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【2013上海四区二模】上海市四区(杨浦、青浦、宝山、静安)2013年高三下学期二模数学(文)试题


2012 学年静安、杨浦、青浦宝山区高三年级高考模拟考试 数学试卷(文科)
2013.04.

一、填空题(本大题满分 56 分)本大题共有 14 题,考生应在答题纸相应编号的空格内直接 填写结果,每个空格填对得 4 分,否则一律得零分.
2 1.已知全集 U ? R ,集合 A ? ?x x ? 2 x ? 3 ? 0 ? ,则 C U A ?

. . .

2.若复数 z 满足 z ? i ( 2 ? z ) ( i 是虚数单位) ,则 z ? 3.已知直线 2 x ? y ? 1 ? 0 的倾斜角大小是 ? ,则 tan 2? ?
? mx ? y ? 3 ? 0 ? ( 2 m ? 1) x ? y ? 4 ? 0

4.若关于 x、 y 的二元一次方程组 ? 范围是 .

有唯一一组解,则实数 m 的取值 开始 输入 p n=1

5.已知函数 y ? f ( x ) 和函数 y ? log 2 ( x ? 1) 的图像关于直线 x ? y ? 0 对称, 则函数 y ? f ( x ) 的解析式为
x
2

.

S=0 . n<p ? ? 否 输出 S 结 束 . (第 9 题图) . 是 n=n+1 S=S+2?n

6.已知双曲线的方程为

? y

2

? 1 ,则此双曲线的焦点到渐近线的距离为

3
cos x sin x sin x cos x

7.函数 f ( x ) ?

的最小正周期 T ?

.

?x ? 1 ? 8.若 ? y ? 2 ,则目标函数 z ? 2 x ? y 的最小值为 ?x ? y ? 6 ? 9.执行如图所示的程序框图,若输入 p 的值是 7 ,则输出 S 的值是

10.已知圆锥底面半径与球的半径都是 1 c m ,如果圆锥的体积恰好也与球的体积相等,那 么这个圆锥的 cm . 母线长为 11.某中学在高一年级开设了 4 门选修课,每名学生必须参加这 4 门选修课中的一门,对于 该年级的 (结果用最简分数表 甲乙 2 名学生,这 2 名学生选择的选修课相同的概率是 示). 12.各项为正数的无穷等比数列 ?a n ? 的前 n 项和为 S n ,若 lim 值范围是 .
Sn S n ?1 ? 1 , 则其公比 q 的取

n? ?

13. 已知函数 f ( x ) ? x x .当 x ? ?a , a ? 1? 时, 不等式 f ( x ? 2 a ) ? 4 f ( x ) 恒成立, 则实数 a

的取值 范围是

.

14.函数 y ? f ( x ) 的定义域为 ?? 1, 0 ? ? ? 0 ,1? ,其图像上任一点 P ( x , y ) 满足 x 2 ? y 2 ? 1 . ① 函数 y ? f ( x ) 一定是偶函数; ② 函数 y ? f ( x ) 可能既不是偶函数,也不是奇函数; ③ 函数 y ? f ( x ) 可以是奇函数; ④ 函数 y ? f ( x ) 如果是偶函数,则值域是 ?0 ,1 ? 或 ? ? 1, 0 ? ; ⑤ 函数 y ? f ( x ) 值域是 ? ? 1,1 ? ,则 y ? f ( x ) 一定是奇函数. 其中正确命题的序号是 (填上所有正确的序号) .

二、选择题(本大题满分 20 分)本大题共有 4 题,每题有且只有一个正确答案,考生应在 答案纸的相应编号上,填上正确的答案,选对得 5 分,否则一律得零分. 15.已知 ? ? ( (A)
1 7

?
2

, ? ) , sin ? ? 1 7

3 5

,则 tan( ? ?

?
4

) 的值等于………………………(



.

(B) ?

.

(C) 7 .

(D) ? 7 .

16.一个空间几何体的正视图、侧视图为两个边长是 1 的正方形,俯视图是 直角边长为 1 的等腰直角三角形,则这个几何体的表面积等于…( ) (A) 2 ?
2.

(B) 3 ?

2 .

(C) 4 ?

2 .

(D) 6 . )
C P F

17. 若直线 ax ? by ? 2 通过点 M (cos ? , sin ? ) ,则 ………………………………( (A) a 2 ? b 2 ? 4 . (C)
1 a
2

(B) a 2 ? b 2 ? 4 . (D)
1? x
2

D

?

1 b
2

? 4 .

1 a
2

?

1 b
2

? 4.

A
2

B

E

18. 某同学为了研究函数 f ( x ) ?

?

