . 2 ?2 2 2 2 ? ?b ? a ? c ? 2ac cos B

三、解答题 7.如图,已知 BD ? AB, AC ? CD, AC ? 1, AB ? 2, ?BAC ? 120?. 求 AD 的长. 解:解法一: 连结 BC ,在△ABC 中,由余弦定理得 B

BC 2 ? AB2 ? AC 2 ? 2 AB ? AC cos ?BAC

A D C

? 22 ? 12 ? 2 ? 2 ?1? cos120?

?7
? BC ? 7.
在△ABC 中,由正弦定理得

AB BC ? , sin ?ACB sin ?BAC

? sin ?ACB ?

AB 2 3 21 ? sin ?BAC ? ? ? . BC 7 7 2
21 2 7 ,? sin ?BCD ? . 7 7

又? ?BCD ? ?ACB ? 90?,? cos ?BCD ? 在△BCD 中,由正弦定理得

BD BC ? , sin ?BCD sin ?BDC

? BD ?

BC ? sin ?BCD ? sin ?BDC

7 2 7 4 3 ? ? . 3 3 7 2
2 2 2

在 Rt△ABD 中,由勾股定理得 AD ? BD ? AB ? 解法二:

16 ? 3 28 2 21 ? 4 ? ,? AD ? . 9 3 3

? BD ? AB, AC ? CD, ? A, B, D, C 四点共圆,且 AD 为直径.
在△ABC 中,由正弦定理得

BC ? 2 R. sin ?BAC

由解法一知 BC ?

7, ? AD ? 2 R ?

7 2 21 . ? sin120? 3

8.已知 a、b、c 分别是△ABC 中的角 A、B、C 对边,且 a 2 ? c2 ? b2 ? ac . (1)求角 B 的大小; (2) c ? 3a ,求 tan A 的值. 解:(1)由余弦定理知 cos B ? (2)解法 1(利用余弦定理) 将 c ? 3a 代入 a 2 ? c2 ? b2 ? ac 得 b ?

a 2 ? c2 ? b2 ac 1 π ? ? ,又 0 ? B ? π, ? B ? . 2ac 2ac 2 3

7a .

? cos A ?

b 2 ? c 2 ? a 2 7 a 2 ? 9a 2 ? a 2 5 7 ? ? . 2bc 14 2 ? 7a ? 3a
21 , 14

又? 0 ? A ? π, ? sin A ? 1 ? cos 2 A ?

? tan A ?

sin A 3 . ? cos A 5

解法 2(利用正弦定理+余弦定理) 将 c ? 3a 代入 a 2 ? c2 ? b2 ? ac 得 b ? 由正弦定理得

7a .

a b a a π 21 ? ,? sin A ? ? sin B ? ? sin ? . sin A sin B b 3 14 7a

又? c ? 3a,?C ? A, ∴ A 为锐角.

? cos A ? 1 ? sin 2 A ? sin A 3 . ? cos A 5

5 7 , 14

? tan A ?

解法 3(利用正弦定理)

c sin C ? c ? 3a,? ? 3,? ? 3, a sin A 2? 2? 2? sin( ? A) sin cos A ? cos sin A 3 3 3 即 ? 3,? ? 3, sin A sin A
解得? tan A ?

3 . 5

备用题 1. 若一个三角形的三边之比为 3: 5: 7 ,则该三角形最大内角的度数为( A.30° B.120° C.135° D.150° 答案:B 提示:利用余弦定理. 2.若



sin A cos B cosC ,则△ABC 的形状为( ? ? a b c



A.等边三角形 B.等腰直角三角形 C.有一个角为 30°的直角三角形 D.有一个角为 30°的等腰三角形 答案:B 提示:由题意知 sin B ? cos B ,又 0? ? B ? 180? ,故 B ? 45? ,同理 C ? 45? , 所以△ABC 为等腰直角三角形. 3.在△ABC 中,已知 A=30°,a=8,b= 8 3 则三角形的面积为( A. 32 3 B.16 C. 32 3 或 16 D. 32 3 或 16 3 )

