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示范教案(1.2.1 函数的概念 第1课时)


示范教案(2.1

函数的概念 第 1 课时)
1.2.1 函数的概念 整体设计

教学分析 函数是中学数学中最重要的基本概念之一.在中学,函数的学习大致可分为三个阶段.第一阶 段是在义务教育阶段,学习了函数的描述性概念,接触了正比例函数、 反比例函数、 一次函数、 二次函数等最简单的函数,了解了它们的图象、性质等.本节学习的函数概念与后续将要学习 的函数的基本性质、基本初等函数(Ⅰ)和基本初等函数(Ⅱ)是学习函数的第二阶段,这是对函 数概念的再认识阶段.第三阶段是在选修系列的导数及其应用的学习,这是函数学习的进一步 深化和提高. 在学生学习用集合与对应的语言刻画函数之前,学生已经把函数看成变量之间的依赖关系;同 时,虽然函数概念比较抽象,但函数现象大量存在于学生周围.因此,课本采用了从实际例子中 抽象出用集合与对应的语言定义函数的方式介绍函数概念. 三维目标 1.会用集合与对应的语言来刻画函数,理解函数符号 y=f(x)的含义;通过学习函数的概念,培养 学生观察问题、提出问题的探究能力,进一步培养学习数学的兴趣和抽象概括能力;启发学生 运用函数模型表述思考和解决现实世界中蕴涵的规律,逐渐形成善于提出问题的习惯,学会数 学表达和交流,发展数学应用意识. 2.掌握构成函数的三要素,会求一些简单函数的定义域,体会对应关系在刻画函数概念中的作 用,使学生感受到学习函数的必要性的重要性,激发学生学习的积极性. 重点难点 教学重点:理解函数的模型化思想,用集合与对应的语言来刻画函数. 教学难点:符号“y=f(x)”的含义,不容易认识到函数概念的整体性,而将函数单一地理解成对应 关系,甚至认为函数就是函数值. 课时安排 2 课时 教学过程 第 1 课时 函数的概念 导入新课 思路 1.北京时间 2005 年 10 月 12 日 9 时整,万众瞩目的“神舟”六号飞船胜利发射升空,5 天后 圆满完成各项任务并顺利返回.在“神舟”六号飞行期间,我们时刻关注“神舟”六号离我们的距 离 y 随时间 t 是如何变化的,本节课就对这种变量关系进行定量描述和研究.引出课题. 思路 2.问题:已知函数 y=1,x∈瘙 綂 下标 RQ,0,x∈瘙 綂 下标 RQ,请用初中所学函数的定 义来解释 y 与 x 的函数关系?先让学生回答后,教师指出:这样解释会显得十分勉强,本节将用 新的观点来解释,引出课题. 推进新课 新知探究 提出问题 (1)给出下列三种对应:(幻灯片) ①一枚炮弹发射后,经过 26 s 落到地面击中目标.炮弹的射高为 845 m,且炮弹距地面的高度为 h(单位:m)随时间 t(单位:s)变化的规律是 h=130t-5t2. 时间 t 的变化范围是数集 A={t|0≤t≤26},h 的变化范围是数集 B={h|0≤h≤845}.则有对应 f:t→h=130t-5t2,t∈A,h∈B.

②近几十年来,大气层的臭氧迅速减少,因而出现了臭氧洞问题.图 1-2-1-1 中的曲线显示了南 极上空臭氧层空洞的面积 S(单位:106 km2)随时间 t(单位:年)从 1991~2001 年的变化情况.

图 1-2-1-1 根据图 1-2-1-1 中的曲线,可知时间 t 的变化范围是数集 A={t|1979≤t≤2001},空臭氧层空洞面 积 S 的变化范围是数集 B={S|0≤S≤26},则有对应: f:t→S,t∈A,S∈B. ③国际上常用恩格尔系数反映一个国家人民生活质量的高低,恩格尔系数越低,生活质量越高. 下表中的恩格尔系数 y 随时间 t(年)变化的情况表明,“八五”计划以来,我国城镇居民的生活质 量发生了显著变化. “八五”计划以来我国城镇居民恩格尔系数变化情况 时间 恩格尔系数 y 1991 53.8 1992 52.9 1993 50.1 1994 49.9 1995 49.9 1996 48.6 1997 46.4 1998 44.5 1999 41.9 2000 39.2 2001 37.9

