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2014届高考数学(文)一轮复习课件(鲁闽皖专用): 合情推理与演绎推理(新人教A版)


第五节 合情推理与演绎推理

三年21考

高考指数:★★★★

1.了解合情推理的含义,能利用归纳和类比等进行简单的推理,

了解合情推理在数学发现中的作用;
2.了解演绎推理的重要性,掌握演绎推理的基本模式,并能运

用它们进行一些简单推理;
3.了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异.

1.归纳推理与数列相结合问题是考查重点; 2.类比推理、演绎推理是重点,也是难点;

3.以选择题、填空题的形式考查合情推理;以选择题或解答题
的形式考查演绎推理,题目难度不大,多以中低档题为主.

1.推理 (1)定义:推理是根据一个或几个已知的判断来确定一个新的 判断的思维过程. 合情推理 演绎推理 (2)分类:推理一般分为__________与__________两类.

【即时应用】
(1)思考:一个推理是由几部分构成的? 提示:从结构上说,推理一般由两部分组成,一部分是已知的 事实(或假设)叫做前提,一部分是由已知推出的判断,叫做结 论. (2)数列2,5,11,20,x,47,?中的x等于______. 【解析】5-2=3,11-5=6,20-11=9,推出x-20=12,所以x=32. 答案:32

(3)已知数列 1, 3, 5, 7, , 2n ? 1, , 3 5 是第______项. ? ? 则 【解析】由题可知该数列的第n项 a n ? 2n ? 1, 由 2n ? 1 ? 3 5, 得2n-1=45,∴n=23. 答案:23

2.合情推理 归纳推理 由某类事物的部分对象 具有某些特征,推出该 全部对象都 类事物的___________ 具有这些特征 ______________的推理, 或者由个别事实概括出 一般结论 _________的推理 特点 整体 部分 由______到______、由 一般 个别 ______到______的推理 类比推理 由两类对象具有某些类似 特征和其中一类对象的 某些已知特征 _____________,推出另一 类对象也具有这些特征的 推理

定义

特殊 特殊 由______到______的推理

归纳推理 (1)通过观察个别情况 一般 步骤 发现某些相同性质; (2)从已知的相同性质 中推出一个明确的一般 性命题(猜想)

类比推理 (1)找出两类事物之间的相 似性或一致性;(2)用一类 事物的性质去推测另一类 事物的性质,得出一个明 确的命题(猜想)

【即时应用】 (1)判断下列命题是否正确(请在括号中填√或×) ①(ab)n=anbn与(a+b)n类比,则有(a+b)n=an+bn; ②loga(xy)=logax+logay与sin(α +β )类比,则有 ( )

sin(α +β )=sinα sinβ ;

(

)

③(a+b)2=a2+2ab+b2与(a+b)2类比,则有(a+b)2=a2+2a·b+b2.

(

)

(2)在平面上,若两个正三角形的边长的比为1∶2,则它们的 面积的比为1∶4,类似地,在空间内,若两个正四面体的棱长 的比为1∶2,则它们的体积的比为_______.

【解析】(1)①错.(a+b)2=a2+2ab+b2≠a2+b2;
②错.sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ≠sinαsinβ; ③对.(a+b)2=(a+b)?(a+b)=a2+2a?b+b2满足向量数量积的运算. (2)两个正四面体的棱长的比为1∶2,则其高之比为1∶2,底 面积之比为1∶4,故其体积的比为1∶8. 答案:(1)①× ②× ③√ (2)1∶8

3.演绎推理 某个特殊情况 一般性的原理 (1)定义:从______________出发,推出_____________下的 结论,我们把这种推理称为演绎推理. 一般到特殊 (2)特点:演绎推理是由____________的推理.

(3)模式:三段论.“三段论”是演绎推理的一般模式: 一般原理 ①大前提——已知的_________; “三段论”的 ②小前提——所研究的特殊情况; 结构 特殊情况 ③结论——根据一般原理,对_________做 出的判断. M是P ①大前提——______. “三段论”的 S是M ②小前提——______. 表示 ③结论——S是P.

