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2014年北京市海淀区高三一模数学(文)试题及答案


海淀区高三年级第二学期期中练习数学 (文科)
本试卷共 4 页,150 分。考试时长 120 分钟。考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上 作答无效。考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。

2014.4

一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.
1. 2. 已知集合 A ? ??1,0,1? , B ? y y ? sin πx, x ? A , 则A ? B ? 3. 抛物线 y 2 ? 8 x 上到其焦点 F 距离为 5 的点有 A.0 个

5 ? 2?i

A. 2 ? i

B. 2 ? i

C. 1 ? 2i

D. 1 ? 2i A. {- 1} B.1 个 B. {0} A.1 C. D. 4 个 B.3 C.5 D. 7

?

?

{1}

D. ?

C. 2 个

4. 平面向量 a, b 满足 | a |? 2 , | b |? 1 ,且 a, b 的夹角为 60? ,则 a ? (a ? b) = 5. 函数 f ( x) ? 2 x ? sin x 的部分图象可能是
y

y

y

y

O

x

O

x

O

x

O

x

A

B

C

D

6. 已知等比数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,且 S1 , S2 ? a2 , S 3 成等差数列,则数列 ?an ? 的公比为 A.1 B.2 C.

1 D.3 2

7. 已知 f ( x) = a x 和 g ( x) = b x 是指数函数,则“ f (2) > g (2) ”是“ a > b ”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 1 8. 已知 A(1,0) , 点 B 在曲线 G : y ? ln x 上, 若线段 AB 与曲线 M : y ? 相交且交点恰为线段 AB 的中点, 则称 B 为曲线 G x B.1 C.2 D.4 关于曲线 M 的一个关联点.那么曲线 G 关于曲线 M 的关联点的个数为 A.0

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.
x2 y 2 ? ? 1 的离心率为 2,则 m ? __________. m 3 10. 李强用流程图把早上上班前需要做的事情做了如下几种方案,则所用时间最少的方案是_______ 方案一: 方案二: 方案三:
9.双曲线

11. 在 ?ABC 中, 则 a = 3, b = 5, C = 120? ,

n s i A = _ _ _ _ _ _ , n s i B

_ _ _ _ _ _ _ . c=

3

3

12. 某商场 2013 年一月份到十二月份月销售额呈现先下降后上升的趋势,现有三种函数模型: x ① f ( x) ? p ? q x , (q ? 0, q ? 1) ;② f ( x) ? log p ? q ( p ? 0, p ? 1) ;③ f ( x) ? x 2 ? px ? q . 能较准确反映商场月销售额 f ( x) 与月份 x 关系的函数模型为 _________(填写相应函数的序 号) ,若所选函数满足 f (1) ? 10, f (3) ? 2 ,则 f ( x) =_____________. 13.一个空间几何体的三视图如图所示,该几何体的表面积为__________. 14. 设不等式组 ?

8

主视图
4 6

侧视图

? x ? y ? 2 ? 0, 2 2 表示的区域为 ?1 ,不等式 x ? y ? 1表示的平面区域为 ? 2 . x ? ay ? 2 ? 0 ?
; .
俯视图

(1) 若 ?1 与 ? 2 有且只有一个公共点,则 a =

(2) 记 S ( a ) 为 ?1 与 ? 2 公共部分的面积,则函数 S ( a ) 的取值范围是

三、解答题: 本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程.
π π π π 15.(本小题满分 13 分)已知函数 f ( x) ? sin x ? sin( x ? ) .(Ⅰ)求 f ( ) ;(Ⅱ)求 f ( x) 在 [ ? , ] 上的取值范围. 2 2 3 6 16. (本小题满分 13 分)某出租车公司为了解本公司出租车司机对新法规的知晓 情况, 随机对 100 名出租车司机进行调查.调查问卷共 10 道题, 答题情况如下表: 答对题目数 ? 0,8 ? 8 9 (Ⅰ)如果出租车司机答对题目数大于等于 9,就认为该司机对新法规的知晓情况 2 13 12 女 比较好,试估计该公司的出租车司机对新法规知晓情况比较好的概率; 3 37 16 男 (Ⅱ)从答对题目数少于 8 的出租车司机中任选出两人做进一步的调查, 求选出的 两人中至少有一名女出租车司机的概率.

