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信号与系统超有用知识总结3天之内学懂应对考试(1)


第一次课:
自我介绍 课程安排

1.自己考研的一些经历,时间安排,复习重点
复习时间安排:总共复习 100 天,每天半小时——1 个半小时,越到后面花时间越少 每天复习内容:部分公式推导,题 3 道左右,题仅限历?考题,?再做多余的题,重 点在于通过做题还有自己推导公式,使自己对公式理解深刻,运用灵活 专业课特点:知识点少,用时少,分数高,是考验取得好成绩的可靠保障 考试要点:考前?用大?训练,但需要全面的回顾知识点及题型;考试时,题?小, 所以切记急躁,宁可做慢一点,因为大片大片地做错再去改非常影响考试状态;专业课考 试没有难题,考的是细心。

2.基础,基本概念,基本函数(离散的部分比较简略)
其实就是一个函数 做题时,知道系统就是 表达式为

2.1 系统:



…)。它与输入信号

相卷积得到输出信号 的信号经过系统

, 后的

,就可以?。重点把握:形如

,这也是 FS 的意义所在;另外要会列电路频域方程,解电路

的部分放在讲题的地方统一讲

2.2 特殊函数:
2.2.1 , , ,这两个式子很少考,作为?解 用于移位 : 时被积函数才?为 0 用于积分: ?为 0 离散情况类似,求导对应差分,积分对应求和,?再重复 2.2.2 , 极其常见,用于各种地方,如基本公式,FS,移位等。 ,式中 时被积函数 ,因为式中 只能为 ,只需记住这个,具体定义?管

为周期函数,周期为

怎样理解它的周期性?若周期为 N,则 整数(m)倍,所以 但要理解 欧拉公式 :

,则

必须是



,否则为非周期。离散的情况?是很重要,考的几率很小,

,我一般记这个表达式 ,

因为用得较多,尤其用于信号的调制(时域做乘法,频域向两边移位移位),反变化较少 使用 2.2.4 冲击串,很重要的函数,后面会细讲

2.3 卷积的性质:
基本公式一般有两种应用:公式型的证明题;已知图 形,求卷 除以上应用,也可能直接求,因为加法比较容易算 运算律同四则运算:分配,交换,结合 卷积最重要的性质:时域卷——频域乘,时域乘—— 频域卷(注意系数),利用这

个知识点与奇异函数的性质可以得到移位,微分,积分等性质。估计一半以上的题都多少 会用到这个性质。

3.各种变换,推导过程讲一部分,主要讲公式间的联系以及应用
FT 与 FS 联系, FT 与 LT 联系, DTFT 与 ZT 联系, LT 的收敛域与 ZT 收敛域的联系, 单边变换与双边变换的联系,入手点还是最基础的 FT

3.1 FT
3.1.1 基本变换式:

这个是最基础的东西,应用非常广,这个记?住就别考?,在一些其他公式记?清的 时候,用这个去推,熟练后是非常快的 3.1.2 ,

推导:

常用于已知频域函数

反求时域:先拆成简单因子相加的形式,如

,再严格套用上面的公式

3.1.3

,基础,注意

的频域表达式

,看到 通过 去推导

就该想到这个,想要少记一个公式也可以

,常用于移位,之所列出第二个公式,是由 于在题中,时域往往要乘上 之前已提到:卷积 3.1.4 应用欧拉公式, 是要注意系数,欧拉公式本身有系数 有 ,再用欧拉公式………… 等效于移位;通过这些联系,避免记错移位方向及正负号 的性质即可得到,这里有两点需要注意:一 ,再加上 存在系数 ,所以

