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高中数学典型例题解析导数及其应用


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高中数学典型例题分析 第十章 导数及其应用

§10.1 导数及其运算 一、知识导学 当自变量在 x = x0 附近改变量为 ?x 时, 1.瞬时变化率: 设函数 y = f (x ) 在 x0 附近有定义, 函数值相应地改变 ?y = f ( x 0 + ?x) ? f ( x) ,如果当 ?x 趋近于 0 时,平均变化率

?y f ( x 0 + ?x ) ? f ( x 0 ) = 趋近于一个常数 c (也就是说平均变化率与某个常数 c 的差的绝 ?x ?x
对值越来越小,可以小于任意小的正数) ,那么常数 c 称为函数 f ( x ) 在点 x 0 的瞬时变化率。 2.导数:当 ?x 趋近于零时,

f ( x 0 + ?x ) ? f ( x 0 ) 趋近于常数 c。可用符号“ → ”记作: ?x

当 ?x → 0 时,

f ( x 0 + ?x ) ? f ( x 0 ) f ( x0 + ?x) ? f ( x0 ) → c 或记作 lim = c ,符号“ → ” ?x →0 ?x ?x

读作 “趋近于” 函数在 x 0 的瞬时变化率, 。 通常称作 f (x ) 在 x = x 0 处的导数, 并记作 f ′( x 0 ) 。 3.导函数:如果 f (x ) 在开区间 (a, b) 内每一点 x 都是可导的,则称 f (x ) 在区间 (a, b) 可导。 这样,对开区间 (a, b) 内每个值 x ,都对应一个确定的导数 f ′(x ) 。于是,在区间 (a, b) 内,

f ′(x) 构成一个新的函数,我们把这个函数称为函数 y = f (x) 的导函数。记为 f ′(x) 或 y ′
(或 y ′ ) x 。 4.导数的四则运算法则:1)函数和(或差)的求导法则:设 f (x ) , g (x ) 是可导的,则

( f ( x) ± g ( x))′ = f ′( x) ± g ′( x) 即,两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数的导数
的和(或差) 。 2)函数积的求导法则:设 f (x ) , g (x ) 是可导的,则

[ f ( x) g ( x)]′ = f ′( x) g ( x) + f ( x) g ′( x) 即,两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数
乘上第二个函数,加上第一个函数乘第二个函数的导数。 3)函数的商的求导法则:设 f (x ) , g (x ) 是可导的, g ( x ) ≠ 0 ,则
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′ ? f ( x) ? g ( x) f ′( x) ? f ( x) g ′( x) ? g ( x) ? = g 2 ( x) ? ?
5.复合函数的导数:设函数 u = ψ (x) 在点 x 处有导数 u ′ = ψ ′(x ) ,函数 y = f (u ) 在点 x 的 x

′ ′ x 对应点 u 处有导数 y u = f ′(u ) ,则复合函数 y = f [ψ ( x )] 在点 x 处有导数,且 y ′ = y u ? u ′ . x
6.几种常见函数的导数: (1) C ′ = 0(C为常数) (3) (sin x ) ′ = cos x (5) (ln x ) ′ =
n ?1 (2) x )= nx ( n ∈ Q ) ( n ′

(4) (cos x ) ′ = ? sin x (6) (log a x ) ′ =

1 x

1 log a e x

(7) (e x ) ′ = e x 二、疑难知识导析

(8) ( a x ) ′ = a x ln a

1.导数的实质是函数值相对于自变量的变化率

′ x 2.运用复合函数的求导法则 y ′ = y u ? u ′ ,应注意以下几点 x
(1)利用复合函数求导法则求导后,要把中间变量换成自变量的函数,层层求导. (2) 要分清每一步的求导是哪个变量对哪个变量求导,不能混淆,一直计算到最后, 常出现如下错误,如 (cos 2 x ) ′ = ? sin 2 x 实际上应是 ? 2 sin 2 x 。 (3) 求复合函数的导数,关键在于分清楚函数的复合关系,选好中间变量,如

y=

1 1 选成 y = , u = v 4 , v = 1 ? w, w = 3 x 计算起来就复杂了。 4 u (1 ? 3 x)
3.导数的几何意义与物理意义 导数的几何意义,通常指曲线的切线斜率.导数的物理意义,通常是指物体运动的瞬时

