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一道亚太地区赛题的加强与推广之简证


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数 学通g E ( 2 0 0 8年 第 1 l 期)  

? 课 外园地 ?  



道 亚 太 地 区赛 题 的 加 强 与 推 广 之 简 证 
宋   庆  
( 江 西 省 南 昌 大学 附 中 。3 3 0 0 4 7 )  

文[ 1 ] 将一道 2 0 0 4 年亚太地区数学奥林 匹克 
试题 加强与推 广为 以 下 :   定理
有 

于是 ,  

对 任意实 数 a , b , c 及 非 负实 数 m , 均 

( 6   +   ) ( c   +  ) ≥  [   + 2 m( b   +c   ) ] ,   由上式及柯 西 不等式 , 可 得 
( a 2 +,  ) ( 6 2 +t n) ' ( c 2 +,  )  

( 口 2 + ,   ) ( 6 2 + ,   ) ( c 2 + r , z ) ≥ 导  2 ( 口 + b +  
f- --  

≥ 号 ( n   + 予 + 号 ) (  + 2 o r b   + 2 批   )  
≥ 詈 ( 撇+ m b + m c )  


c )   , 当 且 仅 当n = b = c = ± √号 时 取 等 号 .  
本文 给出两种 简单证 明.  

证1  I N ( b c 一 予 )   +   m ( 6 一 c ) 2 / > o , 故  
( 6   +   ) ( c   +  ) ≥  r , z [ ( 6 +c ) 。 +   ] ,  
( 口 2 +,  ) ( b 2 +,  ) ( c 2 +   )  一  

詈  ( 口 + b + f ) .  
读者 可 自 行 验证 等号 成立 的条件 .  
变形 的方 向与变形 的时 机 的把握 是证 明 不等 

式 的关键 . 本 文 如 是说 .  

≥  3   [ 脚  +打 z ( 6 +c )   +a 2 ( 6 +c )   +   ]  
参 考文 献 :  

≥ 号   [ 撇   +  ( 6 + c )   + 2 m a ( b + c ) ]  


[ 1 ] 杜旭安 . 一道竞赛题的加强与推广 . 数学通讯 ,  
2 0 0 8 ( 5 ) .   ( 收稿 日期 : 2 0 0 8 ~0 4—0 8 )  

丢  ( 口 + 6 + c )   .  

证2  因a 2 一 号, b   一 号, c   ~ 号 中 必 有 两  

个 非 负 或 非 正 , 故 不 妨 设 ( 6   一 予 ) ( c   一 予 ) ≥ 0 ,  

囡  囡 
本刊 即将连 载“ 新教材解读 ” 系列文章 
今 年, 全 国大 部 分 省 、 市、 自治 区 即 将 ( 或已  

文章 , 请新教材编写者按模块 、 章的顺序向广大教  师介绍新教材, 对新教材的使用和教法提出 自己   的见解和教法建议 , 并力求与教学进度 同步. 请读  者留意阅读.  
《 数学通 讯》 编辑 部 

经) 使用新课标教材 . 为使广大高 中数学教师了解 
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怎么教?使用新教材要注意哪些问题?本刊将于  今年 8 月份( 第 1 5期) 起 连载“ 新教材解读” 系列 


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