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【2015届备考】2014全国名校(数学)分类解析汇编(11月第三期):L单元 算法初步与复数


L 单元 目录

算法初步与复数

L 单元 算法初步与复数 ............................................................................................................... 1 L1 算法与程序框图 ...................................................................................................................... 1 L2 基本算法语句 .......................................................................................................................... 1 L3 算法案例 .................................................................................................................................. 1 L4 复数的基本概念与运算 .......................................................................................................... 1 L5 单元综合 .................................................................................................................................... 1

L1 算法与程序框图

【数学理卷·2015 届浙江省重点中学协作体高三第一次适应性测试(201411)word 版】11.一个算法的 程序框图如下图所示,若该程序输出的结果为

5 ,则判断框中应填入的条件是 6





(第 11 题图) 【知识点】程序框图 L1 【答案解析】 i ? 6 解析:第一次循环后 sum ?

1 1 2 1 ? , i ? 3 ,第三 , i ? 2 ,第二次循环 sum ? ? 2 2?3 3 2 2 1 3 3 1 4 ? , i ? 4 , 第 四 次 循 环 sum ? ? ? ,i ? 5 , 第 五 次 循 环 次 循 环 sum ? ? 3 3? 4 4 4 4?5 5 4 1 5 sum ? ? ? , i ? 6 ,此时, i ? 6 不满足条件,输出结果,所以应填 i ? 6 。 5 5? 6 6

【思路点拨】由框图的算法依次计算即可解出结果。

【数学理卷·2015 届北京市重点中学高三上学期第一次月考(201410) 】3.如图所示,程序框图的输出结 果是 A.

1 6

B.

3 4

C.

11 12

D.

25 24
第 1 页(共 18 页)

【知识点】程序框图.L1 【答案解析】C 解析: s ?

1 1 1 11 ? ? ? ,选 C. 2 4 6 12

【思路点拨】根据程序框图的流程指向,依次计算 s 的值即可。

【数学文卷·2015 届湖南省师大附中高三上学期第二次月考(201410) 】7、阅读如图所示的程序框图,运 行相应的程序,若输入的值为 9 则输出的值为

A.1064

B.1065

C.1067 L1

D.1068

【知识点】算法与程序框图.

【答案解析】C 解析:循环过程依次为: (1)S=2+1,k=2; (2) S=(2+1)+( 2 ? 2 ),k=3;
2
3 (3) S=(2+1)+( 2 ? 2 )+ 2 ? 3 ,k=4;

2

?

?

3 ,(9) S=(2+1)+( 2 ? 2 )+ 2 ? 3 +

2

?

?

? ? 29 ? 9 ? ,

2 3 k=10,所以输出值为 S= 2 ? 2 ? 2 ?

?

? 29 ? ? ?1 ? 2 ? 3 ?

? 9?

=

2 ?1 ? 29 ? 1? 2

?

1 ?1 ? 9? ? 9 ? 1067 ,故选 C. 2

【思路点拨】根据程序框图描述的循环规律得 S 的运算式,从而得输出的值.

第 2 页(共 18 页)

【数学文卷·2015 届云南省玉溪一中高三上学期期中考试(201410) 】7、阅读右边程序框图,为使输出的 数据为 31,则判断框中应填入的条件为( ) A. i ? 7 B. i ? 6 ` C. i ? 5 D. i ? 4

【知识点】算法与程序框图 L1 【答案解析】D 程序在运行过程中各变量的值如下表示: S i 是否继续循环循环前 1 1 圈 3 2 是第二圈 7 3 是第三圈 15 4 是第四圈 31 5 第一

否所以当 i≤4 时.输出的数据为

31,故选 D. 【思路点拨】分析程序中各变量、各语句的作用,再根据流程图所示的顺序,可知该程序的作用是利用循 环求 S 的值,我们用表格列出程序运行过程中各变量的值的变化情况,不难给出答案.

L2 基本算法语句

L3 算法案例

L4 复数的基本概念与运算

【数学理卷· 2015 届黑龙江省双鸭山一中高三上学期期中考试( 201411 ) 】 2 .已知复数 z 满足 ,则 z 的虚部为 (1 ? i ) z ? i 2014 (其中 i 为虚数单位) A. ( D. )

3 2

B.

?

1 2

C.

1 2

1 ? i 2

【知识点】复数的基本概念与运算 L4 【答案解析】C ∵i4=1,∴i2014=(i4)503?i2=-1.∴z=

?(1 ? i) ?1 1 1 = =- - i. 1 ? i (1 ? i)(1 ? i) 2 2

∴ z =-

1 1 1 + i ,其虚部为 .故选:C. 2 2 2

【思路点拨】利用 i4=1,复数的运算法则、虚部的定义即可得出.