,而这个变换往往应用于信号调制,即 , 时 域 乘 法 对 应 ? 频 域 卷 积 , 所 以 有 正负

;第二要注意 sin 变换中的 j 的位置和 号的问题,

,我一般习惯把 j 放在分母,这样,正

半轴为正冲击,负半轴为负冲击。可以按自己的习惯来,但这两点一定要注意,非常容易 出错。 3.1.5 门函数 , 门函数 ,而没有

首先要把系数记牢,其次要记得门限为

由于图形简单,有图的题里经常出现,可以算是必考,考到注意多用用图形

3.1.6 冲击串-采样函数 最重要的用途:通过卷积,将非周期与周期信号联系起来,通过乘法,将连续与离散 信号联系起来,?过多一个 的增益。常出现于公式推导型证明题,画图题 做周期信号的 FT, 般能?无限信号的 FT 是没有意义的,但是周期信号还是可以通过上面这样去求 FT ,一

3.2 FS

FS 与 FT 的联系:设



则有:

由于 FS 限于周期信号,所以没什么需要记的变换对,考试基本也仅限于它的基本变 换公式

3.3 LT
3.3.1 正变换掌握,反变换只需?解

3.3.2 注意由时域求频域有唯一表达式,但需标明收敛域,而由频域求时域的时候, 根据收敛域?同(右边、左边、右边+左边或有限信号,没有无限信号),会求出?同的 时域表达式,如: 收敛域为 ,则为 ,若为 ,则为 ,

一般考题收敛域以大于为主(一般都是因果的),但小于的情况也必须知道。另外,这个 a 一般为实数,?需 a>0,与 FT 区别 3.3.3

推 导 : 第 一 个 只 需 记 住 , 同 时 注 意 与 FT 的 频 域 相 区 别 ; 第 二 个 推 导 过 程 : 由这个推导得到的启示在于 , 每当我们在做题时看到如下形式 ,要求 LT 变换时(一般 比较小,其中

为已知的,常用的变换对),应该想得到用求导的方法。另外,第二个公式很

少会考到,推导也简单,可?记。

3.3.4

推导

,很

容易得到,熟悉推导过程,注意区别,避免记错分子。 考试中可能遇到的变换对,一定可以根据基本公式和常用变换对再加上移位、求导、 积分等性质得到,注意掌握他们的特点,下面只列出已知频域求时域的情况:因子 求 导; 积分; 移位; ;

3.3.5 收敛域。?包含极点,一般先求出极点,然后根据时域信号判断,右边信号--> 极点右边,左边信号-->极点左边,双边信号-->两极点之间(这里举个 3 个极点的例子), 有限信号,能?有限-->全域;此外,注意两个性质,因果-->右边,稳定(有 FT)-->包含 jw 轴 3.3.6 画图,举例 ,我一般习惯将式子化为

这种形式(分母常数项为 1),因为画图中要用到积分器 合 3.3.7 单边 LT 都可以通过 变为求 ,例求

。分为分子分母画图,然后结

可?写收敛域 ,凡是求 的单边变换

?严密推导: 便于理解,强化记忆

,解电路 推导:

单边变换应用较少,只需记住基本概念和上面两式

3.4 ZT
反变换?管 ,基本公式,收敛域? 同,推导过程其实就是简单的序列求和,一般也是右边序列使用较多,其他可根据这个来 推导 收敛域,性质类似于 LT,但对于有限信号,可能?包含 0 点和无穷点 画图,同 LT 单边 ZT 下面给一个简单推导便于理解 举例

这个比单边 LT 还冷门,基本就?会考,掌握基本概念就够?

3.5 DTFT(?重要)

一般变换对参照 Z 变换,将 Z 换成 ,

得到,如:

另外注意频域一定为周期信号,例如

4.一些性质
4.1 线性,略 4.2 时移,频移

联系

函数,注意正负号,考试中会频繁使用

4.3 对偶,卷积 对偶步骤: 变为 , 变为

,变换后的频域乘上

,有时题上要求的东西和

我们所记的公式形式相反,这时用对偶的方法可以快速求出对应的公式。 卷积定理?再重复 4.4 奇偶虚实 由于 ,且对于实信号 推出其他公式:

