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辽宁省实验中学等五校2014-2015学年高二数学下学期期末考试试题 理


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2014——2015 学年度下学期期末考试高二理科数学试卷
第Ⅰ卷 一项是符合题目要求的) 1.若 i 为虚数单位,图中网格纸的小正方形的边长是 1,复平 z 面内点 Z 表示复数 z,则复数 对应的点位于复平面内的 1? i A.第一象限 C.第三象限 B.第二象限 D.第四象限
( x ? ?i )2 2? i 2

(选择题

共 60 分)

一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有

? 1 e 2.已知三个正态分布的概率密度函数 ?i ( x) ? 2?? i

y

y ? ?1 ( x) y ? ? 2 ( x) y ? ? 3 ( x)

(第 1 题图)

( x ? R , i ? 1 , 2 , 3 )的图象如图所示,则 A. ?1 ? ? 2 ? ? 3 , ? 1 ? ? 2 ? ? 3 B. ?1 ? ? 2 ? ? 3 , ? 1 ? ? 2 ? ? 3 C. ?1 ? ? 2 ? ? 3 , ? 1 ? ? 2 ? ? 3 D. ?1 ? ? 2 ? ? 3 , ? 1 ? ? 2 ? ? 3 第一步证明中的起始值 n0 的最小值为 A.1 B.3 C.5 D.7 4.若从 1,2,3,?,9 这 9 个整数中同时取 4 个不同的数,其和为奇数,则不同的取法共有 5.已知函数 f ? x ? ? a sin3x ? bx ? 4(a ? R, b ? R) , f ? ? x ? 为 f ? x ? 的导函数,则
3

O

(第 2 题图)

x

n 2 3.用数学归纳法证明“ 2 ? n ,对于 n ? n0 的正整数 n 均成立”时,

A.60 种

B.63 种

C.65 种

D.66 种

f ? 2014? ? f (?2014) ? f ? ? 2015? ? f ?(?2015) ?
A.8 B.2014 C.2015 D.0 6.两位工人加工同一种零件共 100 个,甲加工了 40 个,其中 35 个是合格品,乙加工了 60 个,其中有 50 个合格,令 A 事件为“从 100 个产品中任意取一个,取出的是合格品”,B 事件为“从 100 个产品中任意取一个,取到甲生产的产品”,则 P( A | B) 等于 B. 2 C. 5 D. 7 100 5 7 8 9 2 9 7.若 ? x ? 2 ? m ? ? a0 ? a1 ? x ? 1? ? a2 ? x ? 1? ? ??? ? a9 ? x ? 1? ,且 A. 35

? a0 ? a2 ? ??? ? a8 ?
A. ?3

2

? ? a1 ? a3 ? ??? ? a9 ? ? 39 ,则实数 m ?
2

B. 0

C. 1

D. ?3 或 1

8.下列有关线性回归分析的四个命题中 ①线性回归直线未必过样本数据的中心点 ( x, y ) ; ②回归直线就是散点图中经过样本数据点最多的那条直线; ③当相关性系数 r ? 0 时,则两个变量正相关; ④如果两个变量的相关性越强,则相关性系数 r 就越接近于 1. 其中真命题的个数为 A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个
-1-

文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 9.已知盒子中有 4 个红球, n 个白球,若从中一次取出 4 个球,其中白球的个数为 X , 且 E( X ) ?

12 . 则 n 的值 7

A.3 B.4 C.5 D.6 10.已知函数 g ( x) 是偶函数, f ( x) ? g ( x ? 2) 且当 x ? 2 时,其导函数 f ?( x ) 满足

( x ? 2) f ?( x) ? 0 ,若 1 ? a ? 3 ,则
A. f (4a ) ? f (3) ? f (log3a ) C. f (log3a ) ? f (3) ? f (4a ) B. f (3) ? f (log3a ) ? f (4a ) D. f (log3a ) ? f (4a ) ? f (3)

11.如图所示,由直线 x ? a, x ? a ?1? a ? 0? , y ? x2 及 x 轴围成的曲边梯形的面积介于相应 小矩形与大矩形的面积之间,即 a ?
2
*

?

a ?1

a

x 2dx ? (a ? 1)2 .

y

1 1 1 1 1 1 类比之, ?n ? N , ? ?? ? ? A? ? ??2 ? n ?1 n ? 2 2n n n ?1 0 2n ? 1
0 9 B. ln 2 0 lnx k 5 12.已知函数 f ( x ) ? 2 ? x ? ? 2e 有且只有一个零点,则 k 的值为 x x 1 1 1 1 4 2 2 A. e ? 2 B. e ? C. e ? 2 D. 恒成立,则实数 A 等于

1 A. 2

3 C. 5

5 D. ln 2

O

a a+1

x

e

e

e

e?

