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湖南省衡阳县第一中学2016


衡阳县一中 2016 年下学期高二学科竞赛数学试题(文)
总分:150 分 时量:120 分钟 一.选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的。 1.在等差数列 an 中,a1=2,a3+a5=10,则 a7=( A.5 B.8 C.10 ) ) D.14

2.不等式(1+x)(1-x)>0 的解集为( A.{x|0≤x<1} C.{x|-1<x<1}
2

B.{x|x<-1 或 x>1} D.{x|-1≤x≤1} )

3.若不等式 ax +x+a<0 的解集为 ?,则实数 a 的取值范围是( 1 1 A.{a|a≤-2或 a≥2} 1 1 C.{a|-2≤a≤2} 1 B.{a|a<2} 1 D.{a|a≥2} )

4.在△ABC 中,已知 a= 6,b=2,A=60°,则 B=( A.45° B.135° C.60°

D.45°或 135° )

5.若点 B(-1,-6)与 C(-3,-2)在直线 4x-3y-a=0 的两侧,则实数 a 的取值范围是( A.(-6,14) C.(-∞,-6)∪(14,+∞) B.(14,+∞) D.(-∞,-6)

6.已知在△ ABC 中,a=x,b=2,B=45°,若三角形有两解,则 x 的取值范围是( A. x>2 B. x<2 C.2<x<2

2

)

D.2<x<2

3

7.设等比数列{an}中,前 n 项和为 Sn,已知 S3=8,S6=7,则 a7+a8+a9= (

1 A. 8

1 B. ? 8

57 C. 8

55 D. 8

)

a
A.等腰三角形 C.等腰直角三角形

b
) B.直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形

8.在△ABC 中,cos B=cos A,则△ABC 一定是(

1

x 2 y2 9.已知双曲线 2 - 2 ? 1 (a>0,b>0)的一条渐近线平行于直线 l:y=2x+10,双曲线的一个焦点在直线 l a b
上,则双曲线的方程为( )

x 2 y2 A. - ? 1 5 20 3x 2 3y 2 C. - ?1 25 100
10.已知函数

x 2 y2 B. - ? 1 20 5 3x 2 3y 2 D. - ?1 100 25

f ( x) 是定义在 (0,+?) 上的单调函数, 且对任意的正数 x ,y 都有 f (x ? y)=f (x)+f (y ), 若
( )

? 数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,且满足 f (Sn +2) ? f (an )=f (3) (n ? N ), 则 an 为

A. 2 n -1

B. n

C. 2n ? 1

n ?1 D. ( )

3 2

11.已知△ABP 的顶点 A,B 分别为双曲线 则
sin A ? sin B sin P

x2 y2 ? ? 1的左、右焦点,顶点 P 在双曲线上, 16 9

的值等于(

)

4 7 5 A. ??????????????B. ??????????????C. ??????????????D. 7 5 4 4
12.若点 O 和点 F 分别为椭圆 最大值为( A.2 ) B.3 C.6 D.8

x 2 y2 ? =1 的中心和左焦点,点 P 为椭圆上的任意一点,则 4 3

·



二.填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填在答题卡中对应号后的横线上。

x≥0, ? ? 13.不等式组?x+3y≥4,所表示的平面区域的面积等于________. ? ?3x+y≤4,
1 S4 14.设等比数列{an}的公比 q=2,前 n 项和为 Sn,则a4=________. x 2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 15.设椭圆 C: 的左右焦点为 F1, F2,过 F2 作 x 轴的垂线与 C 相交于 A,B 两点,F1B 与 a 2 b2
a b ?. b?c c?a 16.在△ABC 中,C=60°,a,b,c 分别为角 A,B,C 的对边,则

y 轴相交于点 D,若 AD⊥F1B,则椭圆 C 的离心率等于

=

.

