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4.3.1空间直角坐标系


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4.3.1
三维目标

空间直角坐标系

1.掌握空间直角坐标系的有关概念;会根据坐标找相应的点 ,会写一些简单几何体的有 关坐标.通过空间直角坐标系的建立,使学生初步意识到: 将空间问题转化为平面问题是 解决空间问题的基本思想方法;通过本节的学习,培养学生类比,迁移,化归的能力. 2.解析几何是用代数方法研究解决几何问题的一门数学学科 ,在教学过程中要让学生充 分体会数形结合的思想,进行辩证唯物主义思想的教育和对立统一思想的教育;培养学 生积极参与,大胆探索的精神.

重点难点
教学重点:在空间直角坐标系中确定点的坐标. 教学难点:通过建立适当的直角坐标系确定空间点的坐标,以及相关应用.

教学过程
导入新课 思路 1.大家先来思考这样一个问题,天上的飞机的速度非常的快,即使民航飞机速度也 非常快,有很多飞机时速都在 1 000 km 以上,而全世界又这么多,这些飞机在空中风驰电 掣,速度是如此的快,岂不是很容易撞机吗?但事实上,飞机的失事率是极低的,比火车, 汽车要低得多,原因是,飞机都是沿着国际统一划定的航线飞行,而在划定某条航线时, 不仅要指出航线在地面上的经度和纬度,还要指出航线距离地面的高度.为此我们学习 空间直角坐标系,教师板书课题:空间直角坐标系. 思路 2.我们知道数轴上的任意一点 M 都可用对应一个实数 x 表示,建立了平面直角坐标 系后,平面上任意一点 M 都可用对应一对有序实数(x,y)表示.那么假设我们建立一个空 间直角坐标系时,空间中的任意一点是否可用对应的有序实数组(x,y,z)表示出来呢? 为此我们学习空间直角坐标系,教师板书课题:空间直角坐标系. 推进新课 新知探究 提出问题 ①在初中,我们学过数轴,那么什么是数轴?决定数轴的因素有哪些 ? 数轴上的点怎样表 示? ②在初中,我们学过平面直角坐标系,那么如何建立平面直角坐标系?决定平面直角坐标 系的因素有哪些?平面直角坐标系上的点怎样表示? ③在空间,我们是否可以建立一个坐标系 ,使空间中的任意一点都可用对应的有序实数 组表示出来呢? ④观察图 1,体会空间直角坐标系该如何建立. ⑤观察图 2,建立了空间直角坐标系以后,空间中任意一点 M 如何用坐标表示呢? 讨论结果:①在初中,我们学过数轴是规定了原点、正方向和单位长度的直线.决定数轴 的因素有原点、 正方向和单位长度.这是数轴的三要素.数轴上的点可用与这个点对应的 实数 x 来表示. ②在初中,我们学过平面直角坐标系,平面直角坐标系是以一点为原点 O,过原点 O 分别作两条互相垂直的数轴 Ox 和 Oy,xOy 称平面直角坐标系,平面直角坐标系具有以下 特征:两条数轴:①互相垂直;②原点重合;③通常取向右、向上为正方向;④单位长度 一般取相同的.平面直角坐标系上的点用它对应的横、 纵坐标表示,括号里横坐标写在纵 坐标的前面,它们是一对有序实数(x,y). ③在空间,我们也可以类比平面直角坐标系建立一个坐标系,即空间直角坐标系,空 间中的任意一点也可用对应的有序实数组表示出来.
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④观察图 2,OABC—D′A′B′C′是单位正方体,我们类比平面直角坐标系的建立来 建立一个坐标系即空间直角坐标系,以 O 为原点,分别以射线 OA,OC,OD′的方向为正方 向,以线段 OA,OC,OD′的长为单位长度,建立三条数轴 Ox,Oy,Oz 称为 x 轴、 y 轴和 z 轴, 这时我们说建立了一个空间直角坐标系 O—xyz,其中 O 叫坐标原点,x 轴、y 轴和 z 轴叫 坐标轴.如果我们把通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面 ,我们又得到三个坐标平面 xOy 平面,yOz 平面,zOx 平面. 由此我们知道,确定空间直角坐标系必须有三个要素,即原点、 坐标轴方向、 单位长.