1 e

第Ⅱ卷

(非选择题 共 90 分) .

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填在题中横线上. 13.已知 x 为实数,复数 z ? ( x 2 ? x ? 2) ? ( x 2 ? 3x ? 2)i 为纯虚数,则 x ? 14.对于实数 x , [ x ] 表示不超过 x 的最大整数,观察下列等式:

[ 1] ? [ 2 ] ? [ 3] ? 3

[ 4 ] ? [ 5] ? [ 6 ] ? [ 7 ] ? [ 8] ? 10

[ 9 ] ? [ 10] ? [ 11] ? [ 12] ? [ 13] ? [ 14] ? [ 15] ? 21
?? 按照此规律第 n 个等式的等号右边的结果为 . D , E 15.若 6 个人排成一排, A, B, C 三人互不相邻, 两人也不相邻的排法共有 16.若实数 a, b, c, d 满足 (b ? a2 ? 3ln a)2 ? (c ? d ? 2)2 ? 0 ,则 (a ? c)2 ? (b ? d )2 的最小值为 . 三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 12 分) “开门大吉” 是中央电视台推出的娱乐节目.选手面对 1~8 号 8 扇大门, 依次按响门上的门铃,门铃会播放一段音乐(将一首经典流行歌曲以单音色 旋律的方式演绎) ,选手需正确回答出这首歌的名字,方可获得该扇门对应 的家庭梦想基金.在一次场外调查中,发现参赛选手多数分为两个年龄段: 20~30;30~40(单位:岁) ,其猜对歌曲名称与否的人数如图所示. (Ⅰ) 完成下列 2×2 列联表; 正误 正确 错误 合计
-2-

种.

文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 年龄 20~30 30~40 合计 (Ⅱ)判断是否有 90%的把握认为猜对歌曲名称与否和年龄有关;说明你的理由.(下面的临 界值表供参考)

P K 2 ? k0
k0
(参考公式: K 2 ?

?

?

0.10 2.706

0.05 3.841

0.010 6.635

0.005 7.879

n(n11n22 ? n12 n21 )2 , n ? n1? ? n2? ? n?1 ? n?2 ) n1? n2? n?1n?2
11? 2 m 2m? 2

18. (本小题满分 12 分) 若等差数列 {an } 的首项为 a1 ? C 5m ? A11?3m (m ? N ) , 公差是 ( 数项,其中 n 为 77 77 ? 15 除以 19 的余数,求通项公式 a n . 19.(本题满分 12 分) 在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ,已知 A = 30? , a ? 3,b ? 3 3 . (Ⅰ)求 B 和 ?ABC 的面积; (Ⅱ)当 B 是钝角时,证明: tan(B ? 118?) 不可能是有理数.
5 23 2 n ? x ) 展开式中的常 2x 5

20.(本题满分 12 分) 甲乙两班进行消防安全知识竞赛,每班出 3 人组成甲乙两支代表队,首轮比赛每人一道 必答题,答对则为本队得 1 分,答错不答都得 0 分,已知甲队 3 人每人答对的概率分别为

2 3 2 1 , , ,乙队每人答对的概率都是 .设每人回答正确与否相互之间没有影响,用 ? 表示 3 4 3 2
甲队总得分. (Ⅰ)求随机变量 ? 的分布列及其数学期望 E? ; (Ⅱ)求在甲队和乙队得分之和为 4 的条件下,甲队比乙队得分高的概率. 21. (本题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? ax ? 2x ? ln x(a ? R) .
2

(Ⅰ)若 a ? 4 ,求函数 f ( x) 的极值; (Ⅱ)若 f '( x) 在 (0,1) 有唯一的零点 x0 ,求 a 的取值范围; (Ⅲ)若 a ? (? ,0) ,设 g (x) ?a( 1 ?x) ?2 x ? 1 ?ln( 1 ?) x
2

唯一的零点 x1 ,且对(Ⅱ)中的 x0 ,满足 x0 ? x1 ? 1 . 请考生在第 22-24 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分. 22. (本小题满分 10 分)选修 4-1:平面几何证明选讲 如图,在 ?ABC 中, ?B ? 90 ,以 AB 为直径的⊙ O 交
?