【数学理卷·2015 届重庆南开中学高三 10 月月考(201410)word 版】1.复数 Z ? i (1 ? i ) (i 是虚数单位)
第 3 页(共 18 页)

在复平面内对应的点位于 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

【知识点】复数的基本概念与运算 L4 【答案解析】B ∵i(1+i)=i+i2=-1+i,∴i(1+i)即复数为-1+i, ∴-1+i 在复平面内对应的点(-1,1)位于第二象限.故答案为:B. 【思路点拨】由 i(1+i)=-1+i,由此能求出复数 i(1+i)的复数在复平面内对应的点所在的象限.

【 数 学 理 卷 · 2015 届 辽 宁 师 大 附 中 高 三 上 学 期 10 月 模 块 考 试 ( 201410 ) 】 19 . 已 知 函 数

f ( x) ? ( x 2 ? 2 x) ? ln x ? ax 2 ? 2 .
(1)当 a

? ?1 时,求 f ( x) 在 (1, f (1)) 处的切线方程;

(2)设函数 g ( x) ?

f ( x) ? x ? 2 ,

(ⅰ)若函数 g ( x ) 有且仅有一个零点时,求 a 的值; (ⅱ)在(ⅰ)的条件下,若 e
?2

? x ? e , g ( x) ? m ,求 m 的取值范围。

【知识点】 利用导数研究曲线上某点切线方程; 利用导数研究函数的单调性; 利用导数研究函数的极值. L4
2 【答案解析】(1) 3x ? y ? 4 ? 0 ;(2) (ⅰ) a ? 1 ; (ⅱ) m ? 2e

3e

解析: (1)当 a ? ?1 时, f ( x) ? ( x ? 2 x)ln x ? x ? 2 定义域 ? 0, ?? ? ,
2 2

f ?( x) ? ? 2x ? 2? ln x ? ? x ? 2? ? 2x
? f ?(1) ? ?3 ,又 f (1) ? 1
f ( x) 在 ?1, f ?1? ? 处的切线方程 3x ? y ? 4 ? 0
(2) (ⅰ)令 g ? x ? ? f ? x ? ? x ? 2 ? 0
2 2 则 x ? 2 x ln x ? ax ? 2 ? x ? 2

?

?

即a

?

1 ? ( x ? 2) ? ln x x

令 h( x ) ?

1 ? ( x ? 2) ? ln x , x

第 4 页(共 18 页)

则 h?( x) ? ?

1 1 2 ? 2 ln x 1 ? x ? 2 ln x ? ? ? x2 x x2 x2

令 t ( x) ? 1 ? x ? 2 ln x

t ?( x) ? ?1 ?

2 ?x ? 2 ? , x x

t ?( x) ? 0 , t ( x) 在 (0, ??) 上是减函数


t ?1? ? h? ?1? ? 0

所以当 0 ? x ? 1 时, h? ? x ? ? 0 ,当 1 ? x 时, h? ? x ? ? 0 , 所以 h ? x ? 在 ? 0,1? 上单调递增,在 ?1, ?? ? 上单调递减,

?h ? x ?max ? h(1) ? 1
所以当函数 g ? x ? 有且今有一个零点时, a ? 1
2 2 (ⅱ)当 a ? 1 , g ? x ? ? x ? 2 x ln x ? x ? x ,若 e?2 ? x ? e, g ( x) ? m, 只需证明

?

?

g ( x)max ? m,

g?( x) ? ? x ?1??3 ? 2ln x ?
令 g ?( x) ? 0 得 x ? 1 或 x ? e 又
? 3 2

e ?2 ? x ? e ,
? 3 ? 3

? 函数 g ( x) 在 (e ?2 , e 2 ) 上单调递增,在 (e 2 ,1) 上单调递减,在 (1, e) 上单调递增
3 ? 1 ?3 又 g (e ) ? ? e ? 2e 2 2 ? 3 2



g (e) ? 2e 2 ? 3e

3 3 3 ? ? ? 1 3 g (e 2 ) ? ? e ?3 ? 2e 2 ? 2e 2 ? 2e ? 2e(e ? ) ? g (e) 2 2

即 g (e

?

