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2015年全国高考真题专题汇编 导数


专题三 导数
(2014)各省市高考题
18. (12 分) (2014?安徽)设函数 f(x)=1+(1+a)x﹣x ﹣x ,其中 a>0. (Ⅰ)讨论 f(x)在其定义域上的单调性; (Ⅱ)当 x∈[0,1]时,求 f(x)取得最大值和最小值时的 x 的值. 18. (13 分) (2014?北京)已知函数 f(x)=xcosx﹣sinx,x∈[0, (1)求证:f(x)≤0; (2)若 a< <b 对 x∈(0, )上恒成立,求 a 的最大值与 b 的最小值. (a>1) . ]
2 3

22. (12 分) (2014?广西)函数 f(x)=ln(x+1)﹣ (Ⅰ)讨论 f(x)的单调性; (Ⅱ)设 a1=1,an+1=ln(an+1) ,证明: <an≤
x



20. (14 分) (2014?福建)已知函数 f(x)=e ﹣ax(a 为常数)的图象与 y 轴交于点 A,曲线 y=f(x)在点 A 处的切线斜率为﹣1. (1)求 a 的值及函数 f(x)的极值; (2)证明:当 x>0 时,x <e ; (3)证明:对任意给定的正数 c,总存在 x0,使得当 x∈(x0,+∞)时,恒有 x<ce . 22.[2014· 湖北卷] π 为圆周率,e=2.718 28?为自然对数的底数. ln x (1)求函数 f(x)= 的单调区间; x π π 3 e (2)求 e ,3 ,e ,π e, ,3 ,π 3 这 6 个数中的最大数与最小数; π π 3 e e (3)将 e ,3 ,e ,π ,3 ,π 3 这 6 个数按从小到大的顺序排列,并证明你的结论.
x 2 x

22.(2014 湖南) (本小题满分 13 分) 已知常数 a ? 0 ,函数 f ( x) ? ln(1 ? ax ) ?

(1) 讨论 f ( x) 在区间 (0, ? ?) 上的单调性;

2x . x?2

(2)若 f ( x) 存在两个极值点 x1 , x2 ,且 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ,求 a 的取值范围.

19.(本小题满分 1 6 分)已知函数 f ( x) ? e x ? e? x 其中 e 是自然对数的底数.
学科王

(1 )证明: f ( x) 是 R 上的偶函数;
学科王

? ?) 上恒成立,求实数 m 的取值范围; (2)若关于 x 的 不等式 mf ( x) ≤ e? x ? m ? 1 在 (0 ,
学科王

(3)已知正数 a 满足:存 在 x0 ? [1, ? ?) ,使得 f ( x0 ) ? a(? x03 ? 3x0 ) 成立.试比较 e a?1 与 a e?1 的大小,并
学科王

证明你的结论.

14. (5 分) (2014?江西) 若曲线 y=e

﹣x

上点 P 的切线平行于直线 2x+y+1=0, 则点 P 的坐标是 _________ .
2

19. (12 分) (2014?江西)已知函数 f(x)=(x +bx+b) (1)当 b=4 时,求 f(x)的极值; (2)若 f(x)在区间(0, )上单调递增,求 b 的取值范围.

(b∈R)

21. (12 分) (2014?辽宁)已知函数 f(x)=(cosx﹣x) (π+2x)﹣ (sinx+1) g(x)=3(x﹣π)cosx﹣4(1+sinx)ln(3﹣ 证明: (Ⅰ)存在唯一 x0∈(0, (Ⅱ)存在唯一 x1∈( ) ,使 f(x0)=0; )

,π) ,使 g(x1)=0,且对(Ⅰ)中的 x0,有 x0+x1<π. )

8. (2014 新课标二卷) (5 分)设曲线 y=ax﹣ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为 y=2x,则 a=(

A.0

B.1
x
﹣x

C.2

D.3

21. (12 分)已知函数 f(x)=e ﹣e ﹣2x. (Ⅰ)讨论 f(x)的单调性; (Ⅱ)设 g(x)=f(2x)﹣4bf(x) ,当 x>0 时,g(x)>0,求 b 的最大值; (Ⅲ)已知 1.4142< <1.4143,估计 ln2 的近似值(精确到 0.001) .