1 2

,求证: g ( x) 在 (0,1) 内有

C

D

过点 D 作⊙ O 的切线交 BC 于 E ,AE 交⊙ O 于点 F . AC 于 D , A

O

?

F

E B
-3-

文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com (Ⅰ)证明: E 是 BC 的中点; (Ⅱ)证明: AD ? AC ? AE ? AF . 23.(本小题满分 10 分) 选修 4-4:极坐标系与参数方程 在极坐标系中曲线 C 的极坐标方程为 ? sin 2 ? ? cos? ? 0 ,点 M (1,

?
2

) . 以极点 O 为原

点, 以极轴为 x 轴正半轴建立直角坐标系. 斜率为 ?1的直线 l 过点 M , 且与曲线 C 交于 A, B 两点. (Ⅰ)求出曲线 C 的直角坐标方程和直线 l 的参数方程; (Ⅱ)求点 M 到两点 A, B 的距离之积. 24. (本大题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 设函数 f ( x) ?| x ? 2 | ? | x ? 2 | (Ⅰ)解不等式 f ( x) ? 2 ; (Ⅱ)当 x ? R , 0 ? y ? 1 时,证明: | x ? 2 | ? | x ? 2 |?

1 1 ? . y 1? y

-4-

文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 2014——2015 学年度下学期期末考试高二理科数学答案 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的) 1.D 2.B 3.C 4.A 5.A 14. 2n ? n
2

6.D 7.D

8.A 9.A

10.B 11.B

12.B

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填在题中横线上. 13.1 17 .解: 15. 120 16. 2 2 (Ⅰ) 三.解答题:本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 年龄/正 误 20~30 30~40 合计 正确 10 10 20 错误 30 70 100 合计 40 80 120 ???6 分 2 0 0 有 90 % 的把握认为猜对歌曲名称与否和年龄有关。 ??? 12 分 9 0 ?5m ? 11 ? 2m 11 13 7 2 ? ? m ? ,又 m ? N ,∴5m =2,∴ a1 ? C 10 ? A5 ? 100 18.解:由题意, ? 7 5 ?11 ? 3m ? 2m ? 2 1 ??? 4分 0 1 77 4 77 77 77 又 77 ? 15 = (19 ? 4 ? 1) ?15 ? ? (19 ? 4) ? ?? (19 ? 4) ?15 (Ⅱ) k ?

120(70 ? 10 ? 30 ? 10) 2 ? 3 ? 2.706 20 ? 100? 40 ? 80

C

77

C

77

C

77

= (19 ? 4)[C 77 ? C 77(19 ? 4) ? ?? C 77(19 ? 4)76 ] ?19 ? 5 ∴ 77 77 ? 15 除以 19 的余数为 5,即 n =5 ???8 分 5 r ?15 2 r 5 r 5 又 Tr ?1 ? C 5( )5?r (? 3 x2 )r ? C 5( )5?2r x 3 (?1)r ,令 5r ?15 ? 0 ? r=3 , 2x 5 2 3 5 ∴ d ? C 5( )5?6 (?1)3 ? ?4 ,∴ an ? a1 ? (n ? 1)d ? 104 ? 4n ???12 分 2

1

2

77

a b 3 3 sin 30? 3 ? ,即 sin B ? ???2 分 ? sin A sin B 3 2 因为 B 是三角形内角且 B ? A ,则 B ? 60? 或 B ? 120 ? . ???4 分 记 ?ABC 的面积为 S .
19.解: (Ⅰ)由正弦定理得

1 1 9 3 ???5 分 ab ? ? 3 ? 3 3 ? 2 2 2 1 1 1 9 3 当 B ? 120 ? 时, C ? 30? , S ? ab sin 30? ? ? 3 ? 3 3 ? ? ???6 分 2 2 2 4 (Ⅱ)证明:因为 B 是钝角,结合(Ⅰ)的结论得 tan(B ? 118?) = tan 2 ?
当 B ? 60? 时, C ? 90? , S ? 假设 tan 2 ? 是有理数, 则 tan 4? ? ???8 分

2 tan 2? 为有理数; 1 ? tan 2 2?
???10 分
-5-

同理可证 tan8?, tan16?, tan32? 为有理数.

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tan 30 ? ?