3 2

) ? g (e)
? m ? 2e 2 ? 3e
??????14 分

g ( x) max ? g (e) ? 2e 2 ? 3e

【思路点拨】(1) 当 a=﹣1 时,求导数,可得切线斜率,求出切点坐标,即可求 f(x)在(1,f(1) )处 的切线方程; (2) (i)令 g(x)=f(x)﹣x﹣2=0,可得 a
第 5 页(共 18 页)

?

1 ? ( x ? 2) ? ln x x

令 h( x ) ?

1 ? ( x ? 2) ? ln x ,证明 h(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减,可得 h(x) x
a 的值;(ii)若 e?2 ? x ? e , g (x ) ? m, ,只需证明 g ( x)max ? m, ,即可求 m 的取值

max=h(1)=1,即可求

范围.

【 数 学 理 卷 · 2015 届 辽 宁 师 大 附 中 高 三 上 学 期 10 月 模 块 考 试 ( 201410 ) 】 18 . 已 知 向 量

3 a ? (sin x, ), b ? (cos x, ?1) . 4
(1)当 a // b 时,求 cos (2) 设函数
2

x ? sin 2 x 的值;
ABC 中,内角 A 、 B 、 C 的对边分别为 a、 b、 c ,若 ( x ? ?0,

f ( x) ? 2(a ? b )? b,已知在△

a ? 3, b ? 2, sin B ?

6 ?? ? ,求 f ?x ? ? 4 cos? 2 A ? ? 3 6? ?

? ?? )的取值范围. ? 3? ?

【知识点】解三角形;平面向量共线(平行)的坐标表示;三角函数的恒等变换及化简求值.菁 L4

【答案解析】(1)

8 ; (2) 5

3 ?? 1 ? ? 1 ? f ?x ? ? 4 cos? 2 A ? ? ? 2 ? 2 6? 2 ?

解析: (1)

3 3 a // b,? cos x ? sin x ? 0,? tan x ? ? 4 4 2 cos x ? 2sin x cos x 1 ? 2 tan x 8 cos 2 x ? sin 2 x ? ? ? sin x 2 ? cos 2 x 1 ? tan 2 x 5
(2) f ( x) ? 2(a ? b) ? b ?

? 3 2 sin(2 x ? ) + 4 2

由正弦定理得

a b 2 ? ? 可得 sin A ? , 所以A ? , 或 A ? 3? sin A sin B 2 4 4

因为 b

? a ,所以 A ?

?
4
? ? ? 11? ? ? 1 ? ?? , 2 sin(2 x ? ) ? , x ? ?0, ? ? 2 x ? ? ? , 4 ? 4 12 ? 2 4 ? 3? ?

?? ? f ?x ? ? 4 cos? 2 A ? ? ? 6? ?
所以

3 ?? 1 ? ? 1 ? f ?x ? ? 4 cos? 2 A ? ? ? 2 ? 2 6? 2 ?
,从而可求 tanx,再代入即可人;
第 6 页(共 18 页)

【思路点拨】(1)由 a // b 可得

(2) 由正弦定理得 可求函数的值域

a b 2 ? 结合已知 x ? 可得 sin A ? , 所以A ? , 代入可得 f ( x) , sin A sin B 2 4

【数学理卷·2015 届辽宁师大附中高三上学期 10 月模块考试(201410) 】17.已知首项都是 1 的两个数列 {an},{bn}(bn≠0,n∈N ) 满足 anbn+1-an+1bn+2bn+1bn=0. (1)令 cn= ,求数列{cn}的通项公式; (2)若 bn=3
n-1
*

an bn

,求数列{an}的前 n 项和 Sn.

【知识点】数列递推式;数列的求和.L4 【答案解析】(1) cn=2n-1 (2) Sn=(n-1)3 +1.
*

n

解析:(1)因为 anbn+1-an+1bn+2bn+1bn=0,bn≠0(n∈N ),所以

an+1 an - =2, bn+1 bn

即 cn+1-cn=2,所以数列{cn}是以 c1=1 为首项,d=2 为公差的等差数列, 故 cn=2n-1. (2)由 bn=3
n-1

,知 an=(2n-1)3

n-1

,于是数列{an}的前 n 项和

Sn=1×30+3×31+5×32+?+(2n-1)×3n-1,
3Sn=1×3 +3×3 +?+(2n-3)×3
1 2 1 2

n-1

+(2n-1)×3 ,
n-1

n

将两式相减得-2Sn=1+2×(3 +3 +?+3 所以 Sn=(n-1)3 +1.
n

)-(2n-1)×3 =-2-(2n-2)×3 ,

n

n

【思路点拨】(1)由 anbn+1﹣an+1bn+2bn+1bn=0,en=

,可得数列{cn}是以 1 为首项,2 为公差的等差数列,

即可求数列{cn}的通项公式;(2)用错位相减法来求和.