1 ? (1 ? x )

构造了如图所 ( 0 ? x ? 1) 的性质,

示的两个 边 长 为 1 的 正 方 形 ABCD 和 BEFC
f ( x ) ? AP ? PF .

, 点 P 是 边 BC 上 的 一 个 动 点 , 设 CP ? x , 则

那么, 可推知方程 f ( x ) ? ( ) (A) 0 .

22 2

解的个数是………………………………………………………

(B) 1 .

(C) 2 .

(D) 4 .

三、解答题(本大题满分 74 分)本大题共 5 题,解答下列各题必须在答题纸相应编号的规 定区域内写出必要的步骤. 19. (本题满分 12 分)本题共有 2 小题,第 1 小题满分 5 分,第 2 小题满分 7 分 . 如图,设计一个正四棱锥形冷水塔,高是 0 . 85 米,底面的边长是 1 . 5 米. (1)求这个正四棱锥形冷水塔的容积; (2)制造这个水塔的侧面需要多少平方米钢板? (精确到 0 . 01 米 2)
S O E 1.5

0.85

(第 19 题图)

20. (本题满分 14 分)本题共有 2 小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分 . 如图所示,扇形 AOB ,圆心角 AOB 的大小等于
?
3

,半径为 2 ,在半径 OA 上有一动点 C ,

过点 C 作平行于 OB 的直线交弧 AB 于点 P . (1)若 C 是 OA 的中点,求 PC ; (2)设 ? COP ? ? ,求△ POC 周长的最大值及此时 ? 的值.

21. (本题满分 14 分)本题共有 2 小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分. 已知椭圆 ? :
x
2

?

y

2

? 1.

12

4

(1)直线 AB 过椭圆 ? 的中心交椭圆于 A 、 B 两点, C 是它的右顶点,当直线 AB 的斜率 为 1 时, 求△ ABC 的面积; (2) 设直线 l: y ? kx ? 2 与椭圆 ? 交于 P 、 Q 两点, 且线段 PQ 的垂直平分线过椭圆 ? 与
y 轴

负半轴的交点 D ,求实数 k 的值.

22. (本题满分 16 分)本题共有 3 小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小 题满分 6 分. 已知函数 f ( x ) ? x 2 ? a . (1)若函数 y ? f ( f ( x )) 的图像过原点,求 f ( x ) 的解析式; (2)若 F ( x ) ? f ( x ) ? 范围; (3)当 a ? 1 时,令 ? ( x ) ? f ( f ( x )) ? ? f ( x ) ,问是否存在实数 ? ,使 ? ( x ) 在 ? ? ? ,? 1 ? 上 是减函数, 在 ? ? 1, 0 ? 上是增函数?如果存在,求出 ? 的值;如果不存在,请说明理由.
2 bx ? 1

是偶函数,在定义域上 F ( x ) ? ax 恒成立,求实数 a 的取值

23. (本题满分 18 分)本题共有 3 小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小 题满分 8 分. 已知数列 { a n } 的前 n 项和为 S n ,且 a 1 ? 2 , na n ? 1 ? S n ?
n ( n ? 1) 3

.从 { a n } 中抽出部分项

a k , a k , ? , a k , ? , ( k 1 ? k 2 ? ? ? k n ? ? ) 组成的数列 { a k } 是等比数列,设该等比数列 1 2 n n

的公比为 q , 其中 k 1 ? 1, n ? N .
*

(1)求 a 2 的值; (2)当 q 取最小时,求 { k n } 的通项公式; (3)求 k 1 ? k 2 ? ? ? k n 的值.

四区联考 2012 学年度第二学期高三数学 一.填空题(本大题满分 56 分)本大题共有 14 题,考生应在答题纸相应编号的空格内直接 填写结果,每个空格填对得 4 分,否则一律得零分.

1. [ ? 1, 3 ] ; 2. 2 ; 3.

4 3



4. m ?

1 3



5. y ? 2 x ? 1 ;

6.1 ;

7. ? ;8.4;9.

63 64

;10. 17 ;11.

C4 4
2

1

?

1 4

;12. ? 0 ,1? ;13. (1, ? ? ) ;14.②③⑤

二、选择题(本大题满分 20 分)本大题共有 4 题,每题有且只有一个正确答案,考生应在 答案纸的相应编号上,填上正确的答案,选对得 5 分,否则一律得零分. 15. D ; 16.B; 17. B ;18.C 三、解答题(本大题满分 74 分)本大题共 5 题,解答下列各题必须在答题纸相应编号的规 定区域内写出必要的步骤 . 19. (本题满分 12 分)本题共有 2 小题,第 1 小题满分 5 分,第 2 小题满分 7 分 . 解: (1)如图正四棱锥底面的边长是 1 . 5 米,高是 0 . 85 米
V ? 1 3 sh ? 1 3
1.5

