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3.2 独立性检验的基本思想及其初步应用 学案(人教A版选修2-3)


3.2

独立性检验的基本思想及其初步应用

问题导学 一、用列联表和等高条形图分析两变量间的关系 活动与探究 1 某生产线上,质量监督员甲在生产现场时,990 件产品中有合格品 982 件,次品 8 件; 不在生产现场时,510 件产品中有合格品 493 件,次品 17 件.试利用图、表判断监督员甲 在不在生产现场对产品质量好坏有无影响. 迁移与应用 某学校对高三学生作了一项调查发现: 在平时的模拟考试中, 性格内向的学生 426 人中 有 332 人在考前心情紧张, 性格外向的学生 594 人中有 213 人在考前心情紧张, 作出等高条 形图,利用图形判断考前心情紧张与性格类别是否有关系. (1)利用列联表直接计算 a c 和 ,如果两者相差很大,就判断两个分类变量之间有 a+b c+d

关系. (2)在等高条形图中展示列联表数据的频率特征,比较图中两个深色条的高可以发现两 者频率不一样而得出结论, 这种直观判断的不足之处在于不能给出推断“两个分类变量有关 系”犯错误的概率. 二、独立性检验与应用 活动与探究 2 为调查某地区老年人是否需要志愿者提供帮助,用简单随机抽样方法从该地区调查了 500 位老年人,结果如下: 男 女 40 30 需要 160 270 不需要 (1)估计该地区老年人中,需要志愿者提供帮助的老年人的比例; (2)能否在犯错误的概率不超过 0.01 的前提下认为该地区的老年人是否需要志愿者提供 帮助与性别有关? 附: 0.050 0.010 0.001 P(K2≥k) k 3.841 6.635 10.828 n?ad-bc?2 K2= ?a+b??c+d??a+c??b+d? 迁移与应用 1.大学生和研究生毕业的一个随机样本给出了关于所获取学位类别与学生性别的分类 数据如下表所示: 学位 性别 合计 硕士 博士 162 27 189 男 143 8 151 女 305 35 340 合计 根据以上数据,则( ) A.性别与获取学位类别有关 B.性别与获取学位类别无关 C.性别决定获取学位的类别 D.以上都是错误的 2.某大型企业人力资源部为了研究企业员工工作积极性和对待企业改革态度的关系, 经过调查得到如下列联表: 积极支持 不太支持 总计 企业改革 企业改革

54 40 94 工作积极 32 63 95 工作一般 86 103 189 总计 根据列联表的独立性检验,能否在犯错误的概率不超过 0.005 的前提下认为工作态度与 支持企业改革之间有关系? 进行独立性检验时, 首先要根据题意列出两个分类变量的列联表, 然后代入公式计算随 2 机变量 K 的观测值 k,再对照相应的临界值给出结论,以决定两个变量是否有关,还是在 犯错误概率不超过多少的前提下有关系. 答案: 课前· 预习导学 【预习导引】 1.不同类别 分类变量 预习交流 1 C a c 3.(1)相互影响 频率特征 (2) a+b c+d n(ad-bc)2 4.(2) (a+b)(c+d)(a+c)(b+d) 预习交流 2 (1)提示:独立性检验的基本思想类似于反证法,要判断“两个分类变量有 关系”,首先假设结论不成立,即 H0:两个分类变量没有关系成立.在该假设下构造的随 机变量 K2 应该很小.如果由观测数据计算得到的 K2 的观测值 k 很大,则断言 H0 不成立, 即认为“两个分类变量有关系”; 如果观测值 k 很小, 则说明在样本数据中没有发现足够证 据拒绝 H0. (2)D 课堂· 合作探究 【问题导学】 活动与探究 1 思路分析:由题目所给数据列出列联表并画出相应的等高条形图,直观 判断两个分类变量之间的关系. 解:根据题目所给数据得如下 2×2 列联表: 合格品数 次品数 总计 982 8 990 甲在生产现场 493 17 510 甲不在生产现场 1 475 25 1 500 总计 ∵ad-bc=982×17-8×493=12 750, ∴ad-bc 比较大,说明甲不在生产现场与产品质量好坏有关系. 相应的等高条形图如图所示.

图中两个深色条的高分别表示甲在生产现场和甲不在生产现场样本中次品数的频率. 从 图中可以看出, 甲不在生产现场样本中次品数的频率明显高于甲在生产现场样本中次品数的 频率.因此可以认为质量监督员甲在不在生产现场与产品质量好坏有关系.