【 数 学 理 卷 · 2015 届 辽 宁 师 大 附 中 高 三 上 学 期 10 月 模 块 考 试 ( 201410 ) 】 16 . 已 知

f

? x? ?

3 cos 2 x?

3? 2 sin( ? x 2

?) s? in x(

? R ), x

(1)最小正周期及对称轴方程; (2)已知锐角 ?ABC 的内角 A, B, C 的对边分别为 a , b, c ,且 f ? A? ? ? 3 , a ? 3 , 求 BC 边上的高的
第 7 页(共 18 页)

最大值. 【知识点】三角函数中的恒等变换应用;三角函数的周期性及其求法.L4 【答案解析】(1) p , x =

kp 5p + ,k 2 12

Z ;(2)

3 3 2

解析:(1) f ? x ? ? 3 cos 2 x ? sin 2 x ? ?2sin ? 2 x ?

? ?

??
? 3?
k? 5? ? ,k ?Z 2 12

? f ? x ?的最小正周期为? , 令2 x ?
(2)由 f ? A? ? ? 3 得 sin ? 2 A ?

?
3

? k? ?

?
2

, 得x ?

? ?

??

3 ? ? ?? , 又A ? ? 0, ?, ? A= ?? 3? 2 3 ? 2?

由余弦定理得 a2 ? b2 ? c2 ? 2bc cos A得9=b2 ? c 2 ? bc ? bc

即bc ? (当且仅当 9 b=c时取等号)
设 BC 边上的高为 h ,由三角形等面积法知

1 1 3 9 3 ah ? bc sin A, 得3h ? bc ? 2 2 2 2

?h ?

3 3 3 3 ,即 h 的最大值为 . 2 2

【思路点拨】(1) 利用二倍角公式,诱导公式和两角和公式对函数解析式进行化简,利用三角函数图象和 性质求得其最小正周期 T,及对称轴; (2) 利用三角形面积公式得到 h 和 bc 的关系式,进而利用余弦定 理得到 b 和 c 的关系式,利用基本不等式的性质求得 bc 的最大值,进而求得 h 的最大值.

【数学理卷·2015 届辽宁师大附中高三上学期 10 月模块考试(201410) 】14. 已知点 O 是 ?ABC 的外接 圆 圆 心 , 且 AB ? 3, AC ? 4 . 若 存 在 非 零 实 数 x, y , 使 得

AO ? x AB ? y AC , 且 x ? 2 y ? 1 , 则

cos ?BAC ?
2 3

.

【知识点】平面向量的基本定理及其意义.L4 【答案解析】 ∴ ﹣ =y( 解析:如图所示,∵ ﹣2 + ),∴ =2 =y( ,∴ + =2y =x +y ), , ,且 x+2y=1,

取 AC 的中点 D,则

又点 O 是△ABC 的外心,∴BD⊥AC.在 Rt△BAD 中,cos∠BAC= .故答案为: ,
第 8 页(共 18 页)

【思路点拨】由 中点 D,则 =2y

=x

+y

,且 x+2y=1,可得



=y(

﹣2

) ,利用向量的运算法则,取 AC 的

,再利用点 O 是△ABC 的外心,可得 BD⊥AC.即可得出.

三、解答题:本大题共 5 小题,共 50 分.
2 15.已知命题 p :任意 x ? [1, 2] ,有 x 2 ? a ? 0 ,命题 q :存在 x0 ? R ,使得 x0 ? (a ? 1) x0 ? 1 ? 0 .若“ p 或 q 为

真”,“ p 且 q 为假”,求实数 a 的取值范围. 【知识点】复合命题的真假.L4 【答案解析】-1≤a≤1或a>3
2 解析:p 真 , 任意 x ? [1, 2] ,有 x 2 ? a ? 0 ,即 a ? x 在 x ? [1, 2] 恒成立, x ? 1, 4 ,

2

[ ]

则 a≤ 1
2

? ( 2分 ) ? ( 4分 )

q 真 , 则 △ = ( a-1 ) -4 > 0,即 a > 3 或 a < -1

∵ “ p或 q” 为真, “ p且 q” 为 假 , ∴ p,q 中 必 有 一 个 为 真 , 另 一 个 为 假 ? 当 p 真 q 假 时 , 有í 得 -1 ≤ a ≤ 1 ? ( 8 分 ) 当 p假 q真 时 , 有 í

ì ? a?1 a 3 ? ? - 1#

ì a> 1 ? 得 a> 3 ? ? a>3或a< - 1

∴实数 a 的取值范围为-1≤a≤1 或 a>3 ?(12 分) 【思路点拨】先求出命题 p,q 为真命题时,a 的范围,据复合函数的真假得到 p,q 中必有一个为真,另 一个为假,分两类求出 a 的范围.