三.解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 17.(本小题满分 10 分)

2

? 向量 n=?cos2,sin2?, 在△ABC 中, 三内角 A, B, C 对边分别为 a, b, c, 若向量 m=? ?-cos2,sin2?, ? ?
1 且 m·n=2. (1)求角 A 的值; (2)若 a=2 3,b+c=4,求△ABC 的面积.

?

A

A?

?

A

A?

18.(本小题满分 12 分) 已知等差数列{an}满足:a3=7,a5+a7=26,{an}的前 n 项和为 Sn. (1)求 an 及 Sn; 1 * (2)令 bn=a2 (n∈N ),求数列{bn}的前 n 项和 Tn. n-1

19.(本小题满分 12 分) 某企业生产甲、乙两种产品,已知生产每吨甲产品要用 A 原料 3 吨,B 原料 2 吨;生产每吨乙产品 要用 A 原料 1 吨,B 原料 3 吨, 销售每吨甲产品可获得利润 5 万元,销售每吨乙产品可获得利润 3 万元.该企业在一个生产周期内消耗 A 原料不超过 13 吨,B 原料不超过 18 吨.那么该企业可获得 最大利润是多少?

3

20. (本小题满分 12 分) 已知数列{an}满足 a1=2,an=2an-1+2(n≥2). (1)证明:数列{an+2}是等比数列,并求数列{an}的通项公式 an.
bn } a (2)若数列{bn}满足 bn=log2(an+2),设 Tn 是数列 n ? 2 {

3 求证:Tn< 2 .

的前 n 项和.

21. (本小题满分 12 分 ) 设椭圆 C: 之和为 4. (1)求椭圆 C 的方程 . (2 )椭圆 C 上一动点 P(x0,y0)关于直线 y=2x 的对称点为 P1(x1,y1),求 3x1-4y1 的取值范围.

x 2 y2 2 ,点 A 是椭圆上的一点,且点 A 到椭圆 C 两焦点的距离 ? 2 =1(a>b>0)的离心率 e= 2 a b 2

4

22. (本小题满分 12 分) 已知 椭圆 C1 的方程为

x2 2 +y =1,双曲线 C2 的左、右焦点分别是 C1 的左、右顶点,而 C2 的左、右顶点分 4

别是 C1 的左、右焦点. (1)求双曲线 C2 的方程. (2)若直线 l:y=kx+ 2 与双曲线 C2 恒有两个不同的交点 A 和 B,且 k 的取值范围. · >2(其中 O 为原点),求

5

参考答案 1.B2.C 3.D 4.A 5.A 6.C 7.A 8. D 9.A 10. D 11.A 12.C 4

13.3 14.15

15.

16.1

1 A A 1 1 17.【解析】(1)由 m·n=2,得-cos22+sin22=2,即 cos A=-2. ∵A 为△ABC 的内角, 2 ∴A=3π . (2)由余弦定理得 a =b +c -2bccos A, 即 a2=(b+c)2-bc, 亦即 12=42-bc,∴bc=4, 1 ∴S△ABC=2bcsin A= 3. 18.【解析】(1)设等差数列{an}的公差为 d,则由 a3=7,a5+a7=26,得
?a1+2d=7, ? ? ? ?2a1+10d=26, ?a1=3, ? 解得? ? ?d=2.
2 2 2

3 3

所以 an=3+2(n-1)=2n+1,

n(n-1) 2 Sn=3n+ ×2=n +2n. 2
(2)由(1)可知 an=2n+1, 1 所以 bn=a2 n-1 1 =(2n+1)2-1 1 1 =4·n(n+1) 1 1 1 =4·(n-n+1), 1 1 ? 1 1 1 1 - + - +…+ - 所以 T n=4·? 2 2 3 n ? 1 ? 1 ? 1 ? n ? ? 1 - = · = n+1? n + 1 ? 4 ? ? 4(n+1),

n
即数列{bn}的前 n 项和 Tn=4(n+1). 19.【解析】设生产甲产品 x 吨,生产乙产品 y 吨,则据题意可得如下表:

