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2017优化方案高考总复习·数学理(新课标)第七章第7讲第1课时知能训练轻松闯关


1. 如图所示,平面 PAD⊥平面 ABCD,ABCD 为正方形,△PAD 是直角三角形,且 PA= AD=2,E,F,G 分别是线段 PA,PD,CD 的中点.求证:PB∥平面 EFG. 证明:因为平面 PAD⊥平面 ABCD,且 ABCD 为正方形, 所以 AB,AP,AD 两两垂直. 以 A 为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系 Axyz,则 A(0,0,0),B(2,0,0), C(2,2,0),D(0,2,0),P(0,0,2),E(0,0,1),F(0,1,1),G(1,2,0). → → 法一:EF=(0,1,0),EG=(1,2,-1), 设平面 EFG 的法向量为 n=(x,y,z), → ? ?y=0, EF=0, ? ?n· 则? 即? ?x+2y-z=0, → ? EG=0, ? ?n· 令 z=1,则 n=(1,0,1)为平面 EFG 的一个法向量, → 因为PB=(2,0,-2), → → 所以PB·n=0,所以 n⊥PB, 因为 PB?平面 EFG,所以 PB∥平面 EFG. → → 法二:PB=(2,0,-2),FE=(0,-1,0), → FG=(1,1,-1). → → → 设PB=sFE+tFG, 即(2,0,-2)=s(0,-1,0)+t(1,1,-1), t=2, ? ? → → → 所以?t-s=0, 解得 s=t=2.所以PB=2FE+2FG, ? ?-t=-2, → → → → → 又因为FE与FG不共线,所以PB,FE与FG共面. 因为 PB?平面 EFG,所以 PB∥平面 EFG. 2. 如图,在直三棱柱 ABCA1B1C1 中,△ABC 为等腰直角三角形,∠BAC=90°,且 AB =AA1,D,E,F 分别为 B1A,C1C,BC 的中点. 求证:(1)DE∥平面 ABC; (2)B1F⊥平面 AEF. 证明: 如图,建立空间直角坐标系 Axyz, 令 AB=AA1=4,则 A(0,0,0),E(0,4,2),F(2,2,0),B(4,0,0),B1(4,0,4). → → (1)取 AB 中点 N,则 N(2,0,0),C(0,4,0),D(2,0,2),所以DE=(-2,4,0),NC =(-2,4,0), → → 所以DE=NC,所以 DE∥NC. 又 NC?平面 ABC,DE?平面 ABC,故 DE∥平面 ABC. → → → (2)因为B1F=(-2,2,-4),EF=(2,-2,-2),AF=(2,2,0), → → 所以B1F·EF=(-2)×2+2×(-2)+(-4)×(-2)=0, → → 所以B1F⊥EF,即 B1F⊥EF. → → 因为B1F·AF=(-2)×2+2×2+(-4)×0=0, → → 所以B1F⊥AF,即 B1F⊥AF, 又 AF∩FE=F,所以 B1F⊥平面 AEF. 3. 如图所示,四棱锥 SABCD 的底面是正方形,每条侧棱的长都是底面边长的 2倍,P 为侧棱 SD 上的点. (1)求证:AC⊥SD. (2)若 SD⊥平面 PAC,则侧棱 SC 上是否存在一点 E,使得 BE∥平面 PAC.若存在,求 SE∶EC 的值;若不存在,试说明理由. 解:(1)证明:连接 BD,设 AC 交 BD 于点 O,则 AC⊥BD. 由题意知 SO⊥平面 ABCD. → → → 以 O 为坐标原点,OB,OC,OS分别为 x 轴,y 轴,z 轴的正方向,建立空间直角坐标 系,如图. 6 a, 2 6 2 于是 S?0,0, a?,D?- a

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