图1 图 1 表示的空间直角坐标系也可以用右手来确定.用右手握住 z 轴,当右手的四个手 指从 x 轴正向以 90°的角度转向 y 轴的正向时,大拇指的指向就是 z 轴的正向.我们称这 种坐标系为右手直角坐标系.如无特别说明,我们课本上建立的坐标系都是右手直角坐 标系. 注意:在平面上画空间直角坐标系 O—xyz 时,一般使∠xOy=135°,∠xOy=90°.即用 斜二测画法画立体图,这里显然要注意在 y 轴和 z 轴上的都取原来的长度,而在 x 轴上的 长度取原来长度的一半.同学们往往把在 x 轴上的长度取原来的长度,这就不符和斜二测 画法的约定,直观性差. ⑤观察图 2,建立了空间直角坐标系以后,空间中任意一点 M 就可以用坐标来表示 了. 已知 M 为空间一点.过点 M 作三个平面分别垂直于 x 轴、 y 轴和 z 轴,它们与 x 轴、 y 轴和 z 轴的交点分别为 P、Q、R,这三点在 x 轴、y 轴和 z 轴上的坐标分别为 x,y,z.于是 空间的一点 M 就唯一确定了一个有序数组 x,y,z.这组数 x,y,z 就叫做点 M 的坐标,并依 次称 x,y,z 为点 M 的横坐标.纵坐标和竖坐标.坐标为 x,y,z 的点 M 通常记为 M(x,y,z).

图2 反过来,一个有序数组 x,y,z,我们在 x 轴上取坐标为 x 的点 P,在 y 轴上取坐标为 y 的点 Q,在 z 轴上取坐标为 z 的点 R,然后通过 P、Q 与 R 分别作 x 轴、y 轴和 z 轴的垂直 平面.这三个垂直平面的交点 M 即为以有序数组 x,y,z 为坐标的点.数 x,y,z 就叫做点 M 的坐标,并依次称 x,y 和 z 为点 M 的横坐标、纵坐标和竖坐标.(如图 2 所示) 坐标为 x,y,z 的点 M 通常记为 M(x,y,z).我们通过这样的方法在空间直角坐标系内 建立了空间的点 M 和有序数组 x,y,z 之间的一一对应关系. 注意:坐标面上和坐标轴上的点,其坐标各有一定的特征. 如果点 M 在 yOz 平面上,则 x=0;同样,zOx 面上的点,y=0;xOy 面上的点,z=0;如果 点 M 在 x 轴上,则 y=z=0;如果点 M 在 y 轴上,则 x=z=0;如果点 M 在 z 轴上,则 x=y=0; 如果 M 是原点,则 x=y=z=0. 空间点的位置可以由空间直角坐标系中的三个坐标唯一确定 , 因此,常称我们生活 的空间为“三度空间或三维空间”.事实上,我们的生活空间应该是四度空间,应加上时
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间变量 t.即(x,y,z,t),它表示在时刻 t 所处的空间位置是(x,y,z). 应用示例

思路 1 例 1
如 图 3, 长 方 体 OABC—D′A′B′C′ 中 ,|OA|=3,|OC|=4,|OD′|=2, 写 出 D′,C,A′,B′四点的坐标.