21. (2014 新课标一卷) (本小题满分 12 分)设函数 f ( x0 ? ae ln x ?
x

be x ?1 , 曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1) ) x

处的切线为 y ? e( x ? 1) ? 2 .

(I)求 a , b ; (Ⅱ)证明: f ( x) ? 1 .

20.( 本小题满分 13 分)

ex 2 设函数 f ? x ? ? 2 ? k ( ? ln x) ( k 为常数, e ? 2.71828? 是自然对数的底数) x x
(I)当 k ? 0 时,求函数 f ? x ? 的单调区间; (II)若函数 f ? x ? 在 ? 0, 2 ? 内存在两个极值点,求 k 的取值范围。

21(2014 陕西).(本小题满分 14 分) 设函数

f ( x) ? ln(1 ? x), g ( x) ? xf '( x), x ? 0 ,其中 f '( x) 是 f ( x) 的导函数.

(Ⅰ) g1 ( x) ? g ( x), gn?1 ( x) ? g ( g n ( x)), n ? N? ,求 gn ( x) 的表达式;

(Ⅱ)若

f ( x) ? ag ( x) 恒成立,求实数 a 的取值范围; f (n) 的大小,并加以证明.

(Ⅲ)设 n ? N ? ,比较 g (1) ? g (2) ? ? ? g (n) 与 n ?

21. (14 分) (2014?四川)已知函数 f(x)=e ﹣ax ﹣bx﹣1,其中 a,b∈R,e=2.71828…为自然对数的底数. (1)设 g(x)是函数 f(x)的导函数,求函数 g(x)在区间[0,1]上的最小值; (2)若 f(1)=0,函数 f(x)在区间(0,1)内有零点,求 a 的取值范围.

x

2

(20) (本小题满分 14 分) 已知函数 f (x) = x - ae
x

(a ? R), x ?

R .已知函数 y = f (x) 有两个零点 x1 , x2 ,且 x1 < x2 .

(Ⅰ)求 a 的取值范围; (Ⅱ)证明

x2 随着 a 的减小而增大; x1

(Ⅲ)证明

x1 + x2 随着 a 的减小而增大.

3 2 6.(2014 浙江) 已知函数 f ( x) ? x ? ax ? bx ? c ,且 0 ? f ( ?1) ? f ( ?2) ? f ( ?3) ? 3 (



A. c ? 3 B. 3 ? c ? 6 22.(本题满分 14 分)
3

C. 6 ? c ? 9

D. c ? 9

已知函数 f ? x ? ? x ? 3 x ? a (a ? R).
2

(Ⅰ) 若 f ? x ? 在 ? ?1,1? 上的最大值和最小值分别记为 M (a ), m(a ) ,求 M (a ) ? m(a ) ; (Ⅱ) 设 b ? R, 若 ? ? f ? x ? ? b? ? ? 4 对 x ?? ?1,1? 恒成立,求 3a ? b 的取值范围.

20. (12 分) (2014?重庆)已知函数 f(x)=ae ﹣be ﹣cx(a,b,c∈R)的导函数 f′(x)为偶函数,且 曲线 y=f(x)在点(0,f(0) )处的切线的斜率为 4﹣c. (Ⅰ)确定 a,b 的值; (Ⅱ)若 c=3,判断 f(x)的单调性; (Ⅲ)若 f(x)有极值,求 c 的取值范围.

2x

﹣2x

2015 各省市高考题)
1. 【 2015 高考福建,理 10 】若定义在 R 上的函数 f ? x ? 满足 f ? 0? ? ?1 ,其导函数 f ? ? x ? 满足

f ? ? x? ? k ? 1 ,则下列结论中一定错误的是(
A. f ?



