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函数的单调性与最值练习题


函数的单调性与最大(小)值练习题 一.选择题 1.下列说法中正确的有( )

①若 x1,x2∈I,当 x1<x2 时,f(x1)<f(x2),则 y=f(x)在 I 上是增函数; ②函数 y=x2 在 R 上是增函数; 1 ③函数 y=-x在定义域上是增函数;

1 ④y=x 的单调递减区间是(-∞,0)∪(0,+∞). A.0 个 B.1 个第 一 网 C.2 个 ) 1 C.4 ) C.(-∞,0) D.(-∞,+ D.不存在 D.3 个

2.函数 f(x)=x2 在[0,1]上的最小值是( A. B.0

3.函数 y=-x2 的单调减区间是( A.[0,+∞) ∞) B.(-∞,0]

4.函数 f(x)=9-ax2(a>0)在[0,3]上的最大值为( A.9 B .9(1-a) C.9-a

) D.9-a2

5.函数 f(x)=x2-2ax+a+2 在[0,a]上取得最大值 3,最小值 2,则实数 a 为( ) A.0 或 1 B.1 C.2 D.以上都不对

6. 函数 f(x)=2x2-mx+3, 当 x∈[-2,+∞)时, f(x)为增函数,当 x∈(-∞, -2]时,函数 f(x)为减函数,则 m 等于( A.-4 B.-8 ) C.8 D.无法确定

7.若函数 f(x)定义在[-1,3]上,且满足 f(0)<f(1),则函数 f(x)在区间[-1,3] 上的单调性是( ) A.单调递增 B.单调递减 C.先减后增 D.无法判断

8.已知函数 y=f(x),x∈A,若对任意 a,b∈A,当 a<b 时,都有 f(a)<f(b), 则方程 f(x)=0 的根( A.有且只有一个 ) B.可能有两个 C.至多有一个 D.有两个以上

9 已知函数 f(x)=-x2+4x+a,x∈[0,1],若 f(x)有最小值-2,则 f(x)的最大 值为( )

A.-1

B.0

C.1

D.2 )

?2x+6,x∈[1,2] 10.函数 f(x)=? ,则 f(x)的最大值、最小值分别为( ?x+7,x∈[-1,1] A.10,6 11.函数 y= A.2 B.10,8 1 在[2,3]上的最小值为( x-1 1 B.2 ) 1 C.3 1 D.-2 C.8,6

D.以上都不对

12.已知函数 y=f(x)是定义在 R 上的增函数,则 f(x)=0 的根( ) A.有且只有一个 B.有 2 个 C.至多有一个 D.以上均不对 13.已知 f(x)是 R 上的增函数, 若令 F (x) =f (1-x) -f (1+x) , 则F (x) 是 R 上的 ( ) A.增函数 B.减函数 C.先减后增的函数 D.先增后减的函数 2 2 14. 若函数 f(x)=x +(a -4a+1)x+2 在区间( - ∞, 1 ]上是减函数,则 a 的取值范围是 ( ) A.[-3,-1] B.(-∞,-3]∪[-1,+∞) C.[1,3] D.(-∞,1]∪[3,+∞) 15. 函 数 f(x)=x3+ax2+bx+c , 其 中 a 、 b 、 c ∈ R , 则 a2-3b < 0 时 , f(x) 是 ( ) A.增函数 B.减函数 C.常数函数 D.单调性不确定的函数 2 16.已知函数 f(x)=x -2x+3 在闭区间[0,m]上最大值为 3,最小值为 2,则 m 的取值范围 ( ) A.[1,+∞) B.[0,2] C.(-∞,-2] D.[1,2] 二.填空题 17.函数 y=2x2+2,x∈N*的最小值是_______. b 18.若函数 y=-x 在(0,+∞)上是减函数,则 b 的取值范围是________. 19.若函数 f(x)=4x2-kx-8 在[5,8]上是单调函数,则 k 的取值范围是_____. 20.函数 f(x)=ln(4+3x-x2)的单调递减区间是 。

21 已知下列四个命题:①若 f(x)为减函数,则-f(x)为增函数;②若 f(x)为增函数, 则函数 g(x)=
1 f ( x)

在其定义域内为减函数;③若 f(x)与 g(x)均为(a,b)上的增函数,则

f(x)·g(x)也是区间(a,b)上的增函数;④若 f(x)与 g(x)在(a,b)上分别是递增与递 减函数, 且 g(x)≠0, 则
f ( x) g ( x)

在 (a,b)上是递增函数.其中正确命题的序号是

.

3 22. 若函数 f(x)是区间(0, +∞)上的减函数, 那么 f(a2-a+1)与 f(4)的大小关系为______. 三.解答题

2 ? ?x 23.已知函数 f(x)=? 1 ? ?x

1 ?-2≤x≤1? ?1<x≤2?

,求 f(x)的最大、最小值.