S

0.85

? 1 . 5 ? 1 . 5 ? 0 . 85 ? 0 . 6375 m

3
O E

所以这个四棱锥冷水塔的容积是 0 . 6375 m 3 . (2)如图,取底面边长的中点 E ,连接 SE , SE ?
S侧 ? 4 ? 1 2 ? 1 . 5 ? SE ? 4? 1 2 ? 1 .5 ? 0 . 85
2

SO

2

? EO

2

?
2

0 . 85

2

? 0 . 75

2

? 0 . 75

2

? 3 . 40 m

答:制造这个水塔的侧面需要 3.40 平方米钢板. 20. (本题满分 14 分)本题共有 2 小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分 . 解:(1)在△ POC 中, ? OCP ?
2? 3

, OP ? 2 , OC ? 1
2? 3

由 OP

2

? OC

2

? PC

2

? 2 OC ? PC cos

得 PC

2

? PC ? 3 ? 0 ,解得 PC ?

?1? 2

13



(2)∵ CP ∥ OB ,∴ ? CPO ? ? POB ?

?
3

?? ,

在△ POC 中,由正弦定理得

OP sin ? PCO

?

CP sin ?

2

,即

sin

2? 3

?

CP sin ?

∴ CP ?

4 3

OC
sin ? ,又

sin(

?
3

? ??)

CP sin 2 ? ? OC ? 3

4 3

sin(

?
3

??) .

记△ POC 的周长为 C (? ) ,则 C (? ) ? CP ? OC ? 2 ?

4 3

sin ? ?

4 3

sin(

?
3

??)? 2

=

4 ? 3 1 c o s? ? s in ? ? ? 2 2 3 ?

? 4 s in ??2 ? ? 3 ?
4 3 3

? ? ? ?? ? ??2 3 ? ?

∴? ?

?
6

时, C (? ) 取得最大值为

?2.

21. (本题满分 14 分)本题共有 2 小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分 .
?x y ? ?1 ? 解:(1)依题意, a ? 2 3 , C ( 2 3 , 0 ) , 由 ? 1 2 ,得 y ? ? 4 ?y ? x ?
2 2

3 ,

? 设 A ( x 1 , y 1 ) B ( x 2 , y 2 ) , OC ? 2 3 ∴ S ? ABC ?

1 2

OC ? y 1 ? y 2 ?

1 2

?2 3?2 3 ? 6;

? y ? kx ? 2 ? 2 2 2 y (2)如图,由 ? x 得 (3 k 2 ? 1) x 2 ? 1 2 kx ? 0 , ? ? (12 k ) ? 0 ? ?1 ?12 ? 4

依题意, k ? 0 ,设 P ( x1, y 1 ), Q ( x 2, y 2 ) ,线段 P Q 的中点 H ( x 0, y 0 ) , 则 x0 ?
x1 ? x 2 2 ? ?6k 3k
2

?1

, y0 ? kx0 ? 2 ?
2

2 3k
2

?1

, D (0, ? 2 ) ,

由 k DH ? k PQ

?2 3 3k ? 1 ? ? 1 ,得 ? k ? ? 1 ,∴ k ? ? 6k 3 ? 2 3k ? 1
2

22. (本题满分 16 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题满分 6 分. 解:(1)? y ? f ( f ( x )) ? x ? 2 ax
4 2 2

? a

2

? a 过原点, a 2 ? a ? 0
2

? a ? 0或 a ? ? 1 得 f ( x ) ? x 或 f ( x ) ? x
2 (2) F ( x ) ? x ? a ?

?1

2 bx ? 1

是偶函数,? b ? 0

即 F (x) ? x ? a ? 2 , x ? R
2

2 2 又 F ( x ) ? ax 恒成立即 x ? a ? 2 ? ax ? a ( x ? 1) ? x ? 2

当 x ? 1时? a ? R 当 x ? 1 时, a ?
x
2

? 2

x ?1 x
2

? ( x ? 1) ?

3 x ?1 3 x ?1

? 2 ,a ? 2

3 ? 2

当 x ? 1 时, a ?

? 2

x ?1

? ( x ? 1) ?

? 2,

a ? ?2 3 ? 2

综上: ? 2 3 ? 2 ? a ? 2 3 ? 2

(3) ? ( x ) ? f ( f ( x )) ? ? f ( x ) ? x 4 ? ( 2 ? ? ) x 2 ? ( 2 ? ? )
? ? ( x ) 是偶函数,要使 ? ( x ) 在 ? ? ? ,? 1 ? 上是减函数在 ? ? 1, 0 ? 上是增函数,

即 ? ( x ) 只要满足在区间 ?1, ?? ? 上是增函数在 ? 0 ,1 ? 上是减函数. 令 t ? x 2 ,当 x ? ? 0 ,1 ? 时 t ? ? 0 ,1 ? ; x ? ?1, ?? ? 时 t ? ?1, ?? ? ,由于 x ? ? 0 , ?? ? 时,
2 t ? x 是增函数记 ? ( x ) ? H ( t ) ? t

2

? ( 2 ? ? ) t ? ( 2 ? ? ) ,故 ? ( x ) 与 H (t ) 在区间 ? 0 , ??