10
8 9

17. (本小题满分 14 分)如图 1,在 Rt△ABC 中,∠ABC=90° , D 为 AC 中点, AE ? BD 于 E (不同于点 D ) ,延长 AE 交 BC 于 F, 将△ABD 沿 BD 折起, 得到三棱锥 A1 ? BCD , 如图 2 所示.(Ⅰ) 若 M 是 FC 的中点,求证:直线 DM //平面 A1 EF ; (Ⅱ)求证:

A D E

A1

E

D

B C F M C F BD⊥ A1 F ; (Ⅲ)若平面 A1 BD ? 平面 BCD ,试判断直线 A1B 与 B 图 1 图 2 直线 CD 能否垂直?并说明理由. 18. (本小题满分 13 分)已知函数 f ( x) ? x ln x .(Ⅰ)求 f ( x ) 的单调区间;(Ⅱ) 当 k ? 1 时,求证: f ( x) ? kx ? 1 恒成立. 19. (本小题满分 14 分)已知 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) 是椭圆 C : x 2 ? 2 y 2 ? 4 上两点,点 M 的坐标为 (1,0) .(Ⅰ)当 A, B 关于点

M (1,0) 对称时,求证: x1 ? x2 ? 1 ; (Ⅱ)当直线 AB 经过点 (0,3) 时,求证: ?MAB 不可能为等边三角形. 20. (本小题满分 13 分)在平面直角坐标系中,对于任意相邻三点都不共线的有序整点列(整点即横纵坐标都是整数的点)

A(n) : A1 , A2 , A3 ,?, An 与 B(n) : B1 , B2 , B3 ,?, Bn ,其中 n ? 3 ,若同时满足:①两点列的起点和终点分别相同;②线段
Ai Ai ?1 ? Bi Bi ?1
与 B (3) : ,其中 i ? 1, 2,3,?, n ? 1,则称 A( n) 与 B ( n) 互为正交点列.(Ⅰ)试判断 A(3) :

A1 (0, 2), A2 (3, 0), A3 (5, 2)

A (0,0), A2 (3,1), A3 (6,0), A4 (9,1) 是否互为正交点列, 并说明理由; (Ⅱ)求证: A(4) : 1 不存在正交点列 B (4) ; (Ⅲ)是否存在无正交点列 B (5) 的有序整数点列 A(5) ?并证明你的结论.

B1 (0, 2), B2 (2,5), B3 (5, 2)

海淀区高三年级第二学期期中练习参考答案数学(文科)
阅卷须知:1.评分参考中所注分数,表示考生正确做到此步应得的累加分数。 2.其它正确解法可以参照评分标准按相应步骤给分。 一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分. 1.B 2.B 3.C

2014.4

4.C

5.A

6.D

7. C

8.B

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. 3 2 9. 1 10. 方案三 11. , 7 12. ③, f ( x) ? x ? 8 x ? 17 5

13. 152

14. ? 3 , [0, )

π 2

π 2 三、解答题: 本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程.
{说明:两空的第一空 3 分,第二空 2 分;14 题的第二空若写成 (0, ) 不扣分}

π π π π 15.解: (Ⅰ) f ( ) ? sin ? sin( ? ) 6 6 6 3 π π ? sin ? sin(? ) 6 6 π π ? sin ? sin 6 6 π ? 2sin ? 1 6 1 3 (Ⅱ) f ( x) ? sin x ? sin x ? cos x 2 2

---------------------------------1 分 ---------------------------------2 分 ---------------------------------3 分 ---------------------------------4 分 ---------------------------------6 分 --------------------------------8 分 ----------------10 分

? 1 3 ? sin x ? cos x ? sin( x ? ) 3 2 2 π π π π 5π 因为 ? ? x ? 所以 ? ? x ? ? 2 2 6 3 6 1 所以 f ( x ) 的取值范围是 [? ,1] 2

1 π 所以 ? ? sin( x ? ) ? 1 2 3

---------------12 分

--------------------------------13 分

16.解:(Ⅰ)答对题目数小于 9 道的人数为 55 人,记“答对题目数大于等于 9 道”为事件 A, P( A) ? 1 ?

55 ? 0.45 --------5 分 100

(Ⅱ)设答对题目数少于 8 道的司机为 A、B、C、D、E,其中 A、B 为女司机 ,选出两人包含 AB、AC、AD、AE、BC、BD、 BE、CD、CE、DE 共 10 种情况,至少有 1 名女驾驶员的事件为 AB、AC、AD、AE、BC、BD、BE 共 7 种. 记“随机选出的两人中至少有 1 名女驾驶员”为事件 M,则 P( M ) ?

