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双曲线及其标准方程(1)的教学设计


双曲线及其标准方程
高二数学 于永生 2015 年 4 月 16 日

一 设计思想:
本课为解析几何内容,充分体现了解析法的应用.学好概念是本课的关键,在辅助媒 体的选用上我选择了实物投影和课件共用.利用 Flash 动画再现椭圆的形成过程,借助于 实物投影演示双曲线的形成,课件呈现图表类比,对比椭圆与双曲线的异同.本课将通过 让学生动手演示,动口叙述,动脑编题等方式,充分调动学生的思维,形成以学生为主体 的课堂氛围.

二 教材分析:
本内容选自人教 A 版普通高中课程标准实验教科书选修 2-1 第 2 章第 3 节双曲线的第 一课时,双曲线是三种圆锥曲线中最复杂的一种,传统的处理方法是先学习椭圆,再学习 双曲线,这充分考虑了紧密联系 知识体系和由易到难的教学要求,符合学生的学习,在 新课程教材中继续保留,前面有椭圆知识及学习方法的铺垫,后面有抛物线学习的综合加 强,有利于学生掌握和巩固. 本课的主要学习内容有:①探求轨迹(双曲线)②学习双曲线的概念 ③推导双曲线 标准方程 ④学习标准方程的简单求法

三 学情分析:
学生先前已经学习了椭圆,基本掌握了椭圆的有关问题及研究方法,而双曲线问题, 它与椭圆问题有类似性,知识的正迁移作用可在本节课中充分显示.也就是说,学生在经 过前期解析几何的系统学习,已初步掌握了解析法思想和解析研究的能力,学习本课已具 备一定的基础.在学习过程,较椭圆而言,从直观图形轨迹到抽象概念的形成,中间一些 细节问题的处理要求学生有更细致入微的分析和更强的领悟性,因此学生概括起来有更高 的难度.特别是对于为什么需要加绝对值,c 与 a 的有怎么样大小关系,为什么是这样的 等等.另外,与椭圆除了本身内容的区别之外,初中所学的“反比例函数图象”在学生的 头脑里有一个原有认知,而这个认知对于现在的学习会产生一定帮助的同时,其方程形式 的不同也会带来一定的认知冲突.

四 教学目标:
△通过双曲线轨迹的探索过程,体验双曲线的特征,探求总结双曲线的定义;
1

△通过类比椭圆的标准方程,推导并掌握双曲线的标准方程; △通过对双曲线概念和标准方程的探索,培养学生观察分析抽象的能力,体验解析思 想,激发学生探究事物运动规律,进一步认清事物的本质特征的兴趣;

五 重点难点:
△重点:双曲线的定义及其标准方程; △难点:准确理解表述双曲线的定义,标准方程的推导

六 课前准备:
△教具准备:①全班按 4 人一组分成若干组,每组准备 8K 纸一张,拉链一根 ②教师准备小木板一块,长拉链一根,图钉两枚,美工笔一支. ③实物投影仪,Flash 课件. △教法准备:在教师的指导下探究学习,通过作图——原理分析——定义——方程推导 的探究,深化对双曲线的认识,并注意与椭圆的类比.

七 教学过程:
(一) 回顾椭圆, 寻求引领方法
问题 1:椭圆的第一定义是什么?椭圆的标准方程是怎么样的?怎么推导而来? 问题 2:如何作椭圆? (边回顾知识,边播放 Flash 课件,动画展示椭圆的形成过程,注重于研究问题的方法)

(二)动手演示,感受双曲线形成
在椭圆定义中,到两定点的距离之“和”改为到两定点的距离之“差”为定值,则曲线的 轨迹又会如何?能否利用手头的工具来演示得到满足这样条件的曲线呢? (师生共同研究探索作图方案,主要解决如何来实现距离之差为定值) 总结方法:取拉链,拉开一部分,在拉开的一边上取其 端点,在另一边的中部位置取一点分别固定在纸上的两 个定点 F1 和 F2 处, (注意 F1F2 的距离要比拉链两点的 差要大) ,把笔尖搭在拉链头 M 处,随着拉链的拉开或闭 合,笔尖就画出一条曲线. (学生动手,老师指导,然后在讲台上演示) F1 F2 M

(三)剖析特征,提炼双曲线定义
F1
2

M F2

3.1 分析演示结果
展示学生画图结果一: 拉链在拉开闭拢的过程中,拉开的两边长始终相等,即|MF1|=|MF2|+|F1F2|.动点 M 变化 时,|MF1|与|MF2|在不断变化,但总有|MF1|-|MF2|=|F1F2|,而|F1F2|为定长,所以 点 M 到两定点 F1 和 F2 的距离之差为常数,记为 2a,即|MF1|-|MF2|=2a 展示学生画图结果二: 画出来的曲线开口向左边 (把学生的图在实物投影下展示,发现存在的差异, 讨论点 M 到 F1 与 F2 两点的距离的差确切怎样表示?) 展示学生画图结果三: 拉链头拉不到 F2 点,图画不出来 (引发学生思考为什么会画不出来?||MF1|-|MF2|| 与|F1F2|有何关系?) M F1 M F1 F2

.