?1? 1 ?? ?k? k

B. f ?

1 ?1? ?? ? k ? k ?1

C. f ?

1 ? 1 ? ?? ? k ?1 ? k ?1

D. f ?

k ? 1 ? ?? ? k ?1 ? k ?1

【考点定位】函数与导数. 【名师点睛】联系已知条件和结论,构造辅助函数是高中数学中一种常用的方法,解题中若遇到有关不等 式、方程及最值之类问题,设法建立起目标函数,并确定变量的限制条件,通过研究函数的单调性、最值 等问题,常可使问题变得明了,属于难题. 2.【2015 高考陕西,理 12】对二次函数 f ( x) ? ax2 ? bx ? c ( a 为非零常数) ,四位同学分别给出下列结论, 其中有且仅有一个结论是错误的,则错误的结论是( A. ?1 是 f ( x) 的零点 C.3 是 f ( x) 的极值 )

B.1 是 f ( x) 的极值点 D. 点 (2,8) 在曲线 y ? f ( x) 上

【考点定位】1、函数的零点;2、利用导数研究函数的极值. 【名师点晴】本题主要考查的是函数的零点和利用导数研究函数的极值,属于难题.解题时一定要抓住重 要字眼“有且仅有一个”和“错误” ,否则很容易出现错误.解推断结论的试题时一定要万分小心,除了作 理论方面的推导论证外,利用特殊值进行检验,也可作必要的合情推理. 3.【2015 高考新课标 2,理 12】设函数 f ( x) 是奇函数 f ( x)( x ? R) 的导函数, f (?1) ? 0 ,当 x ? 0 时,
'

xf ' ( x) ? f ( x) ? 0 ,则使得 f ( x) ? 0 成立的 x 的取值范围是(
A. (??, ?1) ? (0,1) C. (??, ?1) ? (?1,0) B. (?1, 0) ? (1, ??) D. (0,1) ? (1, ??)



【考点定位】导数的应用、函数的图象与性质.

【名师点睛】联系已知条件和结论,构造辅助函数是高中数学中一种常用的方法,解题中若遇到有关不等 式、方程及最值之类问题,设法建立起目标函数,并确定变量的限制条件,通过研究函数的单调性、最值 等问题,常可使问题变得明了,属于难题. 4.【2015 高考新课标 1,理 12】设函数 f ( x) = e x (2 x ? 1) ? ax ? a ,其中 a 1,若存在唯一的整数 x0 ,使得

f ( x0 ) 0,则 a 的取值范围是( )
(A)[-

3 3 ,1) (B)[-错误!未找到引用源。 , 错误!未找到引用源。 ) 4 2e
(D)[错误!未找到引用源。 ,1 )

(C)[错误!未找到引用源。 ,

错误!未找到引用源。 )

【考点定位】本题主要通过利用导数研究函数的图像与性质解决不等式成立问题 【名师点睛】对存在性问题有三种思路,思路 1:参变分离,转化为参数小于某个函数(或参数大于某个函 数) ,则参数该于该函数的最大值(大于该函数的最小值) ;思路 2:数形结合,利用导数先研究函数的图像 与性质,再画出该函数的草图,结合图像确定参数范围,若原函数图像不易做,常化为一个函数存在一点 在另一个函数上方,用图像解;思路 3:分类讨论,本题用的就是思路 2. 5.【2015 高考陕西,理 16】如图,一横截面为等腰梯形的水渠,因泥沙沉积,导致水渠截面边界呈抛物线 型(图中虚线表示) ,则原始的最大流量与当前最大流量的比值为 .

【考点定位】1、定积分;2、抛物线的方程;3、定积分的几何意义. 【名师点晴】本题主要考查的是定积分、抛物线的方程和定积分的几何意义,属于难题.解题时一定要抓 住重要字眼“原始”和“当前” ,否则很容易出现错误.解本题需要掌握的知识点是定积分的几何意义,即 由直线 x ? a , x ? b , y ? 0 和曲线 y ? f ? x ? 所围成的曲边梯形的面积是 6.【2015 高考天津,理 11】曲线 y ? x
2

? f ? x ? dx .
a

b

与直线 y ? x 所围成的封闭图形的面积为

.

【考点定位】定积分几何意义与定积分运算. 【名师点睛】本题主要考查定积分几何意义与运算能力.定积分的几何意义体现数形结合的典型示范,既考 查微积分的基本思想又考查了学生的作图、识图能力以及运算能力.
2 【2015 高考湖南,理 11】 ? 0 ( x ? 1)dx ?

