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2014年杭州市第一次高考科目教学质量检测理科数学及答案


2014 年杭州市第一次统测数学试卷 数学试卷(理科)
本试卷分选择题和非选择题两部分.满分 150 分,考试时间 120 分钟.请考生按规定用 笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上.

选择题部分(共 50 分)
注意事项: 1. 答题前, 考生务必将自己的姓名、 准考证号用黑色字亦的签字笔或钢笔镇写在答题纸规定的位置上. 2.每小题选出后,用 2B 铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再 选涂其它答案标号.不能答在试题卷上. 参考公式: 如果事件 A, B 互斥, 那么 P(A+B)=P(A)+P(B) 如果事件 A, B 相互独立, 那么 P (A · B)=P(A)· P (B ) 如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 p, 那么 n 次独立重复试验中事件 A 恰好发生 k 次的概率
k n-k Pn(k)=C k (k = 0,1,2,…, n) n p (1-p)

棱柱的体积公式 V=Sh 其中 S 表示棱柱的底面积, h 表示棱柱的高 棱锥的体积公式 V= Sh
3 1

其中 S 表示棱锥的底面积, h 表示棱锥的高 球的表面积公式 S = 4πR2 球的体积公式 V= 其中 R 表示球的半径
4 3

棱台的体积公式
V ? 1 3

h( s1 ? s1s2 ? s2 )

其中 S1, S2 分别表示棱台的上.下底面积, h 表示棱台 的高

πR 3

第 I 卷(共 50 分)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1.设集合 S={x | x2-2x-3≤0},T={x |-1<x≤4,x∈Z},则 S∩T 等于( ) A.{x | 0<x≤3,x∈Z} B.{x | 0≤x≤3,x∈Z} C.{x |-1≤x≤0,x∈Z} D.{x |-1≤x<3,x∈Z}

π 个单位长度,再把所得图象上所 6 有点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变) ,所得图象的函数解析式为( ) π 1 π A.y=sin(2x- ),x∈R B.y=sin( x- ),x∈R 2 3 6 π 1 π C.y=sin(2x+ ),x∈R D.y=sin( x+ ),x∈R 2 3 6
2.把函数 y=sinx(x∈R)的图象上所有的点向左平移

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1 (e 是自然对数的底数) ,则( ) 2 A.x<y<z B.y<x<z C.z<x<y D.x<z<y 4.若框图所给的程序运行结果为 S=90,那么判断框中应填入 k 的条件是( ) A.k=9 B.k≤8 C.k<8 D.k>8 10 2 5.设(2x-1) =a0+a1x+a2x +…+a10x10,则 a1+a3+a5+a7+a9 的值( )
3.设 x=log52,y= e 2 ,z=
?

1

1 ? 310 1 ? 310 B. 2 2 310 ? 1 1 ? 310 C. D.- 2 2 2 6.“λ<0”是“数列 an=n -2λn(n∈N*)为递增数列”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 π π 7.若 α∈( ,π),且 3cos2α=sin( -α),则 sin2α 的值为( ) 2 4 1 1 17 17 A. B. ? C. D. ? 18 18 18 18 8.设函数 f (x)=(x-1)k cosx(k∈N*) ,则( ) A.当 k=2013 时,f (x)在 x=1 处取得极小值 B.当 k=2013 时,f (x)在 x=1 处取得极大值 C.当 k=2014 时,f (x)在 x=1 处取得极小值 D.当 k=2014 时,f (x)在 x=1 处取得极大值 x2 y 2 9.设双曲线Γ: 2 ? 2 ? 1 (a>0,b>0) ,F1,F2 为双曲线Γ的焦点.若双曲线Γ上存 a b 1 在点 M,满足 | MF1 |=| MO |=| MF2 |,则双曲线Γ的离心率为( ) 2 A. 3 B. 5 C. 6 D. 5 -1 ? f ( x), ( f ( x) ? g ( x)) 10. 设 min{f (x), g(x)}= ? . 若函数 f (x)=x2+px+q 的图象经过两点(α, g ( x ), ( f ( x ) ? g ( x )) ? 0),(β,0),且存在整数 n,使得 n<α<β<n+1 成立,则( ) 1 1 A.min{f (n),f (n+1)}> B.min{f (n),f (n+1)}< 4 4 1 1 C.min{f (n),f (n+1)}= D.min{f (n),f (n+1)}≥ 4 4
A.

