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2016届高考数学一轮复习同步课件:第3章+第7节+正弦定理和余弦定理


第七节正弦定理和余弦定理

基础盘查一

正弦定理与余弦定理

(一)循纲忆知
掌握正弦定理、余弦定理,并能解决一些简单的三角形度 量问题.

(二)小题查验
1.判断正误
(1)在△ABC 中,若 A>B,则 sin A>sin B ( √)

(2)在△ABC 中,若 a2>b2+c2,则△ABC 一定为钝角三角形 ( √)

(3)在△ABC 中,已知两边和其夹角时,△ABC 不唯一

(× )

(4)在△ABC 的六个元素中,已知任意三个元素可求其他元素 ( × )

2.(人教 A 版教材练习改编)在△ABC 中,已知 A=60° ,B=45° ,

10(3 2- 6) c=20,则 a=_____________.

6 3 . 3.在△ABC 中,a=15,b=10,A=60° ,则 cos B 的值为____

基础盘查二

三角形中常用的面积公式

(一)循纲忆知
? 1 ? 会利用三角形的面积公式解决几何计算问题 S = 2 ab sin ? ? C ?. ?

(二)小题查验
1.判断正误
1 (1)公式 S= absin C 适合求任意三角形的面积 2
(2)三角形中已知三边无法求其面积 (3)在三角形中已知两边和一角就能求三角形的面积

( √ )
( × ) ( √ )

3 2.已知△ABC 中,a=2,b=3,cos C= ,则此三角形的面积 S 的 5

12 值为____ 5 .

考点一 利用正弦、余弦定理解三角形 (重点保分型考点——师生共研)

[必备知识]
1.正弦定理 a b c = = =2R,其中 R 是三角形外接圆的半径. sin A sin B sin C 由正弦定理可以变形:(1) a∶b∶c=sin A∶sin B∶sin C; (2) a=2Rsin A,b=2Rsin B,c=2Rsin C.

2.余弦定理
a2=b2+c2-2bccos A, b2=a2+c2-2accos B, c2=a2+b2-2abcos C.
b2+c2-a2 a2+c2-b2 变形:cos A= ,cos B= , 2bc 2ac a2+b2-c2 cos C= . 2ab

[典题例析]

(2014· 辽宁高考)在△ABC 中, 内角 A, B, C 的对边分别为 a,

??? ? ??? ? 1 b,c,且 a>c.已知 BA · BC =2,cos B=3,b=3,求:
(1) a 和 c 的值; (2) cos(B-C)的值.

??? ? ??? ? 解:(1)由 BA · acos B=2, BC =2 得 c ·
1 又 cos B= ,所以 ac=6. 3 由余弦定理,得 a2+c2=b2+2accos B. 又 b=3,所以 a2+c2=9+2×2=13.
? ?ac=6, 解? 2 2 ? ?a +c =13, ? ? a= 2, 得? ? ?c=3 ? ?a=3, 或? ? ?c=2.

因为 a>c,所以 a=3,c=2.

(2)在 △ ABC 中, sin B= 2 2 ?1? 1-cos B= 1 ? ? ? = , 3 ? 3?
2
2

c 2 2 2 4 2 由正弦定理,得 sin C=b sin B= × = . 3 3 9 因 a=b>c,所以 C 是锐角, 因此 cos C= 1-sin2C=

?4 2? 7 1? ? ? =9. ? 9 ?

2

1 7 2 2 4 2 23 于是 cos(B-C)=cos Bcos C+sin Bsin C= × + × = . 3 9 3 9 27

[类题通法]
正、余弦定理的应用原则
(1)正弦定理是一个连比等式,在运用此定理时,只要知道其 比值或等量关系就可以通过约分达到解决问题的目的,在解题时要 学会灵活运用.

(2)运用余弦定理时,要注意整体思想的运用.

[演练冲关]
在锐角三角形 ABC 中,a,b,c 分别为内角 A,B,C 所对的边, 且满足 3a-2bsin A=0. (1)求角 B 的大小;

??? ? ???? (2)若 a+c=5,且 a>c,b= 7,求 AB · AC 的值.

解:(1)因为 3a-2bsin A=0, 所以 3sin A-2sin Bsin A=0. 3 因为 sin A≠0,所以 sin B= . 2 π 又 B 为锐角,则 B= . 3 π (2)由(1)知 B= ,因为 b= 7, 3 π 根据余弦定理得 7=a +c -2accos , 3
2 2

整理,得(a+c)2-3ac=7.

由已知 a+c=5,则 ac=6. 又 a>c,可得 a=3,c=2. b2+c2-a2 7+4-9 7 于是 cos A= = = , 2bc 14 4 7 ??? ? ???? ??? ? ???? 所以 AB · | AC |cos A AC =| AB |· =cbcos A=2× 7× 7 =1. 14

考点二

利用正弦、余弦定理判定三角形的形状 (题点多变型考点——全面发掘)

[必备知识]
三角形中常见的结论

(1)A+B+C=π.

(2)在三角形中大边对大角,反之亦然. (3)任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边.

(4)三角形内的诱导公式:

sin(A+B)=sin C;cos(A+B)=-cos C; A+ B C tan(A+B)=-tan C;sin =cos ; 2 2 A+ B C cos =sin . 2 2

(5)在△ABC 中,tan A+tan B+tan C=tan A· tan B· tan C. (6)在△ABC 中,A,B,C 成等差数列的充要条件是 B=60°.