看到求实部虚部的题就用这个? 4.5 尺度 考得较少,记一下 4.6 微分,积分 微分通过基本公式可以推导求,例如 ,应该熟悉这个过程,以免正负号记错 积分通过奇异函数 来求,例如 注 意 与 LS 区别,同时,LS ?常用一些 做题过程中,对于积分微分?能直接求的信号,都是转换为另一域来求 4.7 能?守恒,初值终值

以上三式,注意区别,尤其是 FS,凡是发现对信号的平方求积分,必定会用

以上两式,只用于

时,信号为 0 的情况,用得很少,稍微记一下

第二次课:

讲题,详讲一道,其余略讲 给出的解题思路也是,一道详细,其余简略 范围:2009—2010 真题 另外,下面的解题思路都是我在看答案前自己的想法,有些地方和答案?同,大家可以进 行对比。 题型 1:推公式证明题,给少?已知条件,(1)证明一个等式;(2)计算一个表达式 (2009—4,2010—7) 常用:基本变换公式; 2009-4:已知 (1)证: ;积分;求和;卷积

(2)求 思路:(1)等式左边是一个周期信号,等式右边是求和,并注意因子 到 FS 的基本公式。因此只需证明 ; 。由此可以想

(2)证明题两问一般都会联系,考虑用(1)的公式来解。看到都有求和,我们考 虑把 代入(1)式,观察发现只能代入右边 的部分(一个小技巧,求和 ,带入后得 ,得到

因子为 ,而等式右边也为 ,多半是右边)。另

,为得到我们要求的式子,需使

,因此我们需要得到 通过反变换得到 最后得到

的表达式,考虑到

, 推导出)

(这个算是比较典型的变换对,可以记住,也可以拆分

2010-7:已知 (1)证 (2)若 时, ,算

思路:(1)首先,考虑到第一问里有很多卷积,条件中的积分含因子 为卷积

,因此也变

。我发现直接求似乎并?复杂,于是有?以下的尝试:

对比以上两式,发现只需证

,通过频域即可得证( ,求

) 或某些特殊

(2)通过频域,画图。 题型 2:关于系统的题,往往已知关于系统的一些条件以及输入 式子,如能?(2009-5,2009-9) 常用:基本变换对中的

,三角函数和门函数;时频对应关系——卷积和乘法,往

往换一条道路解题会简单很多;题稍难的时候再反变换时可能用到积分微分相关性质 2009-5:已知 (1)求 (2)若 ,画 ,求 , (图画黑板上)

思路:(1)无需思路,直接求 (2) 看到平方的积分 ,且明显频域信号?简单 ,用能?公式。 根据所记变换对 , 的门限为 ,幅度为 1, ,代入能?公式:

,这种属于送分题,仔细点就可以?,比如 能?公式的系数,往往做题做高兴?就容易出错。 2009-9:已知 , , 因果稳定

的变换,

(1)求 (2) 思路:( 1)可以通过频域求,但是考虑到输入为 ,所以有 ,比较 与 大小,说明原因

的形式,求输出的时域,输出为

同理,

。 (2)要比较的是时域幅度增益与延时,将 变为 的形式,得到

,同时已知 ,单调减函数,所以

,带入



。时延为

题型 3:画图求解的题,一般也必定会涉及系统,利用图形求

或某些特殊式

子,一般这种题用画图解会很简单(2009-7,2010-4) 常用:时频——卷积和乘法的转换,图形求卷积,图形的移位、尺度变换等,门函数,三 角函数, 的差?多,因为都是关于系统的题) 2009-7: (1)画出 (2)求 (3)画出 的频谱 的表达式 的图 ,且 如图 即图形的周期化(总的来说,和题型 2 用到

思路:(1)周期化,三个要点:正负号,幅度,周期 (2)截取一段,反变换, (3) 时域为方波 ,频域很复杂 ,因此还是用时域 , ,

,画图

2010-4:已知 画出 ,求

思路:此题画图时有一点比较特殊,就是在周期化的时候,周期小于信号宽度,因此会产 生重叠。然后通过 截取一个周期,反变换得到 题型 4:电路。实际就是求 ,再进行一些后续运算,?过通过电路求稍微特殊一点, 所以单独列出(2009-8(2010-6 和此题几乎一模一样,除?求 的方式变为微分方程。 由此也可以看出,电路仅仅是用来求 ,?再涉及?难的运算,而后续的几问只是单 纯的计算问题))