根据上表,可知时间 t 的变化范围是数集 A={t|1991≤t≤2001},恩格尔系数 y 的变化范围是数集 B={S|37.9≤S≤53.8}.则有对应: f:t→y,t∈A,y∈B. 以上三个对应有什么共同特点? (2)我们把这样的对应称为函数,请用集合的观点给出函数的定义. (3)函数的定义域是自变量的取值范围,那么你是如何理解这个“取值范围”的? (4)函数有意义又指什么? (5)函数 f:A→B 的值域为 C,那么集合 B=C 吗? 活动: 让学生认真思考三个对应,也可以分组讨论交流,引导学生找出这三个对应的本质共性. 解: (1)共同特点是:集合 A、 都是数集,并且对于数集 A 中的每一个元素 x,在对应关系 f:A→B B 下,在数集 B 中都有唯一确定的元素 y 与之对应. (2)一般地,设 A、B 都是非空的数集,如果按照某个确定的对应关系 f,使对于集合 A 中的任意 一个数 x,在集合 B 中都有唯一确定的数 f(x)和它对应,那么就称 f:A→B 为从集合 A 到集合 B 的一个函数,记作 y=f(x),x∈A,其中 x 叫自变量,x 的取值范围 A 叫做函数的定义域,函数值的 集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域. 在研究函数时常会用到区间的概念,设 a,b 是两个实数,且 a<b,如下表所示: 定义 {x|a≤x≤b} {x|a<x<b} {x|a≤x<b} {x|a<x≤b} {x|x≥a} {x|x>a} {x|x≤a} {x|x<a} 名称 闭区间 开区间 半开半闭区间 半开半闭区间 符号 [a,b] (a,b) [a,b) (a,b] [a,+∞) (a,b] (-∞,a] (-∞,a) 数轴表示

R

(-∞,+∞)

(3)自变量的取值范围就是使函数有意义的自变量的取值范围. (4)函数有意义是指:自变量的取值使分母不为 0;被开方数为非负数;如果函数有实际意义时, 那么还要满足实际取值等等. (5)C ? B. 应用示例 思路 1 1.已知函数 f(x)= x ? 3 + (1)求函数的定义域; (2)求 f(-3),f(
2 3 1 x?2

,

)的值;

(3)当 a>0 时,求 f(a),f(a-1)的值. 活动: (1)让学生回想函数的定义域指的是什么?函数的定义域是使函数有意义的自变量的取值范 围,故转化为求使
1 x?2

x ?3和

1 x?2

有意义的自变量的取值范围;

x ? 3 有意义,则 x+3≥0,

有意义,则 x+2≠0,转化解由 x+3≥0 和 x+2≠0 组成的不等式组.
2 3

(2)让学生回想 f(-3),f( 变量 x=
2 3

)表示什么含义?f(-3)表示自变量 x=-3 时对应的函数值,f(
2 3

2 3

)表示自

时对应的函数值.分别将-3,

代入函数的对应法则中得 f(-3),f(

2 3

)的值.

(3)f(a)表示自变量 x=a 时对应的函数值,f(a-1)表示自变量 x=a-1 时对应的函数值. 分别将 a,a-1 代入函数的对应法则中得 f(a),f(a-1)的值. 解:(1)要使函数有意义,自变量 x 的取值需满足 ? 即函数的定义域是[-3,-2)∪(-2,+∞). (2)f(-3)= - 3 ? 3 +
2 3
2 3

? x ? 3 ? 0, ? x ? 2 ? 0.

解得-3≤x<-2 或 x>-2,

1 ?3? 2
1

=-1;
33 2

f(

)=

?3 ?

2 3

=

3 8

?

.

?2

(3)∵a>0,∴a∈[-3,-2)∪(-2,+∞), 即 f(a),f(a-1)有意义. 则 f(a)= a ? 3 +
1 a?2

;
1

f(a-1)= a - 1 ? 3 ?

a ?1? 2

= a?2?

1 a ?1

.

点评: 本题主要考查函数的定义域以及对符号 f(x)的理解.求使函数有意义的自变量的取值范 围,通常转化为解不等式组. f(x)是表示关于变量 x 的函数,又可以表示自变量 x 对应的函数值,是一个整体符号,分开符号

f(x)没有什么意义.符号 f 可以看作是对“x”施加的某种法则或运算.例如 f(x)=x2-x+5,当 x=2 时, 看作“2”施加了这样的运算法则:先平方,再减去 2,再加上 5;当 x 为某一代数式(或某一个函数 记 号 时 ), 则 左 右 两 边 的 所 有 x 都 用 同 一 个 代 数 式 ( 或 某 一 个 函 数 ) 来 代 替 . 如:f(2x+1)=(2x+1)2-(2x+1)+5,f[g(x)]=[g(x)]2-g(x)+5 等等. 符号 y=f(x)表示变量 y 是变量 x 的函数,它仅仅是函数符号,并不表示 y 等于 f 与 x 的乘积;符 号 f(x)与 f(m)既有区别又有联系,当 m 是变量时,函数 f(x)与函数 f(m)是同一个函数;当 m 是常 数时,f(m)表示自变量 x=m 对应的函数值,是一个常量. 已知函数的解析式,求函数的定义域,就是求使得函数解析式有意义的自变量的取值范围,即: (1)如果 f(x)是整式,那么函数的定义域是实数集 R. (2)如果 f(x)是分式,那么函数的定义域是使分母不等于零的实数的集合. (3)如果 f(x)是二次根式,那么函数的定义域是使根号内的式子大于或等于零的实数的集合. (4)如果 f(x)是由几个部分的数学式子构成的,那么函数定义域是使各部分式子都有意义的实 数集合(即求各部分定义域的交集). (5)对于由实际问题的背景确定的函数,其定义域还要受实际问题的制约. 变式训练 1.求函数 y=
( x ? 1) x ?1
2