F2

3.2 双曲线定义:
(引导学生概括出双曲线的定义) 平面内与两个定点 F1、F2 的距离的差的绝对值等于常数(小于<|F1F2|)的点轨迹叫做双 曲线,这两个定点叫做双曲线的焦点,两焦点的距离叫做双曲线的焦距. 数学简记: || MF1 | ? | MF2 ||? ?2a ( 0 ? 2a ? 2c ?| F1 F2 | ) (直观感觉双曲线有“两条” (两支) ,每一支“有点象”抛物线.曾经学过的反比例函 数图象是双曲线.那么双曲线就是反比例函数图象?答,不是的,反比例函数图象是双曲线, 但双曲线所对应的表达式不一定是反比例函数的形式,下面我们就研究双曲线的方程)

(四)类比椭圆,推导标准方程 4.1 推导
回忆椭圆的标准方程的推导步骤,来推导双曲线的标准方程. (教师提示步骤,叫一学生上台板演,其余学生自己推导,教师个别指导) 整理修改板演学生的结果: 设 M ( x, y ) , F1 (?c,0) , F2 (c,0) , 由 | MF1 | ? | MF2 |? ?2a ,得 ( x ? c)2 ? y 2 ? ( x ? c) 2 ? y 2 ? ?2a
? ( x ? c) 2 ? y 2 ? ( x ? c) 2 ? y 2 ? 2a
? ( x ? c ) 2 ? y 2 ? ( x ? c ) 2 ? y 2 ? 4a ( x ? c ) 2 ? y 2 ? 4a 2
3

? cx ? a 2 ? ?a ( x ? c) 2 ? y 2
? (cx ? a 2 )2 ? a 2[( x ? c)2 ? y 2 ] ? (c 2 ? a 2 ) x2 ? a 2 y 2 ? a 2 (c2 ? a 2 ) ,

令 c2 ? a 2 ? b2 ( b ? 0 ) ,得 b2 x2 ? a 2 y 2 ? a2b2 ,即

x2 y2 ? ? 1. a2 b2

(讨论:推导的过程是一个等价变形的过程吗?)

4.2 标准方程
①双曲线的标准方程 当焦点在 x 轴上,中心在原点时,方程形式: 当焦点在 y 轴上,中心在原点时,方程形式: ②参数 a,b,c 的关系
c 2 ? a 2 ? b 2 ( a , b, c ? 0 )
| MF 1 | ? | MF2 |? ?2a (实轴长) | F1F2 |? 2c (焦距)
x2 y2 ? ?1 a2 b2 y2 x2 ? ?1 a2 b2

③与椭圆的对比 (从定义阐述, 方程结构特征,a,b,c 之间的关系,焦点坐标的判断着手分析相同点和不同点, 并用课件表格的形式呈现)

(五)应用解题,巩固知识要点
例1 写出一个双曲线的标准方程,并让同桌写出相应的焦点坐标及 a,b,c 的值. (学生自己出题,自己解答,巩固标准方程及其中相应的数量关系,并找出具有代表性的例 子用实物投影共同分析解答的结果) 例 2 已知方程
x2 y2 ? ? 1 表示焦点在 x 轴上的双曲线,则 m 的取值范围是 m?2 m?3



变式: (1)改为表示焦点在 y 轴上的双曲线呢? (2)改为表示双曲线呢? (3)若表示椭圆呢? (通过变式进一步巩固方程的结构特征,并与椭圆加以区别) 例 3 在给出的四个选项中选择适当的数填入空格,再解题:已知双曲线的焦 点坐标为

F1 (?5,0) , F2 (5,0) ,双曲线上点 P 到 F1,F2 的差的绝对值等于______,求双曲线的标准方程.
A. 16 B. 6 C.10 D.0

(分析每个选项的特征,进一步理解定义中 0 ? 2a ? 2c ?| F1 F2 | 的条件,通过求解,总结求解
4

双曲线标准方程的方法和策略)

(六)对比总结,整合新学知识
1.应用双曲线和椭圆的对比图表,总结整理双曲线定义的要点,标准方程的形式 2.课本练习 P60 1,2,3 3.思考 (1)当 0 ? ? ? ? 时,方程 x 2 sin ? ? y 2 cos? ? 1表示什么曲线? (2)反比例函数图象是特殊的双曲线,为什么其方程和标准方程不同?

八 板书设计:
双曲线的定义及标准方程 1、 双曲线的定义 2、 标准方程的推导 焦点在 x 轴上 标准方程 焦点在 y 轴上 标准方程 3.例 1 解题过程 4.例 2 解题过程
M
1F

y

x

2F

O

5.例 3 解题过程

x
2F

O
1F

y

M

问题研讨:
本节课设计源于本人课堂教学的一个真实案例.在教学思想上,以“问题引导,探究交 流”为主,兼容讲解、演示、合作等多种方式,力求灵活运用.在教学目标上,以突出解析 思想为主,容知识与技能、过程与方法、情感与体验为一体,力求多元价值取向.在多媒体 应用上,力求灵活实用,不跟着课件走,使得多媒体真正做到为课堂有效服务.整堂课下来 充实流畅,课堂气氛姣好.但也存在几个值得反思和讨论的问题: 1.让学生动手演示比较费时间,因此在动手之前教师应该把要点准确的分析到位. 2.在标准方程的推导过程中,讨论推导的过程是否为一个等价变形的过程,比较复杂,学生 理解起来不是很清楚,这里存在如何能恰到好处的处理这一问题,有待进一步的思考和探讨.

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