常用:电路频域图;基本的解电路方法,串联分压,并联分流 2009-8:如图,已知 ,电流 输入,电压 输出 (1)求 。讨论如何选择 取值,使极点为复数 (2) (3)令 ,求 最大值 ,指出 ,且 ,R、L、C ?变,

求-3dB 带宽 思路:( 1)主要是画频域图与解电路, 。对于本题,则有 ,极点为复数,则 ,

(2 )



,求导求最值 ,得



( 3)要求

,令

,解得

,根据已知条件

,取

左右两点,所以



关键是解好第一步,其余是数学问题。 题型 5:通过微分、差分方程求系统函数

,画方框图,零、极点图,判断收敛

域 ,是否因果 ,是否稳定 ;一般这些还?够一道题的分? ,所以还要加一点其他运算 (2010-9 , 2010-6,2009-10) 常用:标准方框图的画法,零极点图画法;各种判决准则;常用变换对 2010-9:已知线性因果系统 (1)画图零极点图,指出系统是否稳定 (2)求系统单位阶跃响应 (3)输入 ,计算

思路:(1)求得

,画图

(2)显然,用时域求和方法很复杂,因此用频域,

,做乘法后拆分为

( 3)用能?公式 考虑 由于 复杂而 , 比较复杂, 为 1,所以变为

,分别 , 。

非常简单 ,因此再用能?公式 ,得

这一问很好地考察?频域和时域的灵活转换,所以做题时,遇到某一域比较复杂时, 与其耐心地解出来,?如花一点时间考虑另一域是否简单。 2010-6:已知因果系统 (1)求 ,画方框图;

后面两问省略,和前面一样 2009-10:这个?讲?,大同小异 题型 6:纯计算题,主要都是单纯地根据已知条件去求某些表达式的值,有些很简单,有 些需要灵活运用所学知识(2010-5,2009-6,2010-8) 常用:各种性质 2010-5:已知 ,如图 (1)求 (2)另 ,计算 ,先把他转换为 ,则时域非常 ,

思路:(1)这一问显然?需要用图形去求解,由于已知条件只有 表达式 容 易 得 到 , 用 一 个 门 函 数 ,如果没有 , 则

。这题也可以直接用基本公式去求,稍微 复杂一点。 (2)看到要求的表达式,想到用频域 积 去求。尺度变换得到 ,频域做卷

,通过图形得到 区间外

时为 1。笔记上用的是奇偶虚 ,则在 区 有:

实的性质,难易度差?多,感觉要难想到一点。 2009-6:已知离散时间 LTI 系统(1)若在 间一定有 (1)计算 ;( 2)若 ,并画图; ,则

;( 3)单位阶跃响应

(2)画系统方框图;

(3)若 思路 : (1) 根据条件 1 ,通过画图 ,得到 根据条件 3,得到 (2) (3)

,求 从 0 到 2。 根据条件 2 ,得到 ,所以 。 。

,图略。

第一问是这道题特别的地方,后面都已讲过?。 2010-8:已知 (1)求 (2)若 并画图; ,画出 ,能想到的变换对只有一个, 的图。 ,因此进

思路:(1)看到因子

行变换

,通过移位、积分的性质可以得到

,到这

一步,就可以很容易地得到图形,同时还可以进一步化简为

。我在做

这一题时没有想到

也有与其对应的变换

,而是严格的套用公式,

还是能够得到正确结果。 (2)图形都很简单,因此直接用图形求积分,题上?要求 要写出。 2010-10:已知 (1)求 (2)证明 (3)若 与 的关系; ; 表达式以及 。