图3 活动:学生阅读题目,对照刚学的知识,先思考,再讨论交流,教师适时指导,要写出点的 坐标,首先要确定点的位置,再根据各自坐标的含义和特点写出.D′在 z 轴上,因此它的 横纵坐标都为 0,C 在 y 轴上,因此它的横竖坐标都为 0,A′为在 zOx 面上的点,y=0;B′ 不在坐标面上,三个坐标都要求. 解:D′在 z 轴上,而|OD′|=2,因此它的竖坐标为 2,横纵坐标都为 0,因此 D′的坐标是 (0,0,2).同理 C 的坐标为 (0,4,0).A′ 在 xOz 平面上, 纵坐标为 0,A′的横坐标就是 |OA|=3,A′的竖坐标就是|OD′|=2,所以 A′的坐标就是(3,0,2).点 B′在 xOy 平面上的 射影是点 B,因此它的横坐标 x 与纵坐标 y 同点 B 的横坐标 x 与纵坐标 y 相同,在 xOy 平 面上,点 B 的横坐标 x=3,纵坐标 y=4;点 B′在 z 轴上的射影是点 D′,它的竖坐标与 D′ 的竖坐标相同,点 D′的竖坐标 z=2,所以点 B′的坐标是(3,4,2). 点评:能准确地确定空间任意一点的直角坐标是利用空间直角坐标系的基础 ,一定掌握 如下方法,过点 M 作三个平面分别垂直于 x 轴、 y 轴和 z 轴,确定 x,y 和 z,同时掌握一些 特殊点的坐标的表示特征. 例 2 讲解课本例 2. 活动: 学生阅读,思考与例 1 的不同,教师引导学生考虑解题的方法,图中没有坐标系,这 就给我们解题带来了难度,同时也给我们的思维提供了空间,如何建立空间直角坐标系 才能使问题变得更简单?一般来说,以特殊点为原点,我们所求的点在坐标轴上或在坐标 平面上的多为基本原则建立空间直角坐标系,这里我们以上底面为 xOy 平面,其他不变, 来看这 15 个点的坐标. 解:把图中的钠原子分成上、中、下三层,下层的钠原子全部在 xOy 平面上,因此其竖坐 标全部是 0,所以这五个钠原子所在位置的坐标分别为 (0,0,0) 、 (1,0,0)、 (1,1,0)、
1 1 (0,1,0)、 ( 2 , 2 ,0);中层的钠原子全部在与 xOy 平行的平面上,与 z 轴交点的竖坐标是 1 1 1 1 1 1 1 2 , 所以这四个钠原子所在位置的坐标分别为 ( 2 ,0, 2 ) 、 (1, 2 , 2 ) 、 ( 2 ,1, 2 ) 、 1 1 (0, 2 , 2 );上层的钠原子全部在与 xOy 平行的平面上,与 z 轴交点的竖坐标是 1,所以这 1 1 五个钠原子所在位置的坐标分别为(0,0,1)、(1,0,1)、(1,1,1)、(0,1,1)、( 2 , 2 ,1).
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思考: 如果把原点取在中间的点(上述两点的中点氯原子)上,以中层面作为 xOy 平面,结 果会怎样呢? 解:把图中的钠原子分成上、中、下三层,中层的钠原子全部在 xOy 平面上,因此其竖坐
1 1 1 标全部是 0,所以这四个钠原子所在位置的坐标分别为( 2 ,0,0)、(1, 2 ,0)、( 2 ,1,0)、 1 1 (0, 2 ,0);上层的钠原子全部在与 xOy 平行的平面上,与轴交点的竖坐标是 2 ,所以这五 1 1 1 1 个钠原子所在位置的坐标分别为 (0,0, 2 ) 、 (0,1, 2 ) 、 (1,0, 2 ) 、 (1,1, 2 ) 、 1 1 1 1 ( 2 , 2 , 2 );下层的钠原子全部在与 xOy 平行的平面上,与轴交点的竖坐标是- 2 ,所以这 1 1 1 1 五个钠原子所在位置的坐标分别为 (0,0,- 2 )、(1,0,- 2 ) 、 (1,1,- 2 ) 、 (0,1,- 2 ) 、 1 1 1 ( 2 , 2 ,- 2 ).

点评:建立坐标系是解题的关键 ,坐标系建立的不同,点的坐标也不同,但点的相对位置 是不变的,坐标系的不同也会引起解题过程的难易程度不同 .因此解题时要慎重建立空 间直角坐标系.