.

【考点定位】定积分的计算. 【名师点睛】本题主要考查定积分的计算,意在考查学生的运算求解能力,属于容易题,定积分的计算通 常有两类基本方法:一是利用牛顿-莱布尼茨定理;二是利用定积分的几何意义求解.

7.【2015 高考新课标 2,理 21】 (本题满分 12 分) 设函数 f ( x) ? emx ? x2 ? mx . (Ⅰ)证明: f ( x) 在 (??, 0) 单调递减,在 (0, ??) 单调递增; (Ⅱ)若对于任意 x1 , x2 ?[?1,1] ,都有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? e ?1 ,求 m 的取值范围. 【考点定位】导数的综合应用. 【名师点睛】(Ⅰ)先求导函数 f ' ( x) ? m(emx ?1) ? 2 x ,根据 m 的范围讨论导函数在 (??, 0) 和 (0, ??) 的符 号即可; (Ⅱ) f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? e ?1 恒成立,等价于 f ( x1 ) ? f ( x2 ) max ? e ?1 .由 x1 , x2 是两个独立的变 量,故可求研究 f ( x) 的值域,由 (Ⅰ) 可得最小值为 f (0) ? 1,最大值可能是 f (? 1) 或 f (1) ,故只需

? f (1) ? f (0) ? e ? 1, ,从而得关于 m 的不等式,因不易解出,故利用导数研究其单调性和符号,从而得 ? ? f (?1) ? f (0) ? e ? 1,
解. 8.【2015 高考江苏,19】 (本小题满分 16 分) 已知函数 f ( x) ? x3 ? ax2 ? b(a, b ? R) . (1)试讨论 f ( x) 的单调性; (2)若 b ? c ? a (实数 c 是 a 与无关的常数) ,当函数 f ( x) 有三个不同的零点时,a 的取值范围恰好是 (?? ,?3) ? (1, ) ? ( ,?? ) ,求 c 的值. 【考点定位】利用导数求函数单调性、极值、函数零点 【名师点晴】求函数的单调区间的步骤:①确定函数 y=f(x)的定义域;②求导数 y′=f′(x),令 f′(x) =0,解此方程,求出在定义区间内的一切实根;③把函数 f(x)的间断点(即 f(x)的无定义点)的横坐标和 上面的各实数根按由小到大的顺序排列起来,然后用这些点把函数 f(x)的定义区间分成若干个小区间;④ 确定 f′(x)在各个区间内的符号,根据符号判定函数在每个相应区间内的单调性.
[来源:学优高考网]

3 2

3 2

已知函数的零点个数问题处理方法为:利用函数的单调性、极值画出函数的大致图像,数形结合求解. 已知不等式解集求参数方法:利用不等式解集与对应方程根的关系找等量关系或不等关系. 9.【2015 高考福建,理 20】已知函数 f( x) = ln(1 + x) , g ( x) = kx, (k ? R), (Ⅰ)证明:当 x > 0时,f(x)< x ; (Ⅱ)证明:当 k < 1 时,存在 x0 > 0 ,使得对 任意x ? (0,x0 ), 恒有 f( x) > g ( x);
2 (Ⅲ)确定 k 的所以可能取值,使得存在 t > 0 ,对任意的 x ? (0,t), 恒有 | f( x) - g ( x) |< x .

【考点定位】导数的综合应用. 【名师点睛】在解函数的综合应用问题时,我们常常借助导数,将题中千变万化的隐藏信息进行转化,探究这 类问题的根本,从本质入手,进而求解,利用导数研究函数的单调性,再用单调性来证明不等式是函数、导 数、不等式综合中的一个难点,解题技巧是构造辅助函数,把不等式的证明转化为利用导数研究函数的单 调性或最值,从而证得不等式,注意 f ( x) ? g ( x) 与 f ( x)min ? g ( x)max 不等价, f ( x)min ? g ( x)max只是

f ( x) ? g ( x) 的特例,但是也可以利用它来证明,在 2014 年全国Ⅰ卷理科高考 21 题中,就是使用该种方法
证明不等式;导数的强大功能就是通过研究函数极值、最值、单调区间来判断函数大致图象,这是利用研 究基本初等函数方法所不具备的,而是其延续.
2 11.【2015 高考山东,理 21】设函数 f ? x ? ? ln ? x ? 1? ? a x ? x ,其中 a ? R .