(7)△ABC 为正三角形的充要条件是 A,B,C 成等差数列且 a, b,c 成等比数列.

[一题多变]
[典型母题]

(2013· 陕西高考)设△ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别为 a, b,c,若 bcos C+ccos B=asin A,则△ABC 的形状为 A.锐角三角形 C.锐角三角形 B.直角三角形 D.不确定 ( )

[解析]

依据题设条件的特点,由正弦定理,

得 sin Bcos C+cos Bsin C=sin2A,有 sin(B+C)=sin2A, 从而 sin(B+C)=sin A=sin2A,解得 sin A=1, π ∴A= . 2

[答案] B

[题点发散 1]

设△ABC 的内角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, ( )

2sin Ac cos = sin C A ,那么△ABC 一定是 若若 bcos C+ cosB B = asin c,

A.直角三角形 C.等腰直角三角形

B.等腰三角形 D.正三角形

解:法一:由已知得 2sin Acos B=sin C=sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B, 即 sin(A-B)=0,因为-π<A-B<π,所以 A=B,选 B.

法二:由正弦定理得 2acos B=c,再由余弦定理得 a2+c2-b2 2a · =c?a2=b2?a=b. 2ac

答案:B

[题点发散 2]

设△ABC 的内角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, ( )

若a cos =b cos 若 bcos C +cA cos B =aB sin A ,那么△ABC 一定是 c,
A.直角三角形 C.等腰直角三角形 B.等腰三角形 D.等腰或直角三角形

解析:由正弦定理, 得 sin Acos A=sin Bcos B?sin 2A=sin 2B, 因为 2A,2B∈(0,π),所以 2A=2B 或 2A=π-2B, π 即 A=B 或 A+B= . 2
答案:D

[题点发散 3]

设△ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,

若2 ba cos + c(2 cos B= asin ,则△ ABC 的形状为. sinC A = b+ c)sin BA + (2c+b )sin C .且 sin B+sin C=1,

试判断△ABC 的形状.

解:由已知,根据正弦定理得 2a2=(2b+c)b+(2c+b)c, 1 3 即 a =b +c +bc,cos A=- ,sin A= , 2 2 则 sin2A=sin2B+sin2C+sin Bsin C. 1 又 sin B+sin C=1,所以 sin B sin C= , 4 1 π π π 所以 sin B=sin C= .因为 0< B < ,0< C < ,故 B=C= , 2 2 2 6
2 2 2

所以△ABC 是等腰钝角三角形.

[类题通法]

判定三角形形状的两种常用途径
(1)通过正弦定理和余弦定理,化边为角,利用三角变换得出 三角形内角之间的关系进行判断.

(2)利用正弦定理、余弦定理化角为边,通过代数恒等变换, 求出边与边之间的关系进行判断.
[提醒] 在判断三角形形状时一定要注意解是否唯一,并注重

挖掘隐含条件.另外,在变形过程中要注意角 A,B,C 的范围对 三角函数值的影响.

考点三

与三角形面积有关的问题 (重点保分型考点——师生共研)

[必备知识]
三角形中常用的面积公式 1 (1) S= ah (h 表示边 a 上的高); 2
1 1 1 (2) S = bc sin A = ac sin B = ab sin C ; 2 2 2 1 (3) S= r ( a + b + c ) (r 为三角形的内切圆半径). 2

[典题例析]
(2014· 山东高考)△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a, 6 π b,c.已知 a=3,cos A= ,B=A+ . 3 2 (1)求 b 的值; (2)求△ABC 的面积.

解:(1)在△ABC 中, 3 由题意知 sin A= 1-cos A= , 3
2

π 又因为 B=A+ , 2 所以 sin
? π? B=sin?A+ 2?=cos ? ?

6 A= . 3

6 3× 3 asin B 由正弦定理可得 b= = =3 2. sin A 3 3

? π? π 3 ? ? (2)由 B=A+ 得 cos B=cos A+2 =-sin A=- . 2 3 ? ?

由 A+B+C=π,得 C=π-(A+B). 所以 sin C=sin[π-(A+B)]=sin(A+B) =sin Acos B+cos Asin B 3 ? 6 6 1 3? ? ? = ×?- ?+ × = . 3 ? 3? 3 3 3 1 1 1 3 2 因此△ABC 的面积 S= absin C= ×3×3 2× = . 2 2 3 2

[类题通法]

三角形面积公式的应用原则

1 1 1 (1)对于面积公式 S= absin C= acsin B= bcsin A,一 2 2 2 般是已知哪一个角就使用哪一个公式.
(2)与面积有关的问题,一般要用到正弦定理或余弦定理进 行边和角的转化.

[演练冲关]

已知 a,b,c 分别为△ABC 三个内角 A,B,C 的对边, acos C+ 3asin C-b-c=0. (1)求 A; (2)若 a=2,△ABC 的面积为 3,求 b,c.

解:(1) 由 a cos C + 3 a sin C - b - c = 0 及正弦定理得, sin A cos C + 3sin A sin C - sin B - sin C = 0. 因为 B = π - A - C , 所以 3sin A sin C - cos A sin C - sin C = 0. 由于 sin C ≠ 0 ,所以 π 又 0< A < π ,故 A = . 3 1 (2) △ABC 的面积 S = bc sin A = 3 ,故 bc = 4. 2 而 a 2 = b 2 + c 2 - 2 bc cos A ,故 b 2 + c 2 = 8. 解得 b = c = 2.
? π? 1 sin ?A - 6 ?= . ? ? 2


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