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高一数学人教B版必修1:3.1 指数与指数函数 学案


第三章 基本初等函数 (Ⅰ ) § 3.1 指数与指数函数 指数函数图象诗歌鉴赏 多个图象像束花,(0,1)这点把它扎. 撇增捺减无例外,底互倒时纵轴夹. x=1 为判底线,交点 y 标看小大. 重视数形结合法,横轴上面图象察. 此诗每行字数相等,且押韵,读起来倍感顺口,内容简洁明了,使读者在无形之中把指 数函数图象的特点牢记于心. 【入门向导】 如图所示的就是上面举的指数函数的图象.不难看出,它们就像一束花.每个指数函数 的图象都经过(0,1)这点,所以说“(0,1)这点把它扎”就顺理成章了. 对于指数函数的图象来说,“撇增捺减”就绝对是事实.当 a>1 时,从左往右看指数 x x 函数 y=a 的图象是上升的,类似于汉字中的撇,这时,指数函数 y=a 是增函数;当 0<a<1 x x 时,从左往右看指数函数 y=a 的图象是下降的,类似于汉字的捺,这时,指数函数 y=a 1x 1 x 是减函数.由 y=2 和 y=( ) 的图象,可以看出它们是关于 y 轴对称的.而底数 2 与 是倒 2 2 1x x 数, 所以自然而然地得到“底互倒时纵轴夹”, 这也可以从 y=3 和 y=( ) 的图象中得到充 3 分的体现. 解读指数函数图象的应用 一、比较大小 1 例 1 若 a<0,则 2a ,( )a,0.2a 的大小顺序是________. 2 1 分别作出函数 y=2x,y=( )x 和 y=0.2x 的图象,如图所示,从图象可以看出,当 2 a 1 a a a<0 时,有 0.2 >( ) >2 . 2 1 答案 0.2a >( )a >2a 2 点评 本题涉及三个指数函数图象, 因此在作图时, 一定要抓住图象的特征点(0,1)或特 征线 y=1 及指数函数图象的走向正确作图: 当 a>1 时, 底数 a 越大图象越陡; 当 0<a<1 时, 底数 a 越小图象越陡. 二、求解方程根的问题 解析 例 2 确定方程 2x=-x2 +2 的根的个数. 解 根据方程的两端分别设函数 f (x)=2 ,g(x)=-x +2. 在同一坐标系中画出函数 f (x)=2x 与 g(x)=-x2 +2 的图象,如图所示. 由图可以发现,二者仅有两个交点, 所以方程 2x=-x2 +2 的根的个数为 2. 点评 利用指数函数的图象确定方程的根的关键是要正确作出方程两端对应的函数的 图象,遇到含有参数的方程时,还要注意分类讨论. 三、求解参数问题 例 3 若直线 y=2a 与函数 y=|ax-1|+1(a>0 且 a≠1)的图象有两个公共点, 则 a 的取值 范围是________. 解析 当 a>1 时, 通过平移变换和翻折变换可得如图 1 所示的图象, 则由图可知 1<2a<2, 1 即 <a<1 与 a>1 矛盾. 2 x 2 当 0<a<1 时,同样通过平移变换和翻折变换可得如图 2 所示的图象, 则由图可知 1<2a<2, 1 即 <a<1,即为所求. 2 1 答案 <a<1 2 点评 (1)解答此题时要注意底数的不确定性,因此作图时要注意讨论;(2)根据条件确 定直线 y=2a 与函数的图象位臵关系,然后由位臵关系建立不等式,进而求得结果,其处理 的过程体现了数形结合的思想. 学习根式和分数指数幂的运算三注意 有关根式和分数指数幂的运算, 和我们学过的加、 减、 乘、 除运算一样, 是十分重要的, 它也是我们继续学习指数函数和对数函数的基础. 由于这一部分内容的概念较多, 初学时很 容易出错,首先要注意以下三点. (1)根式的运算中

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