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数 学通ｇ Ｅ （ ２ ０ ０ ８年 第 １ ｌ 期）
? 课 外园地 ?
一
道 亚 太 地 区赛 题 的 加 强 与 推 广 之 简 证
宋 庆
（ 江 西 省 南 昌 大学 附 中 。３ ３ ０ ０ ４ ７ ）
文［ １ ］ 将一道 ２ ０ ０ ４ 年亚太地区数学奥林 匹克
试题 加强与推 广为 以 下 ： 定理
有
于是 ，
对 任意实 数 ａ ， ｂ ， ｃ 及 非 负实 数 ｍ ， 均
（ ６ ＋ ） （ ｃ ＋ ） ≥ ［ ＋ ２ ｍ（ ｂ ＋ｃ ） ］ ， 由上式及柯 西 不等式 ， 可 得
（ ａ ２ ＋， ） （ ６ ２ ＋ｔ ｎ） ＇ （ ｃ ２ ＋， ）
（ 口 ２ ＋ ， ） （ ６ ２ ＋ ， ） （ ｃ ２ ＋ ｒ ， ｚ ） ≥ 导 ２ （ 口 ＋ ｂ ＋
ｆ－ －－
≥ 号 （ ｎ ＋ 予 ＋ 号 ） （ ＋ ２ ｏ ｒ ｂ ＋ ２ 批 ）
≥ 詈 （ 撇＋ ｍ ｂ ＋ ｍ ｃ ）
＝
ｃ ） ， 当 且 仅 当ｎ ＝ ｂ ＝ ｃ ＝ ± √号 时 取 等 号 ．
本文 给出两种 简单证 明．
证１ Ｉ Ｎ （ ｂ ｃ 一 予 ） ＋ ｍ （ ６ 一 ｃ ） ２ ／ ＞ ｏ ， 故
（ ６ ＋ ） （ ｃ ＋ ） ≥ ｒ ， ｚ ［ （ ６ ＋ｃ ） 。 ＋ ］ ，
（ 口 ２ ＋， ） （ ｂ ２ ＋， ） （ ｃ ２ ＋ ） 一
詈 （ 口 ＋ ｂ ＋ ｆ ） ．
读者 可 自 行 验证 等号 成立 的条件 ．
变形 的方 向与变形 的时 机 的把握 是证 明 不等
式 的关键 ． 本 文 如 是说 ．
≥ ３ ［ 脚 ＋打 ｚ （ ６ ＋ｃ ） ＋ａ ２ （ ６ ＋ｃ ） ＋ ］
参 考文 献 ：
≥ 号 ［ 撇 ＋ （ ６ ＋ ｃ ） ＋ ２ ｍ ａ （ ｂ ＋ ｃ ） ］
：
［ １ ］ 杜旭安 ． 一道竞赛题的加强与推广 ． 数学通讯 ，
２ ０ ０ ８ （ ５ ） ． （ 收稿 日期 ： ２ ０ ０ ８ ～０ ４—０ ８ ）
丢 （ 口 ＋ ６ ＋ ｃ ） ．
证２ 因ａ ２ 一 号， ｂ 一 号， ｃ ～ 号 中 必 有 两
个 非 负 或 非 正 ， 故 不 妨 设 （ ６ 一 予 ） （ ｃ 一 予 ） ≥ ０ ，
囡 囡
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