?

?

(Ⅰ)讨论函数 f ? x ? 极值点的个数,并说明理由; (Ⅱ)若 ?x ? 0, f ? x ? ? 0 成立,求 a 的取值范围. 【考点定位】1、导数在研究函数性质中的应用;2、分类讨论的思想. 【名师点睛】本题考查了导数在研究函数性质中的应用,着重考查了分类讨论、数形结合、转化的思想方 法,意在考查学生结合所学知识分析问题、解决问题的能力,其中最后一问所构造的函数体现了学生对不 同函数增长模型的深刻理解. 12.【2015 高考安徽,理 21】设函数 f ( x ) ? x ? ax ? b .
2

(Ⅰ)讨论函数 f (sin x) 在 ( ?

? ?

, ) 内的单调性并判断有无极值,有极值时求出极值; 2 2

(Ⅱ)记 f0 ( x) ? x2 ? a0 x ? b0 ,求函数 f (sin x) ? f0 (sin x) 在 [ ?

? ?

, ] 上的最大值 D; 2 2

a2 (Ⅲ)在(Ⅱ)中,取 a0 ? b0 ? 0 ,求 z ? b ? 满足 D ? 1时的最大值. 4
【考点定位】1.函数的单调性、极值与最值;2.绝对值不等式的应用. 【名师点睛】函数、导数解答题中贯穿始终的是数学思想方法,在含有参数的试题中,分类与整合思想是 必要的,由于是函数问题,所以函数思想、数形结合思想也是必要的,把不等式问题转化为函数最值 问题、把方程的根转化为函数零点问题等,转化与化归思想也起着同样的作用,解决函数、导数的解 答题要充分注意数学思想方法的应用. 13.【2015 高考天津,理 20(本小题满分 14 分)已知函数 f ( x) ? n x ? x , x ? R ,其中 n ? N , n ? 2 .
n *

(I)讨论 f ( x) 的单调性;

(II)设曲线 y = f ( x) 与 x 轴正半轴的交点为 P, 曲线在点 P 处的切线方程为 y = g ( x) ,求证: 对于任意的正实 数 x ,都有 f ( x) ? g ( x) ;

(III)若关于 x 的方程 f ( x)=a(a为实数) 有两个正实根 x1,x2 ,求证: | x2 -x1 |<

a +2 1- n

【考点定位】1.导数的运算;2.导数的几何意义;3.利用导数研究函数性质、证明不等式. 【名师点睛】本题主要考查函数的性质与导数之间的关系以及利用函数证明不等式.第(I)小题求导后分 n 为 奇偶数讨论函数的单调性,体现了数学分类讨论的重要思想;第 (II)(III)中都利用了构造函数证明不等式这 一重要思想方法,体现数学中的构造法在解题中的重要作用,是拨高题. 14.【2015 高考重庆,理 20】 设函数 f ? x ? ?

3x 2 ? ax ?a ? R? ex

(1)若 f ? x ? 在 x ? 0 处取得极值,确定 a 的值,并求此时曲线 y ? f ? x ? 在点 1, f ?1? 处的切线方程; (2)若 f ? x ? 在 ?3, ?? ? 上为减函数,求 a 的取值范围。 【考点定位】复合函数的导数,函数的极值,切线,单调性.考查综合运用数学思想方法分析与解决问题 的能力. 【名师点晴】导数及其应用通常围绕四个点进行命题.第一个点是围绕导数的几何意义展开,设计求曲线 的切线方程,根据切线方程求参数值等问题,这类试题在考查导数的几何意义的同时也考查导数的运算、 函数等知识,试题的难度不大;第二个点是围绕利用导数研究函数的单调性、极值 (最值)展开,设计求函 数的单调区间、极值、最值,已知单调区间求参数或者参数范围等问题,在考查导数研究函数性质的同时 考查分类与整合思想、化归与转化思想等数学思想方法;第三个点是围绕导数研究不等式、方程展开,涉 及不等式的证明、不等式的恒成立、讨论方程根等问题,主要考查通过转化使用导数研究函数性质并把函 数性质用来分析不等式和方程等问题的能力,该点和第二个点一般是解答题中的两个设问,考查的核心是 导数研究函数性质的方法和函数性质的应用;第四个点是围数性质并把函数性质用来分析不等式和方程等 问题的能力,该点和第二个点一般是解答题中的两个设问,考查的核心是导数研究函数性质的方法和函数 性质的应用;本题涉及第一个点和第二个点,主要注意问题的转化,转化为不等式恒成立,转化为二次函 数的性质.
2 2 15.【2015 高考四川,理 21】已知函数 f ( x) ? ?2( x ? a)ln x ? x ? 2ax ? 2a ? a ,其中 a ? 0 .