速度。对导数的几何意义与物理意义的理解,有助于对抽象的导数定义的认识,应给予足够 的重视。 4. f ′( x 0 )与f ′( x )的关系

f ′( x0 ) 表示 f ( x)在x = x0 处的导数,即 f ′( x0 ) 是函数在某一点的导数; f ′(x) 表示
函数 f (x ) 在某给定区间 (a, b) 内的导函数,此时 f ′(x ) 是在 (a, b) 上 x 的函数,即 f ′(x ) 是 在 (a, b) 内任一点的导数。
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5.导数与连续的关系 若函数 y = f (x ) 在 x0 处可导,则此函数在点 x0 处连续,但逆命题不成立,即函数

y = f ( x) 在点 x0 处连续,未必在 x0 点可导,也就是说,连续性是函数具有可导性的必要条
件,而不是充分条件。 6.可以利用导数求曲线的切线方程 由于函数 y = f ( x) 在 x = x0 处的导数,表示曲线在点 P ( x0 , f ( x0 )) 处切线的斜率,因 此,曲线 y = f (x) 在点 P ( x0 , f ( x0 )) 处的切线方程可如下求得: (1)求出函数 y = f (x) 在点 x = x0 处的导数,即曲线 y = f (x) 在点 P ( x0 , f ( x0 )) 处 切线的斜率。 (2) 在已知切点坐标和切线斜率的条件下, 求得切线方程为:y = y 0 + f ′( x0 )( x ? x0 ) , 如果曲线 y = f (x) 在点 P ( x0 , f ( x0 )) 的切线平行于 y 轴(此时导数不存在)时,由切线定 义可知,切线方程为 x = x 0 . 三、经典例题导讲
2 [例 1]已知 y = (1 + cos 2 x ) ,则 y ′ =

.

错因: 错因:复合函数求导数计算不熟练,其 2 x 与 x 系数不一样也是一个复合的过程,有的同学忽 视了,导致错解为: y ′ = ?2 sin 2 x(1 + cos 2 x ) .
2 ′ x 正解: 正解:设 y = u , u = 1 + cos 2 x ,则 y ′ = y u u ′ = 2u (1 + cos 2 x ) ′ = 2u ? ( ? sin 2 x ) ? ( 2 x ) ′ x

= 2u ? (? sin 2 x) ? 2 = ?4 sin 2 x(1 + cos 2 x) ∴ y ′ = ?4 sin 2 x(1 + cos 2 x) .

?1 2 ? 2 ( x + 1)( x ≤ 1) ? 判断 f(x)在 x=1 处是否可导? 2]已知函数 f ( x ) = ? [例 2] ? 1 ( x + 1)( x > 1) ?2 ?
1 1 [(1 + ?x) 2 + 1] ? (12 + 1) 2 = 1,∴ f ′(1) = 1 。 错解: 错解:Q lim 2 ?x → 0 ?x
分析: 分析: 分段函数在“分界点”处的导数,须根据定义来判断是否可导 .

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1 1 [(1 + ?x) 2 + 1] ? (12 + 1) ?y 2 = lim ? 2 =1 解: lim ? ?x →0 ?x ?x →0 ?x

∴ f(x)在 x=1 处不可导. 注: ?x → 0 ,指 ?x 逐渐减小趋近于 0; ?x → 0 ,指 ?x 逐渐增大趋近于 0。 点评: 点评:函数在某一点的导数,是一个极限值,即 lim
+ -

+

?

?x →0

f ( x0 + ?x) ? f ( x0 ) ,△x→0,包括 ?x

△x→0 ,与△x→0 ,因此,在判定分段函数在“分界点”处的导数是否存在时,要验证其 左、 右极限是否存在且相等, 如果都存在且相等, 才能判定这点存在导数, 否则不存在导数.
2 3]求 [例 3] y = 2 x + 3 在点 P (1,5) 和 Q ( 2,9) 处的切线方程。

错因: 错因:直接将 P , Q 看作曲线上的点用导数求解。 分析: 分析:点 P 在函数的曲线上,因此过点 P 的切线的斜率就是 y ′ 在 x = 1 处的函数值; 点 Q 不在函数曲线上,因此不能够直接用导数求值,要通过设切点的方法求切线. 解:Q y = 2 x + 3,∴ y ′ = 4 x. ∴ y ′
2
x =1 =

4

即过点 P 的切线的斜率为 4,故切线为: y = 4 x + 1 . 设过点 Q 的切线的切点为 T ( x 0 , y 0 ) ,则切线的斜率为 4 x0 ,又 k PQ =

y0 ? 9 , x0 ? 2



2 x0 2 ? 6 = 4 x0 ,∴ 2 x0 2 ? 8 x0 + 6 = 0. ∴ x0 = 1,3 。 x0 ? 2

即切线 QT 的斜率为 4 或 12,从而过点 Q 的切线为:

y = 4 x ? 1, y = 12 x ? 15
点评: 点评 要注意所给的点是否是切点.若是,可以直接采用求导数的方法求;不是则需设出 切点坐标. 4]求证:函数 y = x + [例 4] 的切线方程.