A 原料用量
甲产品 x 吨 3x

B 原料用量
2x
6

乙产品 y 吨

y

3y

x≥0, ? ?y≥0, 则有?3x+y≤13, ? ?2x+3y≤18,
目标函数 z=5x+3y,

作出可行域后求出可行域边界上各端点的坐标,可知 当 x=3,y=4 时,可获得最大利润为 27 万元. 20. 【解析】(1) 由 an=2an-1+2,所以 an+2=2(an-1+2), 所以
an ? 2 =2. a n ?1 ? 2

又 a1=2, 所以{an+2}是以 a1+2=4 为首项,以 2 为公比的等比数列. 所以 an+2=4·2 ,所以 an=2 -2.
n-1 n+1

? 2 ?由b n ? log 2 ? a n ? 2 ? ? log 2 2n ?1 ? n ? 1, 得
则Tn ?

bn n ?1 ? n ?1 , an ? 2 2

2 3 n ?1 ? 3 ??? n ?1 , ① 2 2 2 2 1 2 n n ?1 Tn ? 3 ??? n ?1 ? n ? 2 ,② 2 2 2 2 1 2 1 1 1 n ?1 ① ? ②,得 Tn ? 2 ? 3 ? 4 ??? n ?1 ? n ? 2 2 2 2 2 2 2 1 1 (1 ? n ) 1 4 2 ? n ?1 ? 1 ? 1 ? 1 ? n ?1 ? 3 ? n ? 3 . ? ? 1 4 2n ? 2 4 2 2n ?1 2n ? 2 4 2n ? 2 1? 2 3 n ?3 3 Tn ? ? n ?1 , 所以Tn< . 2 2 2

7

21【解析】(1)依题意知,2a=4,所以 a=2. 因为 e ?

c 2 ? , 所以 c= 2 ,b= a 2 ? c2 ? 2. a 2
x 2 y2 =1. ? 4 2

所以所求椭圆 C 的方程为

(2)因为点 P(x0,y0)关于直线 y=2x 的对称点为

? y0 ? y1 ? 2 ? ?1, ? ? x 0 ? x1 P1(x1,y1),所以 ? ? y0 ? y1 ? 2 ? x 0 ? x1 . ? ? 2 2
解得 x1 ?

4y0 ? 3x 0 3y ? 4x 0 , y1 ? 0 . 5 5

所以 3x1- 4y1=-5x0. 因为点 P(x0,y0)在椭圆 C:

x 2 y2 =1 上, ? 4 2

所以-2≤x0≤2,则-10≤-5x0≤10. 所以 3x1-4y1 的取值范围为[-10,10].

22.【解析】(1)设双曲线 C2 的方程为 则 a =4-1=3,c =4,再由 a +b =c , 得 b2=1,
2 2 2 2 2

x 2 y2 ? =1(a>0,b>0), a 2 b2

x2 2 故 C2 的方程为 -y =1. 3
(2)将 y=kx+ 2 代入

x2 2 -y =1, 3

得(1-3k2)x2-6 2 kx-9=0. 由直线 l 与双曲线 C2 交于不同的两点,得

8

?1 ? 3k 2 ? 0, ? ? ? ? ?6 2k ? ?

?

?

2

? 36 ?1 ? 3k 2 ? ? 36 ?1 ? k 2 ? ? 0,


所以 k2≠

1 且 k2<1. 3

设 A(x1,y1),B(x2,y2), 则 x1+x2=

?9 6 2k ,x , 1x2= 1 ? 3k 2 1 ? 3k 2
·

所以

=x1x2+y1y2 =x1x2+(kx1+ 2 )(kx2+ 2 ) =(k +1)x1x2+ 2 k(x1+x2)+2 =
2

3k 2 ? 7 . 3k 2 ? 1
· >2,得

又由

1 3k 2 ? 7 >2,解得 <k2<3, 2 3 3k ? 1
由①②得,



1 2 <k <1. 3

故 k 的取值范围为(-1,-

3 3 )∪( ,1). 3 3

9


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