?

上 有相同的增减性,当二次函数 H ( t ) ? t 2 ? ( 2 ? ? ) t ? ( 2 ? ? ) 在区间 ?1, ?? ? 上是增函数在

?0 ,1 ? 上
是减函数,其对称轴方程为 t ? 1 ? ?
2?? 2 ?1? ? ? 4.

23. (本题满分 18 分)本题共有 3 小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小 题满分 8 分. 解: (1)令 n ? 1 得 1 ? a 2 ? a 1 ?
1?2 3

,即 a 2 ? a 1 ?

2 3

;又 a 1 ? 2 ? a 2 ?

8 3



2





a 2 ? a1 ?

2 3



n ( n ? 1) ? na ? Sn ? , ? n ?1 ? 3 ? na ? n ( n ? 1) ? ( n ? 1) a ? S ? n n ?1 ? 3 ?

n ?1

? ( n ? 1) a n ? a n ?

2n 3

? a n ?1 ? a n ?

2 3



所以数列 { a n } 是以 2 为首项,

2 3

为公差的等差数列,所以 a n ?

2 3

(n ? 2) . 8 3

解法一: 数列 { a n } 是正项递增等差数列, 故数列 { a k } 的公比 q ? 1 , k 2 ? 2 , 若 则由 a 2 ?
n

得q ?

a2 a1

?

4 3

,此时 a k ? 2 ? ( ) ?
2
3

4 3

32 9

,由

32 9

?

2 3

(n ? 2) 解得 n ?

10 3
n ?1

? N * ,所以

k 2 ? 2 ,同理 k 2 ? 3 ;若 k 2 ? 4 ,则由 a 4 ? 4 得 q ? 2 ,此时 a k n ? 2 ? 2

组成等比数列,

所以 2 ? 2

n ?1

?

2 3

( m ? 2 ) , 3 ? 2 n ? 1 ? m ? 2 ,对任何正整数 n ,只要取 m ? 3 ? 2 n ? 1 ? 2 ,即

a k 是数列 { a n } 的第 3 ? 2 n ? 1 ? 2 项.最小的公比 q ? 2 .所以 k n ? 3 ? 2 n ? 1 ? 2 .………(10 n

分) 解 法 二 : 数 列 {a n } 是 正 项 递 增 等 差 数 列 , 故 数 列 {a k } 的 公 比 q ? 1 , 设 存 在
n

a k , a k ,? , a k ,? (k1 ? k 2 ? ? ? k n ? ? ) 组 成 的 数 列 {a k } 是 等 比 数 列 , 则 1 2 n n
?2 ? ? a k 3 ,即 (k ? 2) ?3 2 ? ? ?
2

a k 2 ? a k1
2

? 2?

2 3

( k 3 ? 2 ) ? ?k 2 ? 2 ? ? 3 ?k 3 ? 2 ?
2

因为 k 2 、 k 3 ? N * 且 k 2 ? 1 所以 k 2 ? 2 必有因数 3 ,即可设 k 2 ? 2 ? 3 t , t ? 2 , t ? N ,当数
n ?1 ? 2. 列 { a k } 的公比 q 最小时,即 k 2 ? 4 , ? q ? 2 最小的公比 q ? 2 .所以 k n ? 3 ? 2
n

(3)由(2)可得从 { a n } 中抽出部分项 a k , a k , ? , a k , ? ( k 1 ? k 2 ? ? ? k n ? ? ) 组成的
1 2 n

数列 { a k } 是等比数列,其中 k 1 ? 1 ,那么 { a k } 的公比是 q ?
n n

k2 ? 2 3

,其中由解法二可得

k 2 ? 3t ? 2 , t ? 2 , t ? N .
k2 ? 2 3 2 3 k2 ? 2 3

ak ? 3 ? (
n

)

n ?1

?

(k n ? 2)

? kn ? 3 ?(

)

n ?1

?2

? kn ? 3 ?(

3t ? 2 ? 2 3

)

n ?1

? 2 ? kn ? 3 ?t
2

n ?1

? 2 , t ? 2, t ? N

所以 k 1 ? k 2 ? ? ? k n ? 3 (1 ? t ? t ? ? ? t

n ?1

) ? 2n ? 3 ? t

n

? 2n ? 3


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