3 tan 32 ? ? tan 2? ,等式左边= 为无理数,等式右边为有理数,从而矛盾, 1 ? tan 32? tan 2? 3

则 tan 2 ? 不可能是有理数,即 tan(B ? 118?) 不可能是有理数.???12 分 20. (Ⅰ)解: ? 的可能取值为 0,1,2,3 ???1 分 3 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 P(? ? 0) ? ? ? ? ; P (? ? 1) ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ; 4 3 2 24 4 3 2 4 3 2 4 3 2 4

3 2 1 1 3 2 1 1 2 1 3 1 1 11 P(? ? 2) ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ; P (? ? 3) ? ? ? ? 4 3 2 4 3 2 4 3 2 24 4 3 2 4
???5 分

? ? 的分布列为

?
P

0

1

2

3

1 24

1 4

11 24

1 4
???6 分 ???8 分

E (? ) ? 0 ?

1 1 11 1 23 ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? 24 4 24 4 12
3 2 1

(Ⅱ)设“甲队和乙队得分之和为 4”为事件 A,“甲队比乙队得分高”为事件 B 则 P( A) ?

1 11 1 1 1 2 1 3?2? 2?2? 1? 2? ? C3 ? ? ? ? C3 ? ? ? ? ? C3 ? ? ? ( ) ? 4 3 ? 3 ? 24 ?3? 3 4 ?3? 3
1

1 1 2 1 1? 2? P( AB) ? ? C3 ? ? ?( ) ? 4 18 ?3? 3
1 P( AB) 18 1 P( B A) ? ? ? 1 6 P( A) 3
21. 解: (Ⅰ)当 a ? 4 时, f ( x) ? 4 x ? 2 x ? ln x , x ? (0, ?? ) ,
2

???12 分

1 8x2 ? 2x ?1 (4x ?1)(2x ? 1) . ? ? x x x 1 由 x ? (0, ?? ) ,令 f ?( x) ? 0 ,得 x ? . 4 当 x 变化时, f ?( x) , f ( x) 的变化如下表: f ?( x) ? 8x ? 2 ?
x
f ?( x)
f ( x)

1 (0, ) 4
?

1 4

1 ( , ??) 4
+

0 极小值
1 4

?

?
1 4

故函数 f ( x) 在 (0, ) 单调递减,在 ( , ??) 单调递增,
1 3 f ( x) 有极小值 f ( )= + ln 4 ,无极大值. 4 4

???3 分

1 2ax2 ? 2 x ?1 (Ⅱ)解法一: f ?( x) ? 2ax ? 2 ? ? , x x
-6-

文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 令 f ?( x) ? 0 ,得 2ax 2 ? 2 x ? 1 ? 0 ,设 h( x) ? 2ax 2 ? 2 x ? 1 . 则 f ?( x) 在 (0,1) 有唯一的零点 x 0 等价于 h ( x ) 在 (0,1) 有唯一的零点 x 0 当 a ? 0 时,方程的解为 x ?
1 ,满足题意; 2

当 a ? 0 时,由函数 h ( x ) 图象的对称轴 x ? ?

1 ? 0 ,函数 h ( x ) 在 (0,1) 上单调递增, 2a

且 h(0) ? ?1 , h(1) ? 2a ? 1 ? 0 ,所以满足题意; 当 a ? 0 , ? ? 0 时, a ? ? ,此时方程的解为 x ? 1 ,不符合题意; 当 a ? 0 , ? ? 0 时,由 h(0) ? ?1 , 只需 h(1) ? 2a ? 1 ? 0 ,得 ? ? a ? 0 . 综上, a ? ? . (说明: ? ? 0 未讨论扣 1 分) 解法二:
1 2ax2 ? 2 x ?1 (Ⅱ) f ?( x) ? 2ax ? 2 ? ? , x x
1 2 1 2

1 2

???7 分

令 f ?( x) ? 0 ,由 2ax 2 ? 2 x ? 1 ? 0 ,得 a ? 设m ?

1 1 ? . 2 x2 x

1 1 1 1 ,则 m ? (1, ?? ) , a ? m2 ? m ? (m ? 1)2 ? , 2 2 2 x

1 1 问题转化为直线 y ? a 与函数 h(m) ? (m ? 1)2 ? 的图象在 (1, ?? ) 恰有一个交点问题. 2 2 又当 m ? (1, ?? ) 时, h(m) 单调递增,

故直线 y ? a 与函数 h(m) 的图象恰有一个交点,当且仅当 a ? ? . (Ⅲ)设 t ? 1? x ,则 t ? (0,1) , p(t ) ? g (1 ? t ) ? at 2 ? 2t ? 3 ? ln t ,
1 2at 2 ? 2t ?1 , p?(t ) ? 2at ? 2 ? ? t t