的表达式,因此没必

最大值为 ,求

思路:(1)形式像卷积,但差个负号,因此做变换



相当于

,因此



(2)完全是个数学问题。几乎没有任何已知条件,我们需要构造一个显然成立的? 等式,往往考虑“平方>0”的形式,结合本题,考虑 ,展开后得到

,得证。 (3) 时域卷积明显?好算 ,用频域 ,用到第一问的结论 ,则 ,因此 变换反变换?要求,?可能通过频域来求 。由于 Z ,因此直接用时域求,因此有

第三次课:
题型 1:证明题。 2008-4:设 (1)试证明: (2)设 思路:(1)令他们的 FT 为 看到没有平方的一个简单积分如 得到 , ,则有 的形式,应该立即想到想到 ,所以 注:笔记上用基本公式求,显然比较复杂。 (2)用到上一问的结论,由于 , ,所以 ,且 ; ,计算 的值。 ,同时, ,因此我们 。 , , 。

所以 注:证明题中,后面的小问最容易用到前面的结论,使得解答过程变得很简单。 否则, 以此题为例,若想先求出 ,再利用 来解,求 的步骤会比较复杂。

题型 2:关于系统。 2007-5:已知系统如图。 (1)当 (2)当 时,求 ; ,求 并画粗略图形。

思路:(1)此题唯一需要注意的就是系统的相位问题,在明白这一点的前提下,先求出 , 到 ( 2) ,由于 得部分 相当于时域右移 ,因此得

在门限以外,所以可以忽略。 因此 化简 2008-9:系统如图。 (1)求单位阶跃响应 (2)若输入 (3)若 思路:(1)直接把 段, (2)由线性, 代入系统,则 ,图略。 ,?用求表达式,直接画图。 ,得到 ,并画图。 ,画出



的波形。 。

,求输入因果信号

,为一方波,积分后明显要分

(3)需要求到系统单位冲击响应,输入

,所以

,同时求出

,所以得到

, 其中用到?条件“输入因果信号”。 注 1:开始做第(3)问时也考虑过直接用时域,但是发现 得到以后,由于其波 形并?特殊, , 并?好求,观察法既?容易看出结果,也?够 严谨,所以才考虑用频域。

注 2:第(3)问结果与笔记?同,笔记上的解答似乎看错一个正负号,其结果对应于 ,同学们可以下来仔细看看。 题型 3:画图题。 2008-7:已知条件如图 (1)画出 的频谱 (2)画出 的频谱 (3)设计理想低通滤波器

。并求 。 ,使

表达式。 。给出 的图形和截止频率

的可选范围。 思路:按照系统由输入到输出的顺序,依次画图,由于题中用到

,注意符号的问题。

题型 4:电路。 2006-6:LTI 电路如图 (1)求 ,如何选择 R、L、C 的关系才能使阶跃响应?产生振荡信号? (2)若 R=2,L=1,C=1,求单位冲击响应。 (3)求阶跃响应 的初值 和终值 。 。要

思路:( 1)画出频域图,根据串联分压,

使阶跃响应?产生振荡信号,则极点为实数(我也没管为什么,当时就这样记?)。容易 得到 ( 2) 。 ,实际的系统肯定是因果系统,这相当于一个隐

藏的条件。





(3)根据初值终值定理 ,需要得到





题型 5:微分、差分方程,零极点,收敛域,方框图相关问题。 2008-8:已知双边信号 点和一个零点,分布如图,且 (1)求 的表达式。 (2)若另一因果信号 , 。 ,画出 的零、极点图,求 。 , 为有理分式并仅有两个极

思路:(1)由条件

,根据图与

,得到

根据收敛域,得 注 1:答案与笔记?同。 (2)根据性质,因果信号—>右边信号,有频谱说明包含 式子 ,



轴。考虑前面用到过的 ,可以看出在零、极点以

及幅度 绝对值相等时,频谱幅度相等。所以

,再求反变换。

注 2:笔记上采用全通函数 注 3:笔记上的答案只有

, ,并且注明只有这种情况才给分。但是

若给出全通函数

,就可以得到另外一种结果。

2008-10:已知因果离散序列 (1)求 ( 2)将 零状态响应在 的 Z 变换 ,画出收敛域,零极点图。 输入差分方程如下的因果系统: 处的数值。 ,其他的都是直接用基本公式求。看到题中