1 图象上的各点处切线的斜率小于 1,并求出其斜率为 0 x

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分析: 分析: 由导数的几何意义知,要证函数 y = x +

1 的图象上各点处切线的斜率都小于 1,只 x

要证它的导函数的函数值都小于 1,因此,应先对函数求导后,再进行论证与求解. 解:(1) y = x +

1 1 1 ,∴ y ′ = 1 ? 2 < 1 ,即对函数 y = x + 定义域内的任一 x ,其导数值 x x x
1 图象上各点处切线的斜率都小于 1. x

都小于 1 ,于是由导数的几何意义可知,函数 y = x + (2)令 1 ?

1 1 = 0 ,得 x = ±1 ,当 x = 1 时, y = 1 + = 2 ;当 x = ?1 时, y = ?2 , 1 x2
1 的斜率为 0 的切线有两条,其切点分别为 (1,2) 与 ( ?1,?2) ,切线方程分别 x

∴ 曲线 y = x +
为 y = 2或

y = ?2 。

点评: 点评: 在已知曲线 y = f (x ) 切线斜率为 k 的情况下,要求其切线方程,需要求出切点, 而切点的横坐标就是 y = f (x ) 的导数值为 k 时的解,即方程 f ′( x ) = k 的解,将方程

f ′( x) = k 的解代入 y = f (x) 就可得切点的纵坐标, 求出了切点坐标即可写出切线方程, 要
注意的是方程 f ′( x ) = k 有多少个相异实根,则所求的切线就有多少条. 5](02 年高考试题)已知 a > 0 ,函数 f ( x ) = x 3 ? a , x ∈ [0,+∞ ) ,设 x1 > 0 ,记曲 [例 5] 线 y = f (x ) 在点 M ( x1 , f ( x1 )) 处的切线为 l . (1)求 l 的方程; (2)设 l 与 x 轴交点为 ( x 2 ,0) ,求证: ① x2 ≥
1 a3;

②若 x1 >

1 1 3 ,则 a 3 a

< x 2 < x1

分析: 分析:本题考查导数的几何意义,利用其求出切线斜率,导出切线方程 . 解:(1) f ( x) = lim
/

?y ( x + ?x) 3 ? a ? x 3 + a = lim ?x →0 ?x ?x → 0 ?x

= lim

3 x 2 ?x + 3 x(?x) 2 + (?x) 3 ?x →0 ?x

= lim [3 x 2 + 3 x?x + (?x) 2 ] = 3 x 2
?x → 0

∴ f ′( x1 ) = 3x12 ∴ 切线 l 的方程为 y ? f ( x1 ) = f ′( x1 )( x ? x1 )
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即 y ? ( x1 ? a ) = 3 x1 ( x ? x1 ) .
3 2

(2)①依题意,切线方程中令 y=0 得,

②由①知 x 2 = x1 ?

x13 ? a 3x12

,∴ x2 ? x1 = ?

x13 ? a 3x12

[例 6]求抛物线 y = x 2 上的点到直线 x ? y ? 2 = 0 的最短距离. 6]
2 分析: 分析:可设 P ( x, x ) 为抛物线上任意一点,则可把点 P 到直线的距离表示为自变量 x 的函

数,然后求函数最小值即可,另外,也可把直线向靠近抛物线方向平移,当直线与抛物线相 切时的切点到直线 x ? y ? 2 = 0 的距离即为本题所求. 解:根据题意可知,与直线 x-y-2=0 平行的抛物线 y=x 的切线对应的切点到直线 x-y- 2=0 的距离最短,设切点坐标为( ),那么 y | x = x0 = 2 x | x = x0 = 2 x0 = 1 ,∴ x0 =
'
2

1 2

1 1 ? ?2| 1 1 7 2 2 4 = , ∴ 切点坐标为 ( , ) ,切点到直线 x-y-2=0 的距离 d = 2 4 8 2 |
∴ 抛物线上的点到直线的最短距离为 四、典型习题导练 1.函数 y = f ( x ) 在 x = x0 处不可导,则过点 P ( x0 , f ( x0 )) 处,曲线 y = f (x) 的切 线 ( ) C.必与 x 轴垂直 D.不同于上面结论