第 II 卷(共 100 分)
二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分. 11.设复数 z=1-i(其中 i 是虚数单位) ,则

2 ? z2 = z



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? 2 x ? 2, ( x ? 1) 12.设函数 f (x)= ? (a∈R) .若 f (x)的图象关于直线 x=1 对称,则 a 的值 ??ax ? 6, ( x ? 1)
为 .

13.设光线从点 A(-2,2)出发,经 x 轴反射后经过点 B(0,1).则光线与 x 轴的交点坐标为 . 14.若 x>0,y>0 且 ln2x+ln8y=ln2,则

1 1 的最小值为 ? x 3y



? x ? 3 y ? 3 ? 0, ? 15.若实数 x,y 满足不等式组 ?2 x ? y ? 3 ? 0, 且 x+y 的最大值为 9,则实数 m= ? x ? my ? 1 ? 0, ?



16. 在△AOB 中, G 为△AOB 的重心 (三角形中三边上中线的交点叫重心 ) , 且∠AOB=60° . 若 ...............

OA · OB ? 6 ,则| OG |的最小值是



17.在平面直角坐标系中,定义 d(P,Q)=| x1-x2 |+| y1-y2 | 为 P(x1,y1),Q(x2,y2)两点之间的“折线距离”,则椭圆 -12=0 上一点 Q 的“折线距离”的最小值为 .

x2 ? y 2 ? 1 上一点 P 与直线 3x+4y 2

三、解答题:本大题共 5 小题,共 72 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 18. (本题满分 14 分) 设函数 f (x)= 3 sinxcosx-cos2x-

1 ,x∈R. 2

(Ⅰ)求函数 f (x)的最小值; (Ⅱ)已知△ABC 内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,满足 sinB-2sinA=0 且 c=3, f (C)=0,求 a,b 的值. 19. (本题满分 14 分) 一个口袋内有 n(n>3)个大小相同的球,其中有 3 个红球和(n-3)个白球.已知从 口袋中随机取出一个球,得到红球的概率为 p.

3 时,不放回地从口袋随机取出 3 个球, 求取到白球的个数 ξ 的期望 E(ξ); 5 (Ⅱ)若 6p∈N*,有放回地从口袋中连续取四次(每次只取一个球) ,恰好两次取到红 8 球的概率大于 ,求 p 和 n 的值. 27 20. (本题满分 15 分) 设数列{an}满足:a1+a2+a3+…+an=n-an(n∈N*) . (Ⅰ)求证:数列{an-1}是等比数列; 1 (Ⅱ)若 bn=(2-n)(an-1),且对任意的正整数 n,都有 bn+ t≤t2,求实数 t 的取值 4 范围.
(Ⅰ)当 p=
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21. (本题满分 15 分) 设点 P(-2,1)在抛物线 x2=2py(p>0)上,且 到圆 C:x2+(y+b)2=1 上点的最小距离为 1. (Ⅰ)求 p 和 b 的值; (Ⅱ)过点 P 作两条斜率互为相反数的直线, 分别与抛物线交于两点 A,B,若直线 AB 与圆 C 交 于不同两点 M,N,当△PMN 面积取最大值时,求 直线 AB 的方程.

C

(第 21 题图) 22. (本题满分 14 分) 设 a∈R,f (x)= x | x-a |. (Ⅰ)若函数 f (x)在[0, +∞)上为单调函数,求实数 a 的取值范围; (Ⅱ)设 a>0, 1 (ⅰ)证明:函数 F(x)=f (x)- x 有 3 个零点; 2 t (ⅱ)若存在实数 t(t>a) ,当 x∈[0,t]时函数 f (x)的值域为[0, ],求实数 a 的取 2 值范围.