?

1 ? x 的定义域.

答案:{x|x≤1,且 x≠-1}. 点评:本题容易错解:化简函数的解析式为 y=x+1 - 1 - x ,得函数的定义域为{x|x≤1}.其原 因是这样做违背了讨论函数问题要保持定义域优先的原则.化简函数的解析式容易引起函数 的定义域发生变化,因此求函数的定义域之前时,不要化简解析式. 2.2007 山东滨州二模,理 1 若 f(x)= M∩N 等于( )
1 x

的定义域为 M,g(x)=|x|的定义域为 N,令全集 U=R,则

A.M B.N C. M D. N 分析:由题意得 M={x|x>0},N=R,则 M∩N={x|x>0}=M. 答案:A 3.已知函数 f(x)的定义域是[-1,1],则函数 f(2x-1)的定义域是________. 分析:要使函数 f(2x-1)有意义,自变量 x 的取值需满足-1≤2x-1≤1,∴0≤x≤1. 答案: [0,1] 思路 2 1.2007 湖北武昌第一次调研,文 14 已知函数 f(x)=
1 4
x
2 2

1? x

,那么 f(1)+f(2)+f(

1 2

)+f(3)+f(

1 3

)

+f(4)+f( 活动:

)=________.

观察所求式子的特点,引导学生探讨 f(a)+f(

1 a

)的值.

解法一:原式=

1

2 2

1?1

?

2

2 2

1? 2
1 17
1 x

1 2 1 2 1 2 ( ) ( ) ( ) 2 2 1 3 4 3 2 4 = + ? ? ? ? ? 2 2 1 2 1? 3 1 2 1? 4 1 2 2 1? ( ) 1? ( ) 1? ( ) 2 3 4
7 2

4 5

?

1 5

?

9 10

?

1 10

?

16 17

?

=

.
1 2 ( ) 2 x 1 x ? = =1. ? 2 2 1 2 1? x 1? x 1? ( ) x

解法二:由题意得 f(x)+f(

)=

x

2 2

1? x

则原式=

1 2

+1+1+1=

7 2

.

点评:本题主要考查对函数符号 f(x)的理解.对于符号 f(x),当 x 是一个具体的数值时,相应地 f(x)也是一个具体的函数值.本题没有求代数式中的各个函数值,而是看到代数式中含有 f(x)+f(
1 x

),故先探讨 f(x)+f(

1 x

)的值,从而使问题简单地获解.求含有多个函数符号的代数式值

时,通常不是求出每个函数值,而是观察这个代数式的特 ?找到规律再求解. 受思维定势的影响,本题很容易想到求出每个函数值来求解,虽然可行,但是这样会浪费时间, 得不偿失.其原因是解题前没有观察思考,没有注意经验的积累. 变式训练 1.已知 a、b∈N*,f(a+b)=f(a)f(b),f(1)=2,则 a=x,b=1(x∈N*), 则有 f(x+1)=f(x)f(1)=2f(x), 即有
f ( x ? 1) f (x) f (2) f (1) ? f (3) f (2) ?? ? f ( 2007 ) f ( 2006 )

=_________.分析:令

=2(x∈N*).

所以,原式= 2 ? 2 ??? =4012. ? ?? ? 2
2006

答案:4012 2.2007 山 东 蓬 莱 一 模 , 理 13 设 函 数 f(n)=k(k∈N*),k 是 π 的 小 数 点 后 的 第 n 位 数 字,π=3.1415926535…,则 f ? f ? ? f (10 ) ?? 等于________.
? ??? ? ? ?
100

分析:由题意得 f(10)=5,f(5)=9,f(9)=3,f(3)=1,f(1)=1,…, 则有 f ? f ? ? f (10 ) ?? =1.
? ??? ? ? ?
100

答案:1 2.2007 山东济宁二模,理 10 已知 A={a,b,c},B={-1,0,1},函数 f:A→B 满足 f(a)+f(b)+f(c)=0,则这 样的函数 f(x)有( ) A.4 个 B.6 个 C.7 个 D.8 个 活动: 学生思考函数的概念,什么是不同的函数.定义域和值域确定后,不同的对应法则就是不 同的函数,因此对 f(a),f(b),f(c)的值分类讨论,注意要满足 f(a)+f(b)+f(c)=0. 解:当 f(a)=-1 时,