7 2 . 8

A.必不存在 B.必定存在

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2. y =

x+3 在点 x=3 处的导数是____________. x2 + 3
3 2

3.已知 f ( x ) = ax + 3 x + 2 ,若 f ′( ?1) = 4 ,则 a 的值为____________. 4.已知 P(-1,1),Q(2,4)是曲线 y = x 上的两点,则与直线 PQ 平行的曲线
2

y = x 2 的切线方程是 _____________.
5.如果曲线 y = x + x ? 10 的某一切线与直线 y = 4 x + 3 平行,求切点坐标与切线
3

方程. 6.若过两抛物线 y = x 2 ? 2 x + 2 和 y = ? x 2 + ax + b 的一个交点为 P 的两条切线 互相垂直.求证:抛物线 y = ? x 2 + ax + b 过定点 Q ,并求出定点 Q 的坐标. §10.2 导数的应用 一、 知识导学 1.可导函数的极值 (1)极值的概念 设函数 f (x) 在点 x0 附近有定义,且若对 x0 附近的所有的点都有 f ( x) < f ( x 0 ) (或

f ( x) > f ( x0 ) ) ,则称 f ( x0 ) 为函数的一个极大(小)值,称 x0 为极大(小)值点.
(2)求可导函数 f (x) 极值的步骤: ①求导数 f ′(x) 。求方程 f ′( x) = 0 的根. ②求方程 f / ( x) = 0 的根. ③检验 f ′(x) 在方程 f ′( x) = 0 的根的左右的符号,如果在根的左侧附近为正,右侧附 近为负,那么函数 y = f (x) 在这个根处取得极大值;如果在根的右侧附近为正,左侧 附近为负,那么函数 y = f (x) 在这个根处取得极小值. 2.函数的最大值和最小值 (1)设 y = f (x) 是定义在区间 [a, b ] 上的函数, y = f (x) 在 (a, b) 内有导数,求函数

y = f (x) 在 [a, b] 上的最大值与最小值,可分两步进行.
①求 y = f (x) 在 (a, b) 内的极值.
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②将 y = f (x ) 在各极值点的极值与 f (a ) 、 f (b) 比较,其中最大的一个为最大值,最 小的一个为最小值. (2)若函数 f (x ) 在 [a, b ] 上单调增加,则 f (a ) 为函数的最小值, f (b) 为函数的最大值; 若函数 f (x ) 在 [a, b ] 上单调递减,则 f (a ) 为函数的最大值, f (b) 为函数的最小值. 二、疑难知识导析 1.在求可导函数的极值时,应注意: (以下将导函数 f ′(x ) 取值为 0 的点称为函数 f (x ) 的驻 点可导函数的极值点一定是它的驻点,注意一定要是可导函数。例如函数 y =| x | 在点 x = 0 处有极小值 f (0) =0,可是这里的 f ′(0) 根本不存在,所以点 x = 0 不是 f (x ) 的驻点. (1) 可导函数的驻点可能是它的极值点,也可能不是极值点。例如函数 f ( x) = x 3 的导数

(? ∞,+∞ ) 上为增函数可知,点 x = 0 不是 f (x) 的极值点.
数在各单调区间的增减情况一目了然.

f ′( x) = 3 x 2 ,在点 x = 0 处有 f ′(0) = 0 ,即点 x = 0 是 f ( x) = x 3 的驻点,但从 f (x) 在

(2) 求一个可导函数的极值时, 常常把驻点附近的函数值的讨论情况列成表格, 这样可使函 (3) 在求实际问题中的最大值和最小值时, 一般是先找出自变量、 因变量, 建立函数关系式, 并确定其定义域.如果定义域是一个开区间,函数在定义域内可导(其实只要是初等函数, 它在自己的定义域内必然可导) ,并且按常理分析,此函数在这一开区间内应该有最大(小) 值(如果定义域是闭区间,那么只要函数在此闭区间上连续,它就一定有最大(小).记住 这个定理很有好处) ,然后通过对函数求导,发现定义域内只有一个驻点,那么立即可以断 定在这个驻点处的函数值就是最大(小)值。知道这一点是非常重要的,因为它在应用上较 为简便,省去了讨论驻点是否为极值点,求函数在端点处的值,以及同函数在极值点处的值 进行比较等步骤. 2.极大(小)值与最大(小)值的区别与联系 极值是局部性概念,最大(小)值可以看作整体性概念,因而在一般情况下,两者是有 区别的.极大(小)值不一定是最大(小)值,最大(小)值也不一定是极大(小)值,但 如果连续函数在区间 (a, b) 内只有一个极值,那么极大值就是最大值,极小值就是最小值. 三、经典例题导讲 1]已知曲线 S : y = ? [例 1]

2 3 x + x 2 + 4 x 及点 P (0,0) ,求过点 P 的曲线 S 的切线方程. 3
x =0

2 错解: 错解: y ′ = ?2 x + 2 x + 4 ,∴ 过点 P 的切线斜率 k = y ′

= 4 ,∴ 过点 P 的曲线 S 的切

线方程为 y = 4 x . 错因: 曲线在某点处的切线斜率是该曲线对应的函数在该点处的导数值, 这是导数的几何意 错因: 义.在此题中,点 P 凑巧在曲线 S 上,求过点 P 的切线方程,却并非说切点就是点 P ,上述 解法对求过点 P 的切线方程和求曲线在点 P 处的切线方程,认识不到位,发生了混淆.