【即时应用】 (1)命题“有些有理数是无限循环小数,整数是有理数,所以 整数是无限循环小数”是假命题,判断下列说法的真假(填 “真”或“假”) ①使用了归纳推理 ( )

②使用了类比推理
③使用了演绎推理

(
(

)
)

④使用了“三段论”但推理形式错误
⑤使用了“三段论”但小前提错误

(
(

)
)

(2)判断下列推理过程是否是演绎推理(请在括号中填“是”或

“否”)
①两条直线平行,同旁内角互补,如果∠A和∠B是两条平行直

线的同旁内角,则∠A+∠B=180°

(

)

②某校高三(1)班有55人,(2)班有54人,(3)班有52人,由此 得高三所有班级人数超过50人 ③由平面三角形的性质,推测空间四边形的性质
2 a n ?1

( (

) )

④在数列{an}中,a1=1, a n ? 1 (a n ?1 ? 1 ) (n≥2,n∈N *),由此归 纳出{an}的通项公式 ( )

【解析】(1)①假:不满足归纳推理的定义; ②假:不满足类比推理的定义; ③真:满足演绎推理的定义; ④真:使用了“三段论”但大前提中的“有些有理数”与小前 提中的“有理数”不是同一概念,故不符合三段论的推理形式.

⑤假,使用了“三段论”但小前提是正确的.

(2)①是,使用了“三段论”. ②不是,使用了归纳推理不是演绎推理. ③不是,使用了类比推理. ④不是,使用了归纳推理. 答案:(1)①假 ②假 ③真 ④真 ⑤假

(2)①是

②否

③否

④否

归纳推理
【方法点睛】归纳推理的特点

(1)归纳推理是由部分到整体,由个别到一般的推理.
(2)归纳推理所得结论不一定正确,通常归纳的个体数目越多, 越具有代表性,推广的一般性结论也会越可靠.其结论的正确 性往往通过演绎推理来证明. (3)它是一种发现一般性规律的重要方法.

【例1】(1)已知:f ? x ? ? x , 设f1(x)=f(x),fn(x)=
1? x

fn-1(fn-1(x))(n>1且n∈N*),则f3(x)的表达式为,猜想

fn(x)(n∈N*)的表达式为_______.
(2)(2012·苏州模拟)观察式子:

1?1 3?5 ? 8

你可以猜出的

一个一般性结论是______.
(3)设 f ? x ? ?

7 ? 9 ? 11 ? 27

1 先分别求f(0)+f(1),f(-1)+f(2),f(-2) , x 3 ? 3

+f(3),然后归纳猜想一般性结论,并给出证明.

【解题指南】(1)由已知条件及递推关系可推得f2(x),f3(x)及 fn(x). (2)由三个等式可推第四,第五个等式,从而得第n个等式即一

般结论.
(3)由0+1=1,-1+2=1,-2+3=1,以及f(0)+f(1),f(-1)+f(2),f(-2)

+f(3)的值可猜想f(x)+f(1-x).

【规范解答】(1)由 f1 ? x ? ? f ? x ? ? x

x x x f 2 ? x ? ? f1 ? f1 ? x ? ? ? f1 ( ) ? 1? x ? , 1? x 1? x 1 ? 2x 1? x x x f3 ? x ? ? f 2 ? f 2 ? x ? ? ? f 2 ( ) ? 1 ? 2x 1 ? 2x 1 ? 2? x 1 ? 2x x x ? ? 1 ? 4x 1 ? 2 2 x x x f 4 ? x ? ? f3 ? f3 ? x ? ? ? f3 ( ) ? 1 ? 4x 1 ? 4x 1 ? 4? x 1 ? 4x x x ? ? , 3 1 ? 8x 1 ? 2 x

1? x



x . n ?1 1? 2 x x 答案: 3 ? x ? ? x 2 f fn ? x ? ? 1? 2 x 1 ? 2n ?1 x

故猜想 f n ? x ? ?

(2)由前三个等式得13+15+17+19=64=43,

21+23+25+27+29=125=53,所以第n个等式的第一个数应为第
[1+2+?+(n-1)+1]个奇数,即为
[ 2 (n ? 1)n ? 1] 1 ? n(n ? 1) ? 1, ? 2

共有n个奇数,即第n个等式应为 [n(n-1)+1]+[n(n-1)+3]+[n(n-1)+5]+?+ [n(n-1)+2n-1]=n3. 即(n2-n+1)+(n2-n+3)+?+(n2+n-1)=n3.