?

?

(1)设 g ( x) 是 f ( x) 的导函数,评论 g ( x) 的单调性; (2)证明:存在 a ? (0,1) ,使得 f ( x) ? 0 在区间(1,+?)内恒成立,且 f ( x) ? 0 在(1,+?)内有唯一解. 【考点定位】本题考查导数的运算、导数在研究函数中的应用、函数的零点等基础知识,考查推理论证能 力、运算求解能力、创新意识,考查函数与方程、数形结合、分类与整合,化归与转化等数学思想.

【考点定位】本题考查导数的运算、导数在研究函数中的应用、函数的零点等基础知识,考查推理论证能 力、运算求解能力、创新意识,考查函数与方程、数形结合、分类与整合,化归与转化等数学思想. 【名师点睛】本题作为压轴题,难度系数应在 0.3 以下.导数与微积分作为大学重要内容,在中学要求学生 掌握其基础知识,在高考题中也必有体现.一般地,只要掌握了课本知识,是完全可以解决第(1)题的,所 以对难度最大的最后一个题,任何人都不能完全放弃,这里还有不少的分是志在必得的.解决函数题需要的 一个重要数学思想是数形结合,联系图形大胆猜想. 在本题中,结合待证结论,可以想象出 f ( x) 的大致图 象,要使得 f ( x) ? 0 在区间(1,+?)内恒成立,且 f ( x) ? 0 在(1,+?)内有唯一解,则这个解 x0 应为极小 值点,且极小值为 0,当 x ? (1, x0 ) 时, f ( x) 的图象递减;当 x ? ( x0 , ??) 时, f ( x) 的图象单调递增,顺 着这个思想,便可找到解决方法.
1 16.【2015 高考湖北,理 22】已知数列 {an } 的各项均为正数, bn ? n (1 ? )n an (n ? N? ) , e 为自然对数的底 n

数.
1 (Ⅰ)求函数 f ( x) ? 1 ? x ? e x 的单调区间,并比较 (1 ? )n 与 e 的大小; n

(Ⅱ)计算

b1 bb bb b b b ?bn , 1 2 , 1 2 3 ,由此推测计算 1 2 的公式,并给出证明; a1 a1 a2 a1a2 a3 a1a2 ?an
1

(Ⅲ)令 cn ? (a1a2 ? an ) n ,数列 {an } , {cn } 的前 n 项和分别记为 S n , Tn , 证明: Tn ? eSn . 【考点定位】导数的应,数列的概念,数学归纳法,基本不等式,不等式的证明. 【名师点睛】使用裂项法求和时,要注意正负项相消时消去了哪些项,保留了哪些项,切不可漏写未被消 去的项,未被消去的项有前后对称的特点,实质上造成正负相消是此法的根源与目的. 运用数学归纳法应注意以下三点:(1)n=n0 时成立,要弄清楚命题的含义.(2)由假设 n=k 成立证 n=k +1 时,要推导详实,并且一定要运用 n=k 成立的结论.(3)要注意 n=k 到 n=k+1 时增加的项数.
3 17.【2015 高考新课标 1,理 21】已知函数 f(x)= x ? ax ?