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正解: 正解:设过点 P 的切线与曲线 S 切于点 Q ( x0 , y 0 ) ,则过点 P 的曲线 S 的切线斜率

k = y′

x = x0

= ?2 x0 + 2 x0 + 4 ,又 k PQ =
2

y0 y 2 ,∴ ?2 x0 + 2 x0 + 4 = 0 。①Q 点 x0 x0

Q 在曲线 S 上,

2 3 2 ∴ y 0 = ? x0 + x0 + 4 x0 . ②,②代入①得 3

? 2 x0 + 2 x0 + 4 =
2

?

2 3 2 x0 + x0 + 4 x0 3 x0

4 3 3 2 x0 ? x 0 = 0 ,∴ x0 = 0 或 x0 = .若 x0 = 0 ,则 k = 4 ,过点 P 的切线 3 4 3 35 35 方程为 y = 4 x ;若 x 0 = ,则 k = ,过点 P 的切线方程为 y = x. ∴ 过点 P 的曲线 S 4 8 8 35 的切线方程为 y = 4 x 或 y = x. 8
化简,得 [例 2]已知函数 f ( x ) = ax 3 + 3 x 2 ? x + 1 在 R 上是减函数,求 a 的取值范围. 2]
2 错解: 错解: f ′( x ) = 3ax + 6 x ? 1, Q f ( x ) 在 R 上是减函数,∴ f ′( x ) < 0 在 R 上恒成立,

∴ 3ax 2 + 6 x ? 1 < 0 对一切 x ∈ R 恒成立,∴ ? < 0 ,即 36 + 12a < 0 ,∴ a < ?3 .
2 正解: 正解: f ′( x ) = 3ax + 6 x ? 1 ,Q f ( x ) 在 R 上是减函数,∴ f ′( x ) ≤ 0 在 R 上恒成立,

∴ ? ≤ 0 且 a < 0 ,即 36 + 12a ≤ 0 且 a < 0 ,∴ a ≤ ?3 .
3]当 x > 0 ,证明不等式 [例 3] 证明: 证明: f ( x ) = ln( x + 1) ?

x < ln(1 + x) < x . 1+ x

x x , g ( x ) = ln( x + 1) ? x ,则 f ′( x ) = ,当 x > 0 时。 1+ x (1 + x) 2
x ?x > 0 , g ′( x) = 又 , 1+ x 1+ x

∴ f (x) 在 (0,+∞ ) 内是增函数, f ( x) > f (0) , ln(1 + x) ? ∴ 即

当 x > 0 时, ′( x ) < 0 , g (x ) 在 (0,+∞ ) 内是减函数, g ( x ) < g (0) , ln(1 + x ) ? x < 0 , g ∴ ∴ 即 因此,当 x > 0 时,不等式

x < ln(1 + x) < x 成立. 1+ x x 点评: , g ( x ) = ln( x + 1) ? x .利用导数求 点评:由题意构造出两个函数 f ( x ) = ln( x + 1) ? 1+ x

函数的单调区间,从而导出 f ( x ) > f (0) 及 g ( x ) < g (0) 是解决本题的关键. 4]设工厂到铁路线的垂直距离为 20km,垂足为 B.铁路线上距离 B 为 100km 处有一原料供 [例 4]
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应站 C,现要在铁路 BC 之间某处 D 修建一个原料中转车站,再由车站 D 向工厂修一条公路.如 果已知每千米的铁路运费与公路运费之比为 3:5,那么,D 应选在何处,才能使原料供应站 C 运货到工厂 A 所需运费最省? 解 :设 BD 之间的距离为 x km,则|AD|= x + 20 ,|CD|= 100 ? x .如果公路运费为 a 元/km,
2 2

