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10.正弦定理习题课1


5.9 正弦定理、余弦定理

知识点的复习:
正弦定理 在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比
a b c   ? ? sin A sin B sin C

相等,即

? 正弦定理可以解什么类型的三角形问题?
? 已知两角和任意一边,可以求出其他两边和一角; 已知两边和其中一边的对角,可以求出三角形的 其他的边和角

C

如图:ΔABC中,AB,BC,CA的长 分别为c,a,b
∵ AC=AB+BC ∴ AC?AC=(AB+BC)?(AB+BC) B =AB2+2AB ?BC +BC2 =AB2+2AB ? BC cos(180? -B)+BC2 =c2-2ac cosB+a2 即:b2=c2-2ac cosB+a2

A

同理可证:a2=b2+c2-2bc cosA

c2=a2+b2-2ab cosC

? 一、选择题 ? 1、在△ABC中,a=3,b=,c=2,那么B 等于 ? A.30° B.45° ? C.60° D.120° ? 2、在△ABC中,a=12,b=13,C=60°, 此三角形的解的情况是 ? A.无解 B.一解 ? C.二解 D.不能确定

? 6、边长为5,7,8的三角形的最大角与最 小角的和是 ? A. 90 B. 120 C. 135 D. 150 ? 二、填空题 ? 1.在△ABC中,若sinA∶sinB∶ sin C=7∶8∶13, ? 则c=_____________

? 三、解答题 ? 在△ABC中,C=90,求sinAsinB的最大值。 ? 答案在教案上(略)

? 计算:在锐角△ABC中,若a=2,b=3。求C 边长的取值范围。 ? 分析:余弦定理的应用及大边对大角

5.9 正弦定理、余弦定理
练习: (1)在 ?ABC 中,一定成立的等式是( C )
A. a sin A ? b sin B C . a sin B ? b sin A B . a cos A ? b cos B D. a cos B ? b cos A

(2)在 ?ABC 中,若

a A cos 2

?

b B cos 2

?

c C cos 2

,则 ?ABC 是( D )

A.等腰三角形 C.直角三角形

B.等腰直角三角形 D.等边三有形

5.9 正弦定理、余弦定理
练习: (3)在任一 ?ABC 中,求证: a(sin B ? sin C ) ? b(sin C ? sin A) ? c(sin A ? sin B) ? 0

证明:由于正弦定理:令 a ? k sin A, B ? k sin B, c ? k sin C
代入左边得:

左边= k (sin A sin B ? sin A sin C ? sin B sin C ? sin B sin A ? sin C sin A ? sin C sin B) ? 0 =右边
∴ 等式成立


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