7 ? 0.7 -------------13 分 10

A1

17.解: (Ⅰ)因为 D , M 分别为 AC , BD 中点,所以 DM // EF -------------------2 分 又 EF ? 平面A1 EF , DM ? 平面A1 EF 所以 DM / / 平面A1 EF .--------------4 分 (Ⅱ)因为 A1E ? BD , EF ? BD 且 A1 E ? EF ? E 所以 BD ? 平面A1 EF -------------7 分 又 A1 F ? 平面A1EF 所以 BD ? A1F -------------9 分 (Ⅲ)直线 A1 B 与直线 CD 不能垂直-------------------10 分
B E F D M C

因为 平面A1 BD ? 平面BCD , 平面A1 BD ? 平面BCD ? BD , EF ? BD , EF ? 平面CBD , 所以 EF ? 平面A1 BD . ------------12 分 因为 A1 B ? 平面A1 BD , 所以 A1B ? EF , 又因为 EF / / DM , 所以 A1 B ? DM . 假设 A1B ? CD ,因为 A1 B ? DM , CD ? DM ? D ,所以 A1 B ? 平面BCD , -----------13 分 所以 A1B ? BD ,这与 ?A1 BD 为锐角矛盾,所以直线 A1 B 与直线 CD 不能垂直. --------------14 分

1 f ' (x ) ? ln x ? ----------------2 1 分 令 f '( x) ? 0 ,得 x ? ---------------3 分 e f '( x) 与 f ( x) 的情况如下: --------------------------------5 分 1 1 1 x (0, ) ( , ??) 1 1 e e e 所以 f ( x) 的单调减区间为 (0, ) ,单调增区间为 ( , ??) ---------------------6 分 e e ? f '( x) 0 ? 1 (Ⅱ) 证明 1:设 g ( x) ? ln x ? , x ? 0 -------------------7 分 x f ( x) ↘ ↗ 极小值 1 1 x ?1 --------------------------8 分 g '( x) ? ? 2 ? 2 x x x g '( x) 与 g ( x) 的情况如右:所以 g ( x) ? g (1) ? 1 ,即 x (0,1) (1, ??) 1 1 ln x ? ? 1在 x ? 0 时恒成立, ------------10 分 x ? f '( x) 0 ? 1 所以,当 k ? 1 时, ln x ? ? k ,所以 x ln x ? 1 ? kx ,即 x ln x ? kx ?1 , x f ( x) ↘ ↗ 极小值 所以,当 k ? 1 时,有 f ( x) ? kx ? 1 .--------------13 分 证明 2:令 g ( x) ? f ( x) ? (kx ? 1) ? x ln x ? kx ? 1 ---------------------------7 分 g '( x) ? ln x ? 1 ? k -----------8 分 令 g '( x) ? 0 ,得 x ? ek ?1 ------------9 分 x (0, e k ?1 ) ek ?1 (ek ?1 , ??) g '( x) 与 g ( x) 的情况如下: ---------------------10 分 k ?1 k ?1 g ( x) 的最小值为 g (e ) ? 1 ? e -------------------11 分 f '( x) ? 0 ? k ?1 k ?1 当 k ? 1 时, e ? 1 ,所以 1 ? e ? 0 故 g ( x) ? 0 -------------------------12 分 即当 k ? 1 时, f ( x) ? kx ? 1 . ----------------13 分 f ( x) ↘ 极小值 ↗ 2 2 ì ? ? x1 + 2 y1 = 4, ① --------1 分 19.解: (Ⅰ)证明:因为 A, B 在椭圆上,所以 í 2 2 ? ? ? x2 + 2 y2 = 4. ② 因为 A, B 关于点 M (1,0) 对称,所以 x1 ? x2 ? 2, y1 ? y2 ? 0 , --------2 分 将 x2 ? 2 ? x1 , y2 ? ? y1 代入②得 (2 ? x1 )2 ? 2 y12 ? 4 ③,由①和③消 y1 解得 x1 ? 1 , -----4 分 所以 x1 = x2 = 1 . --------5 分
18.解:(Ⅰ) 定义域为 ? 0, ?? ? -------------1 分 (Ⅱ)当直线 AB 不存在斜率时, A(0, 2), B(0, -