那么铁路运费为

3a 元/km.故从原料供应站 C 途经中转站 D 到工厂 A 所需总运费 y 5
x 2 + 400 ,( 0 ≤ x ≤ 100 ).对该式求导,得

为: y = 3 a (100 ? x ) + a 5

y′ =

ax ? 3a a (5 x ? 3 x 2 + 400 ) 2 2 + = ,令 y ′ = 0 ,即得 25 x =9( x + 400 ),解之得 2 2 5 x + 400 5 x + 400

x1 =15, x 2 =-15(不符合实际意义,舍去).且 x1 =15 是函数 y 在定义域内的唯一驻点,所 以 x1 =15 是函数 y 的极小值点,而且也是函数 y 的最小值点.由此可知,车站 D 建于 B,C 之间
并且与 B 相距 15km 处时,运费最省. 点评: 点评: 这是一道实际生活中的优化问题,建立的目标函数是一个复合函数,用过去的知识求 其最值往往没有一般方法,即使能求出,也要涉及到较高的技能技巧.而运用导数知识,求复 合函数的最值就变得非常简单.一般情况下,对于实际生活中的优化问题,如果其目标函数为 高次多项式函数、简单的分式函数简单的无理函数、简单的指数、对数函数,或它们的复合 函数,均可用导数法求其最值.由此也可见,导数的引入,大大拓宽了中学数学知识在实际优 化问题中的应用空间. (2006 年四川) 函数 f ( x) = 3 x 3 + 3ax ? 1, g ( x) = f ' ( x) ? ax ? 5 , 其中 f ' ( x) 是 f ( x) [例 5] 的导函数.(1)对满足-1≤ a ≤1 的一切 a 的值,都有 g ( x) <0,求实数 x 的取值范围; (2)设 a =- m ,当实数 m 在什么范围内变化时,函数 y = f ( x) 的图象与直线 y =3 只 有一个公共点. (1)由题意 g ( x ) = 3 x ? ax + 3a ? 5 解:
2

2

令 ? ( x ) = ( 3 ? x ) a + 3 x ? 5 , ?1 ≤ a ≤ 1
2

对 ?1 ≤ a ≤ 1 ,恒有 g ( x ) < 0 ,即 ? ( a ) < 0 ∴?

? ? (1) < 0 ? ?? ( ?1) < 0 ?
解得 ?

即?

?3x 2 ? x ? 2 < 0 2 ?3 x + x ? 8 < 0

2 < x <1 3

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故 x ∈? ? (2) f
'

? 2 ? ,1? 时,对满足-1≤ a ≤1 的一切 a 的值,都有 g ( x ) < 0 . ? 3 ?

( x ) = 3x 2 ? 3m2
3

①当 m = 0 时, f ( x ) = x ? 1 的图象与直线 y = 3 只有一个公共点 ②当 m ≠ 0 时,列表:

x f ' ( x) f ( x)

( ?∞, m )
+

?m
0
极大

(? m , m )
?

m
0
极小

( m , +∞ )
+

∴ f ( x )极小 = f

( x ) = ?2m

2

m ? 1 < ?1

又∵ f ( x ) 的值域是 R ,且在 m , +∞ 上单调递增 ∴当 x > m 时函数 y = f ( x ) 的图象与直线 y = 3 只有一个公共点. 当 x < m 时,恒有 f ( x ) ≤ f ? m 由题意得 f ? m < 3 即 2m m ? 1 = 2 m ? 1 < 3
2 3

(

)

(

)

(

)

) ( ) 综上, m 的取值范围是 ( ? 2, 2 ) .
解得 m ∈ ? 3 2, 0 U 0, 3 2
3 3

(

6]若电灯 B 可在桌面上一点 O 的垂线上移动, 桌面上有与点 O 距离为 a 的另一点 A, 问 [例 6] 电灯与点 0 的距离怎样,可使点 A 处有最大的照度?( ∠BAO = ? , BA = r , 照度与 sin ? 成 正比,与 r 2 成反比) 分析:如图,由光学知识,照度 y 与 sin ? 成正比,与 r 2 成反比, 分析: 即y=C

sin ? ( C 是与灯光强度有关的常数)要想点 A 处有最 r2

大的照度,只需求 y 的极值就可以了. 解:设 O 到 B 的距离为 x ,则 sin ? =

x 2 2 ,r = x + a r

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于是 y = C

sin ? x =C 3 =C 2 r r

x (x 2 +
2
3 2 2 a )

(0 ≤ x < ∞ ) , y ′ = C

a 2 ? 2x 2 (x2 +
5 2 2 a )

= 0.

当 y ′ = 0 时,即方程 a ? 2 x = 0 的根为 x1 = ?
2

a 2

(舍)与 x 2 =

a 2

,在我们讨论的半

闭区间 [0,+∞ ) 内,所以函数 y = f (x) 在点

a 2

取极大值,也是最大值。即当电灯与 O 点距

离为

a

2

时,点 A 的照度 y 为最大.