答案:(n2-n+1)+(n2-n+3)+?+(n2+n-1)=n3 (3) f ? 0 ? ? f ?1? ?
? ?
1 1 ? 1 30 ? 3 3 ? 3

1 1 ? 1? 3 3(1 ? 3) 3 1 3 ? ? , 3 3(1 ? 3) 3(1 ? 3)

同理可得: ? ?1? ? f ? 2 ? ? 3 ,f ? ?2 ? ? f ? 3? ? 3 . f
3 由此猜想f(x)+f(1-x)= 3 . 3 3

证明:f(x)+f(1-x)=

1 1 ? 1? x 3x ? 3 3 ? 3

1 3x 1 3x 3 ? 3x ? x ? ? x ? ? x x 3 ? 3 3 ? 3? 3 3 ? 3 3( 3 ? 3 ) 3( 3 ? 3x ) ? 3 . 3

【反思·感悟】解决与归纳推理有关问题的关键点是找出其中

的规律,如第(1)题中通过递推关系得f2(x),f3(x),f4(x)可观
察其分子一样,分母变化的是x的系数,故可推出一般结论;第

(2)题中的关键问题是第n个等式的左边第一个数是多少,通过
观察可看出是第[1+2+?+(n-1)+1]个奇数,从而确定其等式 关系;第(3)题中规律是0+1=0+1-0,-1+2=-1+1-(-1),-2+3= -2+1-(-2),从而得x+(1-x)的联想,x+(1-x)也可看成-x+1+x, 即 f ? ? x ? ? f ?1 ? x ? ? 3 也成立.
3

类比推理
【方法点睛】1.类比推理的步骤 类比推理是根据两个对象有一部分属性类似,推出这两个对象 其他属性亦类似的一种推理方法,是由特殊到特殊的推理,其 一般步骤为: (1)找出两类事物之间的相似性或一致性; (2)用一类事物的性质去推测另一类事物的性质,得出一个明

确的命题(猜想).

2.类比的方法
类比推理的关键是找到合适的类比对象.平面几何中的一些定 理、公式、结论等,可以类比到立体几何中,得到类似的结论. 一般平面中的一些元素与空间中的一些元素的类比如表所示: 平面 空间

点 线 圆

线 面 球

三角形 角 面积 周长 ??

三棱锥 二面角 体积 表面积 ??

【例2】(2012·安溪模拟)已知命题:“若数列{an}是等比数

列,且an>0,则数列 bn ? n a1a 2 ?a n (n ? N* ) 也是等比数列”.类
比这一性质,你能得到关于等差数列的一个什么性质?并证明 你的结论. 【解题指南】等差数列中的和类比等比数列中的积,等差数列中 的算术平均数类比等比数列中的几何平均数,故本题中的等比数 列的几何平均数应与等差数列的算术平均数类比.

【规范解答】类比等比数列的性质,可以得到等差数列的一个 性质是:若数列{an}是等差数列, 则数列 b n ? a1 ? a 2 ??? a n 也是等差数列.
n

证明如下:设等差数列{an}的公差为d,则
n(n ? 1)d a ? a ??? a n d 2 bn ? 1 2 ? ? a1 ? (n ? 1), n n 2 所以数列{bn}是以a1为首项, d 为公差的等差数列. 2 na1 ?

【反思·感悟】1.在数学中,类比是发现概念、方法、定理和
公式的重要手段,数与式、平面与空间、一元与多元、低次与 高次、相等与不等、等差与等比之间有不少结论,都是先用类 比法猜想,而后加以证明的. 2.类比的关键是确定两类对象之间,某些性质的可比性与合理 性.

演绎推理 【方法点睛】演绎推理的特点 (1)演绎推理的结构 演绎推理是由一般到特殊的推理,其最常见的形式是三段论, 它是由大前提、小前提、结论三部分组成的.三段论推理中包 含三个判断:第一个判断称为大前提,它提供了一个一般的原

理;第二个判断叫小前提,它指出了一个特殊情况.这两个判
断联合起来,提示了一般原理和特殊情况的内在联系,从而产

生了第三个判断:结论.

(2)演绎推理的理论依据 其推理的依据用集合论的观点来讲就是:若集合M的所有元素 都具有性质P,S是M的子集,那么S中所有元素都具有性质P. 【提醒】应用三段论时,应当首先明确什么是大前提和小前提,

如果前提是显然的,有时可省略.

【例3】证明:函数f(x)=-x2+2x在[1,+∞)上是减函数. 【解题指南】证明函数的增减性,其大前提是单调性的定义,

若函数满足单调性的定义,则其增减性可得.
【规范解答】任取x1,x2∈[1,+∞),且x1<x2,

则f(x1)-f(x2)=(x2-x1)(x1+x2-2).
∵x1≥1,x2>1,∴x1+x2>2, ∴f(x1)-f(x2)=(x2-x1)(x1+x2-2)>0, ∴函数f(x)=-x2+2x在[1,+∞)上是减函数.