,计算系统

思路:(1)我们记的常用变换对只有

的表达式,需要先化简:

。由此,

我们得到 零点: 极点: 无穷大,则 ,

。 ,注意是 8 阶的; 图略。 的形式,即连续的形式,遇到离散



,所以

注 1:我们往往习惯于

往往

做起来会觉得比较别扭,应该要通过练习来习惯。

注 2:



,一般从左向右大家会

觉得很简单,并且根本?需要记。而由于 LT 和 ZT 反变换基本式是?要求的,所以在做反 向运算的时候,没有记住这个公式会比较恼火,这里建议还是背下来。 ( 2) 所以 题型 6:计算。 2008-5:已知实偶信号 (1)计算 (2)令 (3)令 思路:(1)算能?用能?公式: (2)由 ,得到 , 。 的能?。 ,求 表达式,画出频谱相位图。 ,计算 。 。 , ,零状态响应 。 ,

,因此相位只有两个值 ,当 时,相位为 (3)由 ,图略。

时 ,相位为 ,当

。若?用

此方法,直接进行计算,则有 2007-8:某连续时间稳定实系统单位冲击响应 (a) 为偶函数; (b) 有四个极点,没有零点; (c) 的一个极点在 满足如下条件:

,?好算。

(d) 试求

。 ,并说明该系统是哪一类滤波器。

思路:由于我们所熟悉的奇偶虚实性质都是对于 FT 而非 LT,所以可以自己推导 LT 的性 质。 首先, 为实,则有 。

根据条件(a), 根据条件(b),有 。

根据条件(c),有



根据以上条件,已经可以确定四个极点的值,由于 , 也是系统的极点。再



,得到 最后,根据条件(d),



也是极点。 , ,低通。 。

为?得到滤波器类型,求出 注 1:结果与笔记?同。 总结: 1.求能?:

,几乎是必用能?公式,甚至用两次。用?之后会发现积分非常容

易得到。如 2010-9,2009-5 2.求积分: 过 反之,求 3.求幅度 ,相位 , 若 ,复杂一点可能是 。也?会让大家直接求,一般是通

这种变换来求 (当然也可能有其他方法 ,但是推荐此方法) ,如 2010-5。 也应懂得变换,而?是直接算。 。 一般 形式都比较特殊 ,如实数、 纯虚、 而?要求相位,直接用定义求即可。如 ,并画方框图、零极点图、收敛域。此类 ,并且往往是求频谱并画图。这种问题 。

很复杂,往往只要求

2010-6,2009-5,2009-8 4.已知微分、差分方程、电路图,求 题非常死板,记住方法即可。如 2010-9 5.已知 ,求一个中间信号



只可能是

,偶尔也可能是

。这些都是对频域

的移位,应重点把握,注意移位后幅度,对于

时尤其注意。比较难的情况在于移

位的幅度小于 的宽度,这种时候要画清楚坐标,以免出错。如 2010-4,2009-7 6.根据已知条件求离散信号 (或信道冲击响应)。由于离散图形比较直观,最好结合 图形来分析。如 2009-6 7.证明题第一问,几乎都和卷积有关,所以往往需要灵活变换时域与频域;证明题的第二 问,几乎必用第一问结论,而且?用就会很难做。 8.方波(低通滤波器)。无论时域还是频域,方波出现在哪边就通过哪边进行计算。 9.反 变 换 时 , LT 常 出 现 , 因 此 以 LT 为 例 : ; ; 求导; 积分; 移位; 。?仅如此,我

们还需要知道如

。总之,通过拆分、积分、求导、移位和已知变换对灵活解题。

10.所有知识都应该牢记并能推导,仔细做题。


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