(0,

a



2
y′ y
+ ↗

(


a

2

,+∞)

点评:在有关极值应用的问题中,绝大多数在所讨论的区间上函数只有一点使得

f ′( x) =0 且在该点两侧, f ′( x) 的符号各异,一般称为单峰问题,此时,该点就是极值点,
也是最大(小)值点. 四、典型习题导练 1.已知函数 f ( x ) = ax 3 + ( 2a ? 1) x 2 + 2 ,若 x = ?1 是 y = f ( x ) 的一个极值点,则 a 值为 ( ) A.2 B.-2 C.

2 7

D.4 .

2.已知函数 f ( x ) = x 3 + ax 2 + bx + a 2 在 x = 1 处有极值为 10,则 f ( 2) = 3.给出下列三对函数:① f ( x ) = ?

1 , g ( x) = ? x ?1 ② f ( x) = ax 2 (a > 0) , g ( x) = x

x a

③ f ( x ) = ?( ) , g ( x ) = ? log( ? x ) ;其中有且只有一对函数“既互为反函数,又同
x

1 3

是各自定义域上的递增函数” ,则这样的两个函数的导函数分别是

f ′(x)

, g ′(x ) =

.

3 2 4.已知函数 f ( x ) = x + 3ax + 3( a + 2) x + 1 有极大值和极小值,求 a 的取值范围.

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5.已知抛物线 y = ? x + 2 ,过其上一点 P 引抛物线的切线 l ,使 l 与两坐标轴在第一象限
2

围成的三角形的面积最小,求 l 的方程. 6.设 g ( y ) = 1 ? x + 4 xy ? y 在 y ∈ [? 1,0] 上的最大值为 f (x ) , x ∈ R ,
2 3 4

(2)求 f (x ) 的最大值. (1)求 f (x ) 的表达式; §10.3 定积分与微积分基本定理 一、知识导学 1.可微:若函数 y = f (x ) 在 x0 的增量 ?x 可以表示为 ?x 的线性函数 A?x ( A 是常数)与 较 ?x 高阶的无穷小量之和: ?y = A?x + o( ?x) (1) ,则称函数 f 在点 x0 可微,1) ( 中的 A?x 称为函数 f 在点 x0 的微分,记作 dy
x = x0

= A?x 或 df ( x)

x = x0

= A?x .函数 f (x) 在点 x0 可

微的充要条件是函数 f (x ) 在 x 0 可导,这时(1)式中的 A 等于 f ′( x 0 ) .若函数 y = f ( x ) 在 区间 I 上每点都可微,则称 f ( x ) 为 I 上的可微函数.函数 y = f ( x ) 在 I 上的微分记作

dy = f ′( x)?x .
2.微积分基本定理:如果 F ′( x ) = f ( x ) ,且 f ( x ) 在 [ a, b] 上可积.则

∫a f ( x)dx = F (b) ? F (a) .其中 F ( x) 叫做 f ( x) 的一个原函数.
由于 [ F ( x ) + c ]′ = f ( x ) , F ( x ) + c 也是 f ( x ) 的原函数,其中 c 为常数. 二、疑难知识导析 1 .定积分的定义过程包括“分割、近似求和、取极限”这几个步骤,这里包含着很重要的 数学思想方法,只有对定积分的定义过程了解了,才能掌握定积分的应用. 1)一般情况下,对于区间的分割是任意的,只要求分割的小区间的长度的最大者 λ 趋 近于 0,这样所有的小区间的长度才能都趋近于 0,但有的时候为了解题的方便,我们选择 将区间等份成 n 份,这样只要 2 其中的使

b

1 → 0 就可以了. n

2) 对每个小区间内 ξ i 的选取也是任意的, 在解题中也可选取区间的左端点或是右端点. 3)求极限的时候,不是 n → ∞ ,而是 λ → 0 . 2.在微积分基本定理中,原函数不是唯一的,但我们只要选取其中的一个就可以了,一般

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情况下选那个不带常数的。因为

∫a f ( x)dx = [ F ( x) + c] a = F ( x) a = F (b) ? F (a) .
b b

b

3.利用定积分来求面积时,特别是位于 x 轴两侧的图形的面积的计算,分两部分进行计算, 然后求两部分的代数和. 三 、经典例题导讲 [例 1]求曲线 y = sin x 与 x 轴在区间 [0,2π ] 上所围成阴影部分的面积 S. 1] 错解: 错解:分两部分,在 [0, π ] 2+(-2)=0。 分析:面积应为各部分积分的代数和,也就是第二部分的积分不是阴影部分的面积,而 是面积的相反数。所以不应该将两部分直接相加。 正解: 正解: S =

