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数 学通g E ( 2 0 0 8年 第 1 l 期)
? 课 外园地 ?
一
道 亚 太 地 区赛 题 的 加 强 与 推 广 之 简 证
宋 庆
( 江 西 省 南 昌 大学 附 中 。3 3 0 0 4 7 )
文[ 1 ] 将一道 2 0 0 4 年亚太地区数学奥林 匹克
试题 加强与推 广为 以 下 : 定理
有
于是 ,
对 任意实 数 a , b , c 及 非 负实 数 m , 均
( 6 + ) ( c + ) ≥ [ + 2 m( b +c ) ] , 由上式及柯 西 不等式 , 可 得
( a 2 +, ) ( 6 2 +t n) ' ( c 2 +, )
( 口 2 + , ) ( 6 2 + , ) ( c 2 + r , z ) ≥ 导 2 ( 口 + b +
f- --
≥ 号 ( n + 予 + 号 ) ( + 2 o r b + 2 批 )
≥ 詈 ( 撇+ m b + m c )
=
c ) , 当 且 仅 当n = b = c = ± √号 时 取 等 号 .
本文 给出两种 简单证 明.
证1 I N ( b c 一 予 ) + m ( 6 一 c ) 2 / > o , 故
( 6 + ) ( c + ) ≥ r , z [ ( 6 +c ) 。 + ] ,
( 口 2 +, ) ( b 2 +, ) ( c 2 + ) 一
詈 ( 口 + b + f ) .
读者 可 自 行 验证 等号 成立 的条件 .
变形 的方 向与变形 的时 机 的把握 是证 明 不等
式 的关键 . 本 文 如 是说 .
≥ 3 [ 脚 +打 z ( 6 +c ) +a 2 ( 6 +c ) + ]
参 考文 献 :
≥ 号 [ 撇 + ( 6 + c ) + 2 m a ( b + c ) ]
:
[ 1 ] 杜旭安 . 一道竞赛题的加强与推广 . 数学通讯 ,
2 0 0 8 ( 5 ) . ( 收稿 日期 : 2 0 0 8 ~0 4—0 8 )
丢 ( 口 + 6 + c ) .
证2 因a 2 一 号, b 一 号, c ~ 号 中 必 有 两
个 非 负 或 非 正 , 故 不 妨 设 ( 6 一 予 ) ( c 一 予 ) ≥ 0 ,
囡 囡
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