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2015-2016学年高中数学 2.5第1课时 等比数列的前n项和练习 新人教A版必修5


2015-2016 学年高中数学 2.5 第 1 课时 等比数列的前 n 项和练习 新 人 A 教版必修 5

一、选择题 1.等比数列{an}的前 n 项和 Sn=3 +a,则 a 的值为( A.3 C.-1 [答案] C 18 [解析] S1=a1=3+a, S2-S1=a2=32+a-3-a=6, S3-S2=a3=33+a-32-a=18, 6 = 6 , 3+a 所以 a=-1. 2.若等比数列{an}各项都是正数,a1=3,a1+a2+a3=21,则 a3+a4+a5 的值为( A.21 C.63 [答案] D [解析] ∵a1+a2+a3=21,∴a1(1+q+q )=21, 又∵a1=3,∴1+q+q =7, ∵an>0,∴q>0,∴q=2, ∴a3+a4+a5=q (a1+a2+a3)=2 ×21=84. 3. 等比数列{an}中, 已知前 4 项之和为 1, 前 8 项和为 17, 则此等比数列的公比 q 为( A.2 C.2 或-2 [答案] C [解析] S4=1,S8=S4+q ·S4=1+q =17∴q=±2. 4. 在等比数列{an}中, a1=a, 前 n 项和为 Sn, 若数列{an+1}成等差数列, 则 Sn 等于( A.a
n+1
4 4 2 2 2 2

n

)

B.0 D.任意实数

)

B.42 D.84

)

B.-2 D.2 或-1

)

-a

B.n(a+1) D.(a+1) -1
n

C.na [答案] C

[解析] 利用常数列 a,a,a,…判断,则存在等差数列 a+1,a+1,a+1,…或通过 下列运算得到:2(aq+1)=(a+1)+(aq +1),∴q=1,Sn=na. 5.已知等比数列前 20 项和是 21,前 30 项和是 49,则前 10 项和是( )
1
2

A.7 C.63 [答案] D

B.9 D.7 或 63

[解析] 由 S10,S20-S10,S30-S20 成等比数列, ∴(S20-S10) =S10·(S30-S20), 即(21-S10) =S10(49-21), ∴S10=7 或 63. 1 6.已知{an}是等比数列,a2=2,a5= ,则 a1a2+a2a3+…+anan+1=( 4 A.16(1-4 ) 32 -n C. (1-4 ) 3 [答案] C
-n 2 2

)

B.16(1-2 ) 32 -n D. (1-2 ) 3

-n

a5 3 1 1 [解析] ∵ =q = ,∴q= . a2 8 2
1 n-1 1 n ∴an·an+1=4·( ) ·4·( ) 2 2 =2
5-2n



故 a1a2+a2a3+a3a4+…+anan+1 =2 +2 +2 +2 +…+2 1 8?1- n? 4 = 1 1- 4 = 32 -n (1-4 ). 3
3 1 -1 -3 5-2n

二、填空题 7.(2015·湖南理,14)设 Sn 为等比数列{an}的前 n 项和.若 a1=1,且 3S1,2S2,S3 成等 差数列,则 an=________. [答案] 3
n-1

[解析] 考查等差数列与等比数列的性质. ∵3S1,2S2,S3 成等差数列,∴4S2=3S1+S3,∴4(a1+a2)=3a1+a1+a2+a3? a3=3a2? q =3. 又∵{an}为等比数列,∴an=a1q
n-1

=3

n-1

.

[方法点拨] 条件或结论中涉及等差或等比数列中的两项或多项的关系时, 先观察分析 下标之间的关系,再考虑能否应用性质解决,要特别注意等差、等比数列性质的区别.

2

8. 已知 Sn 为等比数列{an}的前 n 项和, Sn=93, an=48, 公比 q=2, 则项数 n=________. [答案] 5 [解析] 由 Sn=93,an=48,公比 q=2,得
?a1?2 -1?=93, ? ? n-1 ? ?a1·2 =48
n

? 2 =32? n=5.

n

三、解答题 9.已知{an}是公差不为零的等差数列,a1=1,且 a1,a3,a9 成等比数列. (1)求数列{an}的通项公式; (2)求数列{2an}的前 n 项和 Sn. [解析] (1)由题设,知公差 d≠0, 由 a1=1,a1,a3,a9 成等比数列得 1+2d 1+8d = , 1 1+2d 解得 d=1,或 d=0(舍去). 故{an}的通项 an=1+(n-1)×1=n. (2)由(1)知 2an=2 ,由等比数列前 n 项和公式,得 2?1-2 ? n+1 Sn=2+2 +2 +…+2 = =2 -2. 1-2
2 3

n

n

n

10.(2015·福建文,17)等差数列{an}中,a2=4,a4+a7=15. (1)求数列{an}的通项公式; (2)设 bn=2an-2+n,求 b1+b2+b3+…+b10 的值. [解析] (1)设等差数列{an}的公差为 d.
? ?a1+d=4, 由已知得? ??a1+3d?+?a1+6d?=15, ?

解得?

? ?a1=3, ? ?d=1.