【数学理卷·2015 届辽宁师大附中高三上学期 10 月模块考试(201410) 】13.已知 x>0,y>0,且 若 x+2y>m +2m 恒成立,则实数 m 的取值范围 【知识点】函数恒成立问题.菁 L4 【答案解析】-4<M<2 解析: ∵ ,∴x+2y=(x+2y) =4+ + ≥4+2 =8
2

2 1 ? =1, x y

.

∵x+2y>m2+2m 恒成立,∴m2+2m<8,求得﹣4<m<2,故答案为:﹣4<m<2.
第 9 页(共 18 页)

【思路点拨】先把 x+2y 转化为(x+2y) >m2+2m 求得 m2+2m<8,进而求得 m 的范围

展开后利用基本不等式求得其最小值,然后根据 x+2y

【数学理卷· 2015 届辽宁师大附中高三上学期 10 月模块考试 (201410) 】 12. 已知 f ?x ? ? tan x ? cos?x ? m?

m2 ? 9 为奇函数,且 m 满足不等式 ? 0 ,则实数 m 的值为 m?m ? 1?
【知识点】函数奇偶性的性质.L4 【答案解析】 ?

.

?
2

解析:不等式

≤0 等价于





解得,



,即有﹣3≤m<0 或 1<m≤3,①

∵f(x)=tanx+cos(x+m)为奇函数, ∴f(﹣x)=﹣f(x),即 tan(﹣x)+cos(﹣x+m)=﹣tanx﹣cos(m+x), ∴cos(﹣x+m)=﹣cos(x+m),∴cosmcosx+sinmsinx=﹣cosmcosx+sinmsinx, ∴cosm=0,m=k ,k 为整数,② ∴由① ② 得,m=± .故答案为:± .

【思路点拨】首先解不等式

≤0,得到﹣3≤m<0 或 1<m≤3,① 再根据 f(x)=tanx+cos(x+m) ,k 为整数,② ,然后由① ② 得,

为奇函数,由奇函数的定义,以及应用三角恒等变换公式,求出 m=k m=± .

?1?x 【数学理卷· 2015 届辽宁师大附中高三上学期 10 月模块考试 (201410) 】 10. 已知函数 f(x)=? ? -log2x, ?3?
实数 a、b、c 满足 f(a)f(b)f(c)<0(0<a<b<c),若实数 x0 是方程 f(x)=0 的一个解,那么下列不等式中, 不可能成立的是( A.x0<a ) B.x0>b C.x0<c D.x0>c

【知识点】函数零点的判定定理.L4

第 10 页(共 18 页)

【答案解析】D 解析:因为 f(x)=( )x﹣log2x,在定义域上是减函数,所以 0<a<b<c 时,f(a)> f(b)>f(c)又因为 f(a)f(b)f(c)<0, 所以一种情况是 f(a),f(b),f(c)都为负值,① , 另一种情况是 f(a)>0,f(b)>0,f(c)<0.② 在同一坐标系内画函数 y=( )x 与 y=log2x 的图象如下,

对于① 要求 a,b,c 都大于 x0, 对于② 要求 a,b 都小于 x0 是,c 大于 x0. 两种情况综合可得 x0>c 不可能成立 故选 D. 【思路点拨】有 f(a)f(b)f(c)<0 可得① f(a) ,f(b) ,f(c)都为负值;② (a)>0,f(b)>0,f (c)<0,对这两种情况利用图象分别研究可得结论. 第Ⅱ卷 (共 70 分) 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.将正确答案填在相应位置上。 11.函数 f ( x) 的定义域为 R, f (?1) ? 1 ,对任意 x ? R, f '( x) >3,则 f ( x) >3x+4 的解集为 【知识点】函数的单调性与导数的关系.L4 【答案解析】 ? ?1, ?? ? 解析:设 F(x)=f(x)﹣(3x+4), .

