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2014江苏高考理数真题含答案word版


绝密★启用前

2014 年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷) 数学Ⅰ
注 意 事 项

考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求: 1.本试卷共 4 页,均为非选择题(第 1 题~第 20 题,共 20 题) 。本卷满分为 160 分。考试时间为 120 分钟。考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回。 2.答题前,请您务必将自己的姓名、考试证号用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔填写 在试卷及答题卡的规定位置。 3.请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与您本人是 否相符。 4.作答试题必须用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔在答题卡的指定位置作答,在 其它位置作答一律无效。 5.如需作图,须用 2B 铅笔绘、写清楚,线条、符号等须加黑、加粗。 参考公式: 圆柱的侧面积公式: S圆柱侧 ? cl ,其中 c 是圆柱底面的周长, l 为母线长. 圆柱的体积公式: V圆柱 ? Sh , 其中 S 是圆柱的底面积, h 为高. 一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共计 70 分.请把答案填写在答题卡相应位置上 . ........ 1. 已知集合 A={ ? 2,?1,3,4 }, B ? {?1,2,3} ,则 A ? B ? ▲ . 开始
n?0
n ? n ?1

2 n ? 20

N

Y 2. 已知复数 z ? (5 ? 2i) 2 (i 为虚数单位),则 z 的实部为 ▲ . 输出 n 结束 (第 3 题)

1

3. 右图是一个算法流程图,则输出的 n 的值是 ▲ .

4. 从 1,2,3,6 这 4 个数中一次随机地取 2 个数,则所取 2 个数的乘积为 6 的概率是 ▲

.

5.

已知函数 y ? cos x 与 y ? sin(2 x ? ? ) (0≤ ? ? ? ),它们的图象有一个横坐标为

?
3

的交点,则

? 的值是 ▲ .

频率 组距
0.030 0.025 0.020 0.015 0.010

80

90 100 110 120 130 底部周长/cm

(第 6 题)

6.

设抽测的树木的底部周长均在区间 [80,130]上,其频率分布直方图如图所示 ,则在抽测的 60 株树木中,有 ▲ 株树木的底部周长小于 100cm.

2

【考点】频率分布直方图.

7. 在各项均为正数的等比数列 {a n } 中, a 2 ? 1, a8 ? a 6 ? 2a 4 ,则 a6 的值是 ▲ .

8. 设甲、乙两个圆柱的底面分别为 S1 , S 2 ,体积分别为 V1 , V2 ,若它们的侧面积相等, 且
S1 9 V ? ,则 1 的值是 S2 4 V2

▲ .

9.

在平面直角坐标系 xOy 中 , 直线 x ? 2 y ? 3 ? 0 被圆 ( x ? 2) 2 ? ( y ? 1) 2 ? 4 截得的弦长为 ▲ .

3

10. 已知函数 f ( x) ? x 2 ? mx ? 1, 若对于任意 x ? [m, m ? 1] , 都有 f ( x) ? 0 成立,则实数 m 的取 值范围是 ▲ .

11. 在平面直角坐标系 xOy 中,若曲线 y ? ax 2 ?

b (a,b 为常数)过点 P (2,?5) ,且该曲线在 x 点 P 处的切线与直线 7 x ? 2 y ? 3 ? 0 平行,则 a ? b 的值是 ▲ .

12. 如图,在平行四边形 ABCD 中,已知 AB ? 8 , AD ? 5 , CP ? 3PD ,
AP ? BP ? 2 ,则 AB ? AD 的值是

D

P

C

▲ . A (第 12 题) B

13. 已知 f ( x) 是定义在 R 上且周期为 3 的函数,当 x ?[0,3) 时, f ( x) ?| x 2 ? 2x ?

1 | .若函数 2 y ? f ( x) ? a 在区间 [ ?3,4] 上有 10 个零点(互不相同),则实数 a 的取值范围是 ▲ .

4

14. 若△ ABC 的内角满足 sin A ? 2 sin B ? 2 sin C ,则 cos C 的最小值是 ▲ .

二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分.请在答题卡指定区域 内作答,解答时应写出文字说 ....... 明、证明过程或演算步骤. 15.(本小题满分 14 分)

5

5 ? 已知 ? ? ( , ? ) , sin ? ? . 5 2

(1)求 sin( ? ? ) 的值; 4 5? (2)求 cos( ? 2? ) 的值. 6

?

16.(本小题满分 14 分) 如 图 , 在 三 棱 锥 P ? ABC 中 , D , E , F 分 别 为 棱 PC, AC, AB 的 中 点 . 已 知 PA ? AC , PA ? 6, BC ? 8, DF ? 5. P 求证: (1)直线 PA // 平面 DEF ; (2)平面 BDE ? 平面 ABC .

D

A F

E B (第 16题)

C

6

17.(本小题满分 14 分)
? 1(a ? b ? 0) 的左、右焦点, a2 b2 顶点 B 的坐标为 (0, b) ,连结 BF2 并延长交椭圆于点 A,过点 A 作 x 轴的垂线交椭圆于

如图,在平面直角坐标系 xOy 中, F1 , F2 分别是椭圆

x2

?

y3

另一点 C,连结 F1C . 4 1 (1)若点 C 的坐标为 ( , ) ,且 BF2 ? 2 ,求椭圆的方程; 3 3 (2)若 F1C ? AB, 求椭圆离心率 e 的值.

y B C

F1 O

F2 A

x

(第 17 题)

7

18.(本小题满分 16 分) 如图,为了保护河上古桥 OA ,规划建一座新桥 BC,同时设立一个圆形保护区.规划要求:新 桥 BC 与河岸 AB 垂直;保护区的边界为圆心 M 在线段 OA 上并与 BC 相切的圆.且古桥两 端 O 和 A 到该圆上任意一点的距离均不少于 80m. 经测量, 点 A 位于点 O 正北方向 60m 4 处, 点 C 位于点 O 正东方向 170m 处(OC 为河岸), tan ?BCO ? . 3 (1)求新桥 BC 的长; (2)当 OM 多长时,圆形保护区的面积 最大? 北 B A 60 m M O 170 m C 东

(第 18 题)

8

19.(本小题满分 16 分)

9

已知函数 f ( x) ? e x ? e ? x ,其中 e 是自然对数的底数. (1)证明: f ( x) 是 R 上的偶函数; (2)若关于 x 的不等式 mf ( x ) ≤ e ? x ? m ? 1 在 (0,??) 上恒成立,求实数 m 的取值范围;
3 (3)已知正数 a 满足:存在 x0 ? [1,??) ,使得 f ( x0 ) ? a(? x0 ? 3x0 ) 成立.试比较 e a ?1 与 a e ?1 的大小,并证明你的结论.

20.(本小题满分 16 分) 设数列 {a n } 的前 n 项和为 S n .若对任意正整数 n ,总存在正整数 m ,使得 S n ? a m ,则称
{a n } 是“H 数列”.

(1)若数列 {a n } 的前 n 项和 S n ? 2 n ( n ? N ? ),证明: {a n } 是“H 数列”;
10

(2)设 {a n } 是等差数列,其首项 a1 ? 1 ,公差 d ? 0 .若 {a n } 是“H 数列”,求 d 的值; (3)证明:对任意的等差数列 {a n } ,总存在两个“H 数列” {bn } 和 {c n } ,使得 a n ? bn ? c n ( n ? N ? )成立.

【解析】 (1)首先 a1 ? S1 ? 2 ,当 n ? 2 时, an ? Sn ? Sn?1 ? 2n ? 2n?1 ? 2n?1 ,所以

?2, n ? 1, ,所 an ? ? n?1 ?2 , n ? 2,

11


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