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2014 年杭州市第一次统测数学试卷 数学试卷(理科)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 题号 答案 1 B 2 D 3 D 4 D 5 B 6 A 7 D 8 C 9 C 10 B

二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分. 11.1-i 15.1 12.2 16.2

2 13. (? ,0) 3
17.
12 ? 34 4

14.4

三、解答题:本大题共 5 小题,共 72 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 18. (本题满分 14 分) 解: (Ⅰ)f (x)=

3 1 sin 2 x ? cos 2 x ? 1 2 2

π? ? = sin ? 2 x ? ? ? 1 . 6? ?
所以 f (x)min=-2.……………………………………………………………………7 分

π? π π ? (Ⅱ)因为 f (C)= sin ? 2C ? ? ? 1 =0,只有 2C ? = , 6? 6 2 ?

π . 3 又因为 sinB=2sinA,根据正弦定理,得 b=2a 又因为 c=3,根据余弦定理,得
即 C= 9=a2+b2-2abcos 联立,解得



π 3



? ?a ? 3 .…………………………………………7 分 ? ? ?b ? 2 3
19. (本题满分 14 分)

3 3 ? ,所以 n=5,即 5 个球中有 2 个白球. n 5 所以白球的个数 ξ 可取 0,1,2.
解: (Ⅰ)由题意,得 因为 P(ξ=0)=
2 1 2 C3 C3 C2 C1 1 3 3 3 3C2 = ; P ( ξ = 1) = = ; P ( ξ = 2) = = ; 3 3 3 C5 5 10 C 5 10 C5

所以

E(ξ)=

1 3 3 6 ×0+ ×1+ ×2= .……………………7 分 10 5 10 5
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(Ⅱ)由题设知
2 2 C2 4 p (1 ? p) ?

8 27 2 9



因为 p(1-p)>0,所以①式可化为 p(1-p)> 解之得

1 2 ? p? 3 3
又 6p∈N*,所以 6p=3,即 p= 所以

1 . 2

3 1 ? ,即 n=6. …………………………………………………………………7 分 n 2 20. (本题满分 15 分) 解: (I)因为 a1+a2+a3+…+an-1+an=n-an ① a1+a2+a3+…+an+an+1=n+1-an+1 ② ②-①得 2an+1-an=1 1 1 1 即 an+1-1= ( an-1),又因为 a1= ,所以 a1-1=- . 2 2 2 1 1 所以数列{an-1}是以- 为首项,以 为公比的等比数列.…………………………7 分 2 2 1 1 n?2 (Ⅱ)由(I)知 an-1=- n ,即 an=1- n ,所以 bn= n . 2 2 2 n ? 1 ? 2 n ? 2 n ? 1 ? 2(n ? 2) 3 ? n 由 bn ?1 ? bn ? ? n ? ? n ?1 ? 0 可得 n<3, 2n ?1 2 2n ?1 2 由 bn+1-bn<0 可得 n>3,所以 b1<b2<b3=b4>b5>…>bn…. 1 1 故 bn 有最大值 b3=b4= ,所以对任意 n∈N*,有 bn≤ , 8 8 1 1 1 所以 bn+ t≤t2,即 bn≤t2- t,则 (bn)max≤t2- t, 4 4 4 1 2 1 1 1 所以 ≤t - t,解得 t≥ 或 t≤- . 4 2 4 8 1 1 所以 t 的取值范围是(-∞, - ]∪[ ,+∞).…………………………………………8 分 4 2 21. (本题满分 15 分) 解: (1)由依题意 因为 (-2)2=2p 得 p=2;
又因为

(?2 ? 0)2 ? (1 ? b)2 ? 1 ? 1

得 b=-1;……………………………………………5 分 (2)设直线 PA 的斜率为 k,则直线 PB 的斜率为-k,所以

即 根据韦达定理,有

? x2 ? 4 y ? ? y ? 1 ? k ( x ? 2) 2 x -4kx-8k-4=0 xA+xP=4k
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xA=4k+2,所以点 A (4k ? 2,(2k ? 1)2 ) ,同理 B (?4k ? 2,(?2k ? 1)2 ) .

所以直线 AB 的斜率为: k AB ?