则 F(﹣1)=f(﹣1)﹣(﹣3+4)=1﹣1=0, 又对任意 x∈R,f′ (x)>3,∴F′ (x)=f′ (x)﹣3>0, ∴F(x)在 R 上是增函数, ∴F(x)>0 的解集是(﹣1,+∞), 即 f(x)>3x+4 的解集为(﹣1,+∞). 故答案为:(﹣1,+∞)
第 11 页(共 18 页)

【思路点拨】构造函数 F(x)=f(x)﹣(3x+4),由 f(﹣1)=1 得 F(﹣1)的值,求 F(x)的导函数, 根据 f′ (x)>3,得 F(x)在 R 上为增函数,根据函数的单调性得 F(x)大于 0 的解集,从而得所求不等 式的解集.

【数学理卷· 2015 届辽宁师大附中高三上学期 10 月模块考试 (201410) 】 9. 已知函数 f (x) =lnx+tan ? (? ∈ (0, ) ) 的导函数为 f ?( x ) , 若使得 f ?( x0 ) = f ( x0 ) 成立的 x0 <1, 则实数 ? 的取值范围为 ( B. (0,

? 2 ? ? A. ( , ) 4 2



? ) 3

C. (

? ? , ) 6 4

D. (0,

? ) 4

【知识点】导数的运算.菁 L4 【答案解析】A 解析:∵f′ (x)= ,f′ (x0)= ∴ =ln x0+tan α,∴tan α= ﹣ln x0, , ).故选:A. =ln x0+tan α,即 tan α= ﹣ln x0, ,f ′ (x0)=f(x0),

又∵0<x0<1,∴可得

﹣ln x0>1,即 tan α>1,∴α∈(

【思路点拨】由于 f′ (x)= ,f′ (x0)= 由 0<x0<1,可得

,f′ (x0)=f(x0),可得

﹣ln x0>1,即 tan α>1,即可得出.

【数学理卷·2015 届辽宁师大附中高三上学期 10 月模块考试(201410) 】8 .已知

sin(

7? 2? 4 3 ) 的值是 ( ,则 sin(? ? ? ? ) ? sin ? ? 6 3 5



A. ?

2 3 5

B.

4 2 3 C. ? 5 5

D.

4 5

【知识点】两角和与差的正弦函数.L4 【答案解析】C 解析:sin( = = cosα+ sinα+sinα= sin( )= )= ,∴ =sin( )=﹣sin( )=﹣ ﹣α)+sinα=sin ( cosα+ cosα﹣cos sinα)= sinα+sinα (sin cosα+cos sinα)

cosα+ sinα=

∴=sin( 故答案选:C

【思路点拨】先用正弦两角和公式把 sin(

﹣α)+sinα 展开求的 sin(
第 12 页(共 18 页)

)的值,然后通过诱导公

式展开则

,把 sin(

)的值代入即可.

【数学理卷·2015 届辽宁师大附中高三上学期 10 月模块考试(201410) 】7.已知等差数列 {an } 的前 n 项 和为 S n ,又知 ( x ln x) ' ? ln x ? 1 ,且 S10 ? A.33 B.46 C.48

?

e

1

ln xdx , S 20 ? 17 ,则 S30 为(
D.50



【知识点】等差数列的性质;定积分的简单应用.L4 【答案解析】C 解析: S10 ?

?

e

1

ln xdx =(xlnx﹣x)

=e﹣e﹣(﹣1)=1

∵等差数列中,S10,S20﹣S10,S30﹣S20 为等差数列, 即 1,17﹣1,S30﹣17 为等差数列,∴32=1+S30﹣17,∴S30=48,故选 C。 【思路点拨】先利用微积分基本定理求定积分的值,得 S10=1,再利用等差数列的性质,即 S10,S20﹣S10, S30﹣S20 为等差数列,即可列方程得所求值.

【数学理卷·2015 届辽宁师大附中高三上学期 10 月模块考试(201410) 】6.把函数 y ? sin 3x 的图象适当 变化就可以得 y ?

2 (sin 3x ? cos3x) 的图象,这个变化可以是( 2



A.沿 x 轴方向向右平移 C.沿 x 轴方向向右平移

? 4
? 12

B.沿 x 轴方向向左平移 D.沿 x 轴方向向左平移

? 4

? 12

【知识点】函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换;三角函数中的恒等变换应用.L4 【答案解析】C 解析:∵函数 y ?

2 (sin 3x ? cos3x) =sin(3x﹣ 2

)=sin3(x﹣

),

∴把函数 y ? sin 3x 的图象沿 x 轴方向向右平移 C.

? 2 个单位,可得 y ? (sin 3x ? cos3x) 的图象,故选: 12 2

【思路点拨】由条件根据函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律,可得结论.