所以 an=a1+(n-1)d=n+2. (2)由(1)可得 bn=2 +n. 所以 b1+b2+b3+…+b10=(2+1)+(2 +2)+(2 +3)+…+(2 +10)=(2+2 +2 +… + 2 ) + (1 + 2 + 3 +…+ 10) = 2101.
10 2 3 10 2 3

n

2?1-2 ? ?1+10?×10 11 11 + = (2 - 2) + 55 = 2 + 53 = 1-2 2

10

一、选择题

3

11.(2014·新乡、许昌、平顶山调研)设{an}是等比数列,Sn 是{an}的前 n 项和,对任 意正整数 n,有 an+2an+1+an+2=0,又 a1=2,则 S101 的值为( A.2 C.-2 [答案] A [解析] 设公比为 q,∵an+2an+1+an+2=0,∴a1+2a2+a3=0,∴a1+2a1q+a1q =0, ∴q +2q+1=0,∴q=-1,又∵a1=2, ∴S101=
2 2

)

B.200 D.0

a1?1-q101? 2[1-?-1?101] = =2. 1-q 1+1
2

12.(2015·福建理,8)若 a,b 是函数 f(x)=x -px+q(p>0,q>0)的两个不同的零 点,且 a,b,-2 这三个数可适当排序后成等差数列,也可适当排序后成等比数列,则 p+

q 的值等于(
A.6 C.8 [答案] D

) B.7 D.9

[解析] 由韦达定理得 a+b=p,a·b=q,因为 p>0,q>0,则 a>0,b>0,当 a,b, 4 2 -2 适当排序后成等比数列时,-2 必为等比中项,故 a·b=(-2) =4,故 q=4,b= .当

a

4 适当排序后成等差数列时, -2 必不是等差中项, 当 a 是等差中项时, 2a= -2, 解得 a=1,

a

b=4, ;当 b 是等差中项时, =a-2,解得 a=4,b=1,综上所述,a+b=p=5,所以 p a
+q=9,选 D. 13.在各项为正数的等比数列中,若 a5-a4=576,a2-a1=9,则 a1+a2+a3+a4+a5 的 值是( ) B.1 023 D.268

8

A.1 061 C.1 024 [答案] B

[解析] 由 a4(q-1)=576,a1(q-1)=9, ∴ =q =64,∴q=4,∴a1=3, 3×?4 -1? ∴a1+a2+a3+a4+a5= =1 023. 4-1 14. 设{an}是由正数组成的等比数列, Sn 为其前 n 项和, 已知 a2a4=1, S3=7, 则 S5=( 15 A. 2 31 B. 4
4
5

a4 a1

3

)

33 C. 4 [答案] B [解析]

17 D. 2

{an} 是 正 数 组 成 的 等 比 数 列 , ∴ a3 =

a2a4 = 1 , 又 S3 = 7 , ∴

a1q =1 ? ? ?a1?1-q3? =7 ? ? 1-q
31 = . 4 二、填空题

2

q2+q+1 1 ,消去 a1 得, =7,解之得 q= ,∴a1=4,∴S5= 2 q 2

? 1? 4×?1- 5? ? 2? 1 1- 2

15.设等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 a1=1,S6=4S3,则 a4=________. [答案] 3 [解析] 若 q=1 时,S3=3a1,S6=6a1,显然 S6≠4S3,故 q≠1,

a1?1-q6? a1?1-q3? 3 3 ∴ =4· ,∴1+q =4,∴q =3. 1-q 1-q
∴a4=a1q =3. 16.已知等比数列{an}共有 2n 项,其和为-240,且奇数项的和比偶数项的和大 80,则 公比 q=________. [答案] 2 [解析] 由题意,得?
? ?S奇+S偶=-240 ?S奇-S偶=80 ?
3



解得 S 奇=-80,S 偶=-160,∴q= 三、解答题

S偶 -160 = =2. S奇 -80

17.(2014·北京文,15)已知{an}是等差数列,满足 a1=3,a4=12,数列{bn}满足 b1 =4,b4=20,且{bn-an}为等比数列. (1)求数列{an}和{bn}的通项公式; (2)求数列{bn}的前 n 项和. [解析] (1)设等差数列{an}的公差为 d,由题意得

a4-a1 12-3 d= = =3.
3 3 所以 an=a1+(n-1)d=3n(n=1,2,…). 设等比数列{bn-an}的公比为 q,由题意得

b4-a4 20-12 q3= = =8,解得 q=2. b1-a1 4-3

5

所以 bn-an=(b1-a1)q 从而 bn=3n+2
n-1

n-1

=2

n-1



(n=1,2,…).
n-1

(2)由(1)知 bn=3n+2

(n=1,2,…).
n

3 1-2 n-1 n 数列{3n}的前 n 项和为 n(n+1),数列{2 }的前 n 项和为 1× =2 -1. 2 1-2 3 n 所以,数列{bn}的前 n 项和为 n(n+1)+2 -1. 2 18.(2015·安徽文,18)已知数列{an}是递增的等比数列,且 a1+a4=9,a2a3=8. (1)求数列{an}的通项公式; (2)设 Sn 为数列{an}的前 n 项和,bn=

an+1 ,求数列{bn}的前 n 项和 Tn. SnSn+1

[解析] (1)∵{an}是递增的等比数列,且 a1+a4=9,a2a3=8,

a1+a4=9, ? ? ∴?a1<a4, ? ?a1a4=8,

??

? ?a1=1, ?a4=8, ?

? q = =8? q=2? an=a1q

3

a4 a1

n-1

=2

n-1

.

a1?1-qn? 1-2n n (2)由(1)可知 Sn= = =2 -1, 1-q 1-2
∴bn= = 2 n n+1 ?2 -1??2 -1?
n

1 1 - n+1 . 2 -1 2 -1
n

1 1 1 1 1 1 1 ∴Tn=(1- )+( - )+( - )+…+( n - n+1 ) 3 3 7 7 15 2 -1 2 -1 1 2 -2 =1- n+1 = n+1 . 2 -1 2 -1
n+ 1

6


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