(2k ? 1)2 ? (?2k ? 1) 2 ? 1 .…………………………5 分 4k ? 2 ? (?4k ? 2) t ?3 2


故设直线 AB 的方程为 y=x+t,则点 P 到 AB 的距离 d ? 联立直线 AB 与圆 C 的方程,得

? x 2 ? ( y ? 1) 2 ? 1 ? ?y ? x ? t


2 x2 ? 2(t ? 1) x ? t 2 ? 2t ? 0
4(t ? 1)2 ? 8(t 2 ? 2t ) ? 2 ? ?t 2 ? 2t ? 1 , 2 1 t ?3 ? ? ? 2 ? ?t 2 ? 2t ? 1 2 2

由于 AB 与圆 C 交于不同两点 M,N,所以 1 ? 2 ? t ? 1+ 2 . 因为 所以

MN ? 2 ? S?PMN

?
设 因为 由 mt? ? 0,解得

1 . (t ? 3)2 ? (?t 2 ? 2t ? 1) ( 1 ? 2 ? t ? 1+ 2 ) 2 m ? (t ? 3)2 ? (?t 2 ? 2t ? 1)

mt? ? 2(t ? 3) ? (?t 2 ? 2t ? 1) ? (t ? 3)2 ? (?2t ? 2)
3? 5 3? 5 ,或 t ? (舍) ,或 t ? 3 (舍) . 2 2

t?
所以 此时直线 AB 的方程为 22. (本题满分 14 分) 解: (1)显然 x≥0,

(S△PMN)max=

3 ? 5 1? 5 . ? 4 2
y? x? 3? 5 . ………………………………5 分 2

当 a ? 0 时, f ( x) ? x x ? a ? x ( x ? a)

3 1 1 ?1 x 2 ? ax 2 ? 0 , 2 2 所以 f (x)在 [0, ??) 单调递增,符合题意. f ?( x) ?

? x (a ? x),(0 ? x ? a) ? 当 a>0 时, f ( x) ? ? . ? ? x ( x ? a),( x ? a)
此时 x=a 为 f (x)=0 的极值点,显然不单调。 综上,实数 a 的取值范围为 a ? 0 .……………………………………………6 分 (2)若 a>0, 1 (ⅰ)即证明方程 x | x ? a |? x 有三个不同的根. 2 1 x. 可化为:x=0 或 | x ? a |? (*) 2
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(*)式可化为 x2-(2a+ 设 g(x)=x2-(2a+

1 )x+a2=0. 4

1 )x+a2. 4 1 ?0, 8

又因为 g(0)=a2>0;对称轴 x ? a ? 且 ??a?

1 ? 0. 16 1 x 有 3 个零点. 2

故 g(x)=0 有二个不同的正根,即函数 F(x)=f (x)- (ⅱ)由(ⅰ)知,函数 y ? f ( x) 与 y ?

x 有 3 个交点, y1 ? x (a ? x),(0 ? x ? a) 的一个极 2 a a 大值点为 x ? ,则当 x ?[0, t ] 时, f ( x)max ? max{ f ( ), f (t )} .依题意,有: 3 3 ? a 2a t t ? a f( )? ? ① ? ? ? 3 2 ? (1)当 f ( x)max ? f (t ) 时,则有: ? ,即 ? 3 3 2 , ? f (t ) ? t ? t (t ? a ) ? t ② ? ? 2 ? 2 ? t 由②得, a ? t ? ,代入①式平方得: 2 t 16(t ? )3 ? 27t 2 (*) 2 1 即 16( t ? )3 ? 27 t ? 0 2
得 16 t ? 24 t ? 15 t ? 2 ? ( t ? 2)(4 t ? 1)2 ? 0 得 t≤4, 所以 a≤3. 又 a>0,综上得:0<a≤3.
3 2

? a 2a t t ? a f( )? ? ③ ? ? a ? 3 ? 2 (2)当 f ( x)max ? f ( ) 时,则有: ? ,即 ? 3 3 2 , 3 ? f (t ) ? t ? t (t ? a ) ? t ④ ? ? 2 ? 2 ? 27 2 t 由③得 a 3 ? , t ,由④得 a ? t ? 2 16 t 所以 16(t ? )3 ? 27t 2 ,同上有 0<a≤3. 2 综上,符合题意的实数 a 的范围是 0<a≤3.…………………………………………8 分

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