迁移与应用 解:作列联表如下: 性格内向 性格外向 332 213 考前心情紧张 94 381 考前心情不紧张 426 594 总计 ∵ad-bc=332×381-213×94=106 470, ∴ad-bc 比较大,说明考前紧张与性格类型有关. 总计 545 475 1 020

图中阴影部分表示考前心情紧张与考前心情不紧张中性格内向的比例, 从图中可以看出 考前紧张的样本中性格内向占的比例比考前心情不紧张样本中性格内向占的比例高, 可以认 为考前紧张与性格类型有关. 活动与探究 2 思路分析:(1)求出老年人需要帮助的共有多少人,再求比值. (2)利用公式计算出 K2,再进行判断. 解:(1)调查的 500 位老年人中有 70 位需要志愿者提供帮助,因此该地区老年人中,需 70 要帮助的老年人的比例的估计值为 =14%. 500 (2)由列联表中数据,得 K2 观测值为 500×(40×270-30×160)2 k= ≈9.967. 200×300×70×430 由于 9.967>6.635, 所以在犯错误的概率不超过 0.01 的前提下认为该地区的老年人是否 需要帮助与性别有关. 迁移与应用 1.A 解析:由列联表可得:K2 的观测值 340×(162×8-143×27)2 k= ≈7.34>6.635, 189×151×305×35 所以性别与获取学位的类别有关,故选 A. 2.解:由列联表中的数据,得 K2 的观测值为 189×(54×63-40×32)2 k= ≈10.759>7.879, 94×95×86×103 因此,在犯错误的概率不超过 0.005 的前提下,认为工作态度与支持企业改革之间有关 系. 当堂检测 1.观察下列各图,其中两个分类变量 x,y 之间关系最强的是( )

答案:D 解析:在四幅图中,D 图中的两个深色条的高相差最明显,说明两个分类变 量之间关系最强. 2.某工厂为了调查工人文化程度与月收入的关系,随机抽取了部分工人,得到如下列 联表: 文化程度与月收入列联表 (单位:人) 月收入 2 000 月收入 2 000 总计 元以下 元及以上 10 45 55 高中文化以上 20 30 50 高中文化及以下 30 75 105 总计 由上表中数据计算得 K2 的观测值 k=

105 ? (10 ? 30 ? 20 ? 45?2 ≈6.109,请估计认为 55 ? 50 ? 30 ? 75

“文化程度与月收入有关系”的把握是( ) A.1% B.99% C.2.5% D.97.5% 答案:D 解析:由于 6.109>5.024,故在犯错误的概率不超过 0.025 的前提下,即有 97.5%的把握认为“文化程度与月收入有关系”. 3.某班主任对全班 50 名学生作了一次调查,所得数据如表: 认为作业多 认为作业不多 总计 18 9 27 喜欢玩电脑游戏 8 15 23 不喜欢玩电脑游戏 26 24 50 总计 由表中数据计算得到 K2 的观测值 k≈5.059, 于是______(填“能”或“不能”)在犯错误 的概率不超过 0.01 的前提下认为喜欢玩电脑游戏与认为作业多有关. 答案:不能 解析:查表知若要在犯错误的概率不超过 0.01 的前提下认为喜欢玩电脑 游戏与认为作业多有关,则临界值 k0=6.635.本题中,k≈5.059<6.635,所以不能在犯错 误的概率不超过 0.01 的前提下认为喜欢玩电脑游戏与认为作业多有关. 4. 某医疗研究所为了检验某种血清预防感冒的作用, 把 500 名使用血清的人与另外 500 名未使用血清的人一年中的感冒记录作比较,提出假设 H0:“这种血清不能起到预防感冒 的作用”,利用 2×2 列联表计算得 K2≈3.918,经查临界值表知 P(K2≥3.841)≈0.05.则下 列结论中,正确结论的序号是______. ①有 95%的把握认为“这种血清能起到预防感冒的作用”; ②若某人未使用该血清,那么他在一年中有 95%的可能性得感冒; ③这种血清预防感冒的有效率为 95%; ④这种血清预防感冒的有效率为 5%. 答案:① 解析: K2≈3.918≥3.841,而 P(K2≥3.841)≈0.05,所以有 95%的把握认为

“这种血清能起到预防感冒的作用”. 要注意我们检验的是假设是否成立和该血清预防感冒 的有效率是没有关系的,不是同一个问题,不要混淆. 5.中国医药学院周医师从事原住民痛风流行率的研究,周医师发现原住民 342 人中, 患有痛风的有 40 人,其中 17 位 TG(三酸甘油酯)超出正常值 160,而非痛风组 302 人中有 66 位 TG 超出正常值. (1)请根据上面信息列出 2×2 列联表; 答案: 解:2×2 列联表: 痛风 非痛风 合计 17 66 83 TG>160 23 236 259 TG≤160 40 302 342 合计 (2)请分析痛风组与非痛风组其 TG(三酸甘油酯)超过正常值 160 的比率是否有关系. 答案:计算 K2 的观测值 k 为 8.191 7, P(K2≥7.879)≈0.005, 这说明在犯错误的概率不超过 0.005 的前提下认为“TG 超出正常值与痛风有关”.

提示:用最精练的语言把你当堂掌握的核心知识的精华部分和 基本技能的要领部分写下来并进行识记.


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