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2013广东高考数学A(文科).


2013 年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)A 数学(文科)
本试卷共 4 页,21 题,满分 150 分。考试用时 120 分钟。

注意事项:1.答卷前,考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室
号、座位号填写在答题卡上。用 2B 铅笔将试卷类型(B)填涂在答题卡相 应位置上。将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处” 。 2.选择题每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡对应题目选项的答案信息点 涂黑, 如需改动, 用橡皮擦干净后, 再选涂其他答案, 答案不能答在试卷上。 3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答, 答案必须写在答题卡各题目指 定区域相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案; 不准使用铅笔盒涂改液。不按以上要求作答的答案无效。 4.作答选做题时,请先用 2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点,再作答。 漏涂、错涂、多涂的,答案无效。 5.考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后,将试卷和答题卡一并交回。

4 参考公式:球的体积 V = ? R3 ,其中 R 为球的半径. 3 1 锥体的体积公式为 V = Sh ,其中 S 为锥体的底面积,h 为锥体的高。 3
一选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的。 1.设集合 S=|x|x
2

+2 x ? 0, x ? R |, T ? |x|x 2 -2 x ? 0, x ? R|, S ? T = 则
C.
| ?2, 0 |

A. |0|
2.函数 y ?

B. |0, 2|

D. | ?2, 0, 2 |

lg( x ? 1) 的定义域是 x ?1

A. (?1, ??)

B. ? ?1, ??)

C. (?1,1) ? (1, ??)

D. ? ?1,1? ? (1, ??)

3.若 i( x ? yi) ? 3 ? 4i, x, y ? R, 则复数 x ? yi 的模是 A.2 B.3 C.4) D.5

5? 1 4.已知 sin( ? ? ) ? ,那么 cos? ? 2 5 1 1 2 2 A. ? B. ? C . D. 5 5 5 5

5.执行如图 1 所示的程序框图,若输入 n 的值为 3,则输入 s 的值是

A.1
A. 1 6

B.2
B. 1 3

C.3
C. 2 3

D.7
A.1

6.某三棱锥的三视图如图 2 所示,则该三棱锥的体积是

7.垂直于直线 y ? x ? 1且于圆

的直线方程是

A.x ? y ? 2 ? 0

B. x? y? 1 ? 0

C. x? y? 1 ? 0

D. x? y? 2 ? 0

8.设 l 为直线, ? , ? 是两个不同的平面.下列命题中正确的是

A.若l ?? , l ? ? , 则? ? ?

B.若l ? ? , l ? ? , 则? ? ?

C.若l ? ? , l ? ? , 则? ? ?

D.若? ? ? , l? ?则 l? ? ,

9.已知中心在原点的椭圆 C 的右焦点为 F(1,0) ,离心率等于

1 ,则 C 的方程是 2

A.

x2 y 2 ? ?1 3 4

B.

x2 y 2 ? ?1 4 3

C.

x2 y 2 ? ?1 4 2

D.

x2 y 2 ? ?1 4 3

10.设 ? 是已知的平面向量且 ? ? 0 .关于向量 ? 的分解,有如下四个命题: ①给定向量 b,总存在向量 c,使 a ? b ? c ; ②给定向量 b 和 c,总存在实数 ? 和 ? ,使 a ? ?b ? ? c ; ③给定向量 b 和正数,总存在单位向量 c,使 a ? ?b ? ? c . ④给定正数 ? 和 ? ,总存在单位向量 b 和单位向量 c,使 a ? ?b ? ? c . 上述命题中的向量 b,c 和 a 在同一平面内且两两不共线,则真命题的个数是 A.1 B.2 C.3 D.4 二、填空题:本大题共 5 小题,考生作答 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分。 (一)必做题(11~13 题) 11.设数列{ an }是首项为 1,公比为 ?2 的等比数列,则 a1 ? | a2 | ? a3 ? | a4 |? ________。 12.若曲线 y ? ax ? ln x 在点(1, a )处的切线平行于 x 轴,则 a =________。
2

?x ? y ? 3 ? 0 ? 13.已知变量 x , y 满足约束条件 ? ?1 ? x ? 1 则 z ? x ? y 的最大值是________。 ?y ?1 ?
(二)选做题(14-15 题,考生只能从中选做一题) 14. (坐标系与参数方程选做题)已知曲线 C 的极坐标方程 ? =2cos ? ,以极点为原点,极 轴为 x 轴的正半轴建立直角坐标系,则曲线 C 的参数方程为________。 15. (几何证明选讲选做题)如图 3,在矩形 ABCD 中, AB ? 3 , BC ? 3 , BE ? AC , 垂足为 E ,则 ED =________。

B E

C

A

D

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 30 分,解答题写出文字说明、证明过程和演算步骤。 16、 (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ?

2 cos( x ?

?
12

) , x?R

(1) 求 f ( ) 的值; (2)

?

3 3? ? cos ? ? , ? ? ( , 2? ) ,求 f (? ? ) 。 5 2 6

3

17、 (本小题满分 12 分) 从一批苹果中,随机抽取 50 个,其重量(单位:克)的频数分布表如下: 分组(重量) 频数(个) [80,85 ) 5 [80,90 ) 10 [90,95 ) 20 [95,100 ) 15

(1) 根据频数分布表计算苹果的重量在[90,95 ) 的频率; (2) 用分层抽样的方法从重量在[80,85 ) 和[95,100 ) 的苹果中共抽取 4 个,其中重量 在[80,85 ) 的有几个? (3) 在(2)中抽出的 4 个苹果中,任取 2 个,求重量在[80,85 ) 和[95,100 ) 中各有 1 的概率。

18. (本小题满分 14 分) 如图 4,在边长为 1 的等边三角形 ABC 中,D,E 分别是 AB,AC 上的点, AD ? AE ,F 是 BC 的中点, 与 DE 交于 G, ? ABF 沿 AF 折起, AF 将 得到如图 5 所示的三棱锥 A-BCF,其中 BC ?

2 2

(1) 证明: DE ?平面BCF ; (2) 证明: CF ? 平面ABF ; (3) 当 AD ?

2 时,求:棱锥 F ? DEG 的体积 VF ? DEG 。 3

19. (本小题满分 14 分)
2 设各项均为正数的数列 {an } 的前 n 项和为 s n ,满足 4s n ? an ?1 ? 4n ? 1 , n ? N ? ,且 a2 ,

a4 , a2 , a6 构成等比数列。
(1) 证明: a2 ?

4a1 ? 5 ;

(2) 求数列 an 的通项公式; (3) 证明:对一切正整数 n ,有 20. (本小题满分 14 分) 已知抛物线 C 的顶点为原点, 其焦点 F (0, c)(c ? 0) 到直线 l : x ? y ? 2 ? 0 的距离为 设 P 为直线 l 上的点,过点 P 做抛物线 C 的两条切线 PA,PB 其中 A,B 为切点。 (1) 求抛物线 C 的方程; (2) 当点 p( x0 , y0 ) 为直线 l 上的定点时,求直线 AB 的方程; (3) 当点 P 在直线 l 上移动时,求 | AF |? BP | 的最小值。 | 21.(本小题满分 14 分) 设函数 f ( x) ? x ? kx ? x(k ? R)
3 2

1 1 1 1 ? ? ??? ? ? a1a2 a2 a3 an an ?1 2

3 2 , 2

(1) 当 k ? 1 时,求函数 f ( x) 的单调区间; (2) 当 k ? 0 时,求函数 f ( x) 在 {1, k} 上最小值 m 和最大值 M. 数学(文科)试卷 A 第 4 页(共 4 页)


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