1 , g ( x) ? ? ln x . 4

(Ⅰ)当 a 为何值时,x 轴为曲线 y ? f ( x) 的切线; (Ⅱ)用 min 点的个数. 【考点定位】利用导数研究曲线的切线;对新概念的理解;分段函数的零点;分类整合思想 【名师点睛】本题主要考查函数的切线、利用导数研究函数的图像与性质、利用图像研究分段函数的零点, 试题新颖.对函数的切线问题,主要在某一点的切线与过某一点点的切线不同,在某点的切线该点是切点, 过某点的切线该点不一定是切点,对过某点的切线问题,设切点,利用导数求切线,将已知点代入切线方 程,解出切点坐标,即可求出切线方程. 18.【2015 高考北京,理 18】已知函数 f ? x ? ? ln

?m, n?

表示 m,n 中的最小值,设函数 h( x) ? min f ( x), g ( x)

?

? ( x ? 0)

,讨论 h(x)零

1? x . 1? x

(Ⅰ)求曲线 y ? f ? x ? 在点 ? 0 ,f ? 0?? 处的切线方程;
? x3 ? 1? 时, f ? x ? ? 2 ? x ? ? ; (Ⅱ)求证:当 x ? ? 0 , 3? ? ? x3 ? 1? 恒成立,求 k 的最大值. (Ⅲ)设实数 k 使得 f ? x ? ? k ? x ? ? 对 x ? ? 0 , 3? ?

考点:1.导数的几何意义;2.利用导数研究函数的单调性,证明不等式;3.含参问题讨论. 【名师点睛】本题考查导数的几何意义和利用导数研究函数性质问题,本题第一步为基础,第二、三步属 于中等略偏难问题,首先利用导数的几何意义求出切线斜率和切点坐标,写出切线方程,其次用作差法构 造函数,利用导数研究函数的单调性,证明不等式,最后一步对参数 k 进行分类讨论研究. 19.【2015 高考广东,理 19】设 a ? 1 ,函数 f ( x) ? (1 ? x2 )e x ? a . (1) 求 f ( x) 的单调区间 ; (2) 证明: f ( x) 在 ? ??, ??? 上仅有一个零点; (3) 若曲线 y = f ( x) 在点 P 处的切线与 x 轴平行,且在点 M (m, n) 处的切线与直线 OP 平行( O 是坐标 原点),证明: m ? 3 a ?

2 ?1. e

【考点定位】导数与函数单调性、零点、不等式,导数的几何意义等知识. 【名师点睛】本题主要考查导数与函数单调性、零点、不等式恒成立,导数的几何意义等基础知识,属于 中高档题,解答此题关键在于第(1)问要准确求出 f ? x ? 的导数,第(2)问首先要说明 ? 0, a ? 内有零点再 结合函数在 ? ??, ?? ? 单调性就易证其结论,第(3)问由导数的几何意义易得 ?1 ? m ? e m ? a ?
2

2 对比要证 e

明的结论后要能认清 em ? m ? 1 的放缩作用并利用导数证明 em ? m ? 1 成立,则易证 m ? 3 a ?

2 ? 1. e

ax 【2015 高考湖南,理 21】.已知 a ? 0 ,函数 f ( x) ? e sin x( x ?[0, ??)) ,记 x n 为 f ( x) 的从小到大的第

n (n ? N * ) 个极值点,证明:
(1)数列 { f ( xn )} 是等比数列 (2)若 a ?

1 e ?1
2

,则对一切 n ? N , xn ?| f ( xn ) | 恒成立.
*

[来源:学优高考网 gkstk]

【考点定位】1.三角函数的性质;2.导数的运用;3.恒成立问题.

【名师点睛】本题是以导数的运用为背景的函数综合题,主要考查了函数思想,化归思想,抽象概括能力, 综合分析问题和解决问题的能力,属于较难题,近来高考在逐年加大对导数问题的考查力度,不仅题型在 变化,而且问题的难度、深度与广度也在不断加大,本部分的要求一定有三个层次:第一层次主要考查求 导公式,求导法则与导数的几何意义;第二层次是导数的简单应用,包括求函数的单调区间、极值、最值 等;第三层次是综合考查,包括解决应用问题,将导数内容和传统内容中有关不等式甚至数列及函数单调 性有机结合,设计综合题.


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