2) ,可得 AB = 2 2, MA =

3,

?ABM 不是等边三角形. --------------6 分
? x 2 ? 2 y 2 ? 4, 当直线 AB 存在斜率时,显然斜率不为 0.设直线 AB : y ? kx ? 3 , AB 中点为 N ( x0 , y0 ) ,联立 ? 消去 y 得 ? y ? kx ? 3, 7 (1 ? 2k 2 ) x 2 ? 12kx ? 14 ? 0 ,------7 分 ? ?1 4 4 k2 ? 4 ( 1 ? k2 2 ?) 1 ? 4 k 23 2?由 ? 5? 60 ,得到 k 2 ? ①---------8 分 4 14 ?12k ?6k 3 - 6k 3 , ) -----10 分 , y0 = kx0 + 3 = 又 x1 ? x2 ? , x1 ? x2 ? 所以 x0 = ,所以 N ( 2 2 2 2 2 1 ? 2k 1 ? 2k 1 ? 2 k 2 1 + 2k 1 + 2k 1 ? 2k 3 2 假设 ?ABM 为等边三角形,则有 MN ? AB ,又因为 M (1, 0) ,所以 k MN ? k ? ?1 , 即 1 ? 2k ? k ? ?1 ,--------11 分 ?6k ?1 1 ? 2k 2 1 2 化简 2k ? 3k ? 1 ? 0 ,解得 k ? ?1 或 k ? ? ------------12 分 这与①式矛盾,所以假设不成立. 2 因此对于任意 k 不能使得 MN ? AB ,故 ?ABM 不能为等边三角形. ------------14 分 20.解: (Ⅰ)有序整点列 A1 (0, 2), A2 (3, 0), A3 (5, 2) 与 B1 (0, 2), B2 (2,5), B3 (5, 2) 互为正交点列. -------------------1 分 ????? ????? ????? ????? ????? ????? ????? ????? B2 B3 ? (3, ? 3) ,因为 A1 A2 ?B1 B2 ? 0 , A2 A3 ?B2 B3 ? 0 理由如下: 由题设可知 A1 A2 ? (3, ?2), A2 A3 ? (2, 2) , B1 B2 ? (2,3),
所以 A1 A2 ? B1B2,A2 A3 ? B2 B3 .所以整点列 A1 (0, 2), A2 (3, 0), A3 (5, 2) 与 B1 (0, 2), B2 (2,5), B3 (5, 2) 互为正交点列.-----3 分

A3 A4 ? (3,1) , (Ⅱ) 证明 : 由题意可得 A1 A2 ? (3,1), A2 A3 ? (3, ?1), 设点列 B1 , B2 , B3 , B4 是点列 A1 , A2 , A3 , A4 的正交点列,

?????

?????

?????

B3 B4 ? ?3 ( ?1,3) , ?1,?2,?3 ? Z 。因为 A1与B1 , A4与B4 相同,所以有 则可设 B1B2 ? ?1 ( ?1,3), B2 B3 ? ?2 (1,3),
? ?-?1 +?2 -?3 =9 ① ? ? ?3?1 +3?2 +3?3 =1 ②
因为 ?1,?2,?3 ? Z ,方程②不成立,

?????

?????

?????

所以有序整点列 A1 (0,0), A2 (3,1), A3 (6,0), A4 (9,1) 不存在正交点列.----------8 分 (Ⅲ)存在无正交点列的整点列 A(5) .------9 分 当 n ? 5 时,设 Ai Ai ?1 ? (ai , bi ), ai , bi ? Z , 其中 ai , bi 是一对互质整数, i ? 1, 2,3, 4 。若有序整点列 B1 , B2 , B3 , B4 , B5 是点列
4 ? 4 ? ? ??i bi ? ? ai , ① 4 ?????? 4 ?????? ?????? ? i ?1 A1 , A2 , A3 , A4 , A5 的正交点列, 则 Bi Bi ?1 ? ?i ( ?bi , ai ), i ? 1, 2,3, 4 ,由 ? Ai Ai ?1 ? ? Bi Bi+1 得 ? i =1 4 4 i =1 i ?1 ? ?a ? b . ② ? ii ? i ? ? i =1 i ?1 取 A1 (0, 0), ai =3, i ? 1,2,3,4 , b1 ? 2, b2 ? ?1, b3 ? 1, b4 ? ?1 。由于 B1 , B2 , B3 , B4 , B5 是整点列,所以有 ?i ? Z , i ? 1, 2,3, 4 .

??????

等式②中左边是 3 的倍数,右边等于 1,等式不成立, 所以存在无正交点列的整点列 A(5) . ---------13 分


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