∫0

π

sin xdx = 2 ,在 [π ,2π ] ∫ sin x = ?2 ,因此所求面积 S 为
π



∫0

π

sin xdx +

∫π



sin xdx = 2 + 2 = 4

2]用微积分基本定理证明 [例 2]

∫a

b

f ( x)dx = ∫ f ( x)dx + ∫ f ( x)dx ( a < c < b )
a c

c

b

分析: 分析:即寻找 f ( x ) 的原函数代入进行运算。 解;设 F ′( x ) = f ( x ) ,则

∫a f ( x)dx + ∫c

c

b

f ( x)dx

= F (c ) ? F ( a ) + F (b) ? F (c ) = F (b) ? F ( a ) 由微积分基本定理的逆运用可知:上式 = 所以原式成立,即证。 注:该式可用来求分布在 x 轴两侧的图形的积分。 3]根据等式求常数 a 的值。 [例 3] 1)

∫a f ( x)dx

b

∫?a x
∫?a ∫e
a a

a

2

dx = 18(a > 0)

2)

∫e

a

dx =3 x

分析:利用微积分基本定理,求出原函数代入 a 求解 分析 解:1)

x 2 dx =

x3 3

a ?a =

a 3 (?a) 3 ? = 18 ? a = 3 3 3 ? ln e = 3 ? a = e 4 ? a = ± e 4 x ( x ≥ 0) 100

2)

dx = ln x x

a e = ln a

4]某产品生产 x 个单位时的边际收入 R ′( x ) = 200 ? [例 4] (1) 求生产了 50 个单位时的总收入。

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(2)

如果已生产了 100 个单位时,求再生产 100 个单位时的总收入。

分析: 分析:总收入为边际收入的积分和,求总收入既为求边际收入在规定时间内的定积分。由收 入函数 R (x ) 和边际收入 R ′(x ) 的关系可得 (1)生产 50 个单位时的总收入为 R (50) = =

∫0

50

R ′( x)dx

∫0

50

(200 ?

x )dx =99875 100
200

(2)已生产了 100 个单位时后,再生产 100 个单位时的总收入为

∫100 R ′( x)dx = ∫100 (200 ? 100 )dx = 19850
答:生 产 5 0 个 单 位 时 的 总 收 入 为 9 9 8 7 5 ;生 产 了 1 0 0 个 单 位 时 后 ,再 生 产 100 个 单 位 时 的 总 收 入 为 19850. 5]一个带电量为 Q 的电荷放在 x 轴上原点处,形成电场,求单位正电荷在电场力作用下 [例 5] 沿 x 轴方向从 x = a 处移动到 x = b 处时电场力对它所作的功。 分析:变力做功的问题就是定积分问题在物理方面的应用。 分析: 解:单位正电荷放在电场中,距原点 x 处,电荷对它的作用力为 F = k

200

x

q x2

在单位电荷移动的过程中, 电场对它的作用力为变力。 则根据课本对变力做功的分析可 知

W =∫ k?
a

b

q 1 1 dx = kq( ? ) 2 a b x

答:电场力对它做的功为 kq (

1 1 ? )。 a b

6]一质点以速度 V (t ) = t 2 ? t + 6( m / s ) 沿直线运动。求在时间间隔 (1,4) 上的位移。 [例 6] 分析: 分析:变速求位移和变力求功一样都可以用定积分解决。 解: S =

∫1

4

4 1 1 1 4 v(t )dt = ∫ (t 2 ? t + 6)dt = ( t 3 ? t 2 + 6t ) 1 = 31 1 3 2 2

答:位移为 31 m 。 四、典型习题导练 1.

1 2

∫2 x dx =

31

(

)

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A.

1 1 ? 3 2

B. ln 3 ? ln 2 )

C. ln 2 ? ln 3

D.

1 1 ? 2 3

2.

∫0



cos xdx = (
B.2

A.0 3.
1

C.-2 。

D.4

∫0 x(a ? x)dx = 2 ,则 a =
?
n →∞

4.利用概念求极限: lim n ? 5.求下列定积分; (1)

1 1 1 ? + +L+ ? 2 (n + 2) 2 ( n + n) 2 ? ? (n + 1)

∫1 ( x + x

2

?1

)dx

(2) 2 cos dx π ?
2



π

6.写出下面函数在给定区间上的总和 S n =

∑ f ( xi )?x 及 S10 , S100 , S1000 的表达式
i =1

n

f ( x) = x 3

x ∈ [0,1]

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