答案:D 提示:利用正弦定理,注意此题有两解. 4.在△ABC 中,若 a ? b ? c ? 2c (a ? b ) ,则 C=(
4 4 4 2 2 2



A.60° 答案:D
4

B.30°

C.120°

D.45°或 135°
2 a2 ? b ?2 c 2 ?? . 2ab 2

提示: 由 a ? b ? c ? 2c (a ? b ) 可得 (a ? b ? c ) ? 2a b , 故
4 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2

5.在△ABC 中,AB=3,BC= 13 ,AC= 4,则边 AC 上的高为______. 答案:

3 3 2

提示:由余弦定理, cos A ?

3 1 , 所以边 AC 上的高 , ∴ sin A ? 2 2

h ? AB ? sin A ? 3 ?

3 3 3 ? . 2 2

6.在△ABC 中,已知 A ? 60? , b ? 1, S ?ABC ?

3 ,则

a?b?c ? _______. sin A ? sin B ? sin C

答案:

2 39 3

提示:由三角形面积公式 S?ABC ?

1 bc sin A ? 3 ,得 c ? 4 , 2

由余弦定理, a 2 ? b2 ? c2 ? 2bc cos A ? 13 ,∴ a ? 13 ,



a?b?c a 13 2 39 ? ? ? . sin A ? sin B ? sin C sin A 3 3 2

7. 在锐角 ?ABC 中, BC ? 1, B ? 2 A,则 ___________. 答案:2, ( 2, 3)

AC 的值等于 cos A

____ , AC 的取值范围为

提示: 设 ?A ? ? , ? B ? 2? . 由正弦定理得

AC BC AC AC ? ,? ?1? ? 2. sin 2? sin ? 2cos ? cos ?
由锐角 ?ABC 得 0? ? 2? ? 90? ? 0? ? ? ? 45? , 又 0? ? 180? ? 3? ? 90? ? 30? ? ? ? 60? ,故 30? ? ? ? 45? ?

2 3 , ? cos ? ? 2 2

? AC ? 2 cos ? ? ( 2, 3).

? ,b+c=4,试确定边 a 的取值范围. 3 a b c a b?c 解:由正弦定理得 ,所以 , ? ? ? sin A sin B sin C sin A sin B ? sin C
8.在△ABC 中, A ? 故有 a ?

4 3 2 3 b?c ? = , sin A = sin B ? sin C 2 sin B ? sin C sin B ? sin C

而 sin B ? sin C = sin B ? sin( 值 1,此时 a 取得最小值 2.

2? ? ? 当 B= 时,sin B ? sin C 取得最大 ? B) = 3 sin( ? B) , 3 3 6
2

9.已知 a、 b、 c 为三角形 ABC 中角 A、 B、 C 的对边, 且 a ? a ? 2b ? 2c ? 0 , a ? 2b ? 2c ? 3 ? 0 求这个三角形的最大内角. 解:因为 a ? a ? 2b ? 2c ? 0, a ? 2b ? 2c ? 3 ? 0 ,所以 a ? a ? 2b ? (a ? 2b ? 3) ? 0
2
2

1 2 1 1 (a ? 2a ? 3) ? (a ? 3)(a ? 1), c ? (a 2 ? 3) 4 4 4 1 2 因为 b>0,所以 a ? 2a ? 3 ? 0, 所以 a>3,所以 b ? c ? ? (a ? 3) ? 0, 2 1 2 1 即 b<c ① 又 c-a= (a ? 4a ? 3) ? (a ? 3 ) (a ? 1) ? 0, 4 4
所以 b ? 所以 c>a ② 由①②可得 c 边最大. 在三角形 ABC 中,有余弦定理得:

1 ? a(a ? 3)(a ? 1) a ?b ?c a ? (b ? c)(b ? c) 1 cos C ? ? ? 4 ?? . 1 2ab 2ab 2 a(a ? 3)(a ? 1) 2
2 2 2 2

所以 C=120 ,即三角形的最大内角为 120 .

0

0


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