1 2

??7 分

由 a ? (? ,0) ,故由(Ⅱ)可知, 方程 2at 2 ? 2t ? 1 ? 0 在 (0,1) 内有唯一的解 x 0 , 且当 t ? (0, x0 ) 时, p ?(t ) ? 0 , p (t ) 单调递减; t ? ( x0 ,1) 时, p ?(t ) ? 0 , p (t ) 单调递增. 又 p(1)=a ? 1 ? 0 ,所以 p( x0 ) ? 0 取 t ? e?3? 2a ? (0,1) , 则 p(e?3? 2a )=ae?6? 4a ? 2e?3? 2 a ? 3 ? ln e?3? 2 a ? ae?6? 4 a ? 2e?3? 2 a ? 3 ? 3 ? 2a
? a(e?6? 4 a ? 2) ? 2e?3? 2 a ? 0 ,

1 2

-7-

文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 从而当 t ? (0, x0 ) 时, p (t ) 必存在唯一的零点 t1 ,且 0 ? t1 ? x0 , 即 0 ? 1 ? x1 ? x0 ,得 x1 ? (0,1) ,且 x0 ? x1 ? 1 , 从而函数 g ( x ) 在 (0,1) 内有唯一的零点 x1 ,满足 x0 ? x1 ? 1 ??12 分 (说明:第(Ⅲ)问判断零点存在时,利用 t ? 0 时, p (t ) ? ?? 进行证明,扣 1 分) 22.解: (Ⅰ)证明:连接 BD ,因为 AB 为⊙O 的直径,所以 BD ? AC ,又 ?B ? 90 ? ,所 以 CB 切⊙O 于点 B,且 ED 切于⊙O 于点 E,因此 EB ? ED , ??2 分

?EBD? ?EDB, ?CDE ? ?EDB ? 90? ? ?EBD ? ?C ,所以 ?CDE ? ?C ,
得 EC ? ED ,因此 EB ? EC ,即 E 是 BC 的中点 (Ⅱ)证明:连接 BF,可知 BF 是 Rt △ABE 斜边上的高,可得△ABE∽△AFB 于是有 ??5 分

AB AE ,即 AB 2 ? AE ? AF , ? AF AB

??8 分

同理可证 AB 2 ? AD ? AC 所以 AD ? AC ? AE ? AF ??10 分

23. (Ⅰ) x ? ? cos ? , y ? ? sin? ,由 ? sin ? ? ? cos ? ? ? 得 ? 2 sin2 ? ? ? cos ? . 所以 y 2 ? x 即为曲线 C 的直角坐标方程; ??2 分

1), 点 M 的直角坐标为 ( 0 ,
直线 l 的倾斜角为

?? ,故直线 l 的参数方程为 ? ? 2 3? ? x?? t x ? t cos ? ? ? 4 (t 为参数)即 2 (t 为参数) ? ? 3? ? y ? 1 ? t sin ?y ?1? 2 t ? 4 ? 2 ?

??5 分

? 2 x?? t ? ? 2 (t 为参数)代入曲线 C 的方程得 (Ⅱ)把直线 l 的参数方程 ? ?y ?1? 2 t ? 2 ?
(1 ? 2 2 2 t) ? ? t ,即 t 2 ? 3 2t ? 2 ? 0 , 2 2
??7 分

? ? (3 2 ) 2 ? 4 ? 2 ? 10 ? 0 ,
设 A、B 对应的参数分别为 t 1、 t 2 ,则 ?

? ?t 1 ? t 2 ? ?3 2 ? ? t1 ? t 2 ? 2

又直线 l 经过点 M,故由 t 的几何意义得 点 M 到 A,B 两点的距离之积 | MA | ? | MB |?| t 1 || t 2 |?| t 1 ? t 2 |? 2 ??10 分

-8-

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x?2 ? 4, ? 24 解: (Ⅰ)由已知可得: f ( x) ? ?2 x, ? 2 ? x ? 2 ? ?4, x ? ?2 ?
所以, f ( x) ? 2 的解集为 {x x ? 1} . (II)由(Ⅰ)知, ???????5 分 ;

x?2 ? x?2 ? 4

1 1 1 1 1? y y ? ?( ? )[ y ? (1 ? y)] ? 2 ? ? ?4 y 1? y y 1? y y 1? y 1 1 ? x?2 ? x?2 ? ? . y 1? y
说明:各题中出现的不同解法,请参照此标准相应给分。

????????10 分

-9-


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