3986.net
小网站 大容量 大智慧
当前位置:首页 >> 数学 >>

2.1曲线与方程1


2.1 曲线与方程
2.1.1 曲线与方程 (1)

思考?
1.直线l与方程x-y=0之间有什么关系?
y

l
0

x-y=0(1) l 上点的坐标都是方程x-y=0的解
x

(2)以方程x-y=0的解为坐标的点都 在 l上

∴说直线 l 的方程是 x ? y ? 0 ,又说方程 x ? y ? 0 的直线是 l .

思考?
2.画出函数y=2X2(-1≤x≤2)的图像C,考 察曲线C与方程2X2-y=0?之间的关系? 考察曲线C与方程2X2-y=0(-1≤x≤2)?之 间的关系?

(1)圆C上的点的坐标都是方程 ?? 的解; (2)方程 2X2-y=0(-1≤x≤2)? 的解为坐标的点都在圆C 上。

定义: 一般地,在直角坐标系中,如果某曲线 C(看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹) 上的点与一个二元方程f(x,y)=0的实数解建立 了如下的关系: (1)曲线上点的坐标都是这个方程的解; (2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点. y 那么,这个方程叫做曲线的方程; f(x,y)=0 这条曲线叫做方程的曲线. x 说明: 0 1.曲线的方程—反映的是图形所满足的数量关系; 方程的曲线—反映的是数量关系所表示的图形.

2.“曲线上的点的坐标都是这个方程 的解” , 阐明曲线上没有坐标不满足方程的点,也就是 说曲线上所有的点都符合这个条件而毫无例外.
(纯粹性). 3.“以这个方程的解为坐标的点都在曲线上”, 阐明符合条件的所有点都在曲线上而毫无遗漏. (完备性). 由曲线的方程的定义可知: 如果曲线C的方程是 f(x,y)=0,那么点P0(x0 ,y0) 在曲线C 上的 充要条件 是f(x0, y0)=0

练习1:判断下列命题是否正确
(1)过点A(3,0)且垂直于x轴的直线的方程为︱x︱=3 (2)到x轴距离等于1的点组成的直线方程为y=1 (3)到两坐标轴的距离之积等于1的点的轨迹方程为︱xy︱=1 (4) △ABC的顶点A(0,-3),B(1,0),C(-1,0),D为BC中点,则中线

AD的方程x=0

解:(1)不正确,不具备(2)完备性,应为x=3, (2)不正确,不具备(1)纯粹性,应为y=±1. (3)正确. (4)不正确,不具备(2)完备性,应为x=0(-3≤y≤0).

练习2:若命题“曲线C上的点的坐标满足方程
f(x,y)=0”是正确的,则下列命题中正确的是D ( ) A.方程f(x,y)=0 所表示的曲线是C B.坐标满足 f(x,y)=0 的点都在曲线C上 C.方程f(x,y)=0的曲线是曲线C的一部分或是曲 线C D.曲线C是方程f(x,y)=0的曲线的一部分或是全 部

练习3:已知方程 mx ? ny ? 4 ? 0 的曲线经过 4 点 A(1,?2), B(?2,1) ,则 m =_____, 4 n =______.
2 2

5

5

解析几何
1.解析几何与坐标法: 我们把借助于坐标系研究几何图形的方法叫做坐标 法. 在数学中,用坐标法研究几何图形的知识形成了 一门叫解析几何的学科.因此,解析几何是用代数方法 研究几何问题的一门数学学科. 2.平面解析几何研究的主要问题: (1)根据已知条件,求出表示平面曲线的方程; (2)通过方程,研究平面曲线的性质.

说明:本节主要讨论求解曲线方程的一般步骤.

例.设A、B两点的坐标是(-1,-1),(3,7),求 线段AB的垂直平分线的方程.
解:设M(x,y)是线段AB的垂直平分线上任意一点,也 就是点M属于集合 P ? ?M | MA |?| MB |? 由两点间的距离公式,点M所适合条件可表示为:
.

( x ? 1)2 ? ( y ? 1)2 ? ( x ? 3)2 ? ( y ? 7)2

将上式两边平方,整理得: x+2y-7=0 ① 我们证明方程①是线段AB的垂直平 分线的方程. (1)由求方程的过程可知,垂直平 分线上每一点的坐标都是方程①解; (2)设点M1的坐标(x1,y1)是方程 ①的解,即: x+2y1-7=0 x1=7-2y1

点M1到A、B的距离分别是
M 1 A ? ( x1 ? 1)2 ? ( y1 ? 1)2 ? (8 ? 2 y1 )2 ? ( y1 ? 1)2
2 ? 5( y1 ? 6 y1 ? 13);

M 1 B ? ( x1 ? 3) 2 ? ( y1 ? 7 ) 2 ? ( 4 ? 2 y1 ) 2 ? ( y1 ? 7 ) 2
2 ? 5( y1 ? 6 y1 ? 13)

? M1 A ? M1B ,

即点M1在线段AB的垂直平分线上. 由(1)、(2)可知方程①是线段AB的垂直平分线的方程.

由上面的例子可以看出,求曲线(图形)的方 程,一般有下面几个步骤:
(1)建系设点:建立适当的坐标系,用有序实数对 (x,y)表示曲线上任意一点M的坐标; (2)列式:写出适合条件p的点M集合P={M|p(M)} (3)代换:用坐标表示条件p(M),列出方程f(x,y)=0; (4)化简:化方程f(x,y)=0为最简形式; (5)审查:说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲 线上.

说明:一般情况下,化简前后方程的解集是相同的, 步骤(5)可以省略不写,如有特殊情况,可适当予以 说明.另外,根据情况,也可以省略步骤(2),直接 列出曲线方程.