24.若 f(x)=x2+bx+c,且 f(1)=0,f(3)=0. xkb1.com (1)求 b 与 c 的值; (2)试证明函数 f(x)在区间(2,+∞)上是增函数.

25. 已知 f(x)是定义在[-1,1]上的增函数, 且 f(x-1)<f(1-3x), 求 x 的取值范围.

26.设函数 y=f(x)=

ax+1 在区间(-2,+∞)上单调递增,求 a 的取值范围. x+2

27.函数 f(x)对任意的实数 m、n 有 f(m+n)=f(m)+f(n),且当 x>0 时有 f(x)>0. (1)求证:f(x)在(-∞,+∞)上为增函数; (2)若 f(1)=1,解不等式 f[log2(x2-x-2)]<2.

28. 已知函数 y=f(x) 对任意 x,y ∈ R 均有 f(x)+f(y)=f(x+y), 且当 x > 0 时, f(x) < 0,f(1)=- 2 .
3

(1)判断并证明 f(x)在 R 上的单调性; (2)求 f(x)在[-3,3]上的最值.

函数的单调性与最大(小)值练习题 一选择题 A BA A B BDCCA BCBCA D

二.填空题 17.4 18. (-∞,0) 19.[ 3 ,4)
2

20.



21. (-∞,40]∪[64,+∞) 三.解答题

3 22. f(a2-a+1)≤f(4)

1 23.解:当-2≤x≤1 时,由 f(x)=x2,得 f(x)最大值为 f(1)=1,最小值为 f(0) 1 1 =0;当 1<x≤2 时,由 f(x)=x ,得 f(2)≤f(x)<f(1),即2≤f(x)<1. 综上 f(x)max=1,f(x)min=0. 24.. ?1+b+c=0 解:(1)∵f(1)=0,f(3)=0,∴? ,解得 b=-4,c=3. ?9+3b+c=0

(2)证明:∵f(x)=x2-4x+3,∴设 x1,x2∈(2,+∞)且 x1<x2,
2 2 2 f(x1)-f(x2)=(x2 1-4x1+3)-(x2-4x2+3)=(x1-x2)-4(x1-x2)

=(x1-x2)(x1+x2-4),∵x1-x2<0,x1>2,x2>2,∴x1+x2-4>0.∴f(x1) -f(x2)<0,即 f(x1)<f(x2).∴函数 f(x)在区间(2,+∞)上为增函数.

25.

?-1≤x-1≤1 解:由题意可得?-1≤1-3x≤1, ?x-1<1-3x

? ?0≤x≤2, 3 即? 1 ? ?x<2
0≤x≤2

1 ∴0≤x<2.

26. 解:设任意的 x1,x2∈(-2,+∞),且 x1<x2, ∵f(x1)-f(x2)= = ax1+1 ax2+1 ?ax1+1??x2+2?-?ax2+1??x1+2? - = x1+2 x2+2 ?x1+2??x2+2?

?x1-x2??2a-1? .∵f(x)在(-2,+∞)上单调递增, ?x1+2??x2+2? ?x1-x2??2a-1? <0,∵x1-x2<0,x1+2>0,x2+2>0, ?x1+2??x2+2?

∴f(x1)-f(x2)<0.∴ 1 ∴2a-1>0,∴a>2. 27.(1)证明

设 x2>x1,则 x2-x1>0.

∵f(x2)-f(x1)=f(x2-x1+x1)-f(x1)=f(x2-x1)+f(x1)-f(x1)=f(x2-x1)>0, ∴f(x2)>f(x1),f(x)在(-∞,+∞)上为增函数. (2)解 ∵f(1)=1,∴2=1+1=f(1)+f(1)=f(2).

又f [log2(x -x-2)] <2,∴f [log2(x -x-2)] <f(2). ∴?
? x ? ?1或x ? 2, ?? 2 ? x ? 3,

2

2

∴log2(x -x-2)<2,于是 ?

2

? x 2 ? x ? 2 ? 0,
2 ? x ? x ? 6 ? 0.

即-2<x<-1 或 2<x<3.∴原不等式的解集为{x|-2<x<-1 或 2<x<3}. 28.解 (1)f(x)在 R 上是单调递减函数 证明如下: 令 x=y=0,f(0)=0,令 x=-y 可得:f(-x)=-f(x),在 R 上任取 x1<x2,则 x2-x1>0, ∴f(x2)-f(x1)=f(x2)+f(-x1)=f(x2-x1).又∵x>0 时,f(x)<0, ∴f(x2-x1)<0,即 f(x2)<f(x1).由定义可知 f(x)在 R 上为单调递减函数. (2)∵f(x)在 R 上是减函数,∴f(x)在[-3,3]上也是减函数. ∴f(-3)最大,f(3)最小.f(3)=f(2)+f(1)=f(1)+f(1)+f(1)=3×(- 2 ) =-2.
3

∴f(-3)=-f(3)=2.即 f(x)在[-3,3]上最大值为 2,最小值为-2.


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