【反思·感悟】演绎推理是证明数学问题的基本推理形式,因 此在高考中经常出现,三段论推理是演绎推理的一种重要的推 理形式,是由一般到特殊的推理,在前提真实并且推理形式正 确的前提下,其结论就必然真实.

【易错误区】归纳推理的解答误区 【典例】(2011·江西高考)观察下列各式:72=49,73=343, 74=2 401,?,则72 (A)01 (B)43
011的末两位数字为(

)

(C)07

(D)49

【解题指南】需先求出75=16 807,76=117 649,观察后两位发 现呈周期变化,周期为4,易得72
011的末两位数字.

【规范解答】选B.由条件知:75=16 807,76=117 649, 77=823 543,?,观察发现后两位数字呈周期变化,周期为4,

又∵2 011=4×502+3,
∴72
011的末两位数字是43.

【阅卷人点拨】通过高考中的阅卷数据分析与总结,我们可以 得到以下误区警示和备考建议:

误 区 警 示

在解答本题时有两点造成误解:
(1)对于给定的式子,只观察式子结果,而不去继续 探究下几项式子,从而找不到规律而误解.

(2)在继续探究的情况下,运算错误从而导致周期找
不到或找错周期而误解.

解决归纳推理的问题,尤其是所求题目无法直接解出, 必须寻求其规律找到周期才能解决时,有以下几点易 造成误解,在备考时应高度关注: (1)无从下手,不知道此类题目一定会有规律.没有周 期性,本题是无法求解的.


考 建 议

(2)求解时需要多计算几个式子,从中发现规律,但
运算要准确无误方能正确求解. 建议在备考中解决类似问题时,一定要注意探求条件

中所包含的规律,从而达到解决的目的.

1.(2012·三明模拟)观察下列等式 1=1 2+3+4=9 3+4+5+6+7=25 4+5+6+7+8+9+10=49

照此规律,第n个等式应为_________.

【解析】观察上面的式子可知第n个等式起始值为n,共有2n-1 个,其和为(2n-1)2.

答案:n+(n+1)+(n+2)+?+(3n-2)=(2n-1)2

2.(2012·衡阳模拟)在△ABC中,若BC⊥AC,AC=b,BC=a,则
a 2 ? b 2 将此结论拓展到空间,可得出 △ABC的外接圆半径 r ? . 2

的正确结论是:在四面体S—ABC中,若SA、SB、SC两两垂直, SA=a,SB=b,SC=c,则四面体S—ABC的外接球半径R=_________.

【解析】由于SA,SB,SC两两垂直,则S—ABC的外接球即为以
SA,SB,SC为邻边的长方体的外接球,即(2R)2=SA2+SB2+SC2,即 4R2=a2+b2+c2,
a 2 ? b2 ? c2 ∴R? . 2 a 2 ? b2 ? c2 答案: 2

3.(2012·宜春模拟)在平面几何中,有勾股定理:“设△ABC

的两边AB、AC互相垂直,则AB2+AC2=BC2.”拓展到空间,类比
平面几何的勾股定理,研究三棱锥的侧面面积与底面面积间的 关系,可以得出的正确结论是:“设三棱锥A—BCD的三个侧面 ABC、ACD、ADB两两相互垂直,则______.”

【解析】类比条件:两边AB、AC互相垂直,三棱锥三个侧面两 两垂直,则AB2+AC2=BC2类比S△ABC2+S△ACD2+S△ADB2=S△BCD2. 证明:如图,AO⊥平面BCD于点O,由三个侧面两两互相垂直可 知三条侧棱AB,AC,AD两两互相垂直,故O为三角形BCD的垂心, 在Rt△DAE中,AO⊥DE,有AE2=EO·ED,
1 1 1 S△ABC 2 ? BC2 ?AE 2 ? ( BC?EO)( BC?ED) 4 2 2

=S△OBC·S△BCD,

同理S△ACD2=S△BCD·S△OCD,S△ABD2=S△BCD·S△OBD, 故S△ABC2+S△ACD2+S△ADB2=S△BCD2. 答案:S△ABC2+S△ACD2+S△ADB2=S△BCD2


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