例2.已知一条直线l和它上方的一个点A,点A到 l的距离是2,一条曲线也在l的上方,它上面的 每一点到A的距离减去到l的距离的差都是2,建 立适当的坐标系,求这条曲线的方程.
解:取直线l为x轴,过点F且垂直于直线l的直线为y轴, 建立坐标系xOy, 设点M(x,y)是曲线上任意一点, MB⊥x轴,垂足是B, 1)建系设点

? MA ? MB ? 2
2

2)列式
2

B 因为曲线在x轴的上方,所以y>0, 所以曲线的方程是

? ( x ? 0) ? ( y ? 2) ? y ? 2 3)代换 1 2 4)化简 ?y ? x 8

A(0, 2) ?

?M

1 2 y ? x ( x ? 0) 8

5)审查

课堂小结
1.求曲线的方程的一般步骤:

设(建系设点)

--- M(x,y)

找(找等量关系) --- P={M|M满足的条件} 列(列方程) 化(化简方程)

验(以方程的解为坐标的点都是曲线上的点)

通过上述两个例题了解坐标法的解题方法,

明确建立适当的坐标系是求解曲线方程的基础;
同时,根据曲线上的点所要适合的条件列出等 式,是求曲线方程的重要环节,在这里常用到 一些基本公式,如两点间距离公式,点到直线 的距离公式,直线的斜率公式,中点公式等, 因此先要了解上述知识,必要时作适当复习.

4.参数法: 选取适当的参数,分别用参数表示动 点坐标x,y,得出轨迹的参数方程,消去参数,即 得其普通方程。
例:已知点C的坐标是(2,2),过点C的直线 CA与x轴交于点A,过点C且与直线CA垂直的 直线与y轴交于点B ,设点M是线段AB的中点, 求点M的轨迹方程。
归纳:选参数时必须首先考虑 到制约动点的各种因素,然后 再选取合适的参数,常见的参 数有角度、直线的斜率、点的 坐标、线段长度等。
yB M C

0

A

x

已知?ABC的两个顶点A, B的坐标分别是(?5,0),(5,0), 且AC , BC所在直线的斜率之积等于m(m ? 0), 试探求 顶点C的轨迹方程。
解:设 C(x,y) .由已知,得 直线 AC 的斜率 y kAC= (x≠-5) ; x?5 直线 BC 的斜率 写成 y kBC= (x≠5) ; x?5 由题意,得 kACkBC=m,
y y 所以, × =m(x≠±5) . x?5 x?5

x2 y2 - =1(x≠±5) . 25 25m

2.“数形结合” 数学思想的基础

点M

按某中规律运动
几何意义

曲线C

x, y的制约条件

坐标(x, y)

方程f ( x, y) ? 0

代数意义

老师寄语:
学好数学,登上人生的又一高度.
? 数学是金——析疑解难,无坚不克,所向披靡; 数学是美——逻辑之美,形象之美,美不胜收;

数学是恨——成也数学,败也数学;
数学是爱——我爱数学,数学爱我,

数学是我获胜的法宝。
? 让我们一起来享受数学的快乐,探求数学的真谛,

感受数学的出神入化。


推荐相关:

【章节训练】2.1+曲线与方程++-1

【章节训练】2.1 曲线与方程一、选择题(共 10 小题) 1. (2015?固原校级模拟)方程|y|﹣1= A.两个半圆 B.两个圆 C.抛物线 4 -1 表示的曲线是( D....


高中数学选修2-1同步练习 2.1.1曲线与方程(含答案)

高中数学选修2-1同步练习 2.1.1曲线与方程(含答案)_数学_高中教育_教育专区。高中数学选修2-1同步练习 2.1.1 曲线与方程一、选择题(每小题 5 分,共 20...


2.1.1曲线与方程

2.1.1曲线与方程_数学_高中教育_教育专区。人教A版选修2-1精品教案2.1.1 曲线与方程 一、【教学目标】重点: 通过理解方程的解与曲线上的点一一对应的关系,...


高中数学选修2-1第二章《曲线与方程》教案

圆锥曲线与方程 李布 第二章 圆锥曲线与方程 2.1 曲线与方程 2.1 .1 曲线与方程 2.1.2 求曲线的轨迹方程一、教学目标 (一)知识教学点 使学生掌握常用...


2.1.1曲线与方程

2.1.1曲线与方程_高二数学_数学_高中教育_教育专区。2.1.1 曲线与方程【学习目标】 1、 从实例了解方程的曲线与曲线的方程的概念; 2、会用曲线和方程的概念...


曲线与方程(1)及参考答案

曲线与方程(1)及参考答案_数学_高中教育_教育专区。12.1 曲线与方程(1)一、填空题 1. 2.以 (5,0) 和 (0,5) 为端点的线段的方程是 的学科称为解析几...


2.1.1 曲线与方程 教案(人教A版选修2-1)

2.1.1 曲线与方程 教案(人教A版选修2-1)_高二数学_数学_高中教育_教育专区。知识改变命运, 知识改变命运,学习成就未来 2.1.1 曲线与方程●教学目标 1.了解...


2.1.1 曲线与方程1

2.1.1 曲线与方程1_物理_自然科学_专业资料。§ 2.1.1 曲线与方程(1)学习目标 1.理解曲线的方程、方程的曲线; 2.会证明曲线与方程之间对应关系 二、新课...


2-1-1曲线与方程同步试题

2-1-1曲线与方程同步试题_数学_高中教育_教育专区。2.1.1 曲线与方程 ?限时 20 分钟? ( ). 双基达标 1. 已知坐标满足方程 F(x, y)=0 的点都在曲线...

网站首页 | 网站地图
3986 3986.net
文档资料库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@qq.com