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2013高考数学 解题方法攻略 值域与最值 理


函数的值域与最值 (一) 、最值与值域的高考地位 传统高考数学中的应用题中凡涉及到利润最大(或最小) ,最少的人力、物力等,均可归 结于最值与值域的求解;当今高考数学中的求字母参数的取值范围问题很大一部分归结于最 值与值域的求解 通过求函数的最值与值域可大大的加深对一些数学思想的领会,提高运用数学思想解题 的能力。 (二) 、最值与值域的关系 1、有的函数知道值域就可以求最值 如:函数 y ? x 的值域是 ?y | y ? 0? ,可知 y min ? 0 2 2、有的函数知道最值就可以求值域 3、有的函数有值域但无最值 如:函数 y ? 1 的值域是 ?y | y ? 0? ,但 y min ? 无 , y max ? 无 x 2 4、有的函数有最大值但无最小值 如:函数 y ? ? x , y max ? 0 ,但 y min ? 无 5、有的函数有最小值但无最大值 如:函数 y ? ? 2 , y min ? ?2 ,但 y max ? 无 1? x2 6、值域有可能是一个数,也可能是几个数构成的集合,但大多是一个不等式构成的集合 如:常数函数 f ( x) ? 2 的值域是 ?2? 7、求最值与值域的方法大同小异 8、在由值域确定函数的最值时,需注意等号成立的条件下才能取到。 如:已知值域 ?y | ?3 ? y ? 1?,只有 y min ? ?3 ,而 y max ? 无 9、最值存在定理:连续函数在闭区间上一定存在最大值和最小值 (三) 、基本初等函数的定义域与值域 函数名 一次函数 二次函数 函数解析式 定义域 R R 值域 R y ? kx ? b(k ? 0) y ? ax 2 ? bx ? c(a ? 0) a ? 0 时, { y | y ? 4ac ? b 2 } 4a 4ac ? b 2 } 4a a ? 0 时, { y | y ? 反比例数 y? k (k ? 0) x {x | x ? 0} { y | y ? 0} -1- 指数函数 对数函数 正弦函数 余弦函数 正切函数 y ? a x (0 ? a ? 1) y ? log a x(0 ? a ? 1) y ? sin x y ? cos x y ? tan x R { y | y ? 0} R 【-1,1】 【-1,1】 {x | x ? 0} R R {x | x ? k? ? ? R 2 (k ? Z )} (四) 、函数的最值与值域的求解技巧 即是求函数值的集合或是找到的 y 的不等式出来(以后者为重) 如:已知函数 f ( x) ? 2 x ? 1 , x ? ?0,1,2,3,5?则此函数的值域是( ) A、 ?9,1,2,3,5?;B、 ?? 1,1,3? ;C、 ?9,1,?1,3,5? ;D、 ?x | ?1 ? x ? 9? 法(一) :观察法 【及时反馈】 1、函数 f ( x) ? 2 ? 1 的值域是( x ) A、 (??,?1) ;B、 [1,??) ;C、R;D、 (?1,??) 法(二) :反函数法 ⅰ、理论依据:巧妙根据原函数与它的反函数的定义域、值域的互调性,如下表所示: 定义域 原函数 y ? f (x) 反函数 y ? f ?1 值域 C A A C ( x) 由上表知,求原函数的值域就是相当于求它的反函数的定义域 ⅱ、求反函数的步骤( “三步曲” ) ①求 x ? ? ( y ) ;②x、y 互换;③通过求原函数的值域得出反函数的定义域 【及时反馈】


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