第 13 页(共 18 页)

【数学理卷· 2015 届辽宁师大附中高三上学期 10 月模块考试 (201410) 】 5.已知向量 a、 b , 其中 a ?

2,

(a ? b) ? a ,则向量 a 和 b 的夹角是 ( b ? 2 ,且
3? 4 4 2 【知识点】数量积表示两个向量的夹角.L4

) D. ?

A.

?

B.

?

C.

【答案解析】A 解析:设两个向量的夹角为 θ ∵ (a ? b) ? a ,∴ ∴ ,∵θ∈[0,π],∴ ,∴ ,故选 A ,即

【思路点拨】利用向量垂直的数量积为 0 列出方程;利用向量的平方等于向量模的平方及向量的数量积公 式将方程用模与夹角表示求出夹角.

【数学理卷·2015 届辽宁师大附中高三上学期 10 月模块考试(201410) 】4.已知函数 f ( x) 是定义在 R 上 的 偶函 数 , 且在 区间 [0, ??) 单 调 递增 . 若 实数 a 满 足 f (log 2 a ) ? f (log 1 a ) ? 2 f (1) , 则 a 的 最 小值 是
2

( A.



1 2 【知识点】奇偶性与单调性的综合.L4

3 2

B.1

C.

D.2

【答案解析】C 解析:∵函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数, ∴ ,

等价为 f(log2a)+f(﹣log2a)=2f(log2a)≤2f(1),即 f(log2a)≤f(1). ∵函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数,且在区间[0,+∞)单调递增, ∴f(log2a)≤f(1)等价为 f(|log2a|)≤f(1).即|log2a|≤1, ∴﹣1≤log2a≤1,解得 ,故 a 的最小值是 ,故选:C

【思路点拨】根据函数奇偶性和单调性之间的关系,将不等式进行化简,即可得到结论.

【数学理卷·2015 届辽宁师大附中高三上学期 10 月模块考试(201410)】3.下列四个图中,函数

y?

10 ln x ? 1 x ?1

的图象可能是(


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【知识点】函数的图象.L4 【答案解析】C 解析:当 x>0 时,y<0,排除 A、B 两项;当﹣2<x<﹣1 时,y>0,排除 D 项.故选:C. 【思路点拨】根据四个选择项判断函数值的符号即可选择正确选项.

【数学理卷·2015 届辽宁师大附中高三上学期 10 月模块考试(201410) 】2.已知实数 x, y 满足

a x ? a y (0 ? a ? 1) ,则下列关系式恒成立的是(
A. x ? y
3 3



B. sin x ? sin y D.

C. ln( x2 ? 1) ? ln( y 2 ? 1) 【知识点】指数函数的图像与性质.L4

1 1 ? 2 x ?1 y ?1
2

【答案解析】A 解析:∵实数 x, y 满足 a ? a (0 ? a ? 1) ,∴x>y,
x y

A.当 x>y 时, x ? y ,恒成立,
3 3

B.当 x=π,y=
2

时,满足 x>y,但 sin x ? sin y 不成立.
2

C.若 ln( x ? 1) ? ln( y ? 1) ,则等价为 x2>y2 成立,当 x=1,y=﹣1 时,满足 x>y,但 x2>y2 不成立. D. 若

1 1 ? 2 , 则等价为 x2+1<y2+1, 即 x2<y2, 当 x=1, y=﹣1 时, 满足 x>y, 但 x2<y2 不成立. 故 x ?1 y ?1
2

选:A. 【思路点拨】本题主要考查不等式的大小比较,利用函数的单调性的性质是解决本题的关键.

【数学理卷· 2015 届湖南省师大附中高三上学期第二次月考 (201410) word 版】 1、 在复平面内, 复数 z ? (i 为虚数单位)的共轭复数对应的点位于 A、第一象限 B、第二象限 ( ) C、第三象限
第 15 页(共 18 页)

2i 1? i

D、第四象限

【知识点】复数的代数表示法及其几何意义.L4 【答案解析】D 解析:∵ z ?

2i ?1 ? i ? 2i ? ? 1 ? i ,∴ z ? 1 ? i . 1 ? i ?1 ? i ??1 ? i ?

∴ z 对应的点(1,﹣1)位于第四象限,故选 D. 【思路点拨】将复数 z ?

