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正弦、余弦定理知识归纳


正弦定理
a b c ? ? ? 2 R (R 为外接圆半径) sin ? sin ? sin C 2、正弦定理的变形公式:

1. 含义:

① a ? 2R sin ? , b ? 2R sin ? , c ? 2R sin C ; a b c ② sin ? ? , sin ? ? , sin C ? ; 2R 2R 2R ③ a : b : c ? sin ? : sin ? : sin C ; a?b?c a b c ④ . ? ? ? sin ? ? sin ? ? sin C sin ? sin ? sin C ⑤
3、三角形面积公式: S???C ?

例:

1. 在△ABC 中,c=10,A= 45°,C=30°,求 a ,b 和 B (解决已知两角和一边求另两边和一角的问题)

2.在△ABC 中,

(解决已知两边及一边的对角,求其他边和角的问题)

2. 判断满足下列的三角形的个数: (1)b=11,a=20,B=30° (3)b=26,c=15,C=30°

sin
1 1 1 bc sin ? ? ab sin C ? ac sin ? 2 2 2
,B=60°,c=1,求 a 和 A、C (2)c=54,b=39,C=120° (4)a=2,b=6,A=30°

余弦定理
1.含义:在 ???C 中,有 a 2 ? b2 ? c 2 ? 2bc cos ? , b2 ? a 2 ? c 2 ? 2ac cos ? ,
c2 ? a 2 ? b2 ? 2ab cos C .
2.余弦定理的推论: (1) cos ? ?

b2 ? c2 ? a 2 a 2 ? c 2 ? b2 a 2 ? b2 ? c2 ,cos ? ? ,cos C ? . 2bc 2ab 2ac
2 2 2

(2)设 a 、 b 、 c 是 ???C 的角 ? 、 ? 、 C 的对边,则:①若 a ? b ? c ,则 C ? 90 ;
?

②若 a ? b ? c ,则 C ? 90 ;③若 a ? b ? c ,则 C ? 90 .
2 2 2

?

2

2

2

?

(3)

例: 1. 在△ABC 中,a=7,b= 10,c=6,求 A ,C 和 B

2. 在△ABC 中,

,b= 4,C=30°,求 a ,b 和 B

简易应用: 1. 判断形状:△ABC 中,2sinAcosB=sinC,那么△ABC 的形状是 2. 求面积:△ABC 中,∠A=120°,AB=5,BC=7,其面积为:

3. 求值:△ABC 中,b2 + c2 - bc=a2,且
tanB=

,则∠A=


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