则 f(b)=0,f(c)=1 或 f(b)=1,f(c)=0, 即此时满足条件的函数有 2 个; 当 f(a)=0 时, 则 f(b)=-1,f(c)=1 或 f(b)=1,f(c)=-1 或 f(b)=0,f(c)=0, 即此时满足条件的函数有 3 个; 当 f(a)=1 时, 则 f(b)=0,f(c)=-1 或 f(b)=-1,f(c)=0, 即此时满足条件的函数有 2 个. 综上所得,满足条件的函数共有 2+3+2=7(个). 故选 C. 点评:本题主要考查对函数概念的理解,用集合的观点来看待函数. 变式训练 若一系列函数的解析式相同,值域相同,但是定义域不同,则称这些函数为“同族函数”.那么解 析式为 y=x2,值域是{1,4}的“同族函数”共有( ) A.9 个 B.8 个 C.5 个 D.4 个 分析:“同族函数”的个数由定义域的个数来确定,此题中每个“同族函数”的定义域中至少含有 1 个绝对值为 1 的实数和绝对值为 2 的实数. 令 x2=1,得 x=± 1;令 x2=4,得 x=± 2. 所有“同族函数”的定义域分别是{1,2},{1,-2},{-1,2},{-1,-2},{1,-1,2},{1,-1,-2},{1,-2,2}, {-1,-2,2},{1,-1,-2,2},则“同族函数”共有 9 个. 答案:A 知能训练 1.2007 学年度山东淄博高三第二次摸底考试,理 16 已知函数 f(x)满足:f(p+q)=f(p)f(q),f(1)=3, 则
f (1) ? f ( 2 )
2

?

f (2) ? f (4)
2

?

f (3) ? f ( 6 )
2

?

f ( 4 ) ? f (8 )
2

?

f ( 5 ) ? f (10 )
2

=______

f (1)

f (3)

f (5 )

f (7 )

f (9 )

. 解:∵f(p+q)=f(p)f(q), ∴f(x+x)=f(x)f(x),即 f2(x)=f(2x). 令 q=1,得 f(p+1)=f(p)f(1),∴
f ( p ? 1) f ( p) 2 f (2) f (1) 2 f (4) f (3) 2 f (6) f (5) 2 f (8 ) f (7 ) 2 f (10 ) f (9 )

=f(1)=3.

∴原式=

?

?

?

?

=2(3+3+3+3+3)=30.

答案:30 2.2006 第 十 七 届 “ 希 望 杯 ” 全 国 数 学 邀 请 赛 ( 高 一 ) 第 一 试 ,2 若 f(x)=
1 x

的定义域为

A,g(x)=f(x+1)-f(x)的定义域为 B,那么( ) A.A∪B=B B.A B C.A ? B D.A∩B= ? 分析:由题意得 A={x|x≠0},B={x|x≠0,且 x≠-1}.则 A∪B=A,则 A 错;A∩B=B,则 D 错;由于 B?A, 则 C 错,B 正确. 答案:B

拓展提升 问题:已知函数 f(x)=x2+1,x∈R. (1)分别计算 f(1)-f(-1),f(2)-f(-2),f(3)-f(-3)的值. (2)由(1)你发现了什么结论?并加以证明. 活动:让学生探求 f(x)-f(-x)的值.分析(1)中各值的规律,归纳猜想出结论,再用解析式证明. 解:(1)f(1)-f(-1)=(12+1)-[(-1)2+1]=2-2=0; f(2)-f(-2)=(22+1)-[(-2)2+1]=5-5=0; f(3)-f(-3)=(32+1)-[(-3)2+1]=10-10=0. (2)由(1)可发现结论:对任意 x∈R,有 f(x)=f(-x).证明如下: 由题意得 f(-x)=(-x)2+1=x2+1=f(x). ∴对任意 x∈R,总有 f(x)=f(-x). 课堂小结 本节课学习了:函数的概念、函数定义域的求法和对函数符号 f(x)的理解. 作业 课本 P24,习题 1.2A 组 1、5. 设计感想 本节教学中,在归纳函数的概念时,本节设计运用了大量的实例,如果不借助于信息技术,那么 会把时间浪费在实例的书写上,会造成课时不足即拖堂现象.本节重点设计了函数定义域的求 法,而函数值域的求法将放在函数的表示法中学习.由于函数是高中数学的重点内容之一,也 是高考的重点和热点,因此对函数的概念等知识进行了适当的拓展,以满足高考的需要. (设计者:高建勇)


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