2i 的分母实数化,求得 z=1+i,即可求得 z ,从而可知答案. 1? i

【数学理卷·2015 届湖北省襄阳四中、龙泉中学、宜昌一中、荆州中学高三四校联考(201410)word 版 -3+i (1)】1. 复数 z= 的共轭 复数是( .. 2+i A.2+i B.2-i ) C.-1+i D.-1-i

【知识点】复数的基本概念与运算 L4 【答案解析】 D z= D 【思路点拨】根据复数除法法则,分子分母同乘分母的共轭复数化简成基本形式,再根据共轭复数的定义 求出所求即可.

?3 ? i ?3 ? i (?3 ? i)(2 ? i) ?5 ? 5i =-1+i∴复数 z= 的共轭复数是-1-I,故答案为: ? ? 2?i 2?i (2 ? i)(2 ? i) 5

【数学理卷·2015 届浙江省重点中学协作体高三第一次适应性测试(201411)word 版】13.若复数 z1 , z2 满 足 z1 ? 2 , z2 ? 3 , 3 z1 ? 2 z2 ?

3 ? i ,则 z1 ? z2 ? 2





【知识点】复数与复数运算 L4 【答案解析】 ?

30 72 1 1 1 ? i 解析: 3z1 ? 2 z2 ? z1 z2 z2 ? z2 z1 z1 ? z1 z2 (2 z2 ? 3z1 ) 13 13 3 2 6 3 6( ? i) 6(3z1 ? 2 z2 ) 6(3z1 ? 2 z2 ) 30 72 ? i = ? z1 z2 ? ? ? 2 3 13 13 2 z2 ? 3z1 2 z2 ? 3z1 ?i 2
2

【思路点拨】直接求解计算量比较大,所以另寻思路,利用 zz ?| z | 代入求解比较简单。

【数学理卷·2015 届宁夏银川一中高三第三次月考(201410) 】2.已知复数 z ? 1 ? i ? i 2 ? i 3 ? ... ? i 2015 ,
第 16 页(共 18 页)

则化简得 z = A.0 B. ?1 C.1 D. 1 ? i

【知识点】复数的基本概念与运算 L4 【答案解析】A ∵i4=1,∴复数 z=1+i+i2+i3+…+i2015=

1 ? i 2016 1 ? 1 ? =0.故选:A. 1? i 1? i

【思路点拨】利用复数的周期性、等比数列的前 n 项和公式即可得出.

【数学文卷· 2015 届湖南省师大附中高三上学期第二次月考 (201410) 】 2、 设复数 z 满足 ? 2 ? i ? ? z ? 1? 2i ,
3

则复数 z 对应的点位于复平面内 A.第一象限 B.第二象限 L4 C.第三象限 D.第四象限

【知识点】复数运算.

【答案解析】A 解析:由已知等式得 z ?

1 ? 2i ?1 ? 2i ?? 2 ? i ? 4 ? 3i 4 ? ? ? ?i, 2?i (2 ? i) ? 2 ? i ? 3 3

所以复数 z 对应的点位于复平面内.第一象限 ,故选 A. 【思路点拨】利用复数运算求得复数 z,从而确定其对应点在复平面内的位置.

【数学文卷·2015 届浙江省温州十校(温州中学等)高三上学期期中联考(201411) 】2.已知复数 z 满足

(1 ? 3i ) z ? 1 ? i ,则 | z |? (
A.

) C. 2 D.2

2 2

B.

1 2

【知识点】复数求模.L4 【答案解析】A 解析:∵ (1 ? 3i ) z ? 1 ? i ,

∴z ?

1? 3 ? 1? 3 i ?1 ? i ? 1 ? 3i 1? i 2 ? ? ,所以 | z |? ,故选 A. 4 2 1 ? 3i 1 ? 3i 1 ? 3i

?

? ??

?

?

?

?

【思路点拨】首先根据所给的等式表示出 z,是一个复数除法的形式,进行复数的除法运算,分子和分母 同乘以分母的共轭复数,分子和分母同时进行乘法运算,得到最简形式.

【数学文卷·2015 届宁夏银川一中高三第三次月考(201410) 】2.已知复数 z ? 1 ? i ? i 2 ? i 3 ? ... ? i 2015 ,
第 17 页(共 18 页)

则复数 z = A.0 B. ?1 C.1 D. 1 ? i

【知识点】复数的基本概念与运算 L4 【答案解析】A ∵i4=1,∴复数 z=1+i+i2+i3+…+i2015=

1 ? i 2016 1 ? 1 ? =0.故选:A. 1? i 1? i

【思路点拨】利用复数的周期性、等比数列的前 n 项和公式即可得出.

L5 单元综合

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