思路 2 例 1 如图 4,已知点 P′在 x 轴正半轴上,|OP′|=2,PP′在 xOz 平面上,且垂直于 x
轴,|PP′|=1,求点 P′和 P 的坐标.

图4 解:显然,P′在 x 轴上,它的坐标为(2,0,0). 若点 P 在 xOy 平面上方,则点 P 的坐标为(2,0,1). 若点 P 在 xOy 平面下方,则点 P 的坐标为(2,0,-1). 点评:注意点 P 有两种可能的位置情况,不要漏解. 例 2 如图 5,在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,E,F 分别是 BB1 和 D1B1 的中点,棱长为 1,求 E,F 点的坐标.

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图5 解:方法一:从图中可以看出 E 点在 xOy 平面上的射影为 B,而 B 点的坐标为(1,1,0),E 点
1 1 的竖坐标为 2 ,所以 E 点的坐标为(1,1, 2 );F 点在 xOy 平面上的射影为 G,而 G 点的坐标 1 1 1 1 为( 2 , 2 ,0),F 点的竖坐标为 1,所以 F 点的坐标为( 2 , 2 ,1).

方法二:从图中条件可以得到 B1(1,1,1),D1(0,0,1),B(1,1,0).E 为 BB1 的中点,F 为 D1B1
1?1 1?1 1? 0 1 , , 2 2 )=(1,1, 2 ),F 点的坐标为 的中点 , 由中点坐标公式得 E 点的坐标为 ( 2 1? 0 1? 0 1?1 1 1 , , 2 2 )=( 2 , 2 ,1). ( 2

点评:(1)平面上的中点坐标公式可以推广到空间,即设 A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),则 AB
x1 ? x 2 y1 ? y 2 z1 ? z 2 2 , 2 ); 的中点 P( 2 ,

(2)熟记坐标轴上的点的坐标和坐标平面上的点的坐标表示的特征. 变式训练 1.在上题中求 B1(1,1,1)点关于平面 xoy 对称的点的坐标.
? 1 ? x0 , ?1 ? 2 ? ? 1 ? y0 , ?1 ? 2 ? ? 1 ? z0 ?0 ? 2 ?

解 : 设所求的点为 B0(x0,y0,z0), 由于 B 为 B0B1 的中点 , 所以

解之 , 得

? x 0 ? 1, ? ? y 0 ? 1, ? ? z 0 ? ?1

.所以 B0(1,1,-1).

2.在上题中求 B1(1,1,1)点关于 z 轴对称的点的坐标.
? 1 ? x0 , ?0 ? 2 ? ? 1 ? y0 , ?0 ? 2 ? ? 1 ? z0 . ?1 ? 2 ?

解:设所求的点为 P(x0,y0,z0),由于 D1 为 PB1 的中点,因为 D1(0,0,1),所以

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解之,得

? x0 ? ?1, ? ? y 0 ? ?1, ? ? z 0 ? 1.

所以 P(-1,-1,1).

3.在上题中求 B1(1,1,1)点关于原点 D 对称的点的坐标.
? 1 ? x0 , ?0 ? 2 ? ? 1 ? y0 , ?0 ? 2 ? ? 1 ? z0 ?0 ? 2 ?

解:设所求的点为 M(x0,y0,z0),由于 D 为 MB1 的中点,因为 D(0,0,0),所以

.

? x0 ? ?1, ? ? y 0 ? ?1, ? z ? ?1. 解之,得 ? 0 所以 M(-1,-1,-1).
课堂小结 1.空间直角坐标系的建立. 2.空间直角坐标系中点的坐标的确定. 3.空间直角坐标系中点的位置的确定. 4.中点公式:
x1 ? x 2 y1 ? y 2 z1 ? z 2 2 , 2 ). P1(x1,y1,z1),P2(x2,y2,z2),则 P1P2 中点 M 的坐标为( 2 ,

5.空间直